Biểu diễn xác suất của đa thức Narayna (Luận văn thạc sĩ)

Biểu diễn xác suất của đa thức Narayna (Luận văn thạc sĩ)Biểu diễn xác suất của đa thức Narayna (Luận văn thạc sĩ)Biểu diễn xác suất của đa thức Narayna (Luận văn thạc sĩ)Biểu diễn xác suất của đa thức Narayna (Luận văn thạc sĩ)Biểu diễn xác suất của đa thức Narayna (Luận văn thạc sĩ)Biểu diễn xác suất của đa thức Narayna (Luận văn thạc sĩ)Biểu diễn xác suất của đa thức Narayna (Luận văn thạc sĩ)Biểu diễn xác suất của đa thức Narayna (Luận văn thạc sĩ)Biểu diễn xác suất của đa thức Narayna (Luận văn thạc sĩ)Biểu diễn xác suất của đa thức Narayna (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ BÍCH LIÊN BIỂU DIỄN XÁC SUẤT CỦA ĐA THỨC NARAYNA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ BÍCH LIÊN BIỂU DIỄN XÁC SUẤT CỦA ĐA THỨC NARAYNA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Tiến Dũng THÁI NGUYÊN - 2017 i Mục lục Mục lục i Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa tính chất 1.1.1 Một số khái niệm 1.1.2 Một số tính chất 1.2 Các khái niệm xác suất 1.3 Các ví dụ 15 Chương Biểu diễn xác suất đa thức Narayana 17 2.1 Công thức biểu diễn đa thức Narayana 17 2.2 Tổng quát hóa đa thức Narayana 19 2.3 Công thức biểu diễn xác suất dãy an 24 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 Mở đầu Đa thức Narayana giới thiệu nghiên cứu MacMahon (1915) nhà toán học Ấn độ Narayana (1955) Bởi tính ứng dụng lĩnh vực khác (đặc biệt toán đếm lý thuyết tổ hợp), đa thức Narayana đối tượng quan tâm nghiên cứu vòng 10 năm gần Mục đích luận văn để giới thiệu công thức biểu diễn tính chất đa thức Narayana thơng qua cơng cụ lí thuyết xác suất Luận văn trình bày tính chất dãy số có liên quan mật thiết đến đa thức Narayana Luận văn cung cấp ví dụ minh họa thú vị cho tương tác chuyên ngành toán khác Nội dung luận văn tổng hợp tử kết [1] Ngoài phần mở đầu kết luận, bố cục luận văn gồm chương Cụ thể sau: Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giới thiệu đa thức Narayana 1.2 Các khái niệm xác suất Chương Biểu diễn xác suất đa thức Narayana 2.1 Công thức biểu diễn đa thức Narayana 2.2 Tổng quát hóa đa thức Narayana 2.3 Công thức biểu diễn xác suất dãy an Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình TS Nguyễn Tiến Dũng Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy Tơi xin cảm ơn Trường THPT Trần Nguyên Hãn - nơi công tác, giúp đỡ tạo điều kiện nhiều cho tơi hồn thành khố học Tơi xin cám ơn nhóm seminar tổ Đại số - Khoa Toán trường Đại học Khoa Học Thái Nguyên giúp bổ sung, củng cố kiến thức Lý thuyết số Tổ hợp Qua đây, xin gửi tới thầy cô Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học K9B2 2015-2017, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt q trình giáo dục đào tạo Nhà trường Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tơi để tơi hồn thành nhiệm vụ Thái Nguyên, ngày 05 tháng năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Bích Liên Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày định nghĩa ví dụ minh họa cho tính ứng dụng đa thức Narayana Nội dung chương tổng hợp từ báo [1] [3] 1.1 Định nghĩa tính chất 1.1.1 Một số khái niệm Dãy Catalan Trong toán tổ hợp, số Catalan dãy số tự nhiên xuất nhiều toán đếm, thường bao gồm đối tượng đệ quy Được đặt tên theo nhà toán học người Pháp Bỉ Eugène Charles Catalan (1814-1894) Số Catalan định nghĩa sau:   2n (2n)! Cn = = n+1 n (n + 1)!n!   2n Trong   tổ hợp chập n 2n phần tử n với n ≥ (1.1) Các giá trị Cn với ≤ n ≤ 14 cho 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 14858, 742900, 2674440 Dãy An Dãy {An , n ≥ 1} dãy số nguyên định nghĩa công thức truy hồi sau: A1 = 1;   n−1 2n −  A jCn− j (−1)n−1 An = Cn + ∑ (−1) j  2j−1 j=1 với n > (1.2) Những giá trị dãy An là: A1 = 1, A2 = 1; A3 = 5, A4 = 56, A5 = 1092, A6 = 32670 Dãy an Dãy số an định nghĩa qua dãy An qua công thức: an = 2An , Cn (1.3) Với vài giá trị a1 = 2, a2 = 1, a3 = 2, a4 = 8, a5 = 52, a6 = 495, a7 = 6470 (1.4) Dãy số Narayana Định nghĩa 1.1 Dãy số Narayna, ký hiệu N(n, k), dãy số nguyên cho công thức sau:   n n    , với hai giá trị nguyên dương n, k N(0, 0) = N(n, k) =  n k−1 k (1.5)  Các giá trị số Narayana tính sau: Bảng 1.1 : n\k 1 1 3 6 10 20 10 15 50 50 15 21 105 175 105 21 1 Đa thức Narayana Định nghĩa 1.2 Đối với số nguyên n không âm, đa thức Narayana kí hiệu Nn (q) xác định N0 (q) = n Nn (q) = ∑ N(n, k)qk , k=1 Với N(n, k) số Narayana cho (1.5) Các giá trị dãy đa thức Narayana là: n > (1.6) Bảng 1.2 : n q q + q2 q + 3q2 + q3 q + 6q2 + 6q3 + q4 q + 10q2 + 20q3 + 10 q4 + q5 q + 15q2 + 50q3 + 50 q4 + 15 q5 +q6 q + 21q2 + 105q3 + 175 q4 + 105 q5 +21 q6 +q7 1.1.2 Một số tính chất Tính chất Các số Narayana đối xứng theo dòng, tức N(n, k) = N(n, n − k + 1) Chứng minh       n n n n  = 1    = N(n, k) Ta có N(n, n−k +1) =  n n−k n n−k n−k+1 k Tính chất Dãy An tính theo cơng thức truy hồi sau thông qua đa thức Narayana  (z + 1)Nr (z) − Nr+1 (z) = ∑ (−z)n  n≥1 r−1   An Nr−2n+1 (z) 2n − (1.7) Tính chất Đa thức Nn (q) biểu diễn thông qua số Catalan:   n−1  Cm Nn (q) = ∑ qm (q + 1)n−2m−1  2m m≥0 Tính chất Các số Narayana tính cơng thức sau:    n n−1   N(n, k) =  k k−1 k−1 Chứng minh    n  n  n − 1 (n − 1)! 1 =  k k−1 k − k (k − 1)!(n − k)! k−1   n n! 1 =  k − n k!(n − k)!    n n   =  n k−1 k   = N(n, k) Tính chất Dãy an có cơng thức tính sau   n−1 n+1 aj   (−1)n−1 an = + ∑  n − j + j−1 j+1 j=1 n−1  (1.8) Các tính chất chứng minh Lasalle [3] 1.2 Các khái niệm xác suất Định nghĩa 1.3 Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối beta đối xứng với tham số µ ∈ (− , ∞) hàm mật độ cho bởi: ... 15 Chương Biểu diễn xác suất đa thức Narayana 17 2.1 Công thức biểu diễn đa thức Narayana 17 2.2 Tổng quát hóa đa thức Narayana 19 2.3 Công thức biểu diễn xác suất dãy an... suất Chương Biểu diễn xác suất đa thức Narayana 2.1 Công thức biểu diễn đa thức Narayana 2.2 Tổng quát hóa đa thức Narayana 2.3 Công thức biểu diễn xác suất dãy an Bản luận văn hoàn thành hướng... luận văn để giới thiệu cơng thức biểu diễn tính chất đa thức Narayana thơng qua cơng cụ lí thuyết xác suất Luận văn trình bày tính chất dãy số có liên quan mật thiết đến đa thức Narayana Luận văn