Chương 10: Lý thuyết sóng

Tài liệu cho sinh viên chuyên ngành công trình thủy

- Sóng do dao động của nền; - Sóng thuỷ triều

Trong các yếu tố trên ta chỉ xét sóng do gió là chủ yếu Sóng do gió còn được gọi là sóng trọng lực (sóng dao động do trọng lượng bản thân) Trong lý thuyết sóng, chất lỏng được coi như là chất lỏng lý tưởng, dòng chảy được coi là dòng chảy thế (là dòng chảy không có xoáy)

Chất lỏng trong lý thuyết sóng được coi là chất lỏng lý tưởng vì trên thực tế cho thấy sóng lan truyền ở khu vực nước sâu có thể đi xa hàng trăm km mà hình dạng ít thay đổi hoặc không thay đổi

Khi sóng lan truyền ở vùng nước sâu thì chiều cao của sóng so với chiều dài của sóng là tương đối nhỏ (

nhỏ) khi đó có thể áp dụng lý thuyết sóng tuyến tính biên độ nhỏ

zV =zV(x,y,z)

Hình vẽ 10- 1 Sơ đồ tính toán sóng 10.1 Hệ phương trình chuyển động của sóng

10.1.1 Phương trình Laplace:

(10-2)

10.1.2 Phương trình điều kiện động học trên mặt nước

Lấy vi phân toàn phần của ηtheo t:

(10-3) Với:

=η ;

dtdy =

η - độ lệch của sóng so với mặt nước lặng tại thời điểm và vị trí đang xét, là hàm của thời gian và toạ độ

Hàm thế vận tốc là một hàm khi đạo hàm theo đơn vị chiều dài của chiều nào thì ra chính vận tốc của chiều đó, vậy ta có:

=∂∂= ϕ

=∂∂= ϕ

∂∂= ϕ→

∂ϕ η η ϕ η ϕ

(10-4) Phương trình trên là điều kiện động học khi z=η

10.1.3 Phương trình điều kiện động lực trên mực nước

Phương trình này còn được gọi là phương trình Lagrange

Vậy có hệ gồm 3 phương trình: phương trình Laplace, phương trình động học và phương trình động lực

10.2 Lý thuyết sóng tuyến tính (biên độ nhỏ)

10.2.1.Hệ phương trình chuyển động sóng tuyến tính

Đối với sóng lan truyền tại khu vực nước sâu thì chiều cao sóng so với bước sóng thường nhỏ do đó độ dốc của sóng

không lớn, có thể bỏ qua Lý thuyết sóng, trong đó không tính đến độ dốc của sóng và bỏ qua các thành phần tuyến tính, gọi là sóng biên độ nhỏ

Ngược lại sóng phi tuyến có tính đến độ dốc của sóng còn được gọi là sóng có biên độ hữu hạn

Xét mô hình phẳng (không có thành phần toạ độ y), biên độ nhỏ và bỏ qua thành phần phi tuyến trong phương trình động học ta có hệ phương trình:

(10-6)

10.2.2 Hàm thế vận tốc

Từ phương trình thứ 3 của (10-6) suy ra:

Kết hợp với phương trình 2 của(10-6):

(10-7) Hệ phương trình chuyển động sóng trở thành:

(10-8)

Việc giải hệ phương trình thực hiện bằng cách phân tích biến, đặt: )

( 2 3

1 t ϕ x ϕ z

ϕϕ =

Thay vào phương trình Laplace ta có: 0

ϕ (do ϕ1ϕ3∉x,ϕ1ϕ2 ∉z)

(vì ϕ2 và ϕ3 là hàm của hai biến độc lập)

khi z= -d

3 =∂∂

0)( 1 − 2 =

Đặt:

3= Dekzd +ekzd = Dchkz+d

Khi H>>1 thì:

Thay ϕ =ϕ1(t)ϕ2(x)ϕ3(z) vào phương trình 2 của (10-8) ta có: 0

1 ±ω ϕ =

Gọi A là nghiệm của phương trình đặc trưng:

Khi đó hàm ϕ1 được tính như sau:

ϕ1 = 1 + 2 − (có dạng dao động điều hòa)

ϕ1 = 3 + 4 − loại vì khi t→∞ thì ϕ→∞ mà sóng không tăng biên độ Nghiệm tổng hợp ϕ được xác định:

3)(332

F =const; ω- tần số; k - số sóng

10.2.3 Phương trình dao động sóng

Dao động bề mặt sóng được xác định theo công thức:

(10-14)

Với z =0 ta có phương trình dao động sóng: )cos(

Thay giá trị F vào hàm thế ta có: )sin(

10.2.4 Các đặc trưng cơ bản của sóng

Các đặc trưng cơ bản của sóng bao gồm: c- vận tốc lan truyền sóng;

k - số sóng; τ - chu kỳ sóng; ω - tần số dao động

Mối liên quan giữa các đại lượng đó như sau:

Để xác định ω ta thay hàm thế vào phương trình sau: 0

(khi z=0)

Thực hiện các phép tính đạo hàm ta được: )

ω

Mặt khác:

Vậy:

( )dkgthk

( )dgthk

Trường hợp nước sâu: d=∞; ≤d

πλτ = 2

Trường hợp nước rất nông ≤1λ

λπω = 2

λτ =

10.2.5 Vận tốc và phương trình quỹ đạo phần tử nước

10.2.4.1 Vận tốc:

Xuất phát từ hàm thế của vận tốc: )sin(

10.2.4.2 Phương trình quỹ đạo phần tử nước

Đặt giả thiết vị trí đang xét có tọa độ z0, x0 sau một khoảng thời gian phần tử nước di chuyển được quãng đường:

− 0 2 chk(z0 d)sin(kx0 t)

ωSuy ra:

Đây là phương trình ellipse vậy quỹ đạo của phần tử nước của sóng tuyến tính có dang ellipse, càng xuống dưới kích thước của ellipse càng nhỏ

10.3 Lý thuyết sóng phi tuyến (biên độ hữu hạn)

Lý thuyết sóng có biên độ hữu hạn (Stokes) còn gọi là sóng bậc cao Lý thuyết sóng Stokes cho kết quả thoả đáng đối với vùng nước tương đối sâu (d/L>0,1) Lý thuyết sóng này được Stokes phát triển từ năm 1847 Ý tưởng cơ bản của lý thuyết sóng này là phân tích phương trình mặt sóng thành chuỗi và xác định các hệ số của chuỗi từ các điều kiện thoả mãn các phương trình thuỷ động lực học đối với sóng có biên độ hữu hạn

Sóng Stokes biểu diễn hàm thế φ dưới dạng:

( )1 H2 ( )2 H3 ( )3 Hn ( )n.

10.3.1 Sóng Stokes bậc 1:

Trong (1.30), nếu giá trị số hạng thứ hai rất nhỏ so với số hạng thứ nhất thì có thể bỏ qua số hạng thứ hai và các số hạng tiếp theo, hàm thế vận tốc φ chỉ lấy số hạng thứ nhất, lúc đó hàm và các đặc trưng sóng trùng với kết quả sóng tuyến tính (Airy) φ

Với đỉnh sóng và bụng sóng xác định theo biểu thức:

⎝⎛ ++

⎝⎛ ++

Vận tốc lan truyền: .tanh( )kdk

gkc2=ω22 =

⎟⎠⎞⎜⎝⎛ π+θ=

Chuyển dịch phần tử nước theo phương ngang:

( )( )

( )( )kd .( )tsinh

⎠⎞⎜⎝⎛ π+

⎣⎡ −⎟

⎠⎞⎜⎝⎛ π+

Chuyển dịch phần tử nước theo phương đứng:

( )

⎞⎜⎝⎛ π+θ=

Vận tốc phần tử nước theo phương ngang:

( )

⎞⎜⎝⎛ ππ+θπ

H.

Vận tốc phần tử nước theo phương đứng:

( )

⎞⎜⎝⎛ ππ+θπ

⎟⎠⎞⎜⎝⎛ πρ−θ⎥⎦⎤⎢

⎟⎠⎞⎜⎝⎛ πρ+θρ

Năng lượng trung bình sóng: g.H2( 0[ ]c4 )

10.3.3 Sóng Cnoidal

Lý thuyết sóng Cnoidal thích hợp với vùng nước độ sâu tương đối nhỏ (d/L<0,1), lý thuyết này được Corteverg và Dephriz đề xuất năm 1985, sau đó có nhiều công trình nghiên cứu và phát triển thêm

cn - hàm eliptic Jacobien với môđun m (0≤m≥1)

k* là thông số tích phân eliptic toàn phần phụ thuộc vào m, các giá trị của m, k*, được nêu trong bảng (10-2)

32/ d

HL

Các yếu tố đặc trưng sóng như số sóng k, tần số vòng ω, chiều dài sóng L và chu kỳ T liên hệ với nhau theo các biểu thức:

Lkk =2*;

Tk *

⎝⎛ −+

Từ (10-30), độ lệch mặt sóng xác định theo biểu thức:

( mcnHηmin2 θ, )

η− =

(10-35) Trong đó:

(η−ηmin)/H

Từ biểu thức trên, gia tốc theo phương ngang xác định theo biểu thức:

Dùng các phép biến đổi tương ứng với các hàm eliptic nhận được:

Trong đó:

C- vận tốc truyền sóng: C =ω/k

(10-39) Trong (10-38): giá trị dương của W, tương ứng với 0≤θ≤k*; giá trị âm của W,

tương ứng với trường hợp k*≤θ≤2.k* 10.3.3.3 Áp suất

Áp suất ở độ cao z so với đáy biển (sinh ra do sóng và áp lực thuỷ tĩnh) được xác định theo công thức:

10.3.4 Phạm vi sử dụng các lý thuyết sóng

Việc tồn tại nhiều lý thuyết sóng khác nhau dẫn đến yêu cầu phải xác định phạm vi áp dụng đúng của các lý thuyết Có thể sử dụng phương pháp đánh giá phạm vi áp dụng các lý thuyết sóng theo sơ đồ của LeMehauté (1976) dựa vào các thông số H/T2 và d/T2

Hình vẽ 10- 3 Phạm vi áp dụng các lý thuyết sóng 10.4 Sóng nước nông

10.4.1 Phương trình cân bằng năng lượng sóng khi lan truyền

Khi sóng lan truyền trên các độ sâu khác nhau ta có năng lượng toàn phần không đổi, từ đó ta có phương trình:

a, u, Em- sóng nước nông; md

dd,u ,E

Đặt giả thiết sóng lan truyền theo một phương nào đó, hợp với trục x một góc α

η = cos −Trong đó:

Gọi , là số sóng theo phương x, y ta có: kxky

(xyt) kkt

Khi đó:

∂∂= ;

∂∂= ;

Như vậy G(x, y, t) là hàm thế của số sóng k: k = grad( )G

Từ điều kiện chuyển động sóng là chuyển động thế, không xoáy nên rot (grad G)=0

Mặt khác:

() ⎟⎠⎞⎜⎝⎛

Thay k=grad G ; =−ω∂∂

Hệ phương trình sau dùng để giải bài toán khúc xạ:

Để đơn giản hoá coi sóng lan truyền theo hướng S là đều theo thời gian và không thay đổi theo hướng y

; =0∂∂

Thay vào hệ trên ta có: gradω=0 và =0∂∂

→ω=const; ky =const

Hay:

ky =sinα =ωsinα =Suy ra:

constcα =sin

(10-41) Đây chính là định luật khúc xạ Snell

10.4.3 Chiều cao sóng nước nông

Kết hợp định luật khúc xạ và phương trình cân bằng dòng năng lượng ta có hệ phương trình lan truyền sóng vùng nước nông

nước sâu vào nước nông

nước nông vào nước nông

Khi tìm các thông số sóng trong hướng lan truyền thì tham số sóng vùng xuất phát phải biết, thường gọi là tham số sóng khởi điểm Trong vùng sóng lan truyền chu kỳ sóng T coi như không đổi (thực tế khẳng định)

Xét trường hợp sóng lan truyền từ nước sâu vào nước nông ta có:

21= ;

λλ= ,

Mặt khác:

TC= → λ

ddd CTC

dd C

(10-42)

Như vậy CN sẽ xác định được nhờ phép gần đúng dần (lặp)

Xét hai độ sâu và trong vùng nước nông Khi đó ta sẽ có các tham số sóng tương ứng là và

d di+1i

i; c

λ λi+1; ci+1 Do chu kỳ không đổi nên:

CC ++ =λ

CC++ =λ

⇒

Trong đó: i

α - góc hợp của tia sóng với pháp tuyến của đường đồng mức i

∆ - góc lệnh thêm của tia sóng so với hướng cũ, đại lượng này hoàn toàn xác định được khi biết αi,CNi,CNi+1

Theo điều kiện bảo toàn năng lượng, ta có: auEm =adudEmd

Thay giá trị của các đại lượng ta có:

() 2 8 21218

Đặt:

(10-46)

Khi đó chiều cao sóng nước nông sẽ là:

h - chiều cao sóng nước sâu

Xét trường hợp nước nông vào nước nông ta có:

C' =λ

Nên:

()(2 ' ')

Đặt:

Độ lệch của tia khúc xạ sóng do khúc xạ xác định theo công thức:

''' khk

dshd

Hai công thức h=kr.kt.hd và h=k'r.k't.h'; λ =CN.λd; λ=CN.λ' dùng để xác định chiều cao sóng khúc xạ khi biết thông số sóng khởi điểm

10.5 Sóng nhiễu xạ

Hiện tượng nhiễu xạ xảy ra khi sóng tiếp cận với công trình có kích thước đáng kể so với chiều dài sóng Trường hợp này sóng không dội lại hoàn toàn mà chỉ dội lại một phần, thường xẩy ra tại các đê chắn sóng, mố cầu, mố trụ dàn khoan bê tông, hoặc các cửa ra vào của cảng

Hình vẽ 10- 5 Sóng nhiễu xạ qua 1 đê và 2 đê

Năng lượng qua các mặt cắt sóng có hiện tượng nhiễu xạ rất khác nhau Ta xét bài toán ba chiều theo x, y, z do chuyển động của sóng là chuyển động thế nên bỏ qua xoáy Ta xét hàm thế vận tốc thoả mãn điều kiện:

-φ thoả mãn các điều kiện trên mặt tự do và đáy khu nước giống như trong hệ phương trình chuyển động sóng

-φ thoả mãn tính liên tục của sóng nhiễu xạ và sóng từ ngoài khơi đưa vào

n =∂

trên mặt đáy và mặt công trình

Thực hiện phép tách biến hàm thế φ ta có: ( ) ( ) iwt

=φThay vào phương trình Laplace ta có:

⇒ 1 22 22 1 22

Do hai vế là các biểu thức chứa các biến độc lập nhau nên ta có:

Suy ra hệ phương trình:

22222

Còn phương trình cần giải bằng phương pháp số không có lời giải giải tích trong trường hợp tổng quát Trong trường hợp tính toán đê chắn sóng cho bể cảng người ta dùng các công thức thực nghiệm hoặc thí nghiệm trên mô hình vật lý Hệ số nhiễu xạ được xác định theo công thức:

h - Chiều cao sóng nhiễu xạ tính đến phản xạ;

k - Hệ số nhiễu xạ tại điểm đang xét;

k - Hệ số phản xạ cũng tại điểm đó; i

h - Chiều cao sóng tới

thì sóng đổ Công thức thực nghiệm như sau:

d - độ sâu khi sóng đổ, khi sóng đổ lần đầu d =db; L0- chiều dài sóng nước sâu;

Lb- nước nông vỡ; i- độ dốc đáy;

Hb- chiều cao sóng đổ; db - độ sâu sóng đổ lần đầu

10.7 Lý thuyết sóng thực

10.5.1 Khái niệm chung

Các lý thuyết sóng Airy, Stokes, Cnoidal đều xuất phát trên cơ sở xem chuyển động của sóng là chuyển động điều hòa, có chu kỳ, gồm nhiều song riêng biệt giống nhau Trong thực tế, sóng biển là một trường ngẫu nhiên, phụ thuộc vào không gian và thời gian, phụ thuộc vào các yếu tố môi trường như tốc độ gió, đà gió, thời gian gió thổi, áp suất, chiều sâu nước, các đặc trưng của đáy biển và bề mặt đại dương cũng như nhiều yếu tố khác Như vậy sóng biển mang tính địa phương rõ rệt

Do cơ chế tạo thành sóng phức tạp nên việc mô tả đúng đắn, chính xác các thông số đặc trưng sóng đã được quan tâm nghiên cứu về lý thuyết và thực nghiệm Trong thực tế, có thể mô tả sóng biển theo các phương pháp sau:

- Coi mặt sóng biển là tổ hợp của nhiều sóng riêng biệt rời rạc, mỗi sóng riêng biệt ấy được đặc trưng bằng chiều cao sóng H, chu kỳ sóng T và pha sóng khác nhau (hình 3,44) Như vậy có thể mô tả sóng ngẫu nhiên không điều hòa bằng tổ hợp tuyến tính một số lượng lớn các sóng điều hòa thành phần Các sóng điều hòa thành phần này có biên độ, tần số, góc pha và hướng khác nhau

- Mặt sóng biển được mô tả bằng các đặc trưng thống kê của chiều cao sóng Hình 3.45 là ví dụ một bản ghi dao động chiều cao sóng theo thời gian Số liệu quan trắc thực tế cho thấy tung độ của mặt sóng biển (độ chênh mặt sóng so với mực nước tĩnh) biến đổi ngẫu nhiên theo không gian và thời gian, ký hiệu η(x,y,t)và thường được mô tả bằng mô hình xác suất

Trong cả hai phương pháp trên, việc tính toán các thông số động học sóng như quỹ đạo chuyển động, vận tốc, gia tốc của phần tử nước trong chuyển động sóng đều dựa trên các lý thuyết sóng đã nêu ở phần trước

- Phương pháp sóng thiết kế: mô tả các thông số sóng theo các tần suất đảm bảo, phù hợp với quy định trong quy phạm hay tiêu chuẩn thiết kế công trình biển, mục đích là xác định các giá trị trưng bình cực trị theo các giá trị xác xuất i%

- Chu kỳ cắt không Tz là giá trị trung bình của các chu kỳ sóng biệt chỉ ra trên hình 3.44 Các chu kỳ này được tính ở các điểm ở các điểm mặt sóng cắt đường trung bình

(η= theo chiều đi lên (độ dốc mặt sóng tương đương)

- Chiều cao sóng đáng kể HS được định nghĩa là giá trị trung bình của một phần ba số sóng có chiều cao lớn nhất trong tổng số các sóng thống kê trong một bản ghi sóng

- Hướng truyền sóngθ là hướng truyền nhiều năng lượng nhất

Như vậy, để mô tả trường ngẫu nhiên η(x,y,t) của trạng thái biển ngắn hạn, thường sử dụng bộ thông số đầy đủ các giá trị HS, TZ, và θ , thường ký hiệu q(HS,TZ,θ)

10.5.2.2 Trạng thái biển dài hạn

Là tập hợp các trạng thái biển ngắn hạn trong một thời gian dài (một vài năm) thể hiện qua các bộ thông số q(HS,TZ,θ) của các trạng thái biển ngắn hạn khác nhau trong vùng biển xem xét Trạng thái biển dài hạn thường mô tả theo các hàm phân phối xác suất dài hạn của các thông số sóng như chiều cao sóng, chu kỳ sóng và hướng sóng

10.5.3 Các đặc trưng thống kê của trạng thái biển ngắn hạn

10.5.3.1 Phổ sóng

Mô tả lý thuyết chuyển động sóng bề mặt η(t)

Các thông số sóng trong phạm vi miền có bão có giá trị lớn và rất khác nhau so với sóng do bão tạo nên (sóng lừng) Các kích động của sóng truyền từ các vùng khác nhau trong miền có bão là không đồng pha và là động lực gây ra sự biến đổi ngẫu nhiên của độ lệch mặt nước η Sự biến đổi này được mô tả như tổng vô hạn các sóng điều hòa với các độ lệch pha ngẫu nhiên:

5,0Trong đó:

Si - hàm của tần số có tên gọi là phổ biên độ sóng hay là phổ năng lượng sóng, được viết dưới dạng Sηη(ω)

Độ lệch mặt sóng được mô tả theo quá trình ngẫu nhiên đã nêu có các thành phần được coi là độc lập theo nghĩa thống kê nên có thể áp dụng lý thuyết giới hạn trung tâm

và có thể coi rằng luật phân bố trong không gian và theo thời gian tuân theo luật Gauss, do vậy hàm mật độ xác suất có thể viết dưới dạng:

η gia tốc chuyển động của các phần tử nước 10.5.3.2 Mô tả chiều cao sóng thực

Chiều cao sóng H được xem như đại lượng ngẫu nhiên có phổ dải hẹp hoặc dải rộng:

- Trường hợp phổ dải hẹp: các gia trị cực đại của độ lệch mặt sóng trên mực nước tĩnh (ηmax) hoặc chiều cao sóng H tuân theo luật phân bố Rayleigh:

(10-58)

=∞∫HpHdH

Chiều cao sóng đáng kể HS được xác định theo công thức: η

σ44 0 =

Liên hệ trên dựa trên phân bố Rayleigh và dựa trên giả thiết rằng quá trình là dải hẹp Bình phương chu kỳ sóng cũng tuân theo phân bố Rayleigh, vì vậy có thể viết:

(10-63) Với:

τ - thời gian của bản ghi trạng thái biển (ví dụ thời gian một cơn bão), tính bằng giây;

Tm – thời gian trung bình giữa các giá trị cực đại (ηmax) kế tiếp nhau, có quan hệ với T0 – chu kỳ của các điểm cắt không (η =0) theo biểu thức:

Trong đó: n% - mức bảo đảm chiều cao sóng

Chiều cao sóng có mức bảo đảm n% ký hiệu Hn%, có thể đựoc xác định theo công thức: