Phương trình sai phân ẩn

Lý thuyet Floquet cho phương trình sai phân tuyen tính an chí so 1 42 3.1.. Sn liên lac này đưoc mô tá bang h¾ thúc x n+1 = f x n , n n ∈ N n0 Lý thuyet phương trình sai phân tìm đưoc nh

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

Nguyen Th% Vân

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN AN

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC

Chuyên ngành: Giái tích

Mã so: 60 46 01

Ngưài hưáng dan: TS Nguyen Văn Hùng

Hà N®i - 2010

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn này đưoc thnc hi¾n và hoàn thành tai trưòng Đai hoc sưpham Hà N®i 2 Trưóc het, tác giá xin bày tó sn kính trong, lòng biet ơnsâu sac tói thay giáo TS Nguyen Văn Hùng đã luôn hưóng dan và chí báochu đáo, t¾n tình, nghiêm khac trong suot quá trình tác giá hoc t¾p và

nghiên cúu lu¾n văn

Tác giá xin chân thành cám ơn Ban giám hi¾u, phòng Sau đai hoc,trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2 cũng như toàn the các thay cô giáotrong trưòng đã quan tâm và dành cho tác giá nhung đieu ki¾n tot nhattrong thòi gian hoc t¾p và nghiên cúu tai đây

Tác giá cũng trân trong gúi lòi cám ơn tói Só Giáo duc và Đào tao VĩnhPhúc, trưòng Trung cap ky thu¾t Vĩnh Phúc đã tao đieu ki¾n giúp đõ đe tácgiá đưoc tham gia khóa hoc bo ích này

Cuoi cùng, tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói nhung ngưòi thân và ban bè

đã ưu ái, giúp đõ, đ®ng viên, khích l¾ đe tác giá hoàn thành khóa hoc cũngnhư lu¾n văn này

Hà N®i, tháng 9 năm 2010

Tác giá

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi, đưochoàn thành dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hùng

Trong khi nghiên cúu lu¾n văn, tôi đã ke thùa thành quá khoa hoc cnacác nhà khoa hoc nghiên cúu vói sn trân trong biet ơn

Hà N®i, tháng 9 năm 2010

Tác giá

Mnc lnc

1.1

Không gian v ectơ 4

1.1.1 Khái ni¾m không gian v ectơ 4

1.1.2 Không gian v ectơ con 5

1.1.3 Đ®c l¾p tuy en tính 6

1.2 Ma tr¾n và đ%nh thúc 7

1.2.1 Ma tr¾n 7

1.2.2 Hoán v% v à phép the 7

1.2.3 Đ%nh thúc cna ma tr¾n vuông 8

1.2.4 Ma tr¾n ngh%c h đáo 8

1.3 Ánh xa tuy en tính 8

1.3.1 Ánh xa tuy en tính 8

1.3.2 Ma tr¾n bieu dien ánh xa tuy en tính 9

1.4 Phép chieu - C¾p chí so cna ma tr¾n 9

1.5 Sai phân 10

1.5.1 Khái ni¾m sai phân 10

1.5.2 M®t so tính c hat 10

Ch ương 2 Ph ương trình sai phân 14

2.1 Phương trình sai phân tuy en tính 14

2.1.1 Đ%nh nghĩa 14

2.1.2 Nghi¾m 15

2.1.3 T uy en tính hóa 21

2.1.4 Dang chính tac cna phương trình sai phân tuyen tính 23 2.2 Phương trình sai phân tuy en tính cap 1 24

2.2.1 Đ%nh nghĩa 24

2.2.2 Nghi¾m 25

2.3 Phương trình sai phân tuyen tính cap 2 27

2.3.1 Đ%nh nghĩa 27

2.3.2 Nghi¾m 28

2.4 Phương trình sai phân vói h¾ so bien thiên 37

2.4.1 Phương trình sai phân tuyen tính cap 1 vói h¾ so bien thiên 37

2.4.2 Phương trình sai phân tuyen tính cap hai vói h¾ so bien thiên 38

Chương 3 Lý thuyet Floquet cho phương trình sai phân tuyen tính an chí so 1 42 3.1 Lý thuyet Floquet cho phương trình vi phân tuyen tính 42

3.2 Lý thuyet Floquet cho phương trình sai phân tuyen tính 43

3.3 Lý thuyet Floquet cho phương trình vi phân đai so tuyen tính chí so 1 45

3.3.1 Phương trình vi phân đai so tuyen tính chí so 1 45

3.3.2 Lý thuyet Floquet cho phương trình vi phân đai so tuyen tính chí so 1 46

3.4 Phương trình sai phân tuyen tính an chí so 1 48

3.4.1 Khái ni¾m chí so 48

3.4.2 M®t so tính chat cơ bán cna phương trình sai phân an tuyen tính chí so 1 52

3.5 Lý thuyet Floquet 55

3.5.1 Đ%nh lý Kronecker 55

3.5.2 Đ%nh lý Floquet 60

3.5.3 Đ%nh lý Lyapunov 63

Mé ĐAU

1 Lý do chon đe tài

Phương trình sai phân thưòng xuat hi¾n khi ngưòi ta mô tá nhung hi¾ntưong tien hoá quan sát đưoc trong tn nhiên Chang han, xét quá trình pháttrien dân so tùng năm m®t cna m®t quoc gia hay m®t vùng nào đó Neu

goi x n+1 là so dân tai thòi điem năm n + 1 thì x n+1 là hàm cna so dân x n

tai thòi điem năm trưóc đó Sn liên lac này đưoc mô tá bang h¾ thúc

x n+1 = f (x n , n) n ∈ N n0

Lý thuyet phương trình sai phân tìm đưoc nhieu úng dung trong các lĩnhvnc cna toán hoc cũng như các khoa hoc khác, chang han giái tích so, lýthuyet đieu khien, lý thuyet xác suat, giái tích to hop, khoa hoc máy tính, lýthuyet mach, lý thuyet lưong tú

Trong thnc te, có nhieu bài toán dan ve nghiên cúu phương trình saiphân an M®t mô hình thnc te tiêu bieu ve van đe này là mô hình kinh teLeontief

Mô hình kinh te này đưoc mô tá bói h¾ suy bien

x n = Ax n + B(x n+1 − x n ) + d n ,

Trong đó, nen kinh te đưoc chia thành m lĩnh vnc sán xuat, x n là vectơ gom

m thành phan mà thành phan thú i cna nó là giá tr% sán xuat hàng hóa cna

lĩnh vnc sán xuat thú i trong thòi điem n, A là ma tr¾n sán xuat, Ax n là

phan tiêu hao trong sán xuat, B là ma tr¾n đau tư, B(x n+1 − x n) là giá tr%

loi nhu¾n sinh ra và d n là vectơ tiêu dùng Ma tr¾n đau tư B = (b ii) ∈

Rm×m gom các thành phan b ii là so hàng hóa cna lĩnh vnc sán xuat thú i

mà lĩnh vnc sán xuat thú j can đe sán xuat ra m®t đơn v% hàng hóa cna

lĩnh vnc đó Vì v¾y, trong thnc te ma tr¾n B thưòng suy bien, chang hanlĩnh vnc sán

xuat thú i nào đó không sán xuat hàng hóa thì hàng thú i cna ma tr¾n B

là

1 V¾y (0.1) thưòng là phương trình sai phân an

Vi¾c nghiên cúu phương trình sai phân, trong đó có phương trình saiphân an là m®t van đe thòi sn cna toán hoc và đưoc nhieu nhà khoa hocquan tâm Vói mong muon đưoc tìm hieu m®t cách rõ ràng và sâu r®nghơn ve lý thuyet phương trình sai phân, tôi đã chon đe tài

“Phương trình sai phân an”.

Lu¾n văn ngoài phan mó đau, ket lu¾n và tài li¾u tham kháo, gom bachương

Chương 1 M®t so kien thúc chuan b% Chương này trình bày các kien thúc cơ só đe sú dung cho các chương sau

Chương 2 Phương trình sai phân tuyen tính Chương này trình bày m®t sodang phương trình sai phân tuyen tính và cách giái

Chương 3 Lý thuyet Floquet cho phương trình sai phân tuyen tính an chí so

2 Đây là chương chính cna lu¾n văn, trình bày khái ni¾m và tính chat cnaphương trình sai phân tuyen tính an chí so 1, trình bày lý thuyet Floquetcho phương trình sai phân tuyen tính an và áp dung ket quá thu đưoc chobài toán Cauchy đoi vói phương trình sai phân tuyen tính an chí so 1

2 Mnc đích nghiên cNu

Nghiên cúu các kien thúc cơ bán cna phương trình sai phân sau đó mór®ng lên phương trình sai phân an

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

* H¾ thong hóa các kien thúc ve phương trình sai phân

* Lý thuyet Floquet cho phương trình sai phân tuyen tính an chí so 1

2

4 Đoi tưang nghiên cNu

Đe tài t¾p trung nghiên cúu chn yeu vào phương trình sai phân tuyentính an chí so 1, xây dnng lý thuyet Floquet cho phương trình sai phântuyen tính an Áp dung ket quá thu đưoc cho bài toán Cauchy đoi vóiphương trình sai phân tuyen tính an chí so 1

5 Phương pháp nghiên cNu

Sú dung các phương pháp nghiên cúu gan đúng cna Giái tích so

6 NhÑng đóng góp mái cúa đe tài

- Trình bày lý thuyet Floquet cho phương trình sai phân tuyen tính an chí

so 1

3

Chương 1 M®t so kien thNc chuan b%

1.1 Không gian vectơ

1.1.1. Khái ni¾m không gian vectơ

Đ%nh nghĩa 1.1 Không gian vectơ trên trưòng K là t¾p V khác ∅ vói hai

phép toán:

(u, v) ›→ u + v (α, v) ›→ αv thóa mãn các tiên đe sau: vói moi u, v, w ∈ V, α, β ∈ K

• 1u = u1 = u, trong đó 1 là phan tú đơn v% cúa K

Khi K = R thì V đưoc goi là không gian vectơ thnc

Khi K = C thì V đưoc goi là không gian vectơ phúc

Các phan tú cna V đưoc goi là các vectơ, các phan tú cna K đưoc goi làcác phan tú vô hưóng

1.1.2. Không gian vectơ con

Đ%nh nghĩa 1.2 Giá sú V là m®t không gian vectơ và W là m®t t¾p con

cúa V Ta báo t¾p W là on đ%nh (hay đóng kín) đoi vói hai phép toán trên V

neu:

Ta báo t¾p W là m®t không gian vectơ con cúa V neu W on đ%nh vói hai phép

toán trên V và cùng vói hai phép toán cúa V han che trên nó, W cũng là m®t

không gian vectơ trên trưòng K.

Không gian sinh bái h¾ S: Không gian W bé nhat chúa h¾ vectơ S đưoc goi là không gian sinh bói h¾ S ký hi¾u W = spanS và S đưoc goi là

h¾ sinh cna W

W = spanS bang t¾p hop tat cá các to hop tuyen tính cna S.

Neu V = spanS, S = {v1, v2, , v n } huu han thì V đưoc goi là không

gian huu han sinh

Lúc đó, vói moi u ∈ V; u = x1v1 + x2v2 + + x n v n , x1, x2, , x n ∈ K.

Tong cúa m®t ho không gian vectơ con: Giá sú W1, W2, , Wn là

n không gian con cna V Ta ký hi¾u W1 + W2 + + Wn là tong cna cáckhông gian con W1, W2, , Wn và đưoc đ%nh nghĩa như sau:

u ∈ W1 + W2 + + W n khi và chí khi u = u1 + u2 + · · · + u n , trong đó

u i ∈ W i , i = 1, 2, , n

Khi moi u ∈ W1 + W2 + · · · + W n cách viet trên duy nhat thì tong cáckhông

1 0

gian con này đưoc goi là tong trnc tiep Lúc đó ta ký hi¾u

Đ%nh nghĩa 1.3 a) Cho K- không gian vectơ V M®t to hop tuyen tính cúa

các vectơ v1, , v n ∈ V là m®t bieu thúc dang

Đ%nh nghĩa 1.4 (Đ®c l¾p tuyen tính và phn thu®c tuyen tính)

Trong không gian vectơ V

a)H¾ n vectơ S = {v1, v2, , v n } cúa V đưoc goi là đ®c l¾p tuyen tính neu: α1v1 + α2v2 + · · · + α n v n = 0, α1, α2, , α n ∈ K thì α1 = α2 = =

α n = 0 b)H¾ n vectơ S = {α1, α2, , α n } đưoc goi là phn thu®c tuyen tính neu h¾ đó không đ®c l¾p tuyen tính.

H¾ con {v1, v2, , v n } cna h¾ S đưoc goi là đ®c l¾p tuyen tính toi

đai cna S neu nó là h¾ đ®c l¾p tuyen tính và neu thêm bat kỳ vectơ nào cna S thì ta có h¾ phu thu®c tuyen tính.

Moi h¾ vectơ S đeu có h¾ con đ®c l¾p tuyen tính toi đai, so vectơ cna các h¾ con đ®c l¾p tuyen tính toi đai cna S đeu bang nhau và ta goi là hang cna S, ký hi¾u rankS

Moi h¾ sinh đ®c l¾p tuyen tính cna V đưoc goi là m®t cơ só cna V Moikhông

gian huu han sinh V đeu ton tai cơ só So phan tú cna moi cơ só cna V đeu

bang nhau và đưoc goi là so chieu cna V, ký hi¾u dimV.

Ma tr¾n A đưoc viet tat dưói dang [a ij ]m×n

Khi m = n ta goi A là ma tr¾n vuông cap n × n

Ma tr¾n không 0 = [0]m×n (các phan tú đeu bang 0)

Ma tr¾n đơn v% cap n: Ma tr¾n I n vuông cap n có các phan tú trên

đưòng chéo chính bang 1, các phan tú còn lai bang 0 Vói moi ma tr¾n A cap m × n

Đ%nh nghĩa 1.6 Moi song ánh σ : {1, 2, , n} → {1, 2, , n} đưoc

goi là m®t phép the b¾c n, ánh cúa m®t phép the đưoc goi là m®t hoán v%.

Neu có c¾p i < j mà σ(i) > σ(j) thì ta nói có m®t ngh%ch the cna σ Giá sú k là so ngh%ch the cna σ, ta đ%nh nghĩa và ký hi¾u dau cna phép

the

σ:

sgnσ = (−1) k

1 2





.

T¾p các phép the b¾c n ký hi¾u S n T¾p S n có đúng n! phan tú.

Đ%nh nghĩa 1.8 Ma tr¾n A vuông goi là khá ngh%ch neu ton tai ma tr¾n

vuông cùng cap B sao cho AB = BA = I Vì phép nhân ma tr¾n có tính ket hop nên B neu ton tai thì duy nhat và ta goi là ma tr¾n ngh%ch đáo cúa A,

ký hi¾u A −1

Đ%nh lý 1.1 A khá ngh%ch khi và chs khi detA ƒ= 0 và A −1 = 1 B t , vói

B = [A ij ]n×n , trong đó A ij là phan bù đai so cúa phan tú a ij cúa ma tr¾n

A, đưoc goi là ma tr¾n phn hop cúa A.

1.3 Ánh xa tuyen tính

1.3.1. Ánh xa tuyen tính

Đ%nh nghĩa 1.9 Cho V, W là hai không gian vectơ trên trưòng K Ánh xa

f tù không gian vectơ V vào không gian vectơ W thóa mãn:

• Vói moi u, v ∈ V : f (u + v) = f (u) + f (v)

• Vói moi α ∈ K, u ∈ V : f (αu) = αf (u)

đưoc goi là ánh xa tuyen tính.

Khi V = W thì f đưoc goi là tn đong cau hay toán tú tuyen tính.

T¾p các ánh xa tuyen tính tù V vào W đưoc ký hi¾u là Hom(V, W) hay

L( V, W) Ta xác đ%nh hai phép toán (+, ) trên t¾p các ánh xa tuyen

tính tù V vào W Vói hai phép toán này thì (Hom(V, W), +, ) có cau trúc không gian vectơ và dimHom(V, W) = dimV.dimW.

Nhân và ánh cúa ánh xa tuyen tính Vói ánh xa tuyen tính f : V → W

13

det A

ta ký hi¾u và đ%nh nghĩa Kerf = f −1 (0) là hat nhân và Imf = f (V) là

ánh

cna f Chieu cna Imf đưoc goi là hang cna ánh xa tuyen tính f , ký

hi¾u

rankf Ta có:

dim V = rankf + dimKerf

1.3.2. Ma tr¾n bieu dien ánh xa tuyen tính

Cho ánh xa tuyen tính f : V → W.

Giá sú B = {e1, e2, , e n } là m®t cơ só cna V, B r = {w1, w2, , w n }

là m®t cơ só cna W Ma tr¾n A = [a ij ]m×n cna h¾ vectơ {f (e1), e2), ,

e n)} trong cơ só B đưoc goi là ma tr¾n cna ánh xa tuyen tính f úng vói hai

cơ só B, B r Neu x1, x2, , x n là toa đ® cna v ∈ V trong cơ só B, y1, y2, , y n là toa đ® cna f (v) ∈ W trong cơ só B r thì

Nh¾n xét 1.1 i) Cho P là phép chieu Khi đó, ta có: KerP ⊕ ImP = R n

ii) Moi phân tích Rn = U ⊕ V ton tai duy nhat m®t phép chieu P sao cho imP = U và kerP = V , khi đó P đưoc goi là phép chieu lên U doc theo V

Đ¾t Q := I − P thì Q cũng là m®t phép chieu và là phép chieu lên V

doc theo U



Đ%nh nghĩa 1.11 (Chs so cúa ma tr¾n) Cho A ∈ L(R n ) So tn nhiên k

đưoc goi là chs so cúa ma tr¾n A, ký hi¾u là indA, neu đó là so nhó nhat mà KerA k = KerA k+1.

indA = min{k ∈ N : KerA k =

KerA k+1}

Đ%nh lý 1.2 Vói moi A ∈ L(R n ) ta luôn có:

imA k + kerA k ⊂ R n vói moi k thóa mãn: 0 < k < indA

imA k + kerA k = imA k ⊕ kerA k = Rn vói moi k thóa mãn: k “ indA

1.5 Sai phân

1.5.1. Khái ni¾m sai phân

Đ%nh nghĩa 1.12 Giá sú f : R → R là m®t hàm so cho trưóc và h là m®t

hang so khác 0 Ta goi

∆0f (x) = f (x) là sai phân cap 0 cúa hàm so y = f (x).

∆1f (x) = f (x + h) − f (x) là sai phân cap m®t cúa hàm so y = f (x).

∆2f (x) = ∆(∆1f (x)) = ∆f (x + h) − ∆f (x) = f (x + 2h) − 2f (x + h) + f (x)

là sai phân cap hai cúa hàm so y = f (x).

Quy nap: ∆ n f (x) = ∆(∆ n−1 f (x))(∀n ∈ N ∗ ) là sai phân cap n cúa hàm so

1 1 k

∆k x n =

.(−1) i C i x n +k i

i=0

ta chúng minh (1.3) đúng vói k + 1, nghĩa là

.(−1) i C i−1 x + (−1) k+1x

Theo quy lu¾t quy nap, công thúc (1.3) đúng vói moi giá tr% n nguyên dương.

Tính chat 2 Sai phân moi cap cna hàm so là m®t toán tú tuyen tính.

k i − (−1) i C i

x n +k

k+ 1

Chúng minh Ta phái chúng minh

∆k (ax n + by n ) = a∆ k x n + b∆ k y n

= 0

k

k

1) +

(

−

1)

n

+

k i

= 0

k

−1)

= (

x

i

=+

chat 2, sai phân moi

cap là toán tú tuyen

−

Giá sú tính chat này đúng

Chương 2 Phương trình sai phân

2.1 Phương trình sai phân tuyen tính

Phương trình (2.1) goi là phương trình sai phân tuyen tính b¾c k, vì tính giá tr% x n ta phái cho trưóc k giá tr% liên tiep cúa x n theo công thúc truy hoi.

• Neu f n ≡ 0 thì (2.1) đưoc goi là phương trình sai phân tuyen tính thuan

nhat

• Neu f n ƒ= 0 thì (2.1) đưoc goi là phương trình sai phân tuyen tính

không thuan nhat

• Neu f n ≡ 0 và a0, a1, · · · , a k là các hang so, a0 ƒ= 0, a k ƒ= 0 thì

phương trình (2.1) tró thành

L h x n = a0x n +k + a1x n +k−1 + · · · + a k x k = 0 (2.2)Khi đó phương trình (2.1) đưoc goi là phương trình sai phân tuyen tínhthuan nhat b¾c k vói các h¾ so hang so

2.1.2. Nghi¾m

Nghi¾m tong quát

Hàm so x n bien n, thóa mãn (2.1) đưoc goi là nghi¾m cna phương trình

sai phân tuyen tính (2.1) Hàm so

đưoc goi là nghi¾m tong quát cna (2.2), neu vói moi t¾p giá tr% ban đau

x0, x1, · · · , x k−1 ta đeu xác đ%nh đưoc duy nhat các tham so C1, C2, · · · , C k đe nghi¾m x n tró thành nghi¾m riêng cna (2.2) túc là thóa mãn (2.2)

Chúng minh Th¾t v¾y, giá sú x n và

n n

trong đó C1, C2, · · · , C k là các hang so tùy ý.

Chúng minh Theo tính chat tuyen tính cna L h, ta có:

vì theo giá thiet x n là nghi¾m, túc là L h x n i = 0 V¾y x˜ n là nghi¾m cna

(2.2) Giá sú x0, x1, · · · , x k−1 là các giá tr% ban đau tùy ý Ta chúng minh rang, có

the xác đ%nh duy nhat các hang so C1, C2, , C k đe

cna (2.1) Vì phương trình thuan

nhat (2.2) luôn có nghi¾m x n = 0 nên đe tìm nghi¾m tong quát ta tìm x n cna (2.2) dưói dang x n = Cλ n ƒ= 0, λ ƒ= 0 Thay x n = Cλ n vào (2.2) và

ưóc lưong cho Cλ n ƒ= 0 ta đưoc

L h λ = a0λ k + a1λ k−1 + · · · + a k = 0 (2.3)Phương trình (2.3) đưoc goi là phương trình đ¾c trưng cna (2.2) Nghi¾m

x˜

cna (2.2) và

x ∗

cna (2.1) phu thu®c cot yeu vào cau trúc nghi¾m cna (2.3)

Đ%nh lý 2.3 Neu (2.3) có k nghi¾m thnc khác nhau là λ1, λ2, , λ k thì

n

n

trong đó C i , i = 1, k là các hang so tùy ý.

k≥i≥j≥1

i − j ƒ

λ k−1 k−1 k−1

trong đó r = |λ j | = √ a2 + b2, ϕ = acgumenλ j thì (2.3) cũng có nghi¾m

liên hop phúc λ¯ j = a − bi = r(cos ϕ − i sin ϕ) Khi đó ta có:

i= 1

i

i

n n

làm các nghi¾m đ®c l¾p tuyen tính cna (2.2), khi đó:

Neu phương trình đ¾c trưng (2.3) có nghi¾m phúc: λ j b®i s, thì nó cũng

có nghi¾m liên hop phúc λ¯ j b®i s;

Trong trưòng hop này ngoài nghi¾m λ j1 = r

lay thêm 2n − 2 vectơ nghi¾m bo sung

trong đó C1, A1, A2, , A s , B1, B2, , B s là các hang so tùy ý

Ví dn 2.1 Tìm nghi¾m tong quát cna phương trình sai phân:

x n+4 − x n+3 − 3x n+2 + 5x n+1 − 2x n = 0Giái Phương trình đ¾c trưng:

λ4 − λ3 − 3λ2 + 5λ − 2 = 0

có các nghi¾m λ1 = 1 b®i 3 và λ2 = −2 nên phương trình sai phân có

nghi¾m tong quát là:

x˜ n = C1 + C2n + C3n2 + C4(−2) n ,

trong đó C1, C2, C3, C4 là các hang so tuỳ ý

Ví dn 2.2 Tìm nghi¾m tong quát cna phương trình sai phân:

n n

i

Giái Phương trình trên có phương trình đ¾c trưng là:

Phương pháp chung đe tìm nghi¾m riêng

tính không thuan nhat (2.1) là xây dnng hàm Green Sau đây là m®t sotrưòng hop đ¾c bi¾t:

• Trưòng hop f n là đa thúc b¾c m cúa n; m ∈ N

Neu các nghi¾m λ1, λ2, λ k là các nghi¾m thnc khác 1 cna phương trình

là đa thúc cna n cùng b¾c m vói f n

• Trưòng hop f n = P m (n).β n , trong đó P m (n) là đa thúc b¾c m cúa n;

trong đó Q m (n) là đa thúc cùng b¾c vói f n

• Trưòng hop f n = α cos nx + β sin nx, vói α, β là các hang so.

Trong trưòng hop này nghi¾m riêng

Ví dn 2.3 Tìm nghi¾m riêng

x n+3 −6x n+2 +11x n+1 −6x n

= 4(n −1)−2 n+1 +2.3 n+1 +Giái Phương trình đ¾c

nπ

5√

3+32

n π

cos3

5√

3+2

nπ

cos3

5√

3+2

n π

cos3

Vì phương trình đ¾c trưng có nghi¾m: λ

n

1

n4 3 3

3

n π

cos(

n

+1)3

5

√

3+2

nπ

cos3

Đong nhat hai

n

n

π

.Ket hop các ket

quá trên ta đưoc:

2

n

+

n

3

n

n π

so Đieu này làm

tăng hi¾u quá

úng dung cna

phươngtrình saiphân

trình f (x) =

0 Các giátr% ban đau

phân x n =

ϕ(x n−1 ,

x n−2 , ,

x n−k) làtuyen tínhhóa

đưoc Khi

ki¾n can làton tai các

so α1, α2, , α k đe

x n = α1x n−1

+ α2x n−2 + ·

· · + α k x n−k

Đe tìm a1, a2, , a k, trưóchet ta tínhtheo các giá tr

Thay x1, x2, , x k và các giá tr% x k+1, x k+2, , x 2k vùa tìm đưoc vàobieu

thúc x n ta đưoc h¾ phương trình đai so tuyen tính:

x k+1 = a1x k + a2x k−1 + +

a k x1 x k+2 = a1x k+1 + a2x k + +

a k x2 .

x 2k = a1x 2k−1 + a2x 2k−2 + + a k x k

Neu h¾ trên tương thích thì ta đưoc x n = α1x n−1 + α2x n−2 + · · · +

α k x n−k là dang tuyen tính hóa cna x n = ϕ(x n−1 , x n−2 , + x n−k) Ta kiemtra đieu ki¾n đn bang phép chúng minh quy nap

Giá sú công thúc đúng vói n = k, túc là x k = 4x k−1 − x k−2

Ta chúng minh rang công thúc đúng vói n = k + 1, túc là x k+1 = 4x k −

k 1

Theo nguyên lý quy nap, ta đưoc x n+1 = 4x n − x n−1 , n = 3, 4,

Tìm so hang tong quát: Xét phương trình sai phân: x n = 4x n−1 − x n−2 Ta

2.1.4. Dang chính tac cúa phương trình sai phân tuyen tính

Moi phương trình sai phân tuyen tính đeu có the đưa ve dang chính tac

˙y n+1 = A˙y n + f˙ n , ˙y0 cho trưóc Trong đó ˙y n là m®t vectơ, có các thành

phan là các giá tr% cna hàm lưói x n , f˙ n là m®t vectơ cna n, còn A là m®t

toán tú tuyen tính Cách làm như sau: Xét phương trình sai phân tuyen

Theo cách đ¾t vectơ ˙y n, ta có h¾ thúc hien nhiên

y(1)

n = x n+1, y

(2 ) = y y (3) = x n+2, (k−1

Như v¾y (*) đưoc đưa ve dang chính tac ˙y n+1 = A˙y n + f˙ n , ˙y0 cho trưóc

Ví dn 2.5 Viet phương trình sai phân sau dưói dang chính tac

Dang chính tac se là ˙y n+1 = A˙y n (do f˙ n = 0) vói A, ˙y0 đã biet ó trên

2.2 Phương trình sai phân tuyen tính cap 1