Lý thuyet Floquet cho phương trình sai phân tuyen tính an chí so 1 42 3.1.. Sn liên lac này đưoc mô tá bang h¾ thúc x n+1 = f x n , n n ∈ N n0 Lý thuyet phương trình sai phân tìm đưoc nh
Trang 1B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
Nguyen Th% Vân
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN AN
LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC
Chuyên ngành: Giái tích
Mã so: 60 46 01
Ngưài hưáng dan: TS Nguyen Văn Hùng
Hà N®i - 2010
Trang 2LèI CÁM ƠN
Lu¾n văn này đưoc thnc hi¾n và hoàn thành tai trưòng Đai hoc sưpham Hà N®i 2 Trưóc het, tác giá xin bày tó sn kính trong, lòng biet ơnsâu sac tói thay giáo TS Nguyen Văn Hùng đã luôn hưóng dan và chí báochu đáo, t¾n tình, nghiêm khac trong suot quá trình tác giá hoc t¾p và
nghiên cúu lu¾n văn
Tác giá xin chân thành cám ơn Ban giám hi¾u, phòng Sau đai hoc,trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2 cũng như toàn the các thay cô giáotrong trưòng đã quan tâm và dành cho tác giá nhung đieu ki¾n tot nhattrong thòi gian hoc t¾p và nghiên cúu tai đây
Tác giá cũng trân trong gúi lòi cám ơn tói Só Giáo duc và Đào tao VĩnhPhúc, trưòng Trung cap ky thu¾t Vĩnh Phúc đã tao đieu ki¾n giúp đõ đe tácgiá đưoc tham gia khóa hoc bo ích này
Cuoi cùng, tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói nhung ngưòi thân và ban bè
đã ưu ái, giúp đõ, đ®ng viên, khích l¾ đe tác giá hoàn thành khóa hoc cũngnhư lu¾n văn này
Hà N®i, tháng 9 năm 2010
Tác giá
Trang 3LèI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi, đưochoàn thành dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hùng
Trong khi nghiên cúu lu¾n văn, tôi đã ke thùa thành quá khoa hoc cnacác nhà khoa hoc nghiên cúu vói sn trân trong biet ơn
Hà N®i, tháng 9 năm 2010
Tác giá
Trang 4Mnc lnc
1.1
Không gian v ectơ 4
1.1.1 Khái ni¾m không gian v ectơ 4
1.1.2 Không gian v ectơ con 5
1.1.3 Đ®c l¾p tuy en tính 6
1.2 Ma tr¾n và đ%nh thúc 7
1.2.1 Ma tr¾n 7
1.2.2 Hoán v% v à phép the 7
1.2.3 Đ%nh thúc cna ma tr¾n vuông 8
1.2.4 Ma tr¾n ngh%c h đáo 8
1.3 Ánh xa tuy en tính 8
1.3.1 Ánh xa tuy en tính 8
1.3.2 Ma tr¾n bieu dien ánh xa tuy en tính 9
1.4 Phép chieu - C¾p chí so cna ma tr¾n 9
1.5 Sai phân 10
1.5.1 Khái ni¾m sai phân 10
1.5.2 M®t so tính c hat 10
Ch ương 2 Ph ương trình sai phân 14
2.1 Phương trình sai phân tuy en tính 14
2.1.1 Đ%nh nghĩa 14
2.1.2 Nghi¾m 15
2.1.3 T uy en tính hóa 21
2.1.4 Dang chính tac cna phương trình sai phân tuyen tính 23 2.2 Phương trình sai phân tuy en tính cap 1 24
Trang 52.2.1 Đ%nh nghĩa 24
2.2.2 Nghi¾m 25
2.3 Phương trình sai phân tuyen tính cap 2 27
2.3.1 Đ%nh nghĩa 27
2.3.2 Nghi¾m 28
2.4 Phương trình sai phân vói h¾ so bien thiên 37
2.4.1 Phương trình sai phân tuyen tính cap 1 vói h¾ so bien thiên 37
2.4.2 Phương trình sai phân tuyen tính cap hai vói h¾ so bien thiên 38
Chương 3 Lý thuyet Floquet cho phương trình sai phân tuyen tính an chí so 1 42 3.1 Lý thuyet Floquet cho phương trình vi phân tuyen tính 42
3.2 Lý thuyet Floquet cho phương trình sai phân tuyen tính 43
3.3 Lý thuyet Floquet cho phương trình vi phân đai so tuyen tính chí so 1 45
3.3.1 Phương trình vi phân đai so tuyen tính chí so 1 45
3.3.2 Lý thuyet Floquet cho phương trình vi phân đai so tuyen tính chí so 1 46
3.4 Phương trình sai phân tuyen tính an chí so 1 48
3.4.1 Khái ni¾m chí so 48
3.4.2 M®t so tính chat cơ bán cna phương trình sai phân an tuyen tính chí so 1 52
3.5 Lý thuyet Floquet 55
3.5.1 Đ%nh lý Kronecker 55
3.5.2 Đ%nh lý Floquet 60
3.5.3 Đ%nh lý Lyapunov 63
Trang 6Mé ĐAU
1 Lý do chon đe tài
Phương trình sai phân thưòng xuat hi¾n khi ngưòi ta mô tá nhung hi¾ntưong tien hoá quan sát đưoc trong tn nhiên Chang han, xét quá trình pháttrien dân so tùng năm m®t cna m®t quoc gia hay m®t vùng nào đó Neu
goi x n+1 là so dân tai thòi điem năm n + 1 thì x n+1 là hàm cna so dân x n
tai thòi điem năm trưóc đó Sn liên lac này đưoc mô tá bang h¾ thúc
x n+1 = f (x n , n) n ∈ N n0
Lý thuyet phương trình sai phân tìm đưoc nhieu úng dung trong các lĩnhvnc cna toán hoc cũng như các khoa hoc khác, chang han giái tích so, lýthuyet đieu khien, lý thuyet xác suat, giái tích to hop, khoa hoc máy tính, lýthuyet mach, lý thuyet lưong tú
Trong thnc te, có nhieu bài toán dan ve nghiên cúu phương trình saiphân an M®t mô hình thnc te tiêu bieu ve van đe này là mô hình kinh teLeontief
Mô hình kinh te này đưoc mô tá bói h¾ suy bien
x n = Ax n + B(x n+1 − x n ) + d n ,
Trong đó, nen kinh te đưoc chia thành m lĩnh vnc sán xuat, x n là vectơ gom
m thành phan mà thành phan thú i cna nó là giá tr% sán xuat hàng hóa cna
lĩnh vnc sán xuat thú i trong thòi điem n, A là ma tr¾n sán xuat, Ax n là
phan tiêu hao trong sán xuat, B là ma tr¾n đau tư, B(x n+1 − x n) là giá tr%
loi nhu¾n sinh ra và d n là vectơ tiêu dùng Ma tr¾n đau tư B = (b ii) ∈
Rm×m gom các thành phan b ii là so hàng hóa cna lĩnh vnc sán xuat thú i
mà lĩnh vnc sán xuat thú j can đe sán xuat ra m®t đơn v% hàng hóa cna
lĩnh vnc đó Vì v¾y, trong thnc te ma tr¾n B thưòng suy bien, chang hanlĩnh vnc sán
Trang 7xuat thú i nào đó không sán xuat hàng hóa thì hàng thú i cna ma tr¾n B
là
1 V¾y (0.1) thưòng là phương trình sai phân an
Vi¾c nghiên cúu phương trình sai phân, trong đó có phương trình saiphân an là m®t van đe thòi sn cna toán hoc và đưoc nhieu nhà khoa hocquan tâm Vói mong muon đưoc tìm hieu m®t cách rõ ràng và sâu r®nghơn ve lý thuyet phương trình sai phân, tôi đã chon đe tài
“Phương trình sai phân an”.
Lu¾n văn ngoài phan mó đau, ket lu¾n và tài li¾u tham kháo, gom bachương
Chương 1 M®t so kien thúc chuan b% Chương này trình bày các kien thúc cơ só đe sú dung cho các chương sau
Chương 2 Phương trình sai phân tuyen tính Chương này trình bày m®t sodang phương trình sai phân tuyen tính và cách giái
Chương 3 Lý thuyet Floquet cho phương trình sai phân tuyen tính an chí so
2 Đây là chương chính cna lu¾n văn, trình bày khái ni¾m và tính chat cnaphương trình sai phân tuyen tính an chí so 1, trình bày lý thuyet Floquetcho phương trình sai phân tuyen tính an và áp dung ket quá thu đưoc chobài toán Cauchy đoi vói phương trình sai phân tuyen tính an chí so 1
2 Mnc đích nghiên cNu
Nghiên cúu các kien thúc cơ bán cna phương trình sai phân sau đó mór®ng lên phương trình sai phân an
3 Nhi¾m vn nghiên cNu
* H¾ thong hóa các kien thúc ve phương trình sai phân
* Lý thuyet Floquet cho phương trình sai phân tuyen tính an chí so 1
2
Trang 84 Đoi tưang nghiên cNu
Đe tài t¾p trung nghiên cúu chn yeu vào phương trình sai phân tuyentính an chí so 1, xây dnng lý thuyet Floquet cho phương trình sai phântuyen tính an Áp dung ket quá thu đưoc cho bài toán Cauchy đoi vóiphương trình sai phân tuyen tính an chí so 1
5 Phương pháp nghiên cNu
Sú dung các phương pháp nghiên cúu gan đúng cna Giái tích so
6 NhÑng đóng góp mái cúa đe tài
- Trình bày lý thuyet Floquet cho phương trình sai phân tuyen tính an chí
so 1
3
Trang 9Chương 1 M®t so kien thNc chuan b%
1.1 Không gian vectơ
1.1.1. Khái ni¾m không gian vectơ
Đ%nh nghĩa 1.1 Không gian vectơ trên trưòng K là t¾p V khác ∅ vói hai
phép toán:
(u, v) ›→ u + v (α, v) ›→ αv thóa mãn các tiên đe sau: vói moi u, v, w ∈ V, α, β ∈ K
Trang 10• 1u = u1 = u, trong đó 1 là phan tú đơn v% cúa K
Khi K = R thì V đưoc goi là không gian vectơ thnc
Khi K = C thì V đưoc goi là không gian vectơ phúc
Các phan tú cna V đưoc goi là các vectơ, các phan tú cna K đưoc goi làcác phan tú vô hưóng
1.1.2. Không gian vectơ con
Đ%nh nghĩa 1.2 Giá sú V là m®t không gian vectơ và W là m®t t¾p con
cúa V Ta báo t¾p W là on đ%nh (hay đóng kín) đoi vói hai phép toán trên V
neu:
Ta báo t¾p W là m®t không gian vectơ con cúa V neu W on đ%nh vói hai phép
toán trên V và cùng vói hai phép toán cúa V han che trên nó, W cũng là m®t
không gian vectơ trên trưòng K.
Không gian sinh bái h¾ S: Không gian W bé nhat chúa h¾ vectơ S đưoc goi là không gian sinh bói h¾ S ký hi¾u W = spanS và S đưoc goi là
h¾ sinh cna W
W = spanS bang t¾p hop tat cá các to hop tuyen tính cna S.
Neu V = spanS, S = {v1, v2, , v n } huu han thì V đưoc goi là không
gian huu han sinh
Lúc đó, vói moi u ∈ V; u = x1v1 + x2v2 + + x n v n , x1, x2, , x n ∈ K.
Tong cúa m®t ho không gian vectơ con: Giá sú W1, W2, , Wn là
n không gian con cna V Ta ký hi¾u W1 + W2 + + Wn là tong cna cáckhông gian con W1, W2, , Wn và đưoc đ%nh nghĩa như sau:
u ∈ W1 + W2 + + W n khi và chí khi u = u1 + u2 + · · · + u n , trong đó
u i ∈ W i , i = 1, 2, , n
Khi moi u ∈ W1 + W2 + · · · + W n cách viet trên duy nhat thì tong cáckhông
1 0
Trang 11gian con này đưoc goi là tong trnc tiep Lúc đó ta ký hi¾u
Đ%nh nghĩa 1.3 a) Cho K- không gian vectơ V M®t to hop tuyen tính cúa
các vectơ v1, , v n ∈ V là m®t bieu thúc dang
Đ%nh nghĩa 1.4 (Đ®c l¾p tuyen tính và phn thu®c tuyen tính)
Trong không gian vectơ V
a)H¾ n vectơ S = {v1, v2, , v n } cúa V đưoc goi là đ®c l¾p tuyen tính neu: α1v1 + α2v2 + · · · + α n v n = 0, α1, α2, , α n ∈ K thì α1 = α2 = =
α n = 0 b)H¾ n vectơ S = {α1, α2, , α n } đưoc goi là phn thu®c tuyen tính neu h¾ đó không đ®c l¾p tuyen tính.
H¾ con {v1, v2, , v n } cna h¾ S đưoc goi là đ®c l¾p tuyen tính toi
đai cna S neu nó là h¾ đ®c l¾p tuyen tính và neu thêm bat kỳ vectơ nào cna S thì ta có h¾ phu thu®c tuyen tính.
Moi h¾ vectơ S đeu có h¾ con đ®c l¾p tuyen tính toi đai, so vectơ cna các h¾ con đ®c l¾p tuyen tính toi đai cna S đeu bang nhau và ta goi là hang cna S, ký hi¾u rankS
Moi h¾ sinh đ®c l¾p tuyen tính cna V đưoc goi là m®t cơ só cna V Moikhông
gian huu han sinh V đeu ton tai cơ só So phan tú cna moi cơ só cna V đeu
Trang 12bang nhau và đưoc goi là so chieu cna V, ký hi¾u dimV.
Ma tr¾n A đưoc viet tat dưói dang [a ij ]m×n
Khi m = n ta goi A là ma tr¾n vuông cap n × n
Ma tr¾n không 0 = [0]m×n (các phan tú đeu bang 0)
Ma tr¾n đơn v% cap n: Ma tr¾n I n vuông cap n có các phan tú trên
đưòng chéo chính bang 1, các phan tú còn lai bang 0 Vói moi ma tr¾n A cap m × n
Đ%nh nghĩa 1.6 Moi song ánh σ : {1, 2, , n} → {1, 2, , n} đưoc
goi là m®t phép the b¾c n, ánh cúa m®t phép the đưoc goi là m®t hoán v%.
Neu có c¾p i < j mà σ(i) > σ(j) thì ta nói có m®t ngh%ch the cna σ Giá sú k là so ngh%ch the cna σ, ta đ%nh nghĩa và ký hi¾u dau cna phép
the
σ:
sgnσ = (−1) k
1 2
.
Trang 13T¾p các phép the b¾c n ký hi¾u S n T¾p S n có đúng n! phan tú.
Đ%nh nghĩa 1.8 Ma tr¾n A vuông goi là khá ngh%ch neu ton tai ma tr¾n
vuông cùng cap B sao cho AB = BA = I Vì phép nhân ma tr¾n có tính ket hop nên B neu ton tai thì duy nhat và ta goi là ma tr¾n ngh%ch đáo cúa A,
ký hi¾u A −1
Đ%nh lý 1.1 A khá ngh%ch khi và chs khi detA ƒ= 0 và A −1 = 1 B t , vói
B = [A ij ]n×n , trong đó A ij là phan bù đai so cúa phan tú a ij cúa ma tr¾n
A, đưoc goi là ma tr¾n phn hop cúa A.
1.3 Ánh xa tuyen tính
1.3.1. Ánh xa tuyen tính
Đ%nh nghĩa 1.9 Cho V, W là hai không gian vectơ trên trưòng K Ánh xa
f tù không gian vectơ V vào không gian vectơ W thóa mãn:
• Vói moi u, v ∈ V : f (u + v) = f (u) + f (v)
• Vói moi α ∈ K, u ∈ V : f (αu) = αf (u)
đưoc goi là ánh xa tuyen tính.
Khi V = W thì f đưoc goi là tn đong cau hay toán tú tuyen tính.
T¾p các ánh xa tuyen tính tù V vào W đưoc ký hi¾u là Hom(V, W) hay
L( V, W) Ta xác đ%nh hai phép toán (+, ) trên t¾p các ánh xa tuyen
tính tù V vào W Vói hai phép toán này thì (Hom(V, W), +, ) có cau trúc không gian vectơ và dimHom(V, W) = dimV.dimW.
Nhân và ánh cúa ánh xa tuyen tính Vói ánh xa tuyen tính f : V → W
13
det A
Trang 14ta ký hi¾u và đ%nh nghĩa Kerf = f −1 (0) là hat nhân và Imf = f (V) là
ánh
cna f Chieu cna Imf đưoc goi là hang cna ánh xa tuyen tính f , ký
hi¾u
rankf Ta có:
dim V = rankf + dimKerf
1.3.2. Ma tr¾n bieu dien ánh xa tuyen tính
Cho ánh xa tuyen tính f : V → W.
Giá sú B = {e1, e2, , e n } là m®t cơ só cna V, B r = {w1, w2, , w n }
là m®t cơ só cna W Ma tr¾n A = [a ij ]m×n cna h¾ vectơ {f (e1), e2), ,
e n)} trong cơ só B đưoc goi là ma tr¾n cna ánh xa tuyen tính f úng vói hai
cơ só B, B r Neu x1, x2, , x n là toa đ® cna v ∈ V trong cơ só B, y1, y2, , y n là toa đ® cna f (v) ∈ W trong cơ só B r thì
Nh¾n xét 1.1 i) Cho P là phép chieu Khi đó, ta có: KerP ⊕ ImP = R n
ii) Moi phân tích Rn = U ⊕ V ton tai duy nhat m®t phép chieu P sao cho imP = U và kerP = V , khi đó P đưoc goi là phép chieu lên U doc theo V
Đ¾t Q := I − P thì Q cũng là m®t phép chieu và là phép chieu lên V
doc theo U
Trang 15Đ%nh nghĩa 1.11 (Chs so cúa ma tr¾n) Cho A ∈ L(R n ) So tn nhiên k
đưoc goi là chs so cúa ma tr¾n A, ký hi¾u là indA, neu đó là so nhó nhat mà KerA k = KerA k+1.
indA = min{k ∈ N : KerA k =
KerA k+1}
Đ%nh lý 1.2 Vói moi A ∈ L(R n ) ta luôn có:
imA k + kerA k ⊂ R n vói moi k thóa mãn: 0 < k < indA
imA k + kerA k = imA k ⊕ kerA k = Rn vói moi k thóa mãn: k “ indA
1.5 Sai phân
1.5.1. Khái ni¾m sai phân
Đ%nh nghĩa 1.12 Giá sú f : R → R là m®t hàm so cho trưóc và h là m®t
hang so khác 0 Ta goi
∆0f (x) = f (x) là sai phân cap 0 cúa hàm so y = f (x).
∆1f (x) = f (x + h) − f (x) là sai phân cap m®t cúa hàm so y = f (x).
∆2f (x) = ∆(∆1f (x)) = ∆f (x + h) − ∆f (x) = f (x + 2h) − 2f (x + h) + f (x)
là sai phân cap hai cúa hàm so y = f (x).
Quy nap: ∆ n f (x) = ∆(∆ n−1 f (x))(∀n ∈ N ∗ ) là sai phân cap n cúa hàm so
Trang 161 1 k
∆k x n =
.(−1) i C i x n +k i
i=0
Trang 17ta chúng minh (1.3) đúng vói k + 1, nghĩa là
.(−1) i C i−1 x + (−1) k+1x
Theo quy lu¾t quy nap, công thúc (1.3) đúng vói moi giá tr% n nguyên dương.
Tính chat 2 Sai phân moi cap cna hàm so là m®t toán tú tuyen tính.
k i − (−1) i C i
x n +k
k+ 1
Trang 18Chúng minh Ta phái chúng minh
∆k (ax n + by n ) = a∆ k x n + b∆ k y n
Trang 19= 0
k
k
1) +
(
−
1)
n
+
k i
= 0
k
−1)
= (
x
i
=+
Trang 20chat 2, sai phân moi
cap là toán tú tuyen
−
Giá sú tính chat này đúng
Trang 22Chương 2 Phương trình sai phân
2.1 Phương trình sai phân tuyen tính
Phương trình (2.1) goi là phương trình sai phân tuyen tính b¾c k, vì tính giá tr% x n ta phái cho trưóc k giá tr% liên tiep cúa x n theo công thúc truy hoi.
• Neu f n ≡ 0 thì (2.1) đưoc goi là phương trình sai phân tuyen tính thuan
nhat
• Neu f n ƒ= 0 thì (2.1) đưoc goi là phương trình sai phân tuyen tính
không thuan nhat
• Neu f n ≡ 0 và a0, a1, · · · , a k là các hang so, a0 ƒ= 0, a k ƒ= 0 thì
phương trình (2.1) tró thành
L h x n = a0x n +k + a1x n +k−1 + · · · + a k x k = 0 (2.2)Khi đó phương trình (2.1) đưoc goi là phương trình sai phân tuyen tínhthuan nhat b¾c k vói các h¾ so hang so
Trang 232.1.2. Nghi¾m
Nghi¾m tong quát
Hàm so x n bien n, thóa mãn (2.1) đưoc goi là nghi¾m cna phương trình
sai phân tuyen tính (2.1) Hàm so
đưoc goi là nghi¾m tong quát cna (2.2), neu vói moi t¾p giá tr% ban đau
x0, x1, · · · , x k−1 ta đeu xác đ%nh đưoc duy nhat các tham so C1, C2, · · · , C k đe nghi¾m x n tró thành nghi¾m riêng cna (2.2) túc là thóa mãn (2.2)
Chúng minh Th¾t v¾y, giá sú x n và
n n
Trang 24trong đó C1, C2, · · · , C k là các hang so tùy ý.
Chúng minh Theo tính chat tuyen tính cna L h, ta có:
Trang 25vì theo giá thiet x n là nghi¾m, túc là L h x n i = 0 V¾y x˜ n là nghi¾m cna
(2.2) Giá sú x0, x1, · · · , x k−1 là các giá tr% ban đau tùy ý Ta chúng minh rang, có
the xác đ%nh duy nhat các hang so C1, C2, , C k đe
cna (2.1) Vì phương trình thuan
nhat (2.2) luôn có nghi¾m x n = 0 nên đe tìm nghi¾m tong quát ta tìm x n cna (2.2) dưói dang x n = Cλ n ƒ= 0, λ ƒ= 0 Thay x n = Cλ n vào (2.2) và
ưóc lưong cho Cλ n ƒ= 0 ta đưoc
L h λ = a0λ k + a1λ k−1 + · · · + a k = 0 (2.3)Phương trình (2.3) đưoc goi là phương trình đ¾c trưng cna (2.2) Nghi¾m
x˜
cna (2.2) và
x ∗
cna (2.1) phu thu®c cot yeu vào cau trúc nghi¾m cna (2.3)
Đ%nh lý 2.3 Neu (2.3) có k nghi¾m thnc khác nhau là λ1, λ2, , λ k thì
n
n
Trang 27trong đó C i , i = 1, k là các hang so tùy ý.
k≥i≥j≥1
i − j ƒ
λ k−1 k−1 k−1
trong đó r = |λ j | = √ a2 + b2, ϕ = acgumenλ j thì (2.3) cũng có nghi¾m
liên hop phúc λ¯ j = a − bi = r(cos ϕ − i sin ϕ) Khi đó ta có:
i= 1
i
i
n n
Trang 29làm các nghi¾m đ®c l¾p tuyen tính cna (2.2), khi đó:
Neu phương trình đ¾c trưng (2.3) có nghi¾m phúc: λ j b®i s, thì nó cũng
có nghi¾m liên hop phúc λ¯ j b®i s;
Trong trưòng hop này ngoài nghi¾m λ j1 = r
lay thêm 2n − 2 vectơ nghi¾m bo sung
trong đó C1, A1, A2, , A s , B1, B2, , B s là các hang so tùy ý
Ví dn 2.1 Tìm nghi¾m tong quát cna phương trình sai phân:
x n+4 − x n+3 − 3x n+2 + 5x n+1 − 2x n = 0Giái Phương trình đ¾c trưng:
λ4 − λ3 − 3λ2 + 5λ − 2 = 0
có các nghi¾m λ1 = 1 b®i 3 và λ2 = −2 nên phương trình sai phân có
nghi¾m tong quát là:
x˜ n = C1 + C2n + C3n2 + C4(−2) n ,
trong đó C1, C2, C3, C4 là các hang so tuỳ ý
Ví dn 2.2 Tìm nghi¾m tong quát cna phương trình sai phân:
n n
i
Trang 30Giái Phương trình trên có phương trình đ¾c trưng là:
Phương pháp chung đe tìm nghi¾m riêng
tính không thuan nhat (2.1) là xây dnng hàm Green Sau đây là m®t sotrưòng hop đ¾c bi¾t:
• Trưòng hop f n là đa thúc b¾c m cúa n; m ∈ N
Neu các nghi¾m λ1, λ2, λ k là các nghi¾m thnc khác 1 cna phương trình
là đa thúc cna n cùng b¾c m vói f n
• Trưòng hop f n = P m (n).β n , trong đó P m (n) là đa thúc b¾c m cúa n;
trong đó Q m (n) là đa thúc cùng b¾c vói f n
• Trưòng hop f n = α cos nx + β sin nx, vói α, β là các hang so.
Trong trưòng hop này nghi¾m riêng
Trang 32Ví dn 2.3 Tìm nghi¾m riêng
x n+3 −6x n+2 +11x n+1 −6x n
= 4(n −1)−2 n+1 +2.3 n+1 +Giái Phương trình đ¾c
nπ
5√
3+32
n π
cos3
5√
3+2
nπ
cos3
5√
3+2
n π
cos3
Vì phương trình đ¾c trưng có nghi¾m: λ
n
1
Trang 33n4 3 3
3
n π
Trang 34cos(
n
+1)3
5
√
3+2
nπ
cos3
Trang 35Đong nhat hai
n
n
π
.Ket hop các ket
quá trên ta đưoc:
2
n
+
n
3
n
n π
so Đieu này làm
tăng hi¾u quá
úng dung cna
phươngtrình saiphân
trình f (x) =
0 Các giátr% ban đau
phân x n =
ϕ(x n−1 ,
x n−2 , ,
x n−k) làtuyen tínhhóa
đưoc Khi
ki¾n can làton tai các
so α1, α2, , α k đe
x n = α1x n−1
+ α2x n−2 + ·
· · + α k x n−k
Đe tìm a1, a2, , a k, trưóchet ta tínhtheo các giá tr
Trang 36Thay x1, x2, , x k và các giá tr% x k+1, x k+2, , x 2k vùa tìm đưoc vàobieu
thúc x n ta đưoc h¾ phương trình đai so tuyen tính:
x k+1 = a1x k + a2x k−1 + +
a k x1 x k+2 = a1x k+1 + a2x k + +
a k x2 .
x 2k = a1x 2k−1 + a2x 2k−2 + + a k x k
Neu h¾ trên tương thích thì ta đưoc x n = α1x n−1 + α2x n−2 + · · · +
α k x n−k là dang tuyen tính hóa cna x n = ϕ(x n−1 , x n−2 , + x n−k) Ta kiemtra đieu ki¾n đn bang phép chúng minh quy nap
Giá sú công thúc đúng vói n = k, túc là x k = 4x k−1 − x k−2
Ta chúng minh rang công thúc đúng vói n = k + 1, túc là x k+1 = 4x k −
Trang 37k 1
Trang 38Theo nguyên lý quy nap, ta đưoc x n+1 = 4x n − x n−1 , n = 3, 4,
Tìm so hang tong quát: Xét phương trình sai phân: x n = 4x n−1 − x n−2 Ta
2.1.4. Dang chính tac cúa phương trình sai phân tuyen tính
Moi phương trình sai phân tuyen tính đeu có the đưa ve dang chính tac
˙y n+1 = A˙y n + f˙ n , ˙y0 cho trưóc Trong đó ˙y n là m®t vectơ, có các thành
phan là các giá tr% cna hàm lưói x n , f˙ n là m®t vectơ cna n, còn A là m®t
toán tú tuyen tính Cách làm như sau: Xét phương trình sai phân tuyen
Trang 40Theo cách đ¾t vectơ ˙y n, ta có h¾ thúc hien nhiên
y(1)
n = x n+1, y
(2 ) = y y (3) = x n+2, (k−1
Như v¾y (*) đưoc đưa ve dang chính tac ˙y n+1 = A˙y n + f˙ n , ˙y0 cho trưóc
Ví dn 2.5 Viet phương trình sai phân sau dưói dang chính tac
Dang chính tac se là ˙y n+1 = A˙y n (do f˙ n = 0) vói A, ˙y0 đã biet ó trên
2.2 Phương trình sai phân tuyen tính cap 1