luận văn thạc sĩ lý thuyết sóng nhỏ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ THỦY LÝ THUYẾT SÓNG NHỎ Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN MINH THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn iii Mở đầu 1 1 Nhập môn lý thuyết sóng nhỏ 2 1.1 Sự cục bộ hóa tần số thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Các phép biến đổi sóng nhỏ: Sự giống nhau và khác nhau với các biến đổi Fourier dạng cửa sổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Các loại biến đổi sóng nhỏ khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Biến đổi sóng nhỏ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Các khung biến đổi sóng nhỏ dư nhưng riêng biệt . . . . . 9 1.3.3 Các cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn: Phân tích đa phân giải . . 12 1.4 Tín hiệu và khôi phục tín hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.1 Tín hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.2 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.3 Xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 Ứng dụng của wavelets vào xử lý ảnh 37 2.1 Phân loại các kỹ thuật nén. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.1 Nén tổn hao và không tổn hao: . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.2 Mã hóa dự đoán và mã hóa dựa trên phép biến đổi: . . . 39 2.1.3 Mã hóa băng con: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2 Tiêu chuẩn đánh giá chất lượng mã hóa ảnh. . . . . . . . . . . . . 39 2.3 Chuẩn nén ảnh tĩnh dựa trên biến đổi sóng nhỏ - JPEG2000. . . . 40 2.3.1 Lịch sử ra đời và phát triển chuẩn JPEG2000: . . . . . . . 40 i 2.3.2 Các tính năng của JPEG2000: . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.3 Các bước thực hiện nén ảnh theo chuẩn JPEG2000: . . . 41 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 ii Lời cảm ơn Trong suốt quá trình làm luận văn, tác giả luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ của TS. Nguyễn Văn Minh. Thầy đã giành nhiều thời gian chỉ bảo rất tận tình hướng dẫn và giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy và kính chúc thầy luôn luôn mạnh khỏe. Tác giả cũng xin cảm ơn các quý thầy, cô khoa Toán - Tin, viện Toán học, phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2012 - 2014, lời cảm ơn sâu sắc nhất về công lao dạy dỗ mang đến cho tôi nhiều kiến thức bổ ích không chỉ trong khoa học mà còn cả trong cuộc sống. Tác giả xin chân thành cảm ơn các anh chị em học viên lớp Cao học toán K6 và bạn bè đồng môn đã giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và trong quá trình hoàn thiện luận văn thạc sĩ. Cuối cùng, con xin cảm ơn bố mẹ. Nhờ có bố mẹ không quản gian khó, vất vả sớm khuya nhưng vẫn tạo mọi điều kiện tốt nhất để con có được thành quả ngày hôm nay. Thái Nguyên, tháng 8 - 2014 Người Viết Luận Văn Đỗ Thị Thủy iii Mở đầu Lý thuyết sóng nhỏ là môn khoa học phát triển gần đây trong ngành toán học ứng dụng. Tên của chúng đã được ra đời cách đây gần 3 thập kỷ (Morlet, Arens, Fourgeau và Giard (1982), Morlet (1983), Grossmann và Morlet (1984)). Trong 30 năm qua, từ khi ra đời sóng nhỏ đã thu hút đươc nhiều sự chú ý và đã có bước phát triển nhanh chóng. Có một số lý do dẫn đến sự thành công hiện tại của chúng. Một mặt, khái niệm về những sóng nhỏ có thể được xem xét như là một sự tổng hợp của những ý tưởng mà được bắt nguồn trong suốt khoảng thời gian qua trong ngành kỹ thuật (subband coding), vật lý (tình trạng gắn kết, nhóm renormalization) và ngành toán học (nghiên cứu của toán từ Calderón - Zygmund). Là kết quả của những nguồn gốc liên quan đến những lĩnh vực học thuật, sóng nhỏ thu hút nhiều nhà khoa học và các kỹ sư ở nhiều lĩnh vực khác nhau. Mặt khác, sóng nhỏ là công cụ toán học khá đơn giản mà có nhiều ứng dụng có thể. Sóng nhỏ đã có những ứng dụng lý thú trong xử lý tín hiệu. Mục đích của đề tài luận văn nhằm tìm hiểu và giới thiệu về lý thuyết sóng nhỏ và ứng dụng của nó. Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 trình bày và giới thiệu về một cái nhìn tổng quan của các khía cạnh biến đổi của sóng nhỏ như là: Sự cục bộ hóa tần số thời gian; các biến đổi về sóng; các loại biến đổi sóng nhỏ khác nhau; tín hiệu và khôi phục tín hiệu. Chương 2 trình bày ứng dụng của wavelets vào xử lý ảnh. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2014 Học viên Đỗ Thị Thủy 1 Chương 1 Nhập môn lý thuyết sóng nhỏ Các phép biến đổi wavelet (sóng nhỏ) là công cụ chia nhỏ số liệu, hàm số hoặc toán tử thành các phần khác nhau sau đó nghiên cứu mỗi thành phần với một độ phân giải phù hợp với quy mô của nó. Tiền thân của kỹ thuật này đã được phát minh một cách độc lập trong toán học thuần túy (Nhận biết độ phân giải của Calderón trong phân tích hàm điều hoà - xem ví dụ, Caderón (1964)), vật lý học (trạng thái nhất quán của (ax + b) - nhóm trong cơ học lượng tử, lần đầu tiên được xây dựng bởi Aslaksen và Klauder (1968) và liên kết với nguyên tử hidrô Hamilton bởi Paul (1985)) và kỹ thuật (phục hồi lại bộ lọc QMF bởi Esteban và Galland (1977) và sau đó bộ lọc QMF với tính chất được phục hồi chính xác bởi Smith và Barnwell (1986), Veterli (1986) trong kỹ thuật điện, sóng nhỏ đã được đề xuất để phân tích các dữ liệu địa chấn bởi J.Morlet (1983)). Nhiều năm qua đã cho thấy một sự tổng hợp giữa tất cả các phương pháp khác nhau được coi là tiềm năng cho tất cả các lĩnh vực liên quan đến nó. Chúng ta hãy xem xét trong khuôn khổ phân tích tín hiệu. Các phép biến đổi sóng nhỏ của một tín hiệu phát triển bằng thời gian (VD: Các biên độ áp lực lên màng nhĩ, các ứng dụng cho âm thanh) phụ thuộc vào hai biến: Thang (hoặc thang tần số) và thời gian. Các sóng nhỏ cung cấp một công cụ cho sự khoanh vùng tần số thời gian. Phần đầu cho chúng ta biết sự khoanh vùng tần số thời gian nghĩa là gì và lý do tại sao nó lại được quan tâm. Các phần còn lại mô tả các dạng khác nhau của các sóng nhỏ. 2 1.1 Sự cục bộ hóa tần số thời gian Trong nhiều ứng dụng tín hiệu f (t) đã được đưa ra (quan sát chúng, ta giả định t là một biến liên tục) là mối quan tâm về dung lượng khoanh vùng tần số thời gian. Điều này cũng tương tự như ký hiệu âm nhạc. Ví dụ: Nó nói cho các nhạc công biết nốt nhạc nào (bằng thông tin tần số) để chơi vào thời điểm nào đó. Tiêu chuẩn biến đổi Fourier: (F f) (ω) = 1 √ 2π  dte −iωt f (t), cũng biểu diễn dung lượng tần số f, những thông tin liên quan đến sự khoanh vùng thời gian, ví dụ: Những vụ nổ có tần số cao không thể được đọc ra dễ dàng từ F f, sự khoanh vùng thời gian có thể đạt được bằng việc thiết lập cửa sổ đầu tiên của tín hiệu f, để cắt những lát đã được định vị rõ của f và sau đó dùng biến đổi Fourier:  T win f  (ω, t) =  dsf (s) g (s −t) e −tωs . (1.1) Đây là sự biến đổi Fourier dạng cửa sổ, đó là kỹ thuật chuẩn cho sự khoanh vùng tần số thời gian. 1 Nó thậm chí còn quen thuộc hơn với các phân tích tín hiệu trong phiên bản riêng biệt của nó, trong đó t và ω được gán các giá trị không gian chính quy (giá trị khoảng trống đều đặn) t = nt 0 , ω = mω 0 , trong đó m, n trên miền Z và ω 0 , t 0 > 0 được cố định. Vậy (1.1) trở thành: T win m,n (f) =  dsf(s)g(s −nt 0 )e −imω 0 s . (1.2) Phương pháp này được minh họa trong hình 1.1: n cố định T win m,n (f) tương ứng với các hệ số Fourier của f(·)g(· − nt 0 ). Chẳng hạn, nếu g là hỗ trợ có giá compact thì rõ ràng là với lựa chọn thích hợp ω 0 , các hệ số Fourier của T win ·,n (f) đủ để mô tả và nếu cần thiết để tái tạo lại f (·)g(· − nt 0 ). Thay đổi số lượng n để dịch chuyển các “miếng” bằng các bước của t 0 và bội số của nó, cho phép phục hồi tất cả f từ T win m,n (f). Có nhiều sự lựa chọn và được đề xuất cho chức năng cửa sổ g trong các phân tích tín hiệu, hầu hết trong số đó giá compact có tính trơn hợp lý. Trong vật lý (1.1) có tính thống nhất tới trạng thái biểu diễn; g ω,t (s) = e iωs g(s − t) được thống nhất các trạng thái liên kết với nhóm Weyl - Heisenberg. Trong trường hợp này, sự lựa chọn rất phổ biến là một Gaussian g. 3 Trong tất cả các ứng dụng, g được cho là tập trung cao độ trong cả thời gian và tần số; nếu g và ˆg đều tập trung xung quanh giá trị 0, thì  T win f  (ω, t) có thể được giải thích là "dung lượng" của f gần thời điểm t và gần tần số ω. Hơn thế nữa sự biến đổi Fourier dạng cửa sổ là một mô tả của f trong các mặt phẳng tần số thời gian. Hình 1.1: Fourier dạng cửa sổ: Hàm f (t) là bội số với cửa sổ chức năng và các hệ số Fourier của tích f (t) g (t); các qui trình sau đó được lặp đi lặp lại cho các dịch chuyển của cửa sổ g (t − t 0 ) , g (t −2t 0 ) . 1.2 Các phép biến đổi sóng nhỏ: Sự giống nhau và khác nhau với các biến đổi Fourier dạng cửa sổ Các biến đổi sóng nhỏ cung cấp tần số thời gian tương tự với một vài sự khác biệt quan trọng. Các công thức biến đổi sóng nhỏ tương tự với (1.1) và (1.2) là: (T wav f) (a, b) = |a| −1/2  dtf (t) ψ  t −b a  (1.3) và T wav m,n (f) = a −m/2 0  dtf (t) ψ  a −m 0 t −nb 0  . (1.4) Trong cả hai trường hợp, chúng ta cho rằng ψ thỏa mãn  dtψ (t) = 0. (1.5) Công thức (1.4) là có được từ (1.3) bằng cách giới hạn a, b từ những giá trị riêng biệt: a = a m 0 , b = nb 0 a m 0 trong trường hợp này, với m, n trên miền Z, và a 0 > 1, b 0 > 0 cố định. Một điểm giống nhau giữa sóng nhỏ và sự biến đổi Fourier dạng cửa sổ là: Cả (1.1) và (1.3) đưa các tích trong của f với họ chuẩn tắc của các hàm và chỉ số của 2 ký hiệu g ω,t (s) = e iωs g(s − t) trong (1.1) và 4 ψ a,b (s) = |a| −1/2 ψ  a−b a  trong (1.3). Các hàm ψ a,b được gọi là “sóng nhỏ”; hàm ψ đôi khi được gọi là “sóng nhỏ mẹ” (lưu ý rằng ψ và g được ngầm giả định là có thật mặc dù điều này không cần thiết; thì các liên hợp phức tạp phải được giới thiệu trong (1.1)(1.3)). Một sự lựa chọn tiêu biểu cho ψ là ψ (t) =  1 −t 2  exp  −t 2 /2  , đạo hàm cấp hai của Gaussian, đôi khi được gọi là chức năng mũ Mexican bởi vì nó giống như một mặt cắt ngang của một chiếc mũ Mexican. Chức năng mũ Mexican được xác định tốt cho cả thời gian và tần số và đáp ứng (1.5). Như là một biến đổi, ψ a,0 (s) = |a| −1/2 ψ (s/a) bao phủ các phạm vi tần số khác nhau (các giá trị lớn của tham số tỷ lệ |a| tương ứng với các tần số nhỏ hoặc thang lớn ψ a,0 , các giá trị nhỏ của |a| tương ứng với tần số cao hoặc thang chuẩn ψ a,0 ). Thay đổi các tham số b cũng cho phép chúng ta di chuyển các trung tâm khoanh vùng thời gian. Mỗi ψ a,b (s) được xác định xung quanh s = b. Vậy là (1.3), giống (1.1) cũng cung cấp tần số thời gian của f. Sự khác biệt giữa sóng nhỏ và các biến đổi Fourier dạng cửa sổ nằm trong các hình dạng của hàm phân tích g ω,t , và ψ a,b như thể hiện trong hình 1.2. Hình 1.2: Hình dạng đặc trưng (a) của biến đổi Fourier dạng cửa sổ của hàm g ω ,t và (b) sóng nhỏ ψ a,b . Các g ω ,t (x) = e −iω x g (x −t) có thể được xem như là hình bao "đổ vào" g với tần số cao hơn, ψ a,b là bản copi của tất cả các chức năng tương tự, dịch chuyển và nén hoặc kéo dài. 5 Tất cả các hàm g ω,t bao gồm chức năng hình bao g giống nhau, tịnh tiến đến các giá trị thời gian thích hợp và “đổ vào ” dao dộng với tần số cao hơn. Tất cả g ω,t không phụ thuộc vào các giá trị của ω có cùng chiều rộng. Ngược lại, ψ a,b có độ rộng thời gian phù hợp với tần số của chúng: Tần số cao ψ a,b thì rất hẹp, trong khi tần số thấp ψ a,b rộng hơn nhiều. Kết quả là các phép biến đổi sóng nhỏ thì có thể tốt hơn so với biến đổi Fourier dạng cửa sổ để “thu nhỏ” hiện tượng tần số cao diễn ra rất ngắn, chẳng hạn như trong các tín hiệu nhất thời (hoặc điểm kì dị trong các hàm số hoặc các hạch tích phân) điều này được minh họa bằng hình 1.3, hình này cho thấy biến đổi Fourier dạng cửa sổ và các biến đổi sóng nhỏ của cùng tín hiệu f được xác định bởi f (t) = sin (2πv 1 t) + sin (2πv 2 t) + γ [δ (t −t 1 ) + δ (t −t 2 )] . Trong thực tế tín hiệu này không biểu diễn sự liên tục, nhưng bằng các mẫu và thêm một chức năng δ thì tính được xấp xỉ bằng cách thêm một hằng số với mẫu duy nhất. Trong bản mẫu thì ta có f (nτ) = sin (2πv 1 nτ) + sin (2πv 2 nτ) + α [δ n,n 1 + δ n,n 2 ] . Với ví dụ trong hình 1.3a, v 1 = 500Hz, v 2 = 1kHz, τ = 1/8, 00 giây(ví dụ: Chúng ta có 8,000 mẫu trong một giây), α = 1.5, và n 2 −n 1 = 32 (tương ứng với 4 phần nghìn giây giữa hai xung). 3 đồ thị của hàm phổ (đồ thị các mođun của các biến đổi Fourier dạng cửa sổ) trong hình 1.3b, sử dụng các cửa sổ Hamming chuẩn, với độ rộng tương ứng 3,2, 6,4, và 12,8 mili giây (thời gian t thay đổi theo chiều ngang, tần số ω theo chiều dọc, trên những đồ thị này, các mức độ màu xám cho biết giá trị của   T win (f)   , màu đen thay cho giá trị cao nhất). Vì chiều rộng của cửa sổ tăng lên nên độ phân giải của hai tông màu thuần túy được tốt hơn, nhưng nó trở nên khó khăn hơn hoặc thậm chí không thể giải quyết được hai xung. Hình 1.3c cho thấy mođun của các phép biến đổi sóng nhỏ f được tính toán hóa bằng các giá trị trung bình của sóng nhỏ Morlet (phức hợp) ψ(t) = Ce −t 2 /α 2 (e iπt −e −π 2 λ 2 /4 ), với α = 4 để so sánh các đồ thị của hàm phổ dễ dàng hơn, một trục tần số tuyến tính (tần số loga) đã được sử dụng nhiều hơn. Người ta thấy rằng 2 xung được giải thức thậm chí rất tốt với các cửa sổ Hamming 8,2 ms (bên phải trong hình 1.3b), trong khi độ phân giải tần số với 2 tông màu thuần túy có thể so sánh với những gì thu được từ cửa sổ Hamming 6 [...]... của nhiều loại biến đổi sóng nhỏ khác nhau, tất cả bắt đầu từ những công thức cơ bản (1.3), (1.4) Trong các ghi chép này, chúng ta sẽ phân biệt giữa: A Sóng nhỏ biến đổi liên tục (1.3), và B Biến đổi sóng nhỏ rời rạc (1.4) Trong biến đổi sóng nhỏ rời rạc, chúng ta phân biệt hơn nữa giữa: B1 Hệ thống riêng biệt dư thừa (khung) và B2 Cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn 8 1.3.1 Biến đổi sóng nhỏ liên tục Ở đây sự... π T→∞ (2T) lim Sóng nhỏ và biến đổi sóng nhỏ: ψm,n (x) = a −m 2 ψ a−m x − nb , m, n ∈ Z Vì a = 1, b = 0, để xác định, ta giả sử a > 1; b > 0 Trường hợp riêng phổ biến nhất là a = 2; b = 1 Khi đó sóng nhỏ là: ψm,n (x) = 2−m/2 ψ(2−m x − n) Biến đổi sóng nhỏ: Giả sử có f ∈ L2 (R) Ký hiệu Tm, n (f ) = f, ψm, n , m, n ∈ Z, f, ψm,n hệ số sóng nhỏ của f Một vài vấn đề đặt ra: · Hệ số sóng nhỏ f, ψm,n có... 1.8 thể hiện một sóng nhỏ được hỗ trợ compact khác, với hỗ trợ về chiều rộng là 11, và ít bất đối xứng 17 −j Hình 1.8: Một số ví dụ về cơ sở sóng nhỏ trực giao Cho mỗi ψ trong hình, họ ψj,k (x) = 2 2 ψ(2−j x − k), j, k ∈ là cơ sở trực giao L2 (R) Đồ thị hình φ (các hàm liên kết mở rộng) và ψ cho phép dựng hình khác nhau (a)Các sóng nhỏ Meyer; (b) và (c) sóng nhỏ Battle - Lemarié; sóng nhỏ Haar (e) Các... lập: 12 Hình 1.5: Hai sóng nhỏ Haar, sự hỗ trợ của các sóng nhỏ "hẹp" là hoàn toàn nằm trong khoảng thời gian mà các sóng nhỏ "rộng hơn" là không đổi 1) Các ψm,n là trực chuẩn; 2) Bất kỳ L2 (R) - hàm f có thể xấp xỉ, lên đến độ chính xác nhỏ tùy ý, bởi sự kết hợp tuyến tính hữu hạn của ψm,n Trực chuẩn rất dễ dàng để thiết lập Vì giá (ψm,n ) = [2m n, 2m (n + 1)], hoá ra là hai sóng nhỏ Haar có cùng thang... sánh, thang nằm ngang giống nhau trong (a), (b), (c) hình 1.8) Sóng nhỏ Haar, trong hình 1.8d đã được biết đến từ năm 1910 Nó được xem như là sóng nhỏ Battle - lemaríe có mức độ nhỏ nhất ψH aar = ψBL,0 hoặc cũng như là tập hợp đầu tiên của các sóng nhỏ có hỗ trợ giá compact, ψH aar = 1 ψ Đồ thị hình 1.8e là tập hợp tiếp theo của các sóng nhỏ có hỗ trợ giá compact N ψ; 2φ tục Trong tập hợp này của và... là một biến đổi sóng nhỏ Tất nhiên, xuất hiện tham số giãn nở vì những sự dịch chuyển loga về tần số ở φω Sự xuất hiện của biến đổi sóng nhỏ trong giai đoạn đầu phân tích âm thanh sinh học cho thấy rằng các phương pháp dựa trên sóng nhỏ để phân tích âm thanh có cơ hội tốt hơn các phương pháp ban đầu, ví dụ chúng ta không thể phát hiện sơ đồ nén bằng tai 1.3 Các loại biến đổi sóng nhỏ khác nhau Có... khai thác (ví dụ, nó có thể tính toán các biến đổi sóng nhỏ một cách xấp xỉ, trong khi vẫn có 10 Hình 1.4: Sự cục bộ hóa thời gian tần số cho các biến đổi sóng nhỏ và biến đổi Fourier dạng cửa sổ (a) Các biến đổi sóng nhỏ: ψm,n xung quanh sự khoanh vùng thời gian am nb0 Chúng tôi giả định 0 2 ˆ có 2 đỉnh trong tần số tại ±ξ0 (đây là trường hợp sóng nhỏ mũ Mexico ψ (t) = (1 − t2 )e −t ); 2 rằng ψ ˆ... Như đã được minh 0 họa bởi hình 1.2, các giá trị khác nhau của m tương ứng với độ rộng khác nhau của sóng nhỏ Có nghĩa là sự riêng biệt của các tham số tịnh tiến b nên phụ thuộc vào m: Các sóng nhỏ hẹp (tần số cao) được tịnh tiến các bước nhỏ để bao phủ toàn bộ phạm vi thời gian, trong khi các sóng nhỏ rộng hơn (tần số thấp) được tịnh tiến bởi bước lớn hơn Vì chiều rộng của ψ a−m x tỷ lệ thuận với... của Mallat và Zhong (1992)) Ở dạng riêng biệt này biến đổi sóng nhỏ gần nhất với "φ - biến đổi" của Frazier và Jawerth (1998) Sự lựa chọn của sóng nhỏ ψ được sử dụng trong biến đổi sóng nhỏ liên tục hoặc trong các khung họ wavelet có dán nhãn riêng biệt là giới hạn cần thiết bởi điều kiện rằng Cψ là hữu hạn vì được xác định bởi (1.7) Vì những lý do thực tế, người ta thường chọn ψ để nó tập trung tốt... khác nhau Các sóng nhỏ Meyer có tập compact hỗ trợ biến đổi Fourier; chính φ và ψ được hỗ trợ vô hạn; được hiển thị trong hình 1.8a Các sóng nhỏ Battle - lemaríe là các hàm splin (tuyến tính trong hình 1.8b, khối trong hình 1.8c), với những nút tại Z cho φ, tại 1 Z cho ψ Cả hai φ và ψ 2 có sự hỗ trợ vô hạn, và phân rã theo cấp số nhân, sự phân rã số trị của chúng nhanh hơn so với các sóng nhỏ Meyer (để . sóng nhỏ là công cụ toán học khá đơn giản mà có nhiều ứng dụng có thể. Sóng nhỏ đã có những ứng dụng lý thú trong xử lý tín hiệu. Mục đích của đề tài luận văn nhằm tìm hiểu và giới thiệu về lý. Nguyên, tháng 8 năm 2014 Học viên Đỗ Thị Thủy 1 Chương 1 Nhập môn lý thuyết sóng nhỏ Các phép biến đổi wavelet (sóng nhỏ) là công cụ chia nhỏ số liệu, hàm số hoặc toán tử thành các phần khác nhau sau. Các loại biến đổi sóng nhỏ khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Biến đổi sóng nhỏ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Các khung biến đổi sóng nhỏ dư nhưng riêng