Hệ phương trình sai phân

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRƯƠNG THỊ THUÝ HẢO HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC H NI, 2009 lời cảm ơn Trớc hết, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy cô giáo, đặc biệt TS.Nguyễn Văn Hùng, ngời hớng dẫn tận tình, hiệu quả, giúp đỡ hoàn thành luận văn thời hạn Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ban lãnh đạo, thầy cô giáo, cán bộ, nhân viên trờng Đại học S phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi thời gian học tập trờng Tôi xin trân trọng cảm ơn Sở giáo dục đào tạo Vĩnh Phúc, trờng THPT Chuyên Vĩnh Phúc dành cho điều kiện tốt thời gian theo học sau đại học Cuối cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới bạn bè, ngời thân đồng nghiệp giúp đỡ, động viên khích lệ để hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày tháng năm 2009 Trơng Thị Thuý Hảo lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng tôi, đợc hoàn thành dới hớng dẫn TS.Nguyễn Văn Hùng Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học, nghiên cứu, đồng nghiệp với trân trọng biết ơn sâu sắc Hà Nội, ngày tháng năm 2009 Trơng Thị Thuý Hảo Mục Lục Trang Mở đầu Chơng 1: Một số kiến thức bổ trợ 1.1 g gian Banach Khôn 1.2 toán biên phơng trình vi phân cấp hai Bài 1.3 ơng trình truyền nhiệt chiều Ph10 1.4 ơng pháp sai phân Ph11 1.5 M ột số khái niệm lý thuyết xấp xỉ không gian 12 toán tử tuyến tính Chơng 2: Hệ phơng trình sai phân 2.1 17 17 Phơng trình sai phân 2.2 Hệ phơng trình sai phân tuyến tính bậc 19 2.3.Hệ phơng trình sai phân phơng trình toán tử 39 Chơng 3: Một số ứng dụng hệ phơng trình sai phân 43 3.1 ứ ng dụng hệ phơng trình sai phân giải gần toán 43 biên phơng trình vi phân cấp hai 3.2 ứng dụng hệ phơng trình sai phân giải gần phơng 47 trình truyền nhiệt chiều 3.3 ứng dụng hệ phơng trình sai phân tính toán ảnh hởng 53 cđa thủ triỊu ®Õn chÕ ®é Èm cđa nỊn ®êng ë ®ång b»ng Nam bé 3.4 øng dơng hƯ phơng trình sai phân giải số toán dãy 62 số Kết luận chung 72 Tài liệu tham khảo 73 Mở đầu 1.Lý chọn đề tài: Phơng trình sai phân thờng xuất mô tả tợng tiến hoá quan sát đợc tự nhiên Chẳng hạn, xét trình phát triển dân số quốc gia hay vùng Nếu gọi xn+1 số dân thời điểm năm n+1 xn+1 hàm số dân xn thời điểm năm trớc Sự liên hệ đợc mô tả bëi hƯ thøc: xn1 f (xn ,n),nN n Ph¬ng trình sai phân theo biến n hàm phải tìm xn phơng trình hàm có dạng F(un1, un , , unk , n) 0, (0.1) nN n k số nguyên không âm, F hàm theo biến un1, un , , unk n số nguyên dơng cho Trong , n trờng hợp k hữu hạn, phơng trình (0.1) đợc gọi phơng trình sai phân cấp k Bằng phơng pháp tuyến tính hoá, phơng trình sai phân cấp k+1 đa đợc phơng trình sai phân cấp dạng f (xn1, x n , n) 0, n Nn (0.2) ë xn véctơ hàm véctơ Vì đâ (n N n ) xét phơng y trình sai phân có cấp hữu hạn không gian Rn ta cần đề cập đến phơng trình sai phân cấp dạng (0.2) Lý thuyết phơng trình sai phân tìm đợc nhiều ứng dụng lĩnh vực toán học nh nghành khoa học khác, chẳng hạn giải tích số, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trò chơi, giải tích tổ hợp, kinh tế học, tâm lý học, Vì vậy, việc nghiên cứu phơng trình sai phân vấn đề thời đợc nhiều nhà toán học quan tâm Với lý nêu trên, chọn đề tài " Hệ phơng trình sai phân" để thực luận văn tốt nghiệp 2.Mục đích nghiên cứu: - Nghiên cứu phơng pháp giải số hệ phơng trình sai phân tuyến tính cấp ứng dụng 3.Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu tài liệu khoa học phơng pháp giải ứng dụng hệ phơng trình sai phân 4.Đối tợng phạm vi nghiên cứu: Một số phơng pháp giải hệ phơng trình sai phân tuyến tính cấp ứng dụng 5.Phơng pháp nghiên cứu: Nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo, tổng hợp kiến thức 6.Dự kiến đóng góp Mở rộng, nêu ứng dụng hệ phơng trình sai phân Do kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế, mong nhận đợc góp ý thầy cô bạn bè đồng nghiệp để luận văn đạt đợc mục tiêu có hiệu Chơng số kiến thức bổ trợ 1.1 Không gian Banach 1.1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1: Một tập X đợc gọi không gian metric, với cặp phần tử x y X (viết tắt x, yX ) tồn hàm thực hai biến, ký hiệu X (x, thoả mãn: y) * X (x, y) 0, X (x, y) vµ chØ x=y = * X (x, y) X ( y, x) * X (x, y) X (x, z) +X (z, y) x, y, zX Định nghĩa 1.1.2: Một dãy (xn) gồm phần tử ®Õn phÇn tư x0 X , x0 = im xn , nếuln viết xn X đợc gọi hội tụ lim (xn , x0 ) n Định nghĩa 1.1.3: Không gian metric X đợc gọi đầy đủ dãy (dãy Cauchy) X hội tụ đến phần tử thuộc X Định nghĩa 1.1.4: Không gian metric X đợc gọi tuyến tính với hai phần tử x y X với phép toán cộng x +y phép toán nhân số với phần tử X cho ta phần tử thuộc X thoả m·n c¸c tÝnh chÊt: x+y=y+x x+(y+z)=(x+y)+z Tån phần tử không (thờng đợc kí hiệu số 0) không gian X cho với x X , x + = x 4.Với phần tử x X , tồn phần tử đối - xX cho x+(-x)=0 5.Víi hai sè , vµ mét phần tử x X ta có: (x) ()x 6.Víi mäi xX , x.1=x 7.Víi mäi sè có: , phần tử x X ta ()x x x 8.Với số có: hai phần tư bÊt k× x, y cđa X ta (x y) x y Định nghĩa 1.1.5: Chuẩn không gian tuyến tính X hàm, thờng đợc kí hiệu , xác định toàn không gian X, nhận giá trị hữu hạn có tính chÊt sau: x 0 x X, x  Víi mäi x, yX, xy  0 vµ chØ x=0 x y Với số phần tử bÊt k× x cđa X ta cã x  x Nếu không gian tuyến tính X có chuẩn đợc gọi không gian định chuẩn Không gian định chuẩn X trở thành không gian metric (x, lấy x-y y) Định nghĩa 1.1.6: Không gian định chuẩn X đợc gọi kh«ng gian Banach nÕu X víi víi metric sinh bëi chuẩn không gian metric đầy Ví dụ: Rn và[a, không gian Banach b] C 1.1.2 Toán tử tuyến tính không gian Banach Định nghĩa 1.1.7: Giả sử X Y hai không gian Banach ánh xạ T: X Y đợc gọi tuyến tính : u n 1  dvn1  dv1 u  (3.4.11)  a   d 2n 2n Tõ (3.4.10)vµ (3.4.11) ta cã:  1   u n1   a  a  d  d n     1 v n      a    2n d a    n d (3.4.12) n   Do x n  un d   nªn tõ (3.4.12), ta cã: d  xn  a  d     2n a d   2n 1 1  d  a 2n1       d 2n1 a Bằng quy nạp dễ dàng kiểm tra đợc x(n) xác định nh thoả mãn phơng trình (3.4.5) Trờng hợp d < Đặt d = - q, q > Giả sử un; nghiệm hệ phơng trình sai phân n u n qv n u  v n 1 2u n v n th× u xn  n  u a;  (3.4.13) v1 lµ nghiƯm cđa phơng trình (3.4.5) Để giải phơng trình (3.4.5) trờng hợp ta giải hệ (3.4.13) Bằng cách biến đổi tơng tự phần ta đợc : 2n  2n    un1   a i q   a i q    21n   v   a  n1 2i q i q         2n   a i q    Do xn  un nªn tõ hƯ nghiƯm này, ta thu đợc: i q a i q  i q a  2n 1 2n1    xn     a i q  2n 1 2n1   a i q  Bài toán 3: Tìm dãy số (xn) thoả mãn ®iỊu kiƯn: x1 a;x n (3.4.14) 2x 1  n , n n  dx N 1 Thùc hiÖn cách giải tơng tự toán ta đợc kết là: Trờng hợp d = 0: x2n =x Trêng hỵp d > 0: xn  a d     1ai q  2n 1 Trêng hỵp d < 0:  xn i q 1ai   n1 n1 d  1a d q  a a d n1    n-1    1a d  q  1ai n1 n1     2n1 1ai q n1 Bài toán 4: Tìm số hạng tổng quát dãy số cho công thøc truy håi: xn+k= a1xn+k-1+ a2xn+k-2+□ akxn víi x1, x2, □, xk cho tríc Gi¶i: y1(n) xn  y2(n) xn1 Đặt y (n)3x y1(n) xn y2 (n) y1(n 1) ta đợc hệ: y (n)2 y (n 1)    y (n)   k xnk1   y (n) y  k k1(n 1) kết hợp với giả thiết ta đợc hÖ: y1(n 1) y2 (n)  y (n 1) y3 (n)     y (n 1) y (n) k  k1 y (n 1) a y1 (n) a k k 1 y (n)  a1yk  k (n) Hệ phơng trình đợc viết dới dạng vectơ : y(n+1)=A(n)y(n) 0 0 ®ã A     0  -ak a k  ak+   0       -a1  Đây hệ phơng trình sai phân tuyến tính bậc hệ số biết cách giải (mục 2.2.4) Đối với học sinh trung học phổ thông, toán cho dới dạng đơn giản nh sau: Bài toán 5: Xác định số hạng quát dãy số tuần hoàn chu kỳ pZ  : xn+p=xn, n N Gi¶i: * , x1, x2, , xp cho trớc Hệ cho tơng đơng với hÖ : yn+1=Ayn 0  0     ®ã A   0    Ta có: phơng trình đặc trng hệ Do ma trận A có giá trị riêng là: p     e k  k i p  i sin , víi k=1, 2, , p cos 2k 2k p p Bằng cách tìm p vectơ riêng A tơng ứng với ta giá trị riêng k tìm đợc nghiệm tổng quát phơng trình cho có dạng: x n n  n n 1 p  2 k2   k cos n k1 p p k2 p  i sin n p    Lần lợt cho n=1, 2, , p ta đợc hệ p phơng trình p ẩn , , 1, p  2 , , p , thay vµo ta Giải hệ phơng trình này, ta 1, tìm đợc nghiệm toán tìm đợc cho Ví dụ 3.3.2: Tìm nghiệm tổng quát dãy số {xn}, biết {xn} dãy số tuần hoàn chu kỳ 3, x1=a, x2=b, x3=c Giải : Theo ta có: xn+3 =xn, n N* Ta viết hệ dới dạng yn+1=Ayn 0 ®ã A 0  1 0 0 Ta có: phơng trình đặc trng hệ Do ma trận A có giá trị riêng là: 1;  cos  isin 2,3 2 Các vectơ riêng A tơng ứng với giá trị riêng , là: 1   ; v v 1   ; v     1  2 1             NghiƯm tỉng quát phơng trình cho có dạng: n x n n n 11 v1 2 2 v 3 v , Thay vectơ riêng v1, v2, v3 vào ta đợc nghiệm tổng quát phơng trình là: x n n cos  2  sin  n 2 Thay n=1, 2, vào ta đợc hệ   a      3 b        c     2   1   a b c   a b c Giải hệ phơng trình ta đợc : (a b)     VËy nghiƯm cđa bµi toán cho là: x a b c a b 2c n2 n cos n2  (a b)sin 3 3 Bài toán 6: Tính tích phân sau: In x e  n x  x e n sinxdx; K x cosxdx n 0 Giải: Dùng phơng pháp tích phân phần ta thu đợc: I n nK n1 K n  K n nI n 1 I n I  K nK  Tõ ®ã ta ®ỵc hƯ: n n  n1  I K n nI n1 n n  I   ( I hay In n1  Kn1 ); K n ( In Kn1 K n    );  Thùc hiƯn phÐp ®ỉi biÕn   I  n!xn n  (*) n!y n  K n   ta đợc hệ: xn xn1 yn1; y y     n x n1 yn1; x0   x x y ;  n n  n1  hay x  1 y0  y n1  xn y n ; Hệ đợc viết dới dạng ma trận là: zn+1=Azn 1   1 x   z n ; ; y n   1 A  -1 zn Phơng trình đặc trng:   -1   1    2  1 0  1-  1,2 1i 1       ; v   v1    i  i Nghiệm tổng quát hệ là: Các vectơ riêng tơng ứng là: n 1 n (1 n v z  n v (1 i)  i)  n n    i(1 i)   i(1 i)   n n  n  n    (  i(  ) sin   2     (  n  n  n (   )i cos  )sin    2        n  x  n  isin    ) cos  cos n    n 4   n  n   y  2  i sin n  cos n 4  Cho n=0 ta đợc  ; i  2 n n  2n x  sin   4   co Do vËy: n  s    n 2n  n  sin   y n  co 4    s I n Thay vào (*) ta đợc:  n n n! n1 cos  sin  4     n   n y n n! n n cos n1   sin     KÕt luËn: Trong chơng này, tác giả trình bày ứng dụng hệ phơng trình sai phân để giải gần toán biên phơng trình vi phân cấp hai, phơng trình truyền nhiệt chiều; tính toán ¶nh hëng cđa thủ triỊu ®Õn chÕ ®é Èm cđa đờng đồng Nam Bộ Đặc biệt, tác giả trình bày ứng dụng hệ phơng trình sai phân vào giải số toán phổ thông, phục vụ công tác chuyên môn thân Kết luận chung Luận văn nghiên cứu hệ phơng trình sai phân tuyến tính số ứng dụng việc giải số toán lý thuyết nh thực tế Những kết luận văn là: Xây dựng đợc phơng pháp giải số hệ phơng trình sai phân tuyến tính cấp 2.Xây dựng đợc hệ phơng trình sai phân phơng trình toán tử, điều kiện ổn định hội tụ nghiệm gần nghiệm phơng trình Nêu ứng dụng hệ phơng trình sai phân để tính toán ảnh hởng thuỷ triều đến chế độ ẩm đờng đồng Nam Nêu ứng dụng hệ phơng trình sai phân để giải số toán bậc phổ thông Ngoài số ứng dụng nêu trên, hệ phơng trình sai phân có nhiều ứng dụng ngành khoa học khác Tuy nhiên, thời gian có hạn khuôn khổ luận văn thạc sĩ, ứng dụng không đợc trình bày Hy vọng chúng tiếp tục đợc trình bày nghiên cứu khoa học sau Mặc dù cố gắng nhiều với ủng hộ, giúp đỡ thầy cô giáo bạn bè, nhng luận văn không tránh khỏi vài thiếu sót Vì vậy, mong đợc đóng góp ý kiến bạn đọc để luận văn đợc đầy đủ hoàn thiện hơn, đồng thời giúp cho có thêm kinh nghiệm việc nghiên cứu khoa học giảng dạy sau Một lần xin trân trọng cảm ơn quan tâm giúp đỡ quý thầy cô, bạn bè, gia đình đặc biệt TS Nguyễn Văn Hùng Hội đồng khoa học trờng Đại học S phạm Hà Nội Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Duy Chí (2008), "Tính toán ảnh hởng thuỷ triều đến chÕ ®é Èm cđa nỊn ®êng ë ®ång b»ng Nam bộ", Tracuuxaydung.com [2] Nguyễn Minh Chơng, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phơng trình toán tử, NXB khoa học kĩ thuật Hà Nội [3] Tạ Văn Đĩnh (2002), Phơng pháp sai phân phơng pháp phần tử hữu hạn, NXB Khoa học kĩ thuật [4] Dơng Minh Đức (2000), Giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh [5] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2007), Cơ sơ phơng trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục [6] Nguyễn Văn Mậu (2003), Một số toán chọn lọc dãy số, NXB Giáo dục [7] Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu, Phan Văn Hạp (2003), Phơng pháp sai phân số ứng dụng, NXB Giáo dục [8] Hoàng Tuỵ (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [9] Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phơng trình vi phân đạo hàm riêng, NXB Đại học quốc gia Hµ Néi [10] S.N Elaydi (1995), An Introduction to difference Equations, Springer-Verbg [11] L.C.Loi, N.H.Du, P.K.Anh (2002), "On linear unplicit non- autonomous, systems of difference Equations", J.Diff Eq.Appl, 8(12) ... trình sai phân 2.1 17 17 Phơng trình sai phân 2.2 Hệ phơng trình sai phân tuyến tính bậc 19 2.3 .Hệ phơng trình sai phân phơng trình toán tử 39 Chơng 3: Một số ứng dụng hệ phơng trình sai phân 43... gọi tắt sai phân hữu hạn sai phân Định nghĩa 1.4.2: Ta gọi sai phân cấp hàm xn sai phân sai phân cấp xn, nói chung sai phân cấp k hàm xn sai phân sai phân cấp k-1 hàm số Nh vậy, sai phân cấp hàm... dụng hệ phơng trình sai phân giải gần toán 43 biên phơng trình vi phân cấp hai 3.2 ứng dụng hệ phơng trình sai phân giải gần phơng 47 trình trun nhiƯt mét chiỊu 3.3 øng dơng cđa hƯ ph¬ng trình sai