Luyện thi ĐH môn Toán: Kỹ thuật đồng nhất tìm nguyên hàm

Tài liệu Luyện thi ĐH môn Toán: Kỹ thuật đồng nhất tìm nguyên hàm nhằm giúp các bạn hệ thống kiến thức về kỹ thuật đồng nhất tìm nguyên hàm, từ đó, tạo cơ sở để học và ôn thi Đại học môn Toán học một cách tốt nhất.

Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 06 KĨ THUẬT ĐỒNG NHẤT TÌM NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] 1) Khái niệm phân thức đơn giản Một phân số gọi đơn giản có dạng sau k k mx + n mx + n ; ; ; , b − 4ac < ) n 2 n ( ax + b ( ax + b) ax + bx + c (ax + bx + c) Ví dụ 1: [ĐVH] Các phân thức sau gọi phân thức đơn giản ; x +1 ; 3x − ; (2 x + 3) ; x + x + 10 (2 x + x + 4)3 Ví dụ 2: [ĐVH] Các phân thức sau chưa gọi phân thức đơn giản ; x2 − 2x2 + x − 2) Quy tắc đồng Xét phân thức P( x) Ta xét số trường hợp xảy Q( x) TH1: Q( x) = ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) ( x − xn ) Khi A3 An A A2 P( x) P( x) ln phân tích dạng = + + + + Q( x) Q ( x) x − x1 x − x2 x − x3 x − xn  → P( x) ≡ A1 ( x − x2 )( x − x3 ) ( x − xn ) + A2 ( x − x1 )( x − x3 ) ( x − xn ) + An ( x − x1 )( x − x2 ) ( x − xn −1 ) Bằng phép đồng hệ số tương ứng ta tìm giá trị A1; A2… Ngồi ra, sử dụng phương pháp gán giá trị đặc biệt Ví dụ 1: [ĐVH] Phân tích phân thức sau thành phân thức đơn giản a) 2x − 3x + 2x − b) x2 + x + ( x x2 − ) Hướng dẫn giải 2x −1 2x −1 A B a) Ta có = = +  → x − ≡ A(3 x − 5) + B( x − 1), x + x − ( x − 1)(3x + 5) x − 3x − + Phương pháp hệ số bất định:   A = − 2 = A + B Đồng hệ số tương ứng (*) ta  ⇔ −1 = −5 A − B B =  2x −1 −1 Khi = + x + x − 2( x − 1) 2(3 x − 5) + Phương pháp gán giá trị đặc biệt: Cho x = ⇒ −2 A = ⇔ A = − Cho x = ⇒ A + B = ⇔ B = − A = + = 2 2x −1 −1 Khi = + x + x − 2( x − 1) 2(3 x − 5) b) (*) x2 + x + x2 + x + A B C = = + +  → x + x + ≡ A ( x − ) + Bx ( x − ) + Cx ( x + ) x ( x − ) x ( x + )( x − ) x x + x − +) Cho x = ⇒ −4 A = ⇔ A = − Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 +) Cho x = ⇒ 8C = ⇔ C = +) Cho x = −2 ⇒ −8B = ⇔ B = − x + x + −1 Khi = − + x x + x x ( x − 4) ( ) ( − 2) TH2: Q( x) = ( x − x1 )( x − x2 ) ( x − xk ) ( x − xn ) m Khi  B Bm  An A A2 B2 P ( x) = + + + + + + m  Q ( x) x − x1 x − x2  x − xk ( x − xk ) x − xn ( x − xk )  Ví dụ 2: [ĐVH] Phân tích phân thức sau thành phân thức đơn giản a) x2 − x + x ( x + 3) b) 3x + ( x + 1) ( x + x + ) Hướng dẫn giải x − x+5 A B C Ax + B C a) Ta có = + 2+ = +  → x − x + ≡ ( Ax + B ) ( x + 3) + Cx 2 x ( x + 3) x x x+3 x x+3 17 +) Cho x = −3 ⇒ 9C = 17 ⇔ C = +) Cho x = ⇒ 3B = ⇔ B = 17 5− ⇒ A = −8 +) Cho x = ⇒ = ( A + B ) + C ⇔ A + = x2 − x + 17 Khi đó, =− + + x 3x 9( x + 3) x ( x + 3) 3x + A B C = + +  → 3x + ≡ A ( x + ) + B ( x + )( x + 1) + C ( x + 1) b) Ta có 2 ( x + 1) ( x + x + ) x + x + ( x + ) +) Cho x = −2 ⇒ −C = −5 ⇔ C = +) Cho x = −1 ⇒ A = −2 +) Cho x = ⇒ = A + B + C ⇔ −8 + B + = ⇒ B = 3x + −2 Khi đó, = + + ( x + 1) ( x + x + ) x + ( x + ) ( x + )2 TH3: Q( x) = ( x − x1 )( x − x2 ) ( ax + bx + c ) ( x − xn ) ; b − 4ac < Khi An A1 A2 P( x) mx + n , đồng ta thu hệ số tương ứng = + + + + Q ( x) x − x1 x − x2 ax + bx + c x − xn Ví dụ 3: [ĐVH] Phân tích phân thức sau thành phân thức đơn giản a) x2 − x + x ( x + x + 2) b) x−3 x3 − Hướng dẫn giải x2 − x + A Bx + C a) Ta có = +  → x − x + ≡ A ( x + x + ) + ( Bx + C ) x x( x + x + 2) x x + x + +) Cho x = ⇒ A = ⇔ A = +) Lại có, A + B = ⇒ B = , (đồng hệ số x2) +) Ta có A + C = −1 ⇒ C = − , (đồng hệ số x) Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! Khóa học LTĐH mơn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 x2 − x + 1 x −1 = + x( x + x + 2) x x + x + x−3 x−3 A Bx + C b) Ta có = = +  → x − x + ≡ A ( x + x + 1) + ( Bx + C )( x − 1) x − ( x − 1) ( x + x + 1) x − x + x + Khi đó, + Cho x = ⇒ A = ⇔ A = + Lại có, A + B = ⇒ B = , (đồng hệ số x2) + Ta có A − C = ⇒ C = − , (đồng hệ số tự do) x−3 4x −1 Khi đó, = + x − ( x − 1) ( x + x + 1) 3) Áp dụng vào toán tìm ngun hàm Ví dụ 1: [ĐVH] Tính ngun hàm sau a) I1 = ∫ 2x + dx 3x2 − x − a) Ta có I1 = ∫ x2 + x + dx x2 − x + Hướng dẫn giải b) I = ∫ 2x + 2x + dx = ∫ dx 3x − x − ( x − 1)(3 x + 2) A B 2x + = +  → x + ≡ A(3 x + 2) + B ( x − 1) ( x − 1)(3 x + 2) x − 3x + + Cho x = ⇒ A = ⇔ A = + Cho x = ⇒ A − B = ⇔ B = A − =   2x + 3 Khi đó, I1 = ∫ dx = ∫  +  dx = ln x − + ln 3x + + C ( x − 1)(3x + 2) 5( x − 1) 5(3 x + 2) 15   Xét b) Ta có I = ∫ x2 + x − x2 + x − dx = ∫ dx x − 4x + ( x − 1)( x − 3) x2 + x + A B = +  → x + x + ≡ A( x − 3) + B ( x − 1) ( x − 1)( x − 3) x − x − +) Cho x = ⇒ −2 A = ⇔ A = −2 +) Cho x = ⇒ B = 14 ⇔ B = x2 + x −   −2 Khi đó, I = ∫ dx = ∫  +  dx = ln x − − 2ln x − + C x − 4x +  x −1 x −  Xét Ví dụ 2: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau a) I1 = ∫ x2 + x − dx x3 + b) I = ∫ 2x − dx x ( x + 1) Hướng dẫn giải a) Ta có I1 = ∫ x + 3x − x + 3x − dx = ∫ dx x +1 ( x + 1)( x − x + 1) 2 x + 3x − A Bx + C = +  → x + x − ≡ A( x − x + 1) + ( Bx + C )( x + 1) ( x + 1)( x − x + 1) x + x − x + +) Cho x = −1 ⇒ A = −3 ⇔ A = −1 +) Đồng hệ số x2 ta A + B = ⇒ B = +) Đồng hệ số tự ta A + C = −1 ⇒ C = x + 3x − 2x (2 x − 1) +  −1  Khi đó, I1 = ∫ dx = ∫  + dx =  dx = − ln x + + ∫ x +1 x − x +1  x +1 x − x +1 Xét Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 1  dx−  d ( x − x + 1) dx 2  = − ln x + + ∫ +∫ = − ln x + + ln x − x + + ∫ = 2 x − x +1 x − x +1      x−  +      2x −1  − ln x + + ln x − x + + arctan  +C   2x −1 C  A B b) Ta có I = ∫ dx = ∫  + +  dx x ( x + 1) x +1 x x 2x − A B C Xét = + 2+  → x − ≡ Ax( x + 1) + B ( x + 1) + Cx x ( x + 1) x x x +1 +) Cho x = −1 ⇒ A = −3 ⇔ A = −1 +) Đồng hệ số x2 ta A + B = ⇒ B = +) Đồng hệ số tự ta A + C = −1 ⇒ C = x2 + 3x − 2x (2 x − 1) +  −1  Khi đó, I1 = ∫ dx = ∫  + dx =  dx = − ln x + + ∫ x +1 x − x +1  x +1 x − x +1 1  dx−  d ( x − x + 1) dx 2  = − ln x + + ∫ +∫ = − ln x + + ln x − x + + ∫ = 2 x − x +1 x − x +1 1  3   x−  + 2     2x −1  arctan  − ln x + + ln x − x + + +C   Ví dụ 3: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau a) I1 = ∫ x dx x −1 b) I = ∫ x2 + x + dx x ( x − 9) Hướng dẫn giải x x dx = ∫ dx x3 − ( x − 1)( x + x + 1) x A Bx + C Xét = +  → x ≡ A( x + x + 1) + ( Bx + C )( x − 1) ( x − 1)( x + x + 1) x − x + x + 1 +) Cho x = ⇒ A = ⇔ A = +) Đồng hệ số x2 ta A + B = ⇒ B = − +) Đồng hệ số tự ta A − C = ⇒ C = 3 (2 x + 1) − x 1 x −1 1 2 dx = Khi đó, I1 = ∫ dx = − dx = ln x − − ∫ x −1 3( x − 1) ∫ x + x + 3 x2 + x + a) Ta có I1 = ∫ 1 d ( x + x + 1) dx 1 2x + = ln x − − ∫ + ∫ = ln x − − ln ( x + x + 1) + +C arctan 2 x + x +1  3 1  3  x+  + 2    x2 + x + x2 + x + b) Ta có I = ∫ dx = ∫ x( x + 3)( x − 3) dx x( x − 9) x2 + x + A B C = + +  → x + x + ≡ A( x − 9) + Bx( x − 3) + Cx( x + 3) x( x + 3)( x − 3) x x + x − + Cho x = ⇒ −9 A = ⇔ A = − Xét Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG +) Cho x = ⇒ 18C = 14 ⇔ C = +) Cho x = −3 ⇒ −18B = ⇔ B = − Khi đó, I = ∫ Facebook: LyHung95  x2 + x +  dx = ∫  − − +  dx = − ln x − ln x + + ln x − + C x( x − 9) 9  x 9( x + 3) 9( x − 3)  BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Tính nguyên hàm, tích phân sau: x3 − x + x + a) I1 = ∫ dx x − 3x + −1 2x + c) I = ∫ dx x ( x − 1) e) I = ∫ − x2 dx ( x + 1)( x + x + 4) 3x + x + dx x − 3x + x −1 d) I = ∫ dx ( x + 2) (2 x + 3) b) I = ∫ f) I = ∫ x +1 dx x( x + x + 5) Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! ... B = ⇒ B = , (đồng hệ số x2) + Ta có A − C = ⇒ C = − , (đồng hệ số tự do) x−3 4x −1 Khi đó, = + x − ( x − 1) ( x + x + 1) 3) Áp dụng vào tốn tìm ngun hàm Ví dụ 1: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau a) I1... B = ⇒ B = , (đồng hệ số x2) +) Ta có A + C = −1 ⇒ C = − , (đồng hệ số x) Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! Khóa học LTĐH mơn Tốn –... +  dx = − ln x − ln x + + ln x − + C x( x − 9) 9  x 9( x + 3) 9( x − 3)  BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Tính nguyên hàm, tích phân sau: x3 − x + x + a) I1 = ∫ dx x − 3x + −1 2x + c) I = ∫ dx x ( x − 1)