BO DE 06 KI THUAT DONG NHAT TIM NGUYEN HAM 0040 0040 0069

Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tài liệu giảng: 06 KĨ THUẬT ĐỒNG NHẤT TÌM NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng 1) Khái niệm phân thức đơn giản Một phân số gọi đơn giản có dạng sau k k mx + n mx + n ; ; ; , ( b − 4ac < ) n 2 ax + b ( ax + b) ax + bx + c (ax + bx + c)n Ví du 1: Các phân thức sau gọi phân thức đơn giản 2 5 ; ; ; ; 2 x + 3x − (2 x + 3) x + x + 10 (2 x + x + 4)3 Ví du 2: Các phân thức sau chưa gọi phân thức đơn giản ; x −1 2 2x + x − 2) Quy tắc đồng Xét phân thức P( x) Ta xét số trường hợp xảy Q( x) TH1: Q( x) = ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) ( x − xn ) Khi A3 An A A2 P( x) P( x) ln phân tích dạng = + + + + Q( x) Q ( x) x − x1 x − x2 x − x3 x − xn  → P( x) ≡ A1 ( x − x2 )( x − x3 ) ( x − xn ) + A2 ( x − x1 )( x − x3 ) ( x − xn ) + An ( x − x1 )( x − x2 ) ( x − xn −1 ) Bằng phép đồng hệ số tương ứng ta tìm giá trị A1; A2… Ngồi ra, sử dụng phương pháp gán giá trị đặc biệt Ví dụ 1: Phân tích phân thức sau thành phân thức đơn giản 2x − x2 + x + a) b) x2 + x − x x2 − ( ) Hướng dẫn giải 2x −1 2x −1 A B a) Ta có = = +  → x − ≡ A(3 x − 5) + B( x − 1), x + x − ( x − 1)(3x + 5) x − 3x − + Phương pháp hệ số bất định:   A = − 2 = A + B Đồng hệ số tương ứng (*) ta  ⇔ −1 = −5 A − B B =  2x −1 −1 Khi = + x + x − 2( x − 1) 2(3 x − 5) + Phương pháp gán giá trị đặc biệt: Cho x = ⇒ −2 A = ⇔ A = − Cho x = ⇒ A + B = ⇔ B = − A = + = 2 2x −1 −1 Khi = + x + x − 2( x − 1) 2(3 x − 5) b) (*) x2 + x + x2 + x + A B C = = + +  → x + x + ≡ A ( x − ) + Bx ( x − ) + Cx ( x + ) x x + x − x x + x − x ( x − 4) ( )( ) + Cho x = ⇒ −4 A = ⇔ A = − Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT + Cho x = ⇒ 8C = ⇔ C = + Cho x = −2 ⇒ −8B = ⇔ B = − x + x + −1 Khi = − + x x + x x ( x − 4) ( ) ( − 2) TH2: Q( x) = ( x − x1 )( x − x2 ) ( x − xk ) ( x − xn ) m Khi  B Bm  An A A2 B2 P ( x) = + + + + + + m  Q ( x) x − x1 x − x2  x − xk ( x − xk ) x − xn ( x − xk )  Ví dụ 2: Phân tích phân thức sau thành phân thức đơn giản x2 − x + 3x + a) b) x ( x + 3) ( x + 1) x + x + ( ) Hướng dẫn giải x − x+5 A B C Ax + B C a) Ta có = + 2+ = +  → x − x + ≡ ( Ax + B ) ( x + 3) + Cx 2 x ( x + 3) x x x+3 x x+3 17 + Cho x = −3 ⇒ 9C = 17 ⇔ C = + Cho x = ⇒ 3B = ⇔ B = 17 5− ⇒ A = −8 + Cho x = ⇒ = ( A + B ) + C ⇔ A + = x − x+5 17 Khi đó, =− + + x ( x + 3) x 3x 9( x + 3) 3x + A B C b) Ta có = + +  → 3x + ≡ A ( x + ) + B ( x + )( x + 1) + C ( x + 1) 2 ( x + 1) ( x + x + ) x + x + ( x + ) + Cho x = −2 ⇒ −C = −5 ⇔ C = + Cho x = −1 ⇒ A = −2 + Cho x = ⇒ = A + B + C ⇔ −8 + B + = ⇒ B = 3x + −2 Khi đó, = + + ( x + 1) ( x + x + ) x + ( x + ) ( x + )2 TH3: Q( x) = ( x − x1 )( x − x2 ) ( ax + bx + c ) ( x − xn ) ; b − 4ac < Khi An A1 A2 P( x) mx + n , đồng ta thu hệ số tương ứng = + + + + Q ( x) x − x1 x − x2 ax + bx + c x − xn Ví dụ 3: Phân tích phân thức sau thành phân thức đơn giản x2 − x + x−3 a) b) x ( x + x + 2) x −1 Hướng dẫn giải 2x − x + A Bx + C = +  → x − x + ≡ A ( x + x + ) + ( Bx + C ) x x( x + x + 2) x x + x + + Cho x = ⇒ A = ⇔ A = + Lại có, A + B = ⇒ B = , (đồng hệ số x2) + Ta có A + C = −1 ⇒ C = − , (đồng hệ số x) 2 2x − x + 1 x −1 Khi đó, = + x( x + x + 2) x x + x + 2 a) Ta có Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT b) Ta có x−3 x−3 A Bx + C = = +  → x − x + ≡ A ( x + x + 1) + ( Bx + C )( x − 1) x − ( x − 1) ( x + x + 1) x − x + x + + Cho x = ⇒ A = ⇔ A = + Lại có, A + B = ⇒ B = , (đồng hệ số x2) + Ta có A − C = ⇒ C = − , (đồng hệ số tự do) x−3 4x −1 Khi đó, = + x − ( x − 1) ( x + x + 1) 3) Áp dụng vào tốn tìm ngun hàm Ví dụ 1: Tính nguyên hàm sau 2x + a) I1 = ∫ dx 3x − x − x2 + x + dx x2 − x + Hướng dẫn giải b) I = ∫ 2x + 2x + dx = ∫ dx 3x − x − ( x − 1)(3 x + 2) 2x + A B Xét = +  → x + ≡ A(3 x + 2) + B ( x − 1) ( x − 1)(3 x + 2) x − 3x + + Cho x = ⇒ A = ⇔ A = + Cho x = ⇒ A − B = ⇔ B = A − =   2x + 1 Khi đó, I1 = ∫ dx = ∫  +  dx = ln x − + ln 3x + + C ( x − 1)(3x + 2) 15  5( x − 1) 5(3 x + 2)  a) Ta có I1 = ∫ b) Ta có I = ∫ x2 + x − x2 + x − dx = ∫ ( x − 1)( x − 3) dx x2 − 4x + x2 + x + A B = +  → x + x + ≡ A( x − 3) + B ( x − 1) ( x − 1)( x − 3) x − x − + Cho x = ⇒ −2 A = ⇔ A = −2 + Cho x = ⇒ B = 14 ⇔ B = x2 + x −   −2 Khi đó, I = ∫ dx = ∫  +  dx = ln x − − 2ln x − + C x − 4x +  x −1 x −  Xét Ví dụ 2: Tính nguyên hàm sau x2 + x − a) I1 = ∫ dx x3 + b) I = ∫ 2x − dx x ( x + 1) Hướng dẫn giải a) Ta có I1 = ∫ x + 3x − x + 3x − dx = ∫ dx x +1 ( x + 1)( x − x + 1) 2 x + 3x − A Bx + C = +  → x + x − ≡ A( x − x + 1) + ( Bx + C )( x + 1) ( x + 1)( x − x + 1) x + x − x + + Cho x = −1 ⇒ A = −3 ⇔ A = −1 + Đồng hệ số x2 ta A + B = ⇒ B = + Đồng hệ số tự ta A + C = −1 ⇒ C = x + 3x − 2x (2 x − 1) +  −1  dx = ∫  + dx = Khi đó, I1 = ∫  dx = − ln x + + ∫ x +1 x − x +1  x +1 x − x +1 Xét Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT 1  dx−  d ( x − x + 1) dx 2  = − ln x + + ∫ +∫ = − ln x + + ln x − x + + ∫ = 2 x − x +1 x − x +1      x−  +      2x −1  − ln x + + ln x − x + + arctan  +C   2x −1 C  A B b) Ta có I = ∫ dx = ∫  + +  dx x ( x + 1) x +1 x x 2x − A B C Xét = + 2+  → x − ≡ Ax( x + 1) + B ( x + 1) + Cx x ( x + 1) x x x +1 + Cho x = −1 ⇒ A = −3 ⇔ A = −1 + Đồng hệ số x2 ta A + B = ⇒ B = + Đồng hệ số tự ta A + C = −1 ⇒ C = x + 3x − 2x (2 x − 1) +  −1  Khi đó, I1 = ∫ dx = ∫  + dx =  dx = − ln x + + ∫ x +1 x − x +1  x +1 x − x +1 1  dx−  d ( x − x + 1) dx 2  = − ln x + + ∫ +∫ = − ln x + + ln x − x + + ∫ = 2 x − x +1 x − x +1 1  3   x−  + 2     2x −1  arctan  − ln x + + ln x − x + + +C   Ví dụ 3: Tính nguyên hàm sau x a) I1 = ∫ dx x −1 b) I = ∫ x2 + x + dx x ( x − 9) Hướng dẫn giải x x a) Ta có I1 = ∫ dx = ∫ dx x −1 ( x − 1)( x + x + 1) x A Bx + C Xét = +  → x ≡ A( x + x + 1) + ( Bx + C )( x − 1) ( x − 1)( x + x + 1) x − x + x + 1 + Cho x = ⇒ A = ⇔ A = + Đồng hệ số x2 ta A + B = ⇒ B = − + Đồng hệ số tự ta A − C = ⇒ C = 3 (2 x + 1) − x 1 x −1 1 2 dx = Khi đó, I1 = ∫ dx = − dx = ln x − − ∫ x −1 3( x − 1) ∫ x + x + 3 x2 + x + 1 d ( x + x + 1) dx 1 2x + = ln x − − ∫ + ∫ = ln x − − ln ( x + x + 1) + +C arctan 2 x + x +1  3 1  3  x+  + 2    x2 + x + x2 + x + b) Ta có I = ∫ dx = ∫ x( x + 3)( x − 3) dx x( x − 9) x2 + x + A B C = + +  → x + x + ≡ A( x − 9) + Bx( x − 3) + Cx( x + 3) x( x + 3)( x − 3) x x + x − + Cho x = ⇒ −9 A = ⇔ A = − Xét Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Ngun hàm – Tích phân LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TOÁN – Thầy Hùng Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT Tai Lieu - Bao CaoT + Cho x = ⇒ 18C = 14 ⇔ C = 9  x +x+2  Khi đó, I = ∫ dx = ∫  − − +  dx = − ln x − ln x + + ln x − + C x( x − 9) 9  x 9( x + 3) 9( x − 3)  + Cho x = −3 ⇒ −18B = ⇔ B = − BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Tính nguyên hàm, tích phân sau: x3 − x + x + a) I1 = ∫ dx x − 3x + −1 2x + c) I = ∫ dx x ( x − 1) e) I = ∫ − x2 dx ( x + 1)( x + x + 4) 3x + x + dx x − 3x + x −1 d) I = ∫ dx ( x + 2) (2 x + 3) b) I = ∫ f) I = ∫ x +1 dx x( x + x + 5) Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn ... = −1 ⇒ C = − , (đồng hệ số x) 2 2x − x + 1 x −1 Khi đó, = + x( x + x + 2) x x + x + 2 a) Ta có Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Nguyên... +  −1  dx = ∫  + dx = Khi đó, I1 = ∫  dx = − ln x + + ∫ x +1 x − x +1  x +1 x − x +1 Xét Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Nguyên... A( x − 9) + Bx( x − 3) + Cx( x + 3) x( x + 3)( x − 3) x x + x − + Cho x = ⇒ −9 A = ⇔ A = − Xét Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Chuyên đề Nguyên