BO DE 09 NGUYEN HAM CUA CAC HAM SO VO TI 0050 0050 0079 to

o B L n To a Th i e D o B oa L an To i Th e D o B L an To i Th e D o B oa H L Ly - - an an To To i i Th Th e e D o B oa H L Ly D e www.moon.vn o Th e D o Th i i To To an an - - an To i Th e D o L an To i Th e D o B oa oa H Ly - To an i Th e D D o H Ly Ly an To Th i D e B oa oa 5 ln x + + x + x + + C 2 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! o o Ly - - an To =  31  x+  +  16  2) Một số dạng nguyên hàm vô tỉ thường gặp i 2x + + C Th D ∫ H H Ly = arcsin 5  dx+  4  o B ∫ i 1 3    −x+  2    dx = x2 + x + 2 oa ∫ B oa H e e o B = 2 x2 + 5x + H oa H Ly - ∫ D D o B I3 = dx dx = x a x ± a ± ln x + x ± a + C 2 an To = Th i  1 −x+   2 1  dx+  2  To an Ly an dx ∫ x2 ± a Th i e D o B oa H oa H Ly an e Th = ( x ± a) ∓ a To To i Th e B o D ∫ - 2− x− x ∫ = x x ± a − I ± a ln x + x ± a ⇒ I = an To a n ∫ Ly - To an i Th e = x x2 ± a − oa x2 ± a - - ∫ dx ∫ i To I2 = H Ly an To i Th e D o o D ∫ B x dx H dx ∫ Ly x ± adx ± a ∫ ∫ Th B e D o B B → I = x x2 ± a − x ± a  x ±a dx = a cos tdt dx I4 = Đặt x = a sin t ⇒  2 2 a2 − x2  a − x = a − a sin t = a cos t dx a cos t dt x  → I4 = = dt = t + C = arcsin + c 2 a cos t a a −x Một số ví dụ minh họa: dx d ( x + 2) I1 = = = ln x + + x + x + 10 + C 2 x + x + 10 ( x + 2) + i Th e oa an Th i i D o xdx oa H Ly ∫ H ∫ e x ± a dx Ly dx d (x + t) = = ln x + x ± a + C t x+t To x ±a ∫ x ±a xdx dx dt dx + dt d ( x + t )  → = = = t t x x+t x+t n = = To a dx xdx - - Ly H Đặt t = x ± a ⇒ dt = - To i Th B e D B ∫ oa ∫ Th an ∫ ∫ o o Ly x ±a To Th i I3 = e D o B oa - To an i Th Th e D D o B B H oa dx ∫ H Ly Ly an ∫ i ∫ ∫ D = ln u + u ± a + C To To an ∫ = x x2 ± a − o D o o B oa H du ∫ -  u = x ± a ⇒ du = Đặt  dv = dx ⇒ v = x  B e D e e o D Ly - x ±a = ln x + x ± a + C  → u ±a x a I3 = x ± a dx = x ± a ± ln x + x ± a + C 2 dx x du u I4 = = arcsin + C  → = arcsin + C 2 2 a a a −x a −u Chứng minh: xdx d ( x ± a) d ( x ± a) I1 = = = = x ± a + C 2 2 x ±a x ±a x ±a i Th e B oa ∫ x ±a dx Khi đó, I = e an an Th Th i i To To Thầy Đặng Việt Hùng = x ± a + C H I2 = xdx Ly Ly - - an an To i Th e D o B ∫ I2 = D H H Ly Ly - 09 NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM VÔ TỈ ∫ o oa H oa oa oa H Tài liệu giảng: 1) Các công thức nguyên hàm vô tỉ thường gặp I1 = D D o B B B o o D D D o B Chuyên đề Ngun hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TOÁN – Thầy Hùng o L Ly - - To a n an Th i e D L an To i Th e D o B oa H L an To i Th e D o B oa H L Ly an To i e D ) − x + dx H x2 − oa o dx B x − 3x + (2x Th To an - o B dx L Ly e e B B o o D D D o B Th Th i i To To an an - - i Th e e o oa H Ly - Ly - To an i Th i Th e ∫ 9) H − 2x − x2 D o x2 − 2x 3x − ∫ 6) To an - To oa ( x − 3) dx H H - - an an D e www.moon.vn o Th e D o Th i i To To To i Th e D o L Ly Ly - an an To Th i D e oa oa oa H Ly - - an To Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! o D D D o B dx ax + bx + c B oa ∫ x2 − x + Ly ∫ x + x −1 ∫ Ly H o B oa e oa Ly 8) 2x + B To an To i Th e e D o B oa H H 3) dx ∫ ∫ i Th i Th e D o B oa H Ly Ly an To ∫ x2 − x + Th i Cách giải: = 1  x−  + 16   Th i 5) 2x −1 dx ∫ ( mx + n ) an - an To i e = ax + bx + c Ly e D o an i Th ∫ e 2) D o B dx H x2 + x − 2 oa H Ly oa x2 + x − dx Ly ∫ x − x +1 H ∫ To To a i ∫ x − 3x + ∫ B B oa H Ly n BÀI TẬP LUYỆN TẬP: dx 1) x − 2x + D D dx - - an To dx = 2x2 − x + − x x2 − + 2 ∫ 1  dx−  4  ∫ Th i Th D e ∫ dt n Đặt mx + n = ⇒ mdx = − ; x = − t mt m t du  = ln u + u ± a + C  u ±a Thay vào ta I = g (t )dt  →  du u = arcsin + C  2 a  a −u Ví dụ điển hình: Tính nguyên hàm sau o B H oa H oa To To an i Th e D o oa Ly - To a n ∫ i ∫ o e Th i To an - Ly H H oa ∫ Dạng 2: Nguyên hàm I = B ∫ ∫ ∫ B ∫ x 2x2 − x + − ln x − + x − + + C 2 e Th i Th o oa H Ly an To i Th e D B o ∫ ∫ ∫ 7) Th bm   +n −  2a  ax + bx + c  - - an To ∫ d (2 x − x + 1) − 2 2x − x + 4) e ( 2ax + b ) dx B B oa Ly H ∫ i Th e D o B B o D = o ∫ D e e D D o B ∫ o ∫ ∫ B an an To i Th ∫ m d (ax + bx + c)  bm  dx m +n − = ax + bx + c + J  a ax + bx + c  2a  ax + bx + c a dx Trong đó, J = thuộc số dạng nguyên hàm đề cập ax + bx + c Ví dụ điển hình: Tính ngun hàm sau 2x + x −1 a) I1 = dx b) I = dx x2 − x + x2 − x + Hướng dẫn giải: (2 x − 2) + (2 x − 2) dx dx d ( x − x + 4) dx a) I1 = +5 =2 +5 = dx = 2 2 2 x − 2x + x − 2x + x − 2x + x − 2x + x − 2x + d ( x − 1) = x2 − x + + = x − x + + 5ln x − + x − x + + C ( x − 1) + 3 (4 x − 1) − x −1 (4 x − 1)dx dx 4 b) I = dx = dx = − = 2 2 2x − x + 2x − x + 2x − x + 2x − x + = D Ly Ly - - an To ∫ = o dx H ax + bx + c Cách giải: Phân tích tử số chứa đạo hàm mẫu ta m bm 2ax + b ) + n − ( mx + n 2a dx = m I= dx = 2a 2 2a ax + bx + c ax + bx + c i Th e oa mx + n ∫ Ly H oa Dạng 1: Nguyên hàm I = D D o B B B o o D D D o B Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng o B oa H L Ly To a Th i e D o B oa L H To an Ly - an To i i Th Th e e D D o B oa H To D e dx o x4 + x2 − Th i dx an - L Ly To an i Th e D o dx B B oa H H an To i Th e D o B oa H L Ly - - an an To To = J − 3ln x + x − L an To Th i e D e D o www.moon.vn o Th Th i i To To an an - - Ly Ly H H oa oa B B o o D D e e Th Th i i i Th e x −1 e D L Ly To an i Th e D To an dx D o o ax + bx + c o x2 − B oa H Ly an To Th i dx B oa ( x + 1) dx ∫ ( x + 1) Ly Ly - an To Th i e D B D e x + 3x + ∫ ( mx + n ) H H b) I = Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! o dx xét đến phần Hướng dẫn giải: o oa H Ly an To ∫x Ly ax + bx + c  x =2−  t Đặt − x = ⇒  t x2 −  dx = dt  t2 i 6) - an To Th i e D o oa oa H ∫ (2 − x) ∫ ( x − 1) An   +B−  m  ax + bx + c  dx ∫ dx ∫ ( mx + n ) B I = ax + bx + c Ly D o dx 3) oa oa H - an To i Th e D o B ∫ dx - an To i a) Ta có Xét J = n an i Th e To Th i e D o B x2 − x − dx ( 3x − ) dx = − ( − x ) dx = dx I1 = ∫ − 3∫ ∫ ∫ ( − x ) x2 − ( − x ) x2 − ( − x ) x2 − e Th dx Ly Ly - To a i ∫ dx dx ax + bx + c Ví dụ điển hình: Tính ngun hàm sau ( x − ) dx a) I1 = (2 − x ) x2 − Th D o ∫ ( x + 2) x2 − x + = − 9t − 4t o Ly 5) an ∫ - 2x −1 2) dt ∫  9t +  = − arcsin   + C  13  H H B H oa Ax + B ∫ ( mx + n ) n ∫ 9t − −t 4 oa oa  13      − t +     9 n To a dx =− B Cách giải: Ta phân tích tử số chứa (mx + n) sau: A An ( mx + n ) + B − Ax + B m dx = A I= dx = m m ( mx + n ) ax + bx + c ( mx + n ) ax + bx + c ∫ i ∫ D x2 − 2x + e Th i Th e dx o o =−  2 d t +   9 Ly Ly - Th i To an ∫ dt ∫ Th e D 13   − t +  81   o dt ∫ B H oa −t − t 9 =− Các nguyên hàm I1 = e oa H Ly - To an an To i Th e B o dt ∫ ∫ ( x + 1) D e B B oa H Ly - ∫ D D o B B D To To i Th D e o o B oa H Ly - an To i e Th 1  dt x= −   2t 2t b) Đặt x + = ⇒   → I2 = − =− t  dx = − dt  1  1 − + − −      2t t  2t   2t  Dạng 3: Nguyên hàm I = o - - an an To i Th e D D o B ∫ 4) B ∫ BÀI TẬP LUYỆN TẬP: dx 1) ( x − 1) x − x + B H oa H Ly - - an To ∫ 1   = − ln t + t + = − ln +  + + C  + x +1 x +1  x +1 1+ t dt =− D x2 + 3x − Hướng dẫn giải:  dt dt x = −1  t t t2 a) Đặt x + = ⇒   → I1 = − =− = 2 t  dx = − dt 1  1 1        − 1 +  − 1 +  − 1 +  − 1 + t2  t t  t t t t       − o dx ∫ ( x + 3) Ly oa H x2 + x + i Th e b) I = oa dx ∫ ( x + 1) Ly a) I1 = D D o B B B o o D D D o B Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng o B oa H n To a Th i e D L an To i Th D L an To i Th e D o B oa H L Ly - - To an To an i i Th Th e e D D o o B B oa H an an a+b ( a + b)  x+  + ab −   To To oa H Ly L - - an an To Th i D e www.moon.vn o e D o o D e Th Th i i To To ) ) Ly ( = ln x + a + x + b + ( x + a)( x + b) = - an ) H oa B B o o D D e e Th Th i i i Th D a+b + ( x + a )( x + b) + C x+a + x+b L Ly - dx e - an To Th i D e o To ( o oa H Ly To an i Th e D o B oa oa H Ly ∫ To an = - x + ( a + b ) x + ab H Ly ( = x2 − x + H Ly an To Th i dx oa oa H Ly - an ) B B oa H Ly - an To Th i e D ( x + ) dx ) o = ln x + x + a + x + b = ln o oa H Ly an To i D o  1 − t +   3 x + a + x + b + C a+b   = ln x + a + b + ( x + a)( x + b) = ln  x + + ( x + a )( x + b)  + ln 2   Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! i Th e D o ( B Th o e dt 3∫ a+b (a + b)2  x + + ab −     Bình luận: Thoạt nhìn, ta tưởng hai cách giải cho hai đáp án khác nhau, Thật vậy, 2ln L Ly To i Th e D ∫ ( x + 1) 3) e D o ( B B oa H Ly - To an i Th e D o o e D ∫ o = B D B oa To ∫ Th i i Th e a+b  dx+    =− dx dx x+a + x+b dx 2dt + = dx  → = t x + a x + b ( x + a )( x + b) ( x + a)( x + b) H Ly - an - To an dx = ( x + a )( x + b) ∫ dt x −4 − t − t2 3 B oa H Ly an To i Th D o B Ly H oa ∫ Cách 2: Ta có I = o ( x + ) dx ∫ (1 − x ) x2 + 5) dx 2dt = = 2ln t + C = 2ln t ( x + a)( x + b) ∫ = 2ln x + x − + K x − 3x + dx ( x + a )( x + b) Cách 1: Đặt t = x + a + x + b ⇒ dt = Khi đó, I = ∫ ( x − 1) e Cách giải: ∫ ( x − 1) dx o B oa H Ly - n To a i Th e dx ∫ ( x + 1) B D D o B D + oa H Ly - n To a i Th e e Th i ( x − 3) dx ∫ ( x − 1) x2 + ∫ + t2 − t + + C 3 ln t − e an i D e o B H Ly - an H oa Ly - an To  3t +  arcsin   + C   2) Dạng 4: Nguyên hàm I = o x −4 To i Th B B o o D e ∫ BÀI TẬP LUYỆN TẬP: ( x + 3) dx 1) ( x + 1) x + x + B dx oa oa H - an To i Th e D ∫ Khi đó, I = 2ln x + x − −  2 t −  −  3 Th Th e D o B o B Ly ∫ ∫ 4) =  x = −1 dx  t Xét K = Đặt x + = ⇒  t ( x + 1) x −  dx = − dt  t2 dt dx dt t2 ⇒K = =− =− =− − 2t − 3t ( x + 1) x − 1  − −   t t   1 d t +  1  3t +   3 =− =− arcsin  +C 2 3    2  1   − t +   3  3 ∫ dt To To i i D ( x + 1) dx = ( x + 1) − dx = ∫ ( x + 1) x2 − ∫ ( x + 1) x2 − ∫ ∫ B 3∫ - - t2 − t + 3 2 ln t − + t − t + − 3ln x + x − + C 3 3 Khi ta I1 = b) Ta có I = = an dt 3∫ H oa = Ly 3t − 4t + - oa H dt ∫ an an To 1   −  −1 t  t e Th = Ly oa H ∫1 Ly ⇒J= dt t2 D D o B B B o o D D D o B Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng D D o o B B B B o o D D D o B Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng H n To a Th i e L an To i Th e L an To i Th e D o B L an To i Th e L an To e D D i ∫ Th 9) B o x H oa dx x2 + x + L Ly - - D e www.moon.vn o Th e D o Th i i To To an an an To i Th e D o oa H an To ∫ x( x + 1) dx Th 6) - an To Th i D e Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! o ∫1+ o H oa B B (2 x + 1)2 − x + dx x +1 e i i o x dx x−3x dx Ly Ly 3) dx ( x + 3)( x + 5) Ly H Ly Th oa ∫ 8) e ∫ x +1 dx x−2 D 5) B oa Ly an To i Th e ∫x o dx x+4x dx x + x + 24 x H D Th i ∫ 2) e 7) dx x +1 D ∫ o B To To i Th 4) e ∫1+ dx oa oa H ∫ To an an 9) LUYỆN TẬP TỔNG HỢP VỀ NGUYÊN HÀM CỦA HÀM VÔ TỈ 1) x2 + Ly x2 − x + x3 ∫ x+ 6) D i −1 dx x+4+ x+2 o D o B ∫ B e e Th Th i 3) dx ∫ - To an an To 8) H ) D o oa H Ly dx D To an i Th e D B o oa ( x + 2)3 − ( x − 3)3 + C H Ly - ) ( (2 x + 1)3 + (2 x + 5)3 + C B ∫ an ( x dx x+2 + 2− x - Ly x+9 − x ∫ D o B o B oa Ly - e D o To i Th e D o 5) oa H - ∫ 15 dx x +1 + x −1 B B 0 2) x dx 2+ x + 2− x 7) ) an n To a ∫ x + − x − dx = x + + x + dx = − - Ly H H Ly - 2x + + 2x + BÀI TẬP LUYỆN TẬP: dx 1) x +1 + x ) oa ∫ ( x + 1) − ( x + 5) dx = − ∫ ( oa c) I = ∫ B x+2 − x−3 ∫ ( x + 2) − ( x − 3) dx = ∫ ( - dx = x+ + x−3 ∫ i Th e an Th i i Th B o D e ∫ b) I = o D To To a To Th i B o D e ∫ D oa H H H Ly Ly n an 1 1   x −1 + x −  dx 2dt Đặt t = x − + x − ⇒ dt =  + =  dx ⇔  dx =   x −1  ( x − 1)( x − 3)  t x −3  ( x − 1)( x − 3) dx dt Khi đó, I1 = =2 = 2ln t + C = 2ln x − + x − + C t ( x − 1)( x − 3) 4) o Ly Th e D o B oa oa H dx ( x − 1)( x − 3) - an To i i Th e D o B B ∫ - ∫ - Ly Cách 2: I1 = ∫ L Ly - an To i Th e D o oa Ly - To i Th D o H oa ∫ ∫ To an an - ∫ e ∫ ) ∫ H H Ly Ly To an - ∫ i Th e (∫ oa ∫ H oa ∫ B B B o o o B D o B oa H oa Ly - an To i Th Cách giải: Các nguyên hàm dạng giải đơn giản phép trục thức dx x+a ∓ x+b Thật vậy, I = = dx = x + a dx ∓ x + b dx a −b a −b x+a + x+b Ví dụ điển hình: Tính ngun hàm sau dx dx dx a) I1 = b) I = c) I = x+2 + x−3 2x + − 2x + x − 4x + Hướng dẫn giải: dx a) I1 = x − 4x + dx dx d ( x − 2) Cách 1: I1 = = = = ln x − + x − x + + C 2 x − 4x + ( x − 2) − ( x − 2) − D D dx x+a ± x+b D e Th i ∫ e e Th i Dạng 5: Nguyên hàm I = To To an an - - Ly Ly H H oa oa   a+b ′   a+b   ′ Và rõ ràng, ln  x + + ( x + a )( x + b)  + ln  = ln  x + + ( x + a )( x + b)   2        Như vậy, thực chất hai cách giải cho phép tốn, có chăng, khác biệt việc tính đạo hàm cuối để kiểm tra!!! ... MƠN TO N – Thầy Hùng H n To a Th i e L an To i Th e L an To i Th e D o B L an To i Th e L an To e D D i ∫ Th 9) B o x H oa dx x2 + x + L Ly - - D e www.moon.vn o Th e D o Th i i To To an an an To. .. B oa H n To a Th i e D L an To i Th D L an To i Th e D o B oa H L Ly - - To an To an i i Th Th e e D D o o B B oa H an an a+b ( a + b)  x+  + ab −   To To oa H Ly L - - an an To Th i D... L Ly To a Th i e D o B oa L H To an Ly - an To i i Th Th e e D D o B oa H To D e dx o x4 + x2 − Th i dx an - L Ly To an i Th e D o dx B B oa H H an To i Th e D o B oa H L Ly - - an an To To =