ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH PHI TUYẾN Học kỳ II - 2015-2016 THỜI GIAN : 120 PHÚT (Thí sinh tham khảo tài liệu mang theo ) Sinh viên làm nhiều tốt, điểm 10 dành cho số sinh viên làm nhiều câu hỏi Trong câu có khẳng định, thí sinh phải chứng minh khẳng định Trong câu hỏi có trường hợp có trường hợp sai, thí sinh phải cho thí dụ tương ứng chứng minh khẳng định thí dụ Giải câu sau : Cho E không gian C([0, 1], IR) với chuẩn sup ||u||∞ Đặt S(u)(x) = sin(x2 u(x)) ∀ u ∈ E, x ∈ [0, 1] (i) Hỏi T có ánh xạ liên tục từ E vào E? (ii) Hỏi S có là ánh xạ Lipschitz? Cho g hàm số thực liên tục [0, 1] × IR E không gian C([0, 1], IR) với chuẩn sup ||u||∞ Đặt T (u)(x) = g(x, u(x)) ∀ u ∈ E, x ∈ [0, 1] (i) Hỏi T có ánh xạ liên tục từ E vào E? (ii) Cho A tập bị chặn E, hỏi T (A) có tập compắc E Cho D tập mở không gian định chuẩn (E, ||.||), S T hai ánh xạ compắc từ D vào E, α β hai số thực Đặt F (x) = αS(x) + βT (x) for every x in D Hỏi F có ánh xạ compắc D Hết