Biểu diễn xác suất của đa thức narayna

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ BÍCH LIÊN BIỂU DIỄN XÁC SUẤT CỦA ĐA THỨC NARAYNA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ BÍCH LIÊN BIỂU DIỄN XÁC SUẤT CỦA ĐA THỨC NARAYNA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Tiến Dũng THÁI NGUYÊN - 2017 i Mục lục Mục lục i Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa tính chất 1.1.1 Một số khái niệm 1.1.2 Một số tính chất 1.2 Các khái niệm xác suất 1.3 Các ví dụ 15 Chương Biểu diễn xác suất đa thức Narayana 17 2.1 Công thức biểu diễn đa thức Narayana 17 2.2 Tổng quát hóa đa thức Narayana 19 2.3 Công thức biểu diễn xác suất dãy an 24 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 Mở đầu Đa thức Narayana giới thiệu nghiên cứu MacMahon (1915) nhà toán học Ấn độ Narayana (1955) Bởi tính ứng dụng lĩnh vực khác (đặc biệt toán đếm lý thuyết tổ hợp), đa thức Narayana đối tượng quan tâm nghiên cứu vòng 10 năm gần Mục đích luận văn để giới thiệu công thức biểu diễn tính chất đa thức Narayana thơng qua cơng cụ lí thuyết xác suất Luận văn trình bày tính chất dãy số có liên quan mật thiết đến đa thức Narayana Luận văn cung cấp ví dụ minh họa thú vị cho tương tác chuyên ngành toán khác Nội dung luận văn tổng hợp tử kết [1] Ngoài phần mở đầu kết luận, bố cục luận văn gồm chương Cụ thể sau: Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giới thiệu đa thức Narayana 1.2 Các khái niệm xác suất Chương Biểu diễn xác suất đa thức Narayana 2.1 Công thức biểu diễn đa thức Narayana 2.2 Tổng quát hóa đa thức Narayana 2.3 Công thức biểu diễn xác suất dãy an Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình TS Nguyễn Tiến Dũng Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy Tơi xin cảm ơn Trường THPT Trần Nguyên Hãn - nơi công tác, giúp đỡ tạo điều kiện nhiều cho tơi hồn thành khố học Tơi xin cám ơn nhóm seminar tổ Đại số - Khoa Toán trường Đại học Khoa Học Thái Nguyên giúp bổ sung, củng cố kiến thức Lý thuyết số Tổ hợp Qua đây, xin gửi tới thầy cô Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học K9B2 2015-2017, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt q trình giáo dục đào tạo Nhà trường Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tơi để tơi hồn thành nhiệm vụ Thái Nguyên, ngày 05 tháng năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Bích Liên Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày định nghĩa ví dụ minh họa cho tính ứng dụng đa thức Narayana Nội dung chương tổng hợp từ báo [1] [3] 1.1 Định nghĩa tính chất 1.1.1 Một số khái niệm Dãy Catalan Trong toán tổ hợp, số Catalan dãy số tự nhiên xuất nhiều toán đếm, thường bao gồm đối tượng đệ quy Được đặt tên theo nhà toán học người Pháp Bỉ Eugène Charles Catalan (1814-1894) Số Catalan định nghĩa sau:   2n (2n)! Cn = = n+1 n (n + 1)!n!   2n Trong   tổ hợp chập n 2n phần tử n với n ≥ (1.1) Các giá trị Cn với ≤ n ≤ 14 cho 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 14858, 742900, 2674440 Dãy An Dãy {An , n ≥ 1} dãy số nguyên định nghĩa công thức truy hồi sau: A1 = 1;   n−1 2n −  A jCn− j (−1)n−1 An = Cn + ∑ (−1) j  2j−1 j=1 với n > (1.2) Những giá trị dãy An là: A1 = 1, A2 = 1; A3 = 5, A4 = 56, A5 = 1092, A6 = 32670 Dãy an Dãy số an định nghĩa qua dãy An qua công thức: an = 2An , Cn (1.3) Với vài giá trị a1 = 2, a2 = 1, a3 = 2, a4 = 8, a5 = 52, a6 = 495, a7 = 6470 (1.4) Dãy số Narayana Định nghĩa 1.1 Dãy số Narayna, ký hiệu N(n, k), dãy số nguyên cho công thức sau:   n n    , với hai giá trị nguyên dương n, k N(0, 0) = N(n, k) =  n k−1 k (1.5)  Các giá trị số Narayana tính sau: Bảng 1.1 : n\k 1 1 3 6 10 20 10 15 50 50 15 21 105 175 105 21 1 Đa thức Narayana Định nghĩa 1.2 Đối với số nguyên n không âm, đa thức Narayana kí hiệu Nn (q) xác định N0 (q) = n Nn (q) = ∑ N(n, k)qk , k=1 Với N(n, k) số Narayana cho (1.5) Các giá trị dãy đa thức Narayana là: n > (1.6) Bảng 1.2 : n q q + q2 q + 3q2 + q3 q + 6q2 + 6q3 + q4 q + 10q2 + 20q3 + 10 q4 + q5 q + 15q2 + 50q3 + 50 q4 + 15 q5 +q6 q + 21q2 + 105q3 + 175 q4 + 105 q5 +21 q6 +q7 1.1.2 Một số tính chất Tính chất Các số Narayana đối xứng theo dòng, tức N(n, k) = N(n, n − k + 1) Chứng minh       n n n n  = 1    = N(n, k) Ta có N(n, n−k +1) =  n n−k n n−k n−k+1 k Tính chất Dãy An tính theo cơng thức truy hồi sau thông qua đa thức Narayana  (z + 1)Nr (z) − Nr+1 (z) = ∑ (−z)n  n≥1 r−1   An Nr−2n+1 (z) 2n − (1.7) Tính chất Đa thức Nn (q) biểu diễn thông qua số Catalan:   n−1  Cm Nn (q) = ∑ qm (q + 1)n−2m−1  2m m≥0 Tính chất Các số Narayana tính cơng thức sau:    n n−1   N(n, k) =  k k−1 k−1 Chứng minh    n  n  n − 1 (n − 1)! 1 =  k k−1 k − k (k − 1)!(n − k)! k−1   n n! 1 =  k − n k!(n − k)!    n n   =  n k−1 k   = N(n, k) Tính chất Dãy an có cơng thức tính sau   n−1 n+1 aj   (−1)n−1 an = + ∑  n − j + j−1 j+1 j=1 n−1  (1.8) Các tính chất chứng minh Lasalle [3] 1.2 Các khái niệm xác suất Định nghĩa 1.3 Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối beta đối xứng với tham số µ ∈ (− , ∞) hàm mật độ cho bởi: 17 Chương Biểu diễn xác suất đa thức Narayana Nội dung chương tham khảo từ báo [1] Chúng tơi trình bày cơng thức biểu diễn xác suất đa thức Narayana dạng tổng quát hóa đa thức Chúng tơi tổng hợp tính chất quan trọng hai dãy số nguyên có liên quan mật thiết đến đa thức Narayana 2.1 Công thức biểu diễn đa thức Narayana Ta nhắc lại hàm mật độ xác suất f1  √   − x2 f1 (x) = π  0 với |x| ≤ 1, (2.1) với |x| > Định lí 2.1 Cho X ∼ f1 biến ngẫu nhiên có phân phối bán nguyệt Khi đa thức Narayana biểu diễn √ Nr (z) = E[(1 + z + zX)r−1 ], (2.2) 18 với r ≥ Chứng minh Sử dụng khai triển nhị thức ta có √ E[(1 + z + zX)r−1 ] = r−1  ∑ j=0 r−1 j   (z + 1)r−1− j z j/2 E[(2X) j ] Do cơng thức biểu diễn suy từ Chú ý chương (1.7) Để áp dụng Định lí 1.4, xét hệ thức √ Nr (z) = E[(1 + z + zX)r−1 ] √ = (2 z)r−1 E[(X + z∗)r−1 ] √ = (2 z)r−1 Pr−1 (z∗), với 1+z z∗ = √ z (2.3) Phép truy hồi (1.12) áp dụng cho đa thức Pn (z∗)   n Nn+2 (z) (1 + z) Nn+1 (z) n−2m+2 (z)  κ(2m) N√ (2.4) √ n = ∑ √ n+1 − √ n−2m+1 z (2 z) (2 z) (2 z) m≥1 2m − quy  (1 + z)Nr (z) − Nr+1 (z) = − ∑ m≥1  r−1   κ(2m)22m zm Nr+1−2m (z), (2.5) 2m − cách sử dụng r = n + Phép truy hồi có dạng (1.7) 19 Định lí 2.2 Cho X ∼ f1 Sau hệ số An đưa công thức An = (−1)n+1 κ(2n)2n (2.6) Hệ Cho ∞ ζµ (s) = ∑ s k=1 jµ,k (2.7) hàm zeta Khi hệ số An tính bởi: An = 22n+1 (2n − 1)!ζ1 (2n) Các hệ số thu nhỏ an thể hàm zeta Bessel Hệ Các hệ số an đưa an = 22n+1 (n + 1)!(n − 1)!ζ1 (2n) (2.8) Chú ý 2.1 Biểu thức cho hệ số phép truy hồi n−1 (n + µ)ζµ (2n) = ∑ ζµ (2r)ζµ (2n − 2r), (2.9) r=1 đưa [4], cung cấp phép chứng minh phép truy hồi 2.2 Tổng quát hóa đa thức Narayana Từ Định lí 2.1 ta thấy đa thức Narayana biểu diễn qua moment biến ngẫu nhiên bán nguyệt với mật độ f1 Do đó, cách tự nhiên ta thay f1 f µ nhận định nghĩa sau 20 Định nghĩa 2.1 Cho Xµ ∼ f µ phân phối beta đối xứng Đa thức √ µ Nr (z) = E[(1 + z + zXµ )r−1 ], gọi đa thức Narayana tổng quát hóa Chú ý 2.2 Lập luận tương tự đưa (2.5) cho phép truy hồi:  µ µ (1 + z)Nr (z) − Nr+1 (z) = − ∑  m≥1 r−1   κ(2m)22m zm N µ r+1−2m (z), 2m − (2.10) với κ(2n) nửa bất biến X ∼ f µ Định lí 2.2 đưa biểu thức tổng quát hóa số Lassale An := (−1)n+1 κ(2n)2n µ (2.11) biểu thức tương ứng hàm zeta An := 22n+1 (2n − 1)!ζµ (2n) µ (2.12) Định nghĩa 2.2 Ta viết khai triển Maclaurin hàm (1 − 2xt + t )−µ −µ (1 − 2xt + t ) ∞ = ∑ Cn (x)t n µ n=0 µ Khi Cn gọi đa thức Gegenbauer Ta có C0 (x) = 1,C1 (x) = 2µx,C2 (x) = −µ + 2µ(1 + µ)x2 , µ µ µ 21 Một cách tổng quát, đa thức Gegenbauer biểu diễn qua hàm siêu bội: µ (2µ)n 1−x F1 −n, n + 2µ; µ + ; n! 2 2n (µ)n = (x − 1)n F1 −n, −n − µ + ; −2n − 2µ + 1; n! 1−x n 1 x−1 (2µ)n x + , = F1 −n, −n − µ + ; µ + ; n! 2 x+1 Cn (x) = (a)n (b)n zn F1 (a, b, c, z) = ∑ n=0 (c)n n! ∞ với kí hiệu (q)n = q(q + 1) (q + n − 1) Mệnh đề 2.1 Các đa thức Gegenbauer cho µ Cn = (2µ)n E[(z + n! z2 − 1Xµ−1/2 )n ] Chứng minh Sự biểu diễn tích phân Laplace µ Cn (cos θ ) = π Γ(n + 2µ) 22µ−1 nΓ2 (µ) (cos θ + i sin θ ) cos θ dθ xuất Định lí 6.7.4 [3] Sự biến đổi biến z = cos θ X = cos Φ đưa Γ(n + 2µ) µ Cn (z) = 2µ n!Γ2 (µ) (z + z2 − 1X)n (1 − X )µ−1 dX −1 = (2µ)n E[(z + n! z2 − 1Xµ−1/2 )n ], 22 Vì hệ đa thức theo z, mở rộng cho tất z ∈ C µ Định lí 2.3 Các đa thức Gegenbauer Cn đa thức Narayana tổng quát µ Nn thỏa mãn hệ thức µ Nn+1 (z) = n! µ+ (1 − z)nCn (2µ + 1)n 1+z 1−z (2.13) Chứng minh Đổi biến Z= 1+z 1−z Ta có z= Z −1 1+z Z = √ √ Z +1 Z2 − z Sau µ+ Cn 1+z 1−z √ (2µ + 1)n z n 1+z = E √ + Xµ n! 1−z z √ (2µ + 1)n = zXµ )n ] E[(1 + z + n n!(1 − z) (2µ + 1)n µ N (z), = n!(1 − z)n n+1 n sử dụng Z − = 4z/(1 − z)2 Từ định lí ta có Nn+1 (z) = 2(1 − z)n 3/2 + z Cn (n + 2)(n + 1) 1−z (2.14) nhận biểu diễn hàm siêu bội cho đa thức Narayana sau 23 Hệ Các đa thức Narayana cho Nn+1 (z) = (1 − z)n F1 −n, n + 3; 2; z z−1 z−1 (2n + 2)! zn F1 −n, −n − 1; −2n − 2; (n + 2)!(n + 1)! z = F1 (−n, −n − 1; 2; z) = Mỗi ba biểu diễn dẫn đến    n n + k + 2 k z (1 − z)n−k Nn+1 (z) = ∑ k k=0 k + k    n n+1 2n + − k n−k     z (1 − z)k = ∑ n + k=0 k n−k    n n+1 n+1 k    z = ∑ n + k=0 k+1 k n Chú ý 2.3 Từ kết [2], ta có µ Cn (z) = n 1−n (µ)n (2x)n F1 − , ; − n − µ; n! 2 x (2.15) Do (2n + 2)! Nn+1 (z) = (n + 1)!(n + 2)! 1+z n F1 n 1−n 1−z − , ; −n − ; 2 1+z (2.16) 24    2n + − 2k n  (1 − z)2k (1 + z)n−2k Nn+1 (z) = n−1 (−1)k    ∑ (n + 2) k=0 n − 2k k (2.17) [n/2] 2.3 Công thức biểu diễn xác suất dãy an Trong mục trước xét dãy an = 2An Cn (2.18) ta biết dãy An ,Cn biểu diễn cách xác suất sau An = (−1)n+1 κ(2n)22n ,Cn = E[X∗2n ], (2.19) κ(2n) nửa bất biến bậc chẵn biến ngẫu nhiên X∗ = 2X, X biến ngẫu nhiên có phân phối bán nguyệt Một cách tự nhiên ta tổng quát hóa dãy an sau: Định nghĩa 2.3 Cho X biến ngẫu nhiên với nửa bất biến lẻ triệt tiêu Số an định nghĩa 2(−1)n+1 κ(2n) an = E[X∗2n ] (2.20) Trong trường hợp đặc biệt X có phân bố beta đối xứng với tham số µ X∗ = 2X, ta có κµ (2n) = (−1)n+1 22n+1 (2n − 1)!ζµ (2n), (2.21) 25 E[X∗2n ] = (2n)! n! (µ + 1)n (2.22) Như trường hợp đặc biệt an = an (µ) = 22n+1 (n − 1)!(µ + 1)n ζ (2n) (2.23) Từ cơng thức ta tìm a1 (µ) = ζµ (2) = 4(µ + 1) Mệnh đề 2.2 Các hệ số an (µ) thỏa mãn phép truy hồi   n+µ −1 n+µ −1   ak (µ)an−k (µ),  ∑ an (µ) =  k−1 n + µ − k=1 n − k −  2 n−1 (2.24) n−1  với điều kiện ban đầu a1 (µ) = Chứng minh Từ đồng thức (2.9) cho hàm zeta công thức (2.23) ta nhận (n + µ) n−1 = a (µ) an (µ) 22n+1 (n − 1)!(µ + 1)n a (µ) ∑ 22k+1(k −k 1)!(µ + 1)k 22n−2k+1(n −n−k k − 1)!(µ + 1)n−k k=1 Rút gọn biểu thức ta có n−1 (n − 1)! (µ + 1)n an (µ) = ak (µ)an−k (µ) ∑ 2(n + µ) k=1 (k − 1)!(n − k − 1)! (µ1 )k (µ + 1)n−k nhận (2.24) 26 Chú ý 2.4 Phép truy hồi (2.24) viết an (µ) = n−1 Γ(n)Γ(µ + 1)Γ(n + µ) ak (µ)an−k (µ) ∑ k=1 Γ(µ + k + 1)Γ(n + µ − k + 1)Γ(n − k)Γ(k) Định lí 2.4 Các hệ số an (µ) dương tăng n ≥ µ +3 Chứng minh Tính chất dương rõ ràng từ (2.23) Bởi số hạng phải (2.24) dương, an (µ) lớn số hạng ứng với k = Như ta có an (µ) ≥ n−1 2(n − 1) a1 (µ)an−1 (µ) = an−1 (µ) µ +1 µ +1 (2.25) Do an (µ) − an−1 (µ) ≥ Bởi n ≥ 2n − − µ an−1 (µ) µ +1 (2.26) µ +3 , ta nhận an (µ) − an−1 (µ) ≥ Tức an (µ) dãy tăng Tiếp theo xét vài trường hợp đặc biệt Trường hợp µ = Trong trường hợp ta có  1   √ f0 (x) = π − x2  0 mật độ phân phối arcsine với |x| ≤ 1, (2.27) với |x| > 27 Ta có an (0) = 22n (n − 1)!n!ζ0 (2n) (2.28)    n−1 n−1  ak (0)an−k (0)  an (0) = ∑  k=1 k k−1 (2.29) n−1 Trường hợp µ = 12 Trong trường hợp   1 f (x) = 2  0 với |x| ≤ 1, với |x| > Như X phân phối đoạn [−1, 1] Ta có: 2n E(2X) = EX∗2n 22n = 2n + 1 22n−1 ζ1/2 (2n) = ∑ 2n 2n = 2n ζ (2n) = |B2n |, (2n)! π k π k=1 ∞ (2.30) Bn số Bernoulli Như nửa bất biến thỏa mãn κ1/2 (2n) = 22n B2n κ1/2 (2n + 1) = 0, 2n (2.31) Do số an ( 12 ) tính 2(−1)n+1 κ(2n) an ( ) = E[X∗2n ] (2.32) 2n + an ( ) = 22n |B2n | n (2.33) 28 Vài số hạng đầu 1 32 96 512 a1 ( ) = 2, a2 ( ) = , a3 ( ) = , a4 ( ) = , a5 ( ) = 2 (2.34) Trường hợp giới hạn µ = − 12 Ta có 1 f−1/2 (x) = δ (x − 1) + δ (x + 1) 2 σ hàm phân phối Rademacher rời rạc Ta có E[X∗2n ] = 22n (2.35) 22n − 22n ζ−1/2 (2n) = ∑ 2n = ζ (2n) 2n 2n π (2k − 1) π k=1 (2.36) ∞ Biểu thức cho κ−1/2 (2n) đơn giản hóa hệ thức số Euler En số Bernoulli Nó cho ta (2n+1 − 1)Bn+1 n+1 (2.37) κ−1/2 (2n) = −24n−1 E2n−1 (2.38) an (− ) = (−1)n 22n E2n−1 (2.39) En = − Do Một số giá trị là: 1 1 a1 (− ) = 2, a2 (− ) = 4, a3 (− ) = 32, a4 (− ) = 544, a5 (− ) = 15872 2 2 Chú ý 2.5 Đồng thức tích chập (2.9) dẫn đến hệ thức truy hồi bậc 29 hai tiếng hệ thức moment- nửa bất biến cung cấp cho đồng thức tiếng khác   2n −  E2k−1 E2n−2k−1 = 2E2n−1 , với n > 1, ∑ k=1 2k − (2.40)  2n − 2k−1 2  E2k−1 = 1, với n ≥ ∑ k=1 2k − (2.41) n−1 n  Ngoài tính chất để nêu Định lí 2.4, dãy an có tính chất quan trọng sau Định lí 2.5 Các số nguyên an lẻ n = 2(2m − 1) 30 Kết luận Luận văn trình bày lại phương pháp xác suất để nghiên cứu đa thức Narayana Nội dung luận văn tổng hợp chọn lọc từ kết xuất tài liệu tham khảo [1] Cụ thể hơn, luận văn (1) trình bày định nghĩa tổng hợp ví dụ minh họa cho tính ứng dụng đa thức Narayana (2) trình bày cơng cụ xác suất để nghiên cứu đa thức Narayana (3) trình bày cơng thức biểu diễn đa thức Narayana qua phân phối bán nguyệt 31 Tài liệu tham khảo [1] Amdeberhan T., Moll V.H and Vignat C (2013), “A probabilistic interpretationof a sequence related to Narayana polynomials”, Online J Anal Comb 8, 25 pp [2] Andrews G E., Askey R and Roy R (1999), Special Functions, volume 71 of Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press, New York [3] Lasalle M (2012), “Two integer sequences related to Catalan numbers”, J Comb Theory Ser A119, pp 923–935 [4] Elizalde E., Leseduarte S and Romeo A (1993), “Sum rules for zeros of Bessel functions and an application to spherical AharonovBohmquantum bags”, J Phys A: Math Gen., 26, pp 2409–2419 ... 15 Chương Biểu diễn xác suất đa thức Narayana 17 2.1 Công thức biểu diễn đa thức Narayana 17 2.2 Tổng quát hóa đa thức Narayana 19 2.3 Công thức biểu diễn xác suất dãy an... Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giới thiệu đa thức Narayana 1.2 Các khái niệm xác suất Chương Biểu diễn xác suất đa thức Narayana 2.1 Công thức biểu diễn đa thức Narayana 2.2 Tổng quát hóa đa thức Narayana... N(4, k) 17 Chương Biểu diễn xác suất đa thức Narayana Nội dung chương tham khảo từ báo [1] Chúng tơi trình bày cơng thức biểu diễn xác suất đa thức Narayana dạng tổng quát hóa đa thức Chúng tơi