BO DE 03 PT PHUC 0024 0024 0053

BO DE 03 PT PHUC 0024 0024 0053 TAG : GIÁO TRÌNH; GIAO TRINH; BÁO CÁO LUẬN VĂN; BAO CAO; HUI; IUH; TAG : GIÁO TRÌNH, GIAO TRINH, BÁO CÁO LUẬN VĂN, BAO CAO, HUI, IUH. TAG : GIÁO TRÌNH 0, GIAO TRINH

Chun đề Số phức LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tài liệu giảng: 03 PHƯƠNG TRÌNH PHỨC Thầy Đặng Việt Hùng I CĂN BẬC HAI SỐ PHỨC Cho số phức z = a + bi, số phức w = x + yi gọi bậc hai số phức z w2 = z hay (x + yi)2 = a + bi Chú ý : Khi b = z = a, ta có trường hợp đơn giản sau : + TH1 : a > ⇒ ω = ± a + TH2 : a < ⇒ z = i a ⇒ ω = ±i a Khi b ≠ 0, để tìm bậc z ta giải hệ phương trình từ đồng thức: (x + yi)2 = a + bi x2 − y2 = a 2 hay x − y + xyi = a + bi ⇔  2 xy = b Ví dụ Tìm bậc hai số phức sau a z = b z = –7 c z = −1 − 6i Hướng dẫn giải: a z = ⇒ ω = ± b z = −7 = 7i ⇒ ω = ±i c Gọi w = x + yi bậc hai số phức z = −1 − 6i , ta có  − y =  x2 = 2 x  x − y = −   ⇔ ⇔ ( x + yi ) = −1 − 6i ⇔ x − y + xyi = −1 − 6i ⇔  − 2 xy = −2  x −  −  = −1  y =   x   x    Hệ phương trình có nghiệm ( )( 2; − ; − 2; ) Vậy có bậc hai −1 − 6i − 3i − + 3i Ví dụ Tính bậc hai số phức sau : a z = −1 + 3i b z = + 5i d z = 4i e z = −5 − 12i + i Ví dụ Viết số phức sau dạng phương ? a) z = −21 + 20i = g z = −40 + 42i h z = c z = –18i f z = 11 + 3i i z = −8 + 6i b) z = + 3i = c) z = −15 + 8i = d) z = −1 − 2i = e) z = − 12i = f) z = 13 + 3i = g) z = 22 − 10 2i = Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Số phức LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng II PHƯƠNG TRÌNH PHỨC BẬC Xét phương trình phức bậc : Az2 + Bz + C = có ∆ = B2 – 4AC TH1: Các hệ số A, B, C số thực Tính ∆ = B − AC −B ± ∆ + Nếu ∆ > phương trình có nghiệm thực z = 2A + Nếu ∆ < ⇒ ∆ = −i ∆ ⇒ ∆ = ±i ∆ ⇒ z = −B ± i ∆ 2A TH2: Các hệ số A, B, C số phức Tính ∆ = B − AC = a + bi = ( x + yi ) − B ± ( x + yi ) Khi phương trình có nghiệm z = 2A Ví dụ Giải phương trình sau tập hợp số phức a z + 2z + = b z − 4z + 20 = c (z2 + i)(z2 – 2iz – 1) = d z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = Hướng dẫn giải: a z + z + = Ta có ∆ ' = −4 = 4i ⇒ ∆ = ±2i ⇒ z = −1 ± 2i b Ta có ∆ ' = −16 = 16i ⇒ ∆ = ±4i ⇒ z = ± 4i  z = −i 2 c ( z + i )( z − 2iz − 1) = ⇔   z − 2iz − = 1  z= − i  1  1− i  2 2 TH1 : z + i = ⇔ z = −i = ( −2i ) = (1 − i ) =   ⇒ 1 2   2 z = − + i  2 TH2 : z − 2iz − = ⇔ z − 2iz + i = ⇔ ( z − i ) = ⇔ z = i 1 −1 Vậy phương trình cho có nghiệm z1 = − i; z = + i; z3 = i 2 2 Nhận xét : Ngoài cách giải chuẩn mực trên, giải tắt mà khơng cần tính toán ∆ hay ∆’ sau 2 a z + z + = ⇔ ( z + 1) + = ⇔ ( z + 1) − 4i = ⇔ ( z + 1) = (2i ) ⇒ z = −1 ± 2i b z − z + 20 = ⇔ ( z − ) + 16 = ⇔ ( z − 2) = 16i = (4i ) ⇒ z = ± 4i d z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = Ta có ∆ = (1 – 3i)2 + 8(1 + i) = 2i = (1 + i)2 3i − + + i  = 2i  z1 = Vậy nghiệm phương trình cho   z = 3i − − − i = i −  2 Ví dụ Giải phương trình sau tập hợp số phức iz +  iz +  a)  −4 =  − z − 2i  z − 2i  b) z − = c) z − z − = Hướng dẫn giải: iz +  iz +  a)  −4 =  − z − 2i  z − 2i  Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Số phức LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Đặt t = −1 iz + = t ⇒ t − 3t − = ⇔  z − 2i t = Với t = ⇔ ⇒z= iz + −3 − 8i (−3 − 8i ) ( i + ) −4 − 35i = ⇔ iz + = 4( z − 2i ) ⇔ z (i − 4) = −3 − 8i ⇒ z = = = z − 2i i−4 i − 16 −17 35 + i 17 17 Với t = −1 ⇔ iz + 2i − ( 2i − 3)( i − 1) − 5i = −1 ⇔ iz + = 2i − z ⇔ z ( i + 1) = 2i − ⇒ z = = = z − 2i i +1 i2 −1 −2 ⇒z=− + i 2 Vậy phương trình cho có nghiệm phức z1 = 35 + i; z = − + 17 17 2 b) z3 – = 0⇔ (z – 2)(z2 + 2z + ) = TH1 : z – = ⇔ z = TH2 : z + z + = ⇔ ( z + 1) = −3 = 3i ⇒ z = −1 ± i Vậy phương trình cho có nghiệm phức z1 = 2; z = −1 − i 3; z3 = −1 + i c) z − z − = t = Đặt z = t Phương trình cho tương đương với 4t − 3t − = ⇔  t = −  −1 Giải phương trình tìm t = t = Với t = ta z = ⇒ z = ± 1 i2 i Với t = − = = ⇔ z = ± 4 i Vậy phương trình cho có nghiệm phức z = ±1; z = ± 2 Ví dụ Gọi z1, z2 nghiệm phương trình z + 2z + = Tính giá trị biểu thức sau 2 2 2 A = z1 + z2 ; B = z1 + z2 − z1 z2 Hướng dẫn giải:  z1 = −1 + 2i Ta có z + z + = ⇔ ( z + 1) = −4 = (2i ) ⇒   z2 = −1 − 2i  z1 = + =  z1 = −1 − 2i  z1 = Khi ta có   ⇒  z1 = −1 + 2i  z2 =  z2 = + =  2 2 A = z1 + z2 = + = 10 B = z1 + z2 − z1 z2 = + − 5 = −10 Vậy A = 10 B = –10 Ví dụ Giải phương trình sau tập hợp số phức: a) z + 2z + = b) z − 4z + 20 = c) −3z + z − = d) 4z + = e) 3z − z + = f) z − 3z + = Ví dụ Giải phương trình sau tập hợp số phức: a) z + 2(i − 2)z + − 2i = b) z − (i + 3)z − − 2i = Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Số phức LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng c) z − (3 + i)z + + 3i = d) iz − z + + i = e) iz + 2iz − = f) z − (3 − i)z + − 3i = g) 3iz − 2z − + i = h) z − 8(1 − i)z + 63 − 16i = Ví dụ Giải phương trình sau tập hợp số phức: a) z − = b) z + 4z + 6z + = c) z − z3 + 6z − 8z − 16 = d) z − z − 12 = e) z − 2z − = g) 4z − 3z − = g) z − 6z + = h) z − 16 = Ví dụ Giải phương trình sau tập hợp số phức: a) (1 + i)z = −1 + 7i b) (z − i)(z + 1)(z + i) = c) (2 + 3i)z = z – d) ( z + z ) + ( z + z ) − 12 = e) ( z + − i ) − ( z + − i ) + 13 = iz +  iz +  f)  −4=0  − z − 2i  z − 2i  g) ( z + 1) + ( z + 3) = g) ( z + )( z − z + 1) = 2 2 i) ( z + 3i ) ( z − 2z + ) = Ví dụ Giải phương trình sau tập hợp số phức: a) z + 16 =  z+i  b)   =1  z − 2i  c) (z + 3z + 6) + 2z(z + 3z + 6) − 3z = d) (z + 1) + 2(z + 1)2 + (z + 4) + = 4 Ví dụ Giải phương trình sau: a) z − z + 11 + 3i = Đ/s: a) z = − i; z = + i b) z + 2(1 − 2i ) z − − 4i = b) z = + 2i; z = −3 + 2i c) z − 2(2 − i ) z + − 8i = Đ/s: c) z = + i; z = − 3i d) z − (2 + i ) z + + i = d) z = 1; z = + i Ví dụ 10 Giải phương trình sau (bậc ba): a) z − (2 + i ) z + (2 + 2i ) z − 2i = biết phương trình có nghiệm z = i Đ/s: z = i; z = ± i b) z + z + (4 + i) z + + 3i = biêt phương trình có nghiệm z = – i Đ/s: z = −i; z = −1 + i; z = −3 c) z − z + (2 − 2i ) z + + 4i = biết phương trình có nghiệm z = – i Đ/s: z = + i; z = − 3i d) z = 1; z = + i Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn