Nghiệm nhớt của phương trình Đạo hàm riêng phi tuyến Elliptic F (D2u(x),x) = 0

LèI CÁM ƠN Trưóc tiên tơi xin gúi lịi cám ơn sâu sac tói: T.S Tran Văn Bang ngưịi thay hưóng dan, chí báo t¾n tình cho tơi suot q trình hồn thành lu¾n văn Tơi xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành đen thay, cơng tác tham gia giáng day ó phòng Sau đai hoc trưòng Đai hoc Sư pham Hà Nđi Cỏc thay, cụ ó nhiắt tỡnh giỏng day tao moi đieu ki¾n thu¾n loi nhat cho tơi hồn thành khóa hoc tai trưịng Đong thịi tơi xin đưoc bày tó lịng biet ơn tói tat cá ban bố, ong nghiắp v ngũi thõn ó đng viờn, giúp đõ tơi suot q trình hoc t¾p viet lu¾n văn M¾c dù dành nhieu thịi gian nghiên cúu tìm hieu song bán lu¾n văn khơng tránh khói nhung han che, thieu sót Vì v¾y tơi rat mong nh¾n đưoc ý kien đóng góp cna quý v% đc giỏ e luắn ny oc hon thiắn hn Xin chõn thnh cỏm n! H nđi, ngy 10 tháng 12 năm 2011 Hoc viên Thân Văn Tài -1- LèI CAM ĐOAN Qua q trình nghiên cúu lu¾n văn vói đe tài "Nghi¾m nhót cna phương trình đao hàm riêng phi tuyen Elliptic F D2u(x), x = 0" tơi hieu sâu ve b® mơn Giái tích hiắn ai, ắc biắt ve bđ mụn phng trỡnh ao hàm riêng phi tuyen Tơi xin cam đoan lu¾n văn đưoc hoàn thành sn co gang, no lnc tìm hieu nghiên cúu cna bán thân dưói sn hưóng dan, chí báo nhi¾t tình cna thay giáo: T.S Tran Văn Bang thay, cô to Tốn giái tích cna trưịng ĐHSP Hà N®i Tơi xin cam đoan ket qna cna lu¾n văn khơng trùng l¾p vói đe tài khác moi thơng tin trích dan lu¾n văn đưoc chí rõ nguon goc Hà n®i, ngày 10 tháng 12 năm 2011 Hoc viên Thân Văn Tài Mnc lnc Mnc lnc Má đau Các kien thNc sá 1.1 Thu¾t ngu kí hi¾u bán 1.2 Paraboloid tiep xúc tính vi cap hai 10 Nghi¾m nhát cúa phương trình Elliptic, đánh giá Alexandroff ngun lý cNc đai 16 2.1 Nghi¾m nhót cna phương trình elliptic 17 2.2 Đánh giá Alexandroff nguyên lý cnc đai 27 Bat thNc Harnack tính nhat nghi¾m 38 3.1 Bat thúc Harnack 38 3.2 Tính nhat nghi¾m 53 Ket lu¾n 63 Tài li¾u tham kháo 64 Mé ĐAU Lý chon đe tài Như biet, phương trình đao hàm riêng nói chung phương trình đao hàm riêng phi tuyen Elliptic F D2u(x), x = nói riêng có úng dung rat r®ng rãi thnc te Có rat nhieu lĩnh vnc nghiên cúu hi¾n đai mà phương trình đao hàm riêng đóng vai trò het súc quan như: lý thuyet bieu dien nhóm nhieu chieu, lý thuyet trưịng lưong tú, lý thuyet khơng gian thuan nhat v¾t lý tốn M¾c dù đưoc đe c¾p tù rat lâu vào khống cuoi the kí 18 đau the kí 19, lý thuyet phương trình đao hàm riêng phi tuyen cho tói bán van chưa đưoc hồn thi¾n Tù đau the kí 20 cho tói nay, nhu cau nghiờn cỳu mđt cỏch chắt che nhung phng trỡnh đao hàm riêng kích thích sn phát trien phương pháp nghiên cúu bán cna: Giái tích thnc, Giái tích hàm Tơpơ M®t tốn phương trình đao hàm riêng neu có ý nghĩa thnc tien chac chan phái có nghi¾m Van đe nghi¾m hieu theo nghĩa mà thơi Có rat nhieu phương trình đao hàm riêng, đ¾c bi¾t phương trình đao hàm riêng phi tuyen thưịng khơng có nghi¾m co đien Vì v¾y ta phái co gang xây dnng lý thuyet cỏc nghiắm suy rđng e bi toỏn cú nghiắmn hn nua nghi¾m can phái nhat Năm 1979, Krylov Safonov chúng minh bat thúc Harnack cho nghi¾m cna phương trình đao hàm riêng elliptic cap hai có dang khơng divergence vói h¾ so đo đưoc Đieu mó m®t cách đe phát trien lý thuyet quy cho phương trình đao hàm riêng phi tuyen hồn tồn Cùng thịi gian Crandall-Lions [5] v Evans [6, 7] ó giúi thiắu mđt khái ni¾m nghi¾m yeu (nghi¾m nhót) cho phương trình đao hàm riêng phi tuyen ho¾c tuyen tính có dang khơng divergence, thong nhat vói ngun lý Dirichlet nghi¾m bien phân lý thuyet ve phương trình dang divergence Vì v¾y tơi lna chon đe tài "Nghi¾m phương trình nhát cúa đao hàm riêng phi tuyen Elliptic F D u(x), x = 0" Trong lu¾n văn này, tơi se trình bày m®t so ket q ve lý thuyet quy cna nghi¾m cna phương trình đao hàm riêng phi tuyen hoàn toàn: F D2u, x = f (x), (0.0.1) D2u Hessian cna u Trong [3, 4] tác giá nghiên cúu cho phương trình có dang: F D2u, x = (0.0.2) (tương úng vói "phương trình thuan nhat vói h¾ so hang so" trưịng hop tuyen tính) Tù ket q ta thu đưoc C α , C 1,α , C 2,α va` W2,p- đánh giá tiên nghi¾m mien cho nghi¾m cna (0.0.1) Khi F elliptic đeu (xem Đ%nh nghĩa 2.1.1) M®t trưịng hop đơn gián nhat trưịng hop phương trình tuyen tính, ta có the giá thiet rang (0.0.2) ∆u = Lúc ta có the đánh giá đao hàm cna hàm đieu hịa (nghi¾m cna ∆u = 0) mien bói dao đ® cna hàm Ý tưóng bán tính chat van đoi vói nhieu tuyen tính nhó cna Laplace Cu the hơn, giá sú u nghi¾m cna phương trình elliptic đeu có dang không divergence sau: n ai,j (x)∂ij u = f (x) (0.0.3) i,j=1 Khi ú ta cú, vúi mđt nghiắm b% ch¾n u cna (0.0.3) hình cau đơn v% B1 cna Rn: (a) (Đánh giá kieu Cordes - Nirenberg) -5- Giá sú < α < "aij − δij "L∞(B1) ≤ δ = δ(α), vói m®t δ nhó Khi u ∈ C1,α(B1/2) "u"C1,α(B (b) (Schauder) 1/2 ≤ C("u"L∞ ) (B1) + (B1)) "f"L∞ Neu aij f thu®c C α (B ) u ∈ C 2,α (B¯1/2 ) "u"C 2,α (B¯ 1/2) ≤ C("u"L∞(B1 ) + "f"C ∞(B¯1 ) ) (c) (Calderón-Zygmund) Neu aij liên tuc B1 f ∈ L1(B1) vói < p < ∞ u ∈ W2,p (B1/2 ) va` + "f"Lp (B1 ) ) (B1/2) ≤ "u"W2,p C("u"L(B1) Luắn ny e cắp túi mđt mú rđng cna cỏc ket quỏ trờn cho ho nghiắm cna (0.0.1) Th¾m chí trưịng hop tuyen tính, ky thu¾t ó van cho ta nhung ket q mói múc đ® gan cna aij đoi vói δij đưoc xác đ%nh bói Ln- chuan khơng phái L∞- chuan (n so chieu cna Rn) Công cu bán cách tiep c¾n mói đánh giá Alexandroff - Bakelman - Pucci nguyên lý cnc đai Chúng đưoc dùng đe: (1) Đieu khien hàm phân bo cna mđt nghiắm; ieu khien ny dan túi bat ang thúc Harnack dan tói C α - quy (2) Xap xí L∞ cna nghi¾m bói hàm affine (hay paraboloid); đieu dan tói đánh giá C1,α (tương úng C2,α) Van đe cot lõi ó hieu đao hàm riêng cna m®t hàm thơng qua xap xí đa thúc cna Nói m®t cách nơm na, phương pháp nêu ve bán "phi tuyen" theo nghĩa khơng dna nhieu vào cau trúc cna phương trình (0.0.1) Do v¾y, có the áp dung đoi vói phương trình hồn tồn tong qt (khơng nhat thiet trơn) phương trình Pucci, Bakelman Isaasc Trong tính quy nh¾n đưoc bang cách lay vi phân cna -6- phương trình (0.0.1) Mnc đích nghiên cNu Nghiên cúu khái ni¾m nghi¾m nhót cho phương trình đao hàm riêng phi tuyen elliptic F D2u(x), x = v mđt so tớnh chat %nh tớnh cna nghiắm nhút -7- Nhiắm nghiờn cNu ã Tỡm hieu cỏch xõy dnng khỏi niắm nghiắm nhút cho phng trỡnh ã Đưa ví du cu the minh hoa cho cỏc khỏi niắm ã Chỳng minh cỏc tớnh chat %nh tính cna nghi¾m nhót Đoi tưang pham vi nghiờn cNu ã oi tong nghiờn cỳu: Nghiắm nhút cna phương trình đao hàm riêng phi tuyen • Pham vi nghiên cúu: Lóp phương trình phi tuyen dang F D2u(x), x = Phương pháp nghiên cNu Nghiên cúu lý thuyen bang cách thu th¾p thơng tin, đoc, phân tớch v tong hop ti liắu e cú oc mđt nghiên cúu tong quan ve 2nghi¾m nhót cna phương trình đao hàm riêng phi tuyen elliptic F D u(x), x = Bo cnc cúa lu¾n văn Ngồi phan mó đau phan ket lu¾n, lu¾n văn gom ba chương: • Chương Các kien thúc só Nham giúi thiắu mđt so thuắt ngu v mụ tỏ moi quan h¾ giua tính chat vi cna hàm u paraboloid tiep xúc vói đo th% cna hm u ã Chng Nghiắm nhút cỳa phng trỡnh elliptic, đánh giá Alexandroff nguyên lý cnc đai Trong chương đe c¾p: + Nghi¾m nhót cna phương trình (0.0.1), đ%nh nghĩa tính chat bán cna nghi¾m nhót Khái ni¾m nghi¾m "rat yeu" cho xác đ%nh lóp hàm chúa tat cá nghi¾m co đien cna phương trình elliptic tuyen tính phi tuyen vói hang so elliptic co đ%nh h¾ so đo đưoc (xem muc 2.1.2) Trong muc 2.1.3 tơi đưa m®t so ví du quan ve phương trình đao hàm riêng phi tuyen hồn toàn + Đánh giá Alexandroff-Bakelman-Pucci nguyên lý cnc đai cho nghi¾m nhót Vì ket q có vai trị chìa khóa ngun lý quy sau • Chương Bat thúc Harnack tính nhat nghi¾m Trong chương trình bày: + Chúng minh bat thúc Harnack nhò vào đánh giá Alexandroff ky thu¾t cna Crandall-Zygmund Ve bán chúng minh giong vói chúng minh lan đau phát hi¾n bói Krylov Safonov Mđt hắ quỏ cna bat ang thỳc Harnack l ta có ket q ve C α quy mien đoi vói nghi¾m cna phương trình (0.0.1) Trong muc 3.1.3 trình bày m®t ket q ve tính C α - quy tồn cuc + Nghi¾m xap xí Jensen cna phương trình (0.0.2) đưoc giói thi¾u lan đau tiên [8] sú dung chúng đe chúng minh tính nhat cho tốn Dirichlet đoi vói (0.0.2) Các muc 3.2.3 3.2.4 dành cho úng dung khác cna nghi¾m xap xí Jensen Đó tính chat bán cna đao hàm riêng cap cap cna nghi¾m cna phương trình (0.0.2) Chang han ta chúng minh tính C1,α - quy mien cho nghi¾m cna phương trình (0.0.2) Chương Các kien thNc sá 1.1 Thu¾t ngĐ kí hi¾u bán Kí hi¾u Rn khơng gian Euclidear n - chieu vói chuan 2 |x| = |x1| + |x2| + · · · + |xn| , |x|∞ = max {|x1| , |x2| , , |xn|} Neu Br = Br(x0) = {x ∈ Rn : |x − x0| < r} m®t hình cau (mó) Bσr(x0) đưoc kí hi¾u Bσr Xét hình l¾p phương mó Qr (x0 ) = ,x ∈ Rn : |x − x0 | < ∞ r , vói tâm x0 đ® dài canh r Ω mien b% ch¾n (t¾p mó, liên thơng, b% ch¾n) cna Rn λ va` Λ hai hang so co đ%nh cho < λ ≤ Λ, đưoc goi hang so elliptic M®t hang so đưoc goi dnng neu chí phu thu®c vào n, λ va` Λ (n so chieu) C hang so dương, có the thay đoi moi bat thúc công thúc diam(Ω) |Ω| tương úng kớ hiắu ũng kớnh v đ o va` Lebesgue n - chieu cna Ω ChNng minh Vói k = (3.1.10) (3.1.8) Giá sú (3.1.10) vói k − đ¾t A = u > M k ∩ Q1 , B = u > M k−1 ∩ Q1 Khi (3.1.10) se đưoc chúng minh neu ta chúng minh đưoc |A| ≤ (1 − µ) |B| (3.1.12) Áp dung Bo đe 3.1.2, ta có A ⊂ B ⊂ Q1 |A| ≤ |{u > M} ∩ Q1 | ≤ − µ theo Bo đe 3.1.4 Ta chí cịn phái chúng minh đieu ki¾n (b) Bo đe 3.1.2; túc ta can chúng minh rang neu Q = Q1/2i (x0) l mđt khoi lắp phng dyadic cho |A ∩ Q| > (1 − µ) |Q| (3.1.13) Q˜ ⊂ B Giá sú Q˜ ƒ⊂ B lay x˜ ∈ cho u(x˜) ≤ M k−1 (3.1.14) ˜ Q Xét phép đoi bien x = x0 + hàm 2i y, y ∈ Q1 , u˜(y) = u(x)/M x ∈ Q = Q1/2i (x0) k−1 Ta chúng tó rang u˜ thóa mãn giá thiet cna Bo đe 3.1.4 Theo (3.1.8), ta có µ < |{u˜(y) ≤ M } ∩ Q1 | = i.n u(x) ≤ M k ∩ Q Do v¾y |Q\A| > µ |Q|, suy mâu thuan vói (3.1.13) Ta cịn phái chúng minh u˜ thóa mãn giá thiet cna Bo đe 3.1.4 Theo Chú ý 3.1.1 ta có u˜(y) ∈ S(f (x)/(22i M f˜(y) Q4√n k−1 )) =: x ∈ Q˜ ⇒ y ∈ Q k− V¾y u˜ ≥ infQ3 u˜ ≤ u(x˜)/M Cuoi ˜ f (y) Ln(Q ≤ theo (3.1.14) i √ n) = 22iM k−1 "f"Ln (Q4√n ) ≤ "f"Ln (Q4√n ) ≤ ε0 Lay d = (1 − µ) −1 ε cho − µ = M −ε ta có (3.1.11) tù (3.1.10) Q Bây giị ta sú dung tính chat neu u ∈ S∗ (f ) ⊂ S (−|f|) −u ∈ S(|f|) Bo đe 3.1.6 Cho u ∈ S (−|f|) Q4√n Giá sú f thóa mãn (3.1.7) u thóa mãn (3.1.11) Khi ton tai hang so dnng M0 > σ > cho, vói ε (3.1.11) ν = M0 > ta có: M0− Neu j ≥ m®t so ngun x0 thóa mãn |x0|∞ ≤ 1/4 (3.1.15) u(x0) ≥ νj−1M0 (3.1.16) th ì Qj := Ql j (x0) ⊂ Q1 sup u ≥ ν j M0 Qj va` lj = σM −ε/n −εj/n ν ChNng minh Lay σ > M0 > cho √ n ε σ > d2 (4 n)n (3.1.17) (3.1.18) vói d ε (3.1.11) Sú dung (3.1.15) (3.1.18) ta có −ε/n σM + dM 0−ε ≤ Qlj /(4√n)(x0) ⊂ Qlj (x0) = j ⊂ Q (3.1.19) Q Giá sú rang supQj u < ν j M0 (3.1.11) ta có M j √ u≥ν ∩ Q (x Xét phép đoi bien lj /(4 n) ta se chí mâu thuan Theo (3.1.19) j M ) ≤ u 0≥ ν −ε M −εj ∩ Q ≤ dν (3.1.20) hàm lj x = x0 + √ y, n Q j √ y ∈ Q4 n , x∈ u (x) v(y) = νM ν j−1 −(ν − 1)M0 = Qlj (x0) Phép đoi bien mđt song ỏnh giua cỏc sau x Qlj (x0) [tương úng Q3lj /(4√n)(x0) , Qlj /(4√n)(x0)] ⇔ y ∈ Q4√n [tương úng Q3 , Q1] Ta chí v thóa mãn giá thiet cna Bo đe 3.1.4, theo (3.1.11) Do u(x) < ν j M0 |{v(y) > M0} ∩ Q1| ≤ dM −ε j n ⇒ v(y) > M0, ta suy l √ j M0u(x) < ν ∩ Qlj / ) ≤ (x √ (4 n) ) −j ε Do v¾y, theo (3.1.18) −ε j jε l n √ n d(M0 n Bat thúc (3.1.20) cho ta + j j n l l dν n ≤ 4√n dM − √ ε n −ε M −ε M ≤ dν − Theo đ%nh nghĩa cna lj , ta có √ n ε σ d2 (4 n)n, ≤ đieu mâu thuan vói (3.1.17) Ta chí cịn phái chúng minh v thóa mãn giá thiet cna Bo đe 3.1.4 T lj j −1 ˜ √ Rõ ràng v(y) = C(Q4√n) ν − (ν − |f (x)| =: f S 1)M0 (y) n Q4√n Hơn nua v > Q4√n supQj u < ν j M0 Tù (3.1.16) suy infQ3 v ≤ Cuoi ˜ −ε/n σM0 εj/n f (y) √ n) √ nνj−1(ν − = "f (x)"Ln 1)M0 Ln(Q ≤ − ε/n σ M ν−εj/n √ nνj−1(ν − 1)M (Qlj (x0)) ε0 Theo (3.1.18), ν > ν = 2(ν − 1)M0, ta có ˜ f (y) Ln(Q √ n) ≤ √ ν−εj/n nνj−1(ν − 1)M0 ε0 ≤ ν−εj/n √ ε0 ≤ ε0 nν j Q ChNng minh cúa Bo đe 3.1.3 Theo giá thiet cna Bo đe 3.1.3, u thóa mãn giá thiet cna Bo đe 3.1.4 theo Bo đe 3.1.5, u thóa mãn giá thiet cna Bo đe 3.1.6 Nhó −ε/n rang lj = σM ν −εj/n , (j = 1, 2, 3, ) Do ton tai m®t so ngun dung j0 ≥ cho lj ≤ 1/4 (3.1.21) j≥j0 Ta chúng minh supQ1/4 u ≤ j0−1M0 Vì có đieu có Bo đe 3.1.3 ν Giá sú ngưoc lai Khi ∃xj0 cho j0−1 M0 u(xj0 ) ≥ ν |xj0 |∞ ≤ 1/8 va` Theo Bo đe 3.1.6, ton tai m®t điem xj0+1 cho |xj0+1 − xj0 |∞ ≤ lj0 /2 u(xj0+1) ≥ ν cho j0 M0 L¾p lai q trình này, ta có dãy điem xj (j ≥ j0) u(xj+1) ≥ |xj+1 − xj |∞ ≤ lj /2 ∀j ≥ j0 M0, (3.1.22) ν j0 va` Neu ta chúng tó đưoc |xj |∞ ≤ 1/4 ∀j ≥ j0 (3.1.23) tù (3.1.22) (3.1.23) de suy mâu thuan, ν > , xj ∈ Q1/2, ∀j u liên tuc Q1/2 Ta kiem tra (3.1.23) Th¾t v¾y j−1 |xj |∞ ≤ |xj0 |∞ + k=j |xk+1 − xk |∞ ≤ + k≥j0 lk ≤ 1/4 , Q theo (3.1.21) Chú ý 3.1.2 Cũng đánh giá ABP, ta thay bat thúc Harnack thóa mãn neu giá thiet sup |f | ↓ |f (x0)| Br (x0) thay cho giá thiet f liên tuc r → 0, ∀x0 ∈ Q1, Các bo đe vùa nêu cho ta đ%nh lý quan sau Trong phan thú nhat chí u cau u nghi¾m khơng âm đưoc goi bat thúc Harnack yeu, phan thú hai yêu cau u nghi¾m dưói đưoc goi ngun lý cnc đai đ%a phương Đ%nh lý 3.1.2 Ta có (1) Cho u ∈ S(λ, Λ, f ) Q1 thóa mãn u ≥ Q1, f liên tnc b% ch¾n Q1 Khi "u"Lp0 (Q1/4) ≤ C( inf u + "u"Ln(Q )) , Q 1/2 vói p0 > C hang so dnng (2) Giá sú u ∈ S(λ, Λ, f ) Q1, f liên tnc b% ch¾n Q1 Khi vói moi p > ta có sup u ≤ C(p)( u+ + "f" Q1/2 ), Ln(Q1) Lp(Q 3/4) C(p) hang so chí phn thu®c vào n, λ, Λ p ChNng minh Khang đ%nh (1) đưoc suy tù bo đe 3.1.5 Th¾t v¾y, Bo đe khang đ%nh rang (3.1.11) vói moi u ∈ S(f ) ⊂ S (|f|) Q4√n cho u ≥ , infQ3 u ≤ "f"Ln (Q4√n ) ≤ ε0 Tù (3.1.11) ta có "u"LP0 (Q1) ≤ C vói p0 = ε/2 Vì ¸ u Q1 p0 ¸ = p0 ∞ tp0 −1 |{u ≥ t} ∩ Q1| dt Lay tí l¾ lai u, ta có "u"Lp0 (Q1) ≤ C(inf u + "f"Ln (Q4√n )) Q3 vói moi hàm không âm u ∈ S(f ) Q4√n Tù bat thúc xét phn mó thích hop ta suy (1) Đe chúng minh (2), trưóc het ta giá sú rang u ∈ S(f ) ⊂ S (− |f |) ε 1/ + + ∈ L (Q1) "u "Lε(Q1) ≤ ε , trong Q4√n, "f"Ln (Q4√n ) ≤ ε0, va` d u ε0 Bo đe 3.1.4, d ε Bo đe 3.1.5 Khi ta có ¸ (u+) ≤ dt−ε ∀t > |{u ≥ t} ∩ Q1 | ≤ t−ε ε Q1 u thóa mãn (3.1.11) V¾y u thóa mãn giá thiet cna Bo đe 3.1.6, nên theo chúng minh cna Bo đe 3.1.3 ta đưoc sup u ≤ C Q1/4 + "f" Lay tí l¾ lai u, ta có sup u ≤ C( u+ Q1/4 ) Ln(Q4√n) Lε(Q1) vói moi u ∈ S(f ) Q4√n Lay tí l¾ lai theo x, ta có khang đ%nh (2) vói p = ε Nhị phép n®i suy ta cú (2) vúi moi p > Q Mđt hắ q cna bat thúc Harnack yeu đoi vói nghi¾m nguyên lý cnc đai manh sau đoi vói nghi¾m M¾nh đe 3.1.1 Cho u ∈ S(λ, Λ, 0) mien Ω ⊂ Rn Giá sú u ≥ Ω u(x0) = vói m®t x0 ∈ Ω Khi u ≡ Ω Chú ý 3.1.3 Theo M¾nh đe 2.1.5, nguyên lý cnc đai manh đoi vói nghi¾m nhót cna F (D2u, x) = neu F (0, x) ≡ 3.1.3 Tính C α - quy M®t úng dung quan cna bat thúc Harnack l tớnh liờn tuc Hoălder cna nghiắm Mắnh e 3.1.2 Cho u ∈ S∗(λ, Λ, f ) Q1 Khi (1) Vói hang so dnng µ < osc u ≤ µosc u + 2"f" n L (Q1 ) Q1/2 Q1 (2) u ∈ C α (Q1/2) va` "u"C α ( Q ≤ C("u"L (Q ) ) 1/2 ∞ + "f"Ln (Q )), < α < C > hang so dnng ChNng minh Goi mr := infQr u, Mr := supQr u va` or := oscQr u Áp dung bat thúc Harnack đoi vói hàm không âm u − m1, M1 − u Q1 (là hàm thu®c S∗(f )), ta có M1/2 − m1 ≤ C(m1/2 − m1 + "f"Ln (Q1 )) M1 − m1/2 ≤ C(M1 − M1/2 + "f"Ln (Q1 )) C®ng hai bat thúc ta có o1/2 + o1 ≤ C(o1 − o1/2 + 2"f"Ln (Q1 )), kéo theo o1/2 ≤ C− 2C C + 1o1 + C + "f"Ln (Q1 ), ta có (1) Khang đ%nh (2) đưoc suy tù (1) Q Chú ý 3.1.4 Sú dung bat thúc Harnack ta có the chúng minh đưoc Đ%nh lý kieu Liouville sau: moi hm so b% chắn dúi (b% chắn trờn) thuđc S(λ, Λ, 0) Rn đeu hàm hang Chú ý 3.1.5 Sú dung phương pháp phn thích hop ta có khang đ%nh cna M¾nh đe 3.1.2 đoi vói hỡnh cau B1, B1/2 Tớnh liờn tuc Hoălder cna cỏc nghi¾m tính đóng cna ho nghi¾m (theo M¾nh đe 2.1.4) cho ta ket ve tính compact sau Mắnh e 3.1.3 Cho {Fk}k1 l mđt dóy cỏc toỏn tú elliptic đeu vói hang so elliptic λ, Λ Goi {uk}k≥1 ⊂ C(Ω) nghi¾m nhót Ω cúa Fk (D2uk , x) = f (x) Giá sú {Fk} hđi tn eu trờn cỏc compact cỳa S × Ω tói F {uk} b% ch¾n đeu t¾p compact cúa Ω Khi ton tai u ∈ C(Ω) m®t dãy cúa {uk} h®i tn tói u Hơn nua, F (D2u, x) = f (x) theo nghĩa nhót Ω Ket tiep theo l mđt ỏnh giỏ thụ ve tớnh liờn tuc Hoălder tai cỏc iem biờn oi vúi cỏc nghiắm thuđc S(0) M¾nh đe 3.1.4 Cho u ∈ S(λ, Λ, 0) B1 Giá sú < β < 1, u ∈ C(B1 ) u|∂B1 = ϕ, vói ϕ ∈ C β (∂B1) Khi đó, vói moi x0 ∈ ∂B1 , u l C /2 - liờn tnc Hoălder tai x0 |u(x) − u(x0)| ≤ β/2 sup |ϕ(x) − sup β/2 x∈∂B ϕ(x0)| x∈B1 (3.1.24) β |x − x0| |x − x | ... cna phương trình đao hàm riêng phi tuyen hoàn toàn: F D2u, x = f (x), (0. 0.1) D2u Hessian cna u Trong [3, 4] tác giá nghiên cúu cho phương trình có dang: F D2u, x = (0. 0.2) (tương úng vói "phương. .. đ%a phương tai x0 Vói t ε P (x) = u(x0)+ Dϕ(x0)(x−x0)+ (x − x0) D ϕ(x0)(x−x0)+ |x − x0| Ta có P paraboloid tiep xúc vói u tai x0 Do (3) nên ta có: F (D2ϕ(x0) + εI, x0) ≥ f (x0) Cho ε → 0, ta... vói u tai x0, theo Bo đe 2.1.1 (goi ei giá tr% riêng cna D2ϕ(x)), ta có f (x0) ≤ F (D2ϕ(x0) + D2φ(x0), x0) 2 ≤ (D D F ϕ(x 0) φ(x0), x0) + Λ ≤ F (D2φ(x0), x0) + Λ ei + ei >0 + −λ D ϕ(x0) − λ