Chương 10: Lý thuyết sóng

Tài liệu cho sinh viên chuyên ngành công trình thủy

Chương 10

LÝ THUYẾT SÓNG

Chuyển động sóng của chất lỏng là quá trình lan truyền dao động của mặt nước

Nguyên nhân gây ra sóng có thể là do các yếu tố chủ yếu sau:

- Sóng do tàu chuyển động;

- Sóng do gió;

- Sóng do dao động của nền;

- Sóng thuỷ triều

Trong các yếu tố trên ta chỉ xét sóng do gió là chủ yếu Sóng do gió còn được gọi là

sóng trọng lực (sóng dao động do trọng lượng bản thân) Trong lý thuyết sóng, chất lỏng

được coi như là chất lỏng lý tưởng, dòng chảy được coi là dòng chảy thế (là dòng chảy

không có xoáy)

Chất lỏng trong lý thuyết sóng được coi là chất lỏng lý tưởng vì trên thực tế cho

thấy sóng lan truyền ở khu vực nước sâu có thể đi xa hàng trăm km mà hình dạng ít thay

đổi hoặc không thay đổi

Khi sóng lan truyền ở vùng nước sâu thì chiều cao của sóng so với chiều dài của

sóng là tương đối nhỏ (

l

h nhỏ) khi đó có thể áp dụng lý thuyết sóng tuyến tính biên độ nhỏ

hλH

zyx

2 2

2 2

∂

ϕ

∂+

Phương trình Laplace còn được gọi là phương trình liên tục

Phương trình này phải thoả mãn điều kiện ban đầu như sau:

)0,,(

)0,,,(

y x

z y x

o o

o o

ηη

ϕϕ

Lấy vi phân toàn phần của ηtheo t:

dt

dy y dt

dx x t dt

d

∂

∂+

∂

∂+

z

v dt

dt

dy =

η - độ lệch của sóng so với mặt nước lặng tại thời điểm và vị trí đang xét, là hàm

của thời gian và toạ độ

Hàm thế vận tốc là một hàm khi đạo hàm theo đơn vị chiều dài của chiều nào thì ra

chính vận tốc của chiều đó, vậy ta có:

Z

v z dt

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

10.1.3 Phương trình điều kiện động lực trên mực nước

Phương trình này còn được gọi là phương trình Lagrange

02

∂

z y

x

Vậy có hệ gồm 3 phương trình: phương trình Laplace, phương trình động học và

phương trình động lực

10.2 Lý thuyết sóng tuyến tính (biên độ nhỏ)

10.2.1.Hệ phương trình chuyển động sóng tuyến tính

Đối với sóng lan truyền tại khu vực nước sâu thì chiều cao sóng so với bước sóng

thường nhỏ do đó độ dốc của sóng

x

∂

∂ηkhông lớn, có thể bỏ qua Lý thuyết sóng, trong đó không tính đến độ dốc của sóng và bỏ qua các thành phần tuyến tính, gọi là sóng biên độ

nhỏ

Ngược lại sóng phi tuyến có tính đến độ dốc của sóng còn được gọi là sóng có biên

độ hữu hạn

Xét mô hình phẳng (không có thành phần toạ độ y), biên độ nhỏ và bỏ qua thành

phần phi tuyến trong phương trình động học ta có hệ phương trình:

ηϕ

ηϕ

ϕϕ

g t

t z

z x

∂

∂

⇒

t g z

ϕϕ

∂

ϕ

∂

0tz

g

0zx

2 2 2

2 2

2

(10-8)

Việc giải hệ phương trình thực hiện bằng cách phân tích biến, đặt:

)()()( 2 3

∂

∂+

∂

∂

z x

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕ (do ϕ1ϕ3∉x,ϕ1ϕ2 ∉z)

2 2

"

2 3

ϕ

(vì ϕ2 và ϕ3 là hàm của hai biến độc lập)

ikx ikx

e B e

e B e

e D e

e D e

3

ϕ (loại vì thế vận tốc giảm dần theo độ sâu)

Xét điều kiện biên: 0

e D e

D k

e

e D

D

−

=

2 1

Đặt:

2

2 1

D e D e

e

D D

e

D D

2

2

2 1

2

) ( ) (

3 = D e k z d +e k z d = Dchk z+d

Khi H>>1 thì:

) ( 3

2

d z k

1 2 3

∂

∂+

∂

∂

z

g t

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕ

2 2

2 1

"

ϕ

ϕϕ

4 , 3

2 , 1 2

A

i A A

Khi đó hàm ϕ1 được tính như sau:

t i t

i

e A e

ϕ1 = 1 + 2 − (có dạng dao động điều hòa)

t t

e A e

ϕ1 = 3 + 4 − loại vì khi t→∞ thì ϕ→∞ mà sóng không tăng biên độ

Nghiệm tổng hợp ϕ được xác định:

) sin(

3 ) ( 3 3 2

)cos(

)(1

t kx d

z Fchk g

t kx g

d z Fchk t

g

ωω

ωω

ϕη

−+

)cos(kx t a kx t FchKd

kd kd

e e chkd Fchkd

) (z d kx t chk

chkd

ω

10.2.4 Các đặc trưng cơ bản của sóng

Các đặc trưng cơ bản của sóng bao gồm:

∂

∂

z

g t

ϕϕ

(khi z=0) Thực hiện các phép tính đạo hàm ta được:

) sin(

) (z d kx t chk

chkd

ω

d z chk t kx ga

t

) ( ) sin(

)()sin(

Vậy:

chkd

d z shk t kx a kg chkd

d z chk t kx

)sin(

)()sin(

ω

)(

)(

2

d z chk

d z kgshk

=

( )d gthk

π

Trường hợp nước sâu: d=∞; ≤d

2λ

2

g k

g

ππ

λ

πλ

λ

τ =

10.2.5 Vận tốc và phương trình quỹ đạo phần tử nước

10.2.4.1 Vận tốc:

Xuất phát từ hàm thế của vận tốc:

) sin(

) (z d kx t chk

chkd

ω

Vận tốc theo phương ngang và phương đứng được xác định bằng cách đạo hàm hàm

thế theo phương tương ứng:

) cos(

) (z d kx t chk

chkd

agk x

) (z d kx t shk

chkd

agk z

10.2.4.2 Phương trình quỹ đạo phần tử nước

Đặt giả thiết vị trí đang xét có tọa độ z0, x0 sau một khoảng thời gian phần tử nước

di chuyển được quãng đường:

v x

v z

ωSuy ra:

1 ) (

cos ) (

sin

) (

) ( )

(

) (

0

2 0

2

2 2

0

2 0 2

2 0

2 0

=

− +

kx

chkd

d z gakshk

z z

chkd

d z gakchk

x x

ωω

ω

Đây là phương trình ellipse vậy quỹ đạo của phần tử nước của sóng tuyến tính có

dang ellipse, càng xuống dưới kích thước của ellipse càng nhỏ

10.3 Lý thuyết sóng phi tuyến (biên độ hữu hạn)

Lý thuyết sóng có biên độ hữu hạn (Stokes) còn gọi là sóng bậc cao Lý thuyết sóng

Stokes cho kết quả thoả đáng đối với vùng nước tương đối sâu (d/L>0,1) Lý thuyết sóng

này được Stokes phát triển từ năm 1847 Ý tưởng cơ bản của lý thuyết sóng này là phân

tích phương trình mặt sóng thành chuỗi và xác định các hệ số của chuỗi từ các điều kiện

thoả mãn các phương trình thuỷ động lực học đối với sóng có biên độ hữu hạn

Sóng Stokes biểu diễn hàm thế φ dưới dạng:

( ) 1 H2 ( ) 2 H3 ( ) 3 Hn ( ) n

=

Cấp của sóng được xác định bởi số các số hạng được giữ lại trong chuỗi Như vậy,

sóng biên độ hữu hạn là sóng có cấp >1 Các thông số sóng Stokes theo các cấp được xác

định như sau:

10.3.1 Sóng Stokes bậc 1:

Trong (1.30), nếu giá trị số hạng thứ hai rất nhỏ so với số hạng thứ nhất thì có thể

bỏ qua số hạng thứ hai và các số hạng tiếp theo, hàm thế vận tốc φ chỉ lấy số hạng thứ

nhất, lúc đó hàm và các đặc trưng sóng trùng với kết quả sóng tuyến tính (Airy) φ

d z k ch L

H kT H

t kx shkd

d z k ch T k

H t z

x

ωπ

π

ω

πφ

−

+

=

2sin2

.8

3

sin

,,

chkd L

H H t kx

sh L

H H

coth2

31.4

kd kd

sh L

H H

coth2

31.4

sh

d z k ch L

H T H

t kx shkd

d z k ch T

H x u

ωπ

π

ωπ

φ

−

+ +

4 3

sh

d z k sh L

H T H

t kx shkd

d z k sh T

H z v

ωπ

π

ωπ

φ

−

+ +

4 3

=

kd sinh

ks 2 cosh L

H T k

H 8

3 sin kd sinh

ks cosh T k

H

4

Vận tốc lan truyền: tanh( )kd

k

g k

=

η 2 cosh 2 kd cos 2

kd sinh

kd cosh L

H 8

H cos 2

( )( )kd .( )tsinh

ks 2 cosh L

H 4 H

2 sin kd sinh 2

ks 2 cosh 3 1 kd sinh

1 L

H 8 H

sin kd sinh

ks cosh 2 H

2

2 2

θ

−

= ξ

=

kd sinh

ks 2 sinh L

H 16

H 3 cos kd sinh

ks sinh 2

kd sinh

ks 2 cosh L

H T

H 4

3 cos kd sinh

ks cosh T

H

kd sinh

ks 2 sinh L

H T

H 4

3 sin kd sinh

ks sinh T

H

=

∂

kd sinh

ks 2 cosh L

H T

H 3 sin kd sinh

ks cosh T

H 2 t

u

4 2

2 2

− θ π

ks 2 sinh L

H T

H 3 cos kd sinh

ks sinh T

H 2 t

w

4 2

2 2

1 2 3

1 2

2

1 4

3 2

− θ

+ ρ

=

ks cosh

kd sinh

L

H H g cos kd sinh

ks cosh

kd sinh

L

H H g cos kd cosh

ks cosh H g z g p

Năng lượng trung bình sóng: g H 2( 0[ ]c 4 )

8

1

E = ρ +

10.3.3 Sóng Cnoidal

Lý thuyết sóng Cnoidal thích hợp với vùng nước độ sâu tương đối nhỏ (d/L<0,1), lý

thuyết này được Corteverg và Dephriz đề xuất năm 1985, sau đó có nhiều công trình

nghiên cứu và phát triển thêm

η

η min

MNTBMNLy

k* là thông số tích phân eliptic toàn phần phụ thuộc vào m, các giá trị của m, k*,

được nêu trong bảng (10-2)

3

2/ d

HL

Các yếu tố đặc trưng sóng như số sóng k, tần số vòng ω, chiều dài sóng L và chu

kỳ T liên hệ với nhau theo các biểu thức:

2

*2

=

k

E md

H gdk

Nếu cho trước chiều dài sóng L thì tìm được số sóng k theo (10-32), tần số sóng

và chu kỳ sóng T theo 2 biểu thức trên

Từ (10-30), độ lệch mặt sóng xác định theo biểu thức:

( m cn

Hηmin 2 θ, )

η− =

(10-35) Trong đó:

t

θ = −

Các giá trị bằng số của (10-35) ứng với các giá trị θ,m khác nhau cho trong bảng

(10-3), trường hợp m=1, thì các đại lượng trong bảng sẽ thay đổi tuần hoàn với chu kỳ

2k* Như vậy các giá trị trong bảng ứng với nửa chu kỳ, nếu giá trị của nằm ngoài

miền xét thì thay bằng (2k-θ θ) rồi sử dụng bảng (10-3) để xác định đại lượng θ

(η−ηmin)/H

10.3.3.2 Vận tốc và gia tốc

Lý thuyết sóng Cnoidal thích hợp đối với vùng nước tương đối cạn, khi đó vận tốc

của phần tử chất lỏng theo phương ngang là đặc trưng cơ bản:

V

x x

∂+

H

(10-39)

Trong (10-38): giá trị dương của W, tương ứng với 0≤θ≤k*; giá trị âm của W,

tương ứng với trường hợp k*≤θ≤2.k*

Việc tồn tại nhiều lý thuyết sóng khác nhau dẫn đến yêu cầu phải xác định phạm vi

áp dụng đúng của các lý thuyết Có thể sử dụng phương pháp đánh giá phạm vi áp dụng

các lý thuyết sóng theo sơ đồ của LeMehauté (1976) dựa vào các thông số H/T2 và d/T2

Hình vẽ 10- 3 Phạm vi áp dụng các lý thuyết sóng 10.4 Sóng nước nông

10.4.1 Phương trình cân bằng năng lượng sóng khi lan truyền

Khi sóng lan truyền trên các độ sâu khác nhau ta có năng lượng toàn phần không đổi, từ đó ta có phương trình:

2 2 2 1 1

1u E m a u E m

Trong đó:

ad - khoảng cách giữa các tia sóng;

ud - vận tốc lan truyền năng lượng;

Em - năng lượng trung bình trên một đơn vị chiều dài sóng

Trong trường hợp sóng nước sâu vào nước nông ta có:

md d d

m a u E

a, u, Em- sóng nước nông;

md d

Đặt giả thiết sóng lan truyền theo một phương nào đó, hợp với trục x một góc α

x

y i

Sy

x k a t y x

ωαα

ωαα

η

− +

=

− +

=

sin cos

cos

sin cos

cos ,

,

Gọi , là số sóng theo phương x, y ta có: k x k y

αcos

Như vậy G(x, y, t) là hàm thế của số sóng k: k = grad( )G

Từ điều kiện chuyển động sóng là chuyển động thế, không xoáy nên rot (grad G)=0

k

x y

Mặt khác:

Hệ phương trình sau dùng để giải bài toán khúc xạ:

grad t

k

y

k x

Để đơn giản hoá coi sóng lan truyền theo hướng S là đều theo thời gian và không

thay đổi theo hướng y

10.4.3 Chiều cao sóng nước nông

Kết hợp định luật khúc xạ và phương trình cân bằng dòng năng lượng ta có hệ

phương trình lan truyền sóng vùng nước nông

d d

E u a auE

c

c

α

αsin

' sin

sin '

m

m a u E auE

c

c

α

α

nước nông vào nước nông

Khi tìm các thông số sóng trong hướng lan truyền thì tham số sóng vùng xuất phát

phải biết, thường gọi là tham số sóng khởi điểm Trong vùng sóng lan truyền chu kỳ sóng

T coi như không đổi (thực tế khẳng định)

Xét trường hợp sóng lan truyền từ nước sâu vào nước nông ta có:

λπλπ

d sh

d C

U

4

4 1 2

1

;

π

λ2

2C

C

=λ

π

λλ

ππ

λλ

λ

.2

22

2 2

d

d g

πλ

d C th C

λ

π2

Như vậy CN sẽ xác định được nhờ phép gần đúng dần (lặp)

Xét hai độ sâu và trong vùng nước nông Khi đó ta sẽ có các tham số sóng

tương ứng là và

i

d di+1i

i; c

λ λi+1; ci+1 Do chu kỳ không đổi nên:

i 2 1 i 2 i

λ

i

1 i i

1 iC

C++ =λ

i

1 i

d

1 i d

1 iC

C++

+

=λλλ

λ

⇒

i

1 i Ni

1 N

C

CC

∆ - góc lệnh thêm của tia sóng so với hướng cũ, đại lượng này hoàn toàn xác

định được khi biết αi,CNi,CNi+1

Theo điều kiện bảo toàn năng lượng, ta có: auE m =a d u d E md

Thay giá trị của các đại lượng ta có:

( ) 2 8 2

12

18

14

412

1

d d

a gh d

sh

d c

λπ

λπ

2 2

4

4 1

1 1

4

4 1

1 1

4

4 1 1

d

d N N

N d

d N

d

d d

d

h C

d sh C

d C

a

a

h d sh

d C

a

a

h d sh

d C

C a

a h

=

→

λπ

λπ

λπ

λπ

λπ

λπ

.4

41

=

d N d

N N

t

d C sh d C C

K

λ

πλ

π

(10-46)

Khi đó chiều cao sóng nước nông sẽ là:

d t

r k h k

h - chiều cao sóng nước sâu

Xét trường hợp nước nông vào nước nông ta có:

2

' 8

=

'

' 4

' 4 1 ' 2

1 '

λπλπ

d sh

d C

=

λπλπ

d sh

d C

U

4

4 1 2

2

'C

C' =

λ

λ

Nên:

( ) (2 ' ')

2''

2

λπ

λπλ

λλ

λ

d th

d th

2

'

λπλ

πλ

λ

d th

d th

'

λ

πλ

π

N N

C

d th

d th

Công thức này dùng để xác định bằng phương pháp lặp khi biết các giá trị

'

NC,

' 4 '

' 4 1 ' 2

1 ' 8

1 4

4 1 2

1

gh d

sh

d C

a gh d

sh

d C

λπλ

πρ

λπλπ

2 1

1

2 1

1 2

' '

4

'

4 1

'

' 4 '

' 4 1 1 '

' 4

.

4 1

'

' 4 '

' 4 1 ' '

h c

d sh

C d

d sh d C

a

a

h d sh

d

d sh d C

C a

a h

N N

π

λ

πλ

π

λ

πλ

π

λ

πλ

π

''' k h k

2 1

'

'4

'

'41'

'4'

'41'

=

λ

πλ

πλ

πλ

π

N N

N t

C

d sh

C

d C

d sh d

Hai công thức h=k r.k t.hd và h=k'r.k't.h'; λ =CN.λd; λ=CN.λ' dùng để xác định chiều cao sóng khúc xạ khi biết thông số sóng khởi điểm

10.5 Sóng nhiễu xạ

Hiện tượng nhiễu xạ xảy ra khi sóng tiếp cận với công trình có kích thước đáng kể

so với chiều dài sóng Trường hợp này sóng không dội lại hoàn toàn mà chỉ dội lại một phần, thường xẩy ra tại các đê chắn sóng, mố cầu, mố trụ dàn khoan bê tông, hoặc các cửa ra vào của cảng

Hình vẽ 10- 5 Sóng nhiễu xạ qua 1 đê và 2 đê

Năng lượng qua các mặt cắt sóng có hiện tượng nhiễu xạ rất khác nhau Ta xét bài toán ba chiều theo x, y, z do chuyển động của sóng là chuyển động thế nên bỏ qua xoáy

Ta xét hàm thế vận tốc thoả mãn điều kiện:

-φ thoả mãn các điều kiện trên mặt tự do và đáy khu nước giống như trong hệ phương trình chuyển động sóng

-φ thoả mãn tính liên tục của sóng nhiễu xạ và sóng từ ngoài khơi đưa vào

trên mặt đáy và mặt công trình

Thực hiện phép tách biến hàm thế φ ta có: ( ) ( ) iwt

e y x u z

=φThay vào phương trình Laplace ta có:

0

2 2

2 2

2

=

∂

∂+

∂

∂

z

P u y

u x

u P

⇒ 1 22 22 1 22

z

P P y

u x

∂

∂

Do hai vế là các biểu thức chứa các biến độc lập nhau nên ta có:

const k

z

P P y

u x

∂

2

2 2

2 2

∂

∂

P k z

P

u k y

u x

u

2 2

2

2 2

2 2

2

⇒

0

0

2 2 2

2

2 2

2 2

P k z P

y x u

k u

d z k ch w

ga z

Cũn phương trỡnh cần giải bằng phương phỏp số khụng cú lời giải giải

tớch trong trường hợp tổng quỏt Trong trường hợp tớnh toỏn đờ chắn súng cho bể cảng

người ta dựng cỏc cụng thức thực nghiệm hoặc thớ nghiệm trờn mụ hỡnh vật lý Hệ số

nhiễu xạ được xỏc định theo cụng thức:

0

2 = +

Trong trường hợp đờ chắn súng nằm độc lập trong trường súng thỡ hệ số nhiễu xạ

được xỏc định theo cụng thức:

k -Hệ số nhiễu xạ của đầu phải

(được xỏc định như 1 đờ)

sóng tới

đê độc lập

Hỡnh vẽ 10- 6 Đờ chắn súng độc lập

Khi súng nhiễu xạ trong vựng kớn như bể cảng thỡ cần phải xột đến hiện tượng phản

xạ Chiều cao súng trong bể cảng khi cú tớnh đến nhiễu xạ và phản xạ xỏc định như sau:

( dif uf ) i r

0

0 = ≈ thì sóng sẽ đổ

H0 - chiều cao sóng nước sâu;

L0 - chiều dài sóng nước sâu

15 1 5 , 1 exp 1 17 ,

L

d L

b

b b

L

Hd

.kth

14

,

d - độ sâu khi sóng đổ, khi sóng đổ lần đầu d =d b;

L0- chiều dài sóng nước sâu;

10.5.1 Khái niệm chung

Các lý thuyết sóng Airy, Stokes, Cnoidal đều xuất phát trên cơ sở xem chuyển động

của sóng là chuyển động điều hòa, có chu kỳ, gồm nhiều song riêng biệt giống nhau

Trong thực tế, sóng biển là một trường ngẫu nhiên, phụ thuộc vào không gian và thời

gian, phụ thuộc vào các yếu tố môi trường như tốc độ gió, đà gió, thời gian gió thổi, áp

suất, chiều sâu nước, các đặc trưng của đáy biển và bề mặt đại dương cũng như nhiều yếu

tố khác Như vậy sóng biển mang tính địa phương rõ rệt

Do cơ chế tạo thành sóng phức tạp nên việc mô tả đúng đắn, chính xác các thông số

đặc trưng sóng đã được quan tâm nghiên cứu về lý thuyết và thực nghiệm Trong thực tế,

có thể mô tả sóng biển theo các phương pháp sau:

- Coi mặt sóng biển là tổ hợp của nhiều sóng riêng biệt rời rạc, mỗi sóng riêng biệt

ấy được đặc trưng bằng chiều cao sóng H, chu kỳ sóng T và pha sóng khác nhau (hình

3,44) Như vậy có thể mô tả sóng ngẫu nhiên không điều hòa bằng tổ hợp tuyến tính một

số lượng lớn các sóng điều hòa thành phần Các sóng điều hòa thành phần này có biên độ,

tần số, góc pha và hướng khác nhau

- Mặt sóng biển được mô tả bằng các đặc trưng thống kê của chiều cao sóng Hình 3.45 là ví dụ một bản ghi dao động chiều cao sóng theo thời gian Số liệu quan trắc thực

tế cho thấy tung độ của mặt sóng biển (độ chênh mặt sóng so với mực nước tĩnh) biến đổi ngẫu nhiên theo không gian và thời gian, ký hiệu η(x,y,t)và thường được mô tả bằng mô hình xác suất

Trong cả hai phương pháp trên, việc tính toán các thông số động học sóng như quỹ đạo chuyển động, vận tốc, gia tốc của phần tử nước trong chuyển động sóng đều dựa trên các lý thuyết sóng đã nêu ở phần trước

- Phương pháp sóng thiết kế: mô tả các thông số sóng theo các tần suất đảm bảo, phù hợp với quy định trong quy phạm hay tiêu chuẩn thiết kế công trình biển, mục đích là xác định các giá trị trưng bình cực trị theo các giá trị xác xuất i%

kê của trạng thái biển ngắn hạn bao gồm:

- Chu kỳ cắt không Tz là giá trị trung bình của các chu kỳ sóng biệt chỉ ra trên hình 3.44 Các chu kỳ này được tính ở các điểm ở các điểm mặt sóng cắt đường trung bình )

0

(η= theo chiều đi lên (độ dốc mặt sóng tương đương)