ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG

PH ƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG KHO ẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU I.. Ø Lập phương trình đường thẳng MN đó chính là phương trình đường vuông góc chung cần tìm... Chứng min

Trang 1

PH ƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG KHO ẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

I PH ƯƠNG PHÁP LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG :

Ph ương pháp 1 :

Giả sử có hai đường thẳng (d1), (d2) lần lượt có phương trình

như sau :

 = +

 = +



 = +



và

(d ) : y y b t '

 = +

 = +



 = +



Ø Lấy điểm M ∈ (d1) ; N ∈ (d2)

M(

x + a t ;

y + a t ;

z + a t) N(

x + b t ' ;

y + b t ' ;

z + b t ')

Ø MN là đường vuông góc chung : 1 1



⊥

uuuur uuuur

Ta có hệ phương trình sau :

MN

1

a = 0

MN

1

a = 0

Ø Giải hệ phương trình (*) tìm t và t’ Lấy t thế vào (d1) có

tọa độ của M, t’ thế vào (d2) có tọa độ N

Ø Lập phương trình đường thẳng MN đó chính là phương trình đường vuông góc chung cần tìm

Ø Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng (d1) và (d2) :

1

a (a = ;

2

a ;

3

b =(

1

b ;

2

3

Ø Viết phương trình mp(α) chứa (d1) và đường vuông góc chung :



α  = 

  



⇒ MN =

(*

)

(d1 )

M

N

Ÿ

Ÿ (d2

)

     

       

=

     

u là vectơ chỉ

phương của đường

qua điểm A

∈

d

d A

B

Ÿ

Ÿ u

Trang 2

http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 2 -

Ø Viết phương trình mp(β) chứa (d2) và đường vuông góc chung :



β  = 

  



Ø Đường vuông góc chung cần tìm chính là giao tuyến của hai mp(α) và mp(β)

II KHO ẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

Độ dài MN ở phần I chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Ø Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) và song song với (d2)

mp(P) :

β



 = 

  



Ø Lấy điểm B ∈ (d2) và tính khoảng cách từ B đến mp(P) thì :

( )d ,d1 2 (B,(P))

δ = δ = BH

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ M(x0 ; y0 ; z0) đến mặt

phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0

M ,( )

δ α =

+ +

(d1) đi qua A và có vectơ chỉ phương a1

(d2) đi qua B và có vectơ chỉ phương a2

Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2 được tính theo công thức :

1 2

a ,a AB

d ,d

a ,a

 

 

 

 

BÀI T ẬP ÁP DỤNG Bài 1 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng D và D’ lần

lượt có phương trình :

qua điểm B

∈

qua điểm A

∈

P d

d

B

Ÿ

H

Ÿ

Trang 3

x 2z 2 0

(D) :

y 3 0

 + − =

 − =

x 2 t (D') : y 1 t

z 2t

 = +

 = −



 =



1 Chứng minh rằng 2 đường thẳng D và D’ không cắt nhau

nhưng vuông góc với nhau

2 Viết phương trình đường vuông góc chung của D và D’

(Trích đề thi tuyển sinh khối D 2006)

Bài 2 : Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) : 2x – y + 2z – 3 = 0 và 2 đường thẳng

1

(d ) :

− = − =

− và 2

x 3 y 5 z 7 (d ) :

+ = + = −

− a) Chứng tỏ (d1) song song với (α) và (d2) cắt (α)

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d1) và (d2)

c) Viết phương trình đường thẳng (∆) // với mp(α), cắt (d1) và (d2) lần lượt tại M, N sao cho MN = 3 (Trích đề thi

tuyển sinh cao đẳng khối A 2007)

Bài 3 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (d1) và (d2)

có phương trình :

1

x 7 y 5 z 9

(d ) :

+ = − = −

− và 2

x y 4 z 18 (d ) :

− a) Viết phương trình mặt phẳng chứa (d1) và (d2)

b) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2) (Trích đề thi Đại Học

Kiến Trúc Hà Nội 1998)

1

x 1 y 2 z 3

(d ) :

− = − = −

và

2

x 2y z 0 (d ) :

2x y 3z 5 0

 + − =

 − + − =

 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d1) và (d2)

1

x 7 y 3 z 9

(d ) :

− = − = −

− và 2

x 3 y 1 z 1 (d ) :

− = − = −

a) Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau

b) Lập phương trình đường vuông góc chung của (d1) và (d2) (Trích đại học Y Dược 1998)

Trang 4

1

x 2 y 3 z 4

(d ) :

− = − = +

− và 1

x 1 y 4 z 4 (d ) :

+ = − = −

a) Viết phương trình chính tắc của đường vuông góc chung (d)

của (d1) và (d2)

b) Tìm tọa độ giao điểm H, K của (d) với (d1), (d2)

(Trích đề thi đại học Quốc Gia TPHCM 1997)

Bài 6 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau (d1)

và (d2) có phương trình :

1

x 1

z 3 t

 =

 = − +



 = +



và

2

(d ) : y 3 2t '

 = −

 = +



 = −

 a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d1) và (d2)

b) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng (d1) và (d2)

(Trích đề thi đại học thương mại 1997)

Bài 7 : Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d1) và (d2)

1

x 1 t

(d ) : y t

 = −

 =



 = −



và

2

x 2t ' (d ) : y 1 t '

z t '

 =

 = −



 =

 a) Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau

b) Viết phương trình mặt phẳng (P), (Q) song song với nhau,

lần lượt chứa (d1) và (d2)

c) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2)

(Trích đề thi đại học Nông Lâm 1995)

1

x 2 t

(d ) : y 1 t

z 2t

 = +

 = −



 =



và

2

x 2z 2 0 (d ) :

y 3 0

 + − =

 − =

b) Viết phương trình đường vuông góc chung của (d1) và (d2) c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng cách đều (d1) và (d2)

(Trích đề thi đại học Sư Phạm Hà Nội 1998)

Trang 5

x y 2z 0

(d ) :

x y z 1 0

 + + =

 − + + =

z 2 t

 = − +

 = −



 = +

b) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2)

c) Viết phương trình đường thẳng (∆) qua M(1 ; 1 ; 1) và cắt

cả hai đường thẳng (d1), (d2)

(Trích đề thi đại học Ngoại Ngữ Hà Nội 1997)

1

x 8z 23 0

(d ) :

y 4z 10 0

 − + =

 − + =

x 2z 3 0 (d ) :

y 2z 2 0

 − − =

 + + =

 a) Viết phương trình mặt phẳng (P), (Q) song song với nhau lần

lượt chứa (d1), (d2)

b) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2)

c) Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với Oz và cắt

cả hai đường thẳng (d1), (d2)

(Trích đề thi đại học Kinh Tế 1995)

1

x 2t 1

(d ) : y t 2

z 3t 3

 = +

 = +



 = −



và

2

x t ' 2 (d ) : y 2t ' 3

z 3t ' 1

 = +

 = −



 = +

 a) Chứng tỏ hai đường thẳng (d1) và (d2) chéo nhau

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d1), (d2)

(Trích đề thi đại học Tổng Hợp Hà Nội khối A 1994)

1

x 3t 7

z 3t 4

 = −

 = − +



 = +



và

2

x t ' 1 (d ) : y 2t ' 9

 = +

 = −



 = − −

 a) Chứng tỏ hai đường thẳng (d1) và (d2) chéo nhau

b) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng

đó

(Trích đề thi đại học Cảnh Sát Nhân Dân 2000)

Bài 13 : Đường thẳng (d1) qua điểm P1(1 ; 2 ; 1) có vectơ chỉ

phương a1 = (1 ; 0 ; 1), đường thẳng (d2) đi qua điểm P2(0 ; 1

; 2) có vectơ chỉ phương a2 = (–1 ; –1 ; 0) Viết phương

Trang 6

trình đường vuông góc chung (d) của (d1) và (d2) (theo dạng

giao tuyến của hai mặt phẳng)

(Trích đề thi Cao Đẳng Công Nghiệp 4 – 2000)

Bài 14 : Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1 ; 1 ;

1), B(1 ; 2 ; 1), C(1 ; 1 ; 2), D(2 ; 2 ; 1)

a) Viết phương trình đường vuông góc chung của AB và CD

b) Tính thể tích tứ diện ABCD

(Trích đề thi Trung Tâm Đào Tạo Cán Bộ Y Tế TPHCM – 1999)

Định dạng
Số trang	6
Dung lượng	258,61 KB