đổi dạng biểu diễn của đa thức giữa các dạng chính tắc, chuẩn tắc, chính tắc suy rộng, chuẩn tắc suy rộng

Chuyển đổi dạng đa thức: ừ dạng chuẩn tắc suy rộng này sang dạng chuẩn tắc suy rộng khác 3.. Cơ sở toán học a.. Giả sử m  n và định lý đã được chứng minh với các đa thức có bậc nhỏ hơn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM

Khoa Toán – Tin

GVHD: PGS-TS Trịnh Công Diệu Lớp: Toán VB2-K2 – NHÓM 2

THÀNH VIÊN CỦA NHÓM 2:

1 PHẠM THỊ KIM CƯƠNG

2 NGUYỄN THỊ MỸ THUẬN

3 MAI XUÂN BÌNH

4 PHẠM THẾ SINH

NỘI DUNG TRÌNH BÀY

1 Cơ Sở Toán Học

2 Thuật toán

3 Ví dụ

4 Chương trình

I ĐẶT VẤN ĐỀ 4

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 4

1 Cơ Sở toán học 4

1.1 Định lí về phép chia có dư 4

1.2 Tính giá trị của đa thức 5

2 Chuyển đổi dạng đa thức: ừ dạng chuẩn tắc suy rộng này sang dạng chuẩn tắc suy rộng khác 3 Thuật toán 8

4 Ví dụ 8

5 Chương trình 10

6 Nhận xét 11

III KẾT LUẬN 11

IV TÀI LIỆU THAM KHẢO 11

I Đặt vấn đề:

Cho P(x) là đa thức một biến x, P(x) có thể được biểu diễn dưới 1 trong 4 dạng sau:

• Dạng chính tắc:

0

( )

n i i i

P x a x



 với a a a0; ;1 2 ;a nR

0

n

i i

i

P x a x x



  với x a a a0; 0; ;1 2 ;a nR

• Dạng chính tắc suy rộng: [ ]

0

( )

n i i i



 với a a1; 2 ;a nR

• Dạng chuẩn tắc suy rộng: [ ; ]

0 0

n

i h i

i

P x a x x



  với x a a a0; 0; ;1 2 ;a nR

Vấn đề đặt ra là làm thế nào để chuyển đa thức từ dạng này sang dạng khác ?

II Giải quyết vấn đề:

1 Cơ sở toán học

a Định lý : về phép chia có dƣ

Trong trường số thực R, cho hai đa thức P(x) và Q(x) bất kỳ của vành [ ]R x , trong đó deg(Q) 

1, tồn tại duy nhất các đa thức S(x) và R(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện:

i) P(x) = Q(x).S(x) + R(x)

ii) deg(R) < deg(Q)

Chứng minh

Tồn tại Ta chứng minh bằng quy nạp theo m = deg(P), n = deg(Q) Nếu deg(P) < deg(Q) thì ta có thể chọn S(x)  0 và R(x) = P(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện i) và ii) Giả sử m  n và định lý đã được chứng minh với các đa thức có bậc nhỏ hơn m Ta chứng minh định lý đúng với các đa thức bậc

m Giả sử











k

k k m

k

k

a x

P

0 0

) ( , )

(

Xét đa thức

)

( )

(

) ( )

( )

(

1 1 1

0 0

1 1

1





















































m n

n m m

n n n m n

m m

m m m

n m n m

x b

b a a

b x

b x b

a a x a x

a x

a

x Q x b

a x P x

H

Do hệ số của xm ở hai đa thức bị triệt tiêu nên bậc của H(x) không vượt quá m -1 Theo giả thiết quy nạp, tồn tại các đa thức S*(x), R*(x) sao cho

H(x) = S*(x).Q(x) + R*(x)

Nhưng khi đó

) (

* )) (

* (

) ( )

( )

b

a x Q x b

a x H x

n

m n

m n



Vậy đặt S(x) = (am/bn)xm-n + S*(x) và R(x) = R*(x) ta được biểu diễn cần tìm cho P(x)

Duy nhất Giả sử ta có hai biểu diễn P(x) = S(x).Q(x) + R(x) và P(x) = S*(x).Q(x) + R*(x) thoả mãn điều kiện ii) Khi đó Q(x).(S(x)-S*(x)) = R*(x) – R(x) Ta có, theo điều kiện ii) và định lý 1 thì deg(R*(x) – R(x)) < deg(Q) Mặt khác, nếu S(x) – S*(x) không đồng nhất bằng 0 thì deg(Q(x).(S(x)-S*(x))) = deg(Q(x)) + deg(S(x)-S*(x))  deg(Q) Mâu thuẫn vì hai vế bằng nhau

Theo ký hiệu của định lý thì S(x) được gọi là thương số và R(x) được gọi là dư số trong phép chia P(x) cho Q(x)

Phép chứng minh nói trên cũng cho chúng ta thuật toán tìm thương số và dư số của phép chia

hai đa thức, gọi là phép chia dài (long division) hay sơ đồ Horner

b Tính giá trị của đa thức

Định lý Bezout : Cho đa thức  0

[ , ] 0

( )

n

i h i

i

x x





P x b  xa Q x

Suy ra: P a b0

(Số dư trong phép chia đa thức P(x) cho x – a là P(a).)

Chứng minh:

Ta chỉ cần chứng minh P(x) - P(a) chia hết cho x - a. Nhưng điều này là hiển nhiên vì

P(x) - P(a)=an(xn - an)+an−1(xn−1 - a n−1)+ +a1(x− a)

và

xk - a k=(x− a)(xk−1+ a xk−2+ + a k−1)

2 Chuyển đổi dạng đa thức: ừ dạng chuẩn tắc suy rộng này sang dạng chuẩn tắc suy rộng khác

Cho đa thức P x( )dưới dạng chuẩn tắc suy rộng như sau

[ ; ] 0

n

i h i

i



(1)

Ta sẽ biểu diễn P x( )về dạng chuẩn tắc suy rộng như sau:

[ ; ] 0

n

i k i

i

P x d x c



với c k, Rcho trước

Để thực hiện được việc chuyển dạng này ta cần xác định các hệ sốd i i( 0, )n

Ta sẽ xác địnhd i i( 0, )n

Ta có

[ ; ]

0

n

i k

i

P x d x c d d x c d x c x c k d x c x c k x c k n k



                 

Ta thấy P c( )d0

P x d  x c d d x c k   d x c k  x c  n k

Đặtc i  c ik i; 1, 2,3, ,n1

ta được:

P x d  x c d d x c  d x c x c  d  x c P x

với P x1( )d1d x c2(  1)  d x c n(  1) (x c n1)

Ta thấyP x1( )là thương của phép chia P x( ) cho(xc)vàP c1( )1 d1

1( ) 1 2( 1) n( 1) ( n 1)

P x d d x c  d x c x c 

1 ( 1)[ 2 3( 2) n( 2) ( n 1)]

d x c d d x c d x c x c 

        

1 ( 1) 2( )

d x c P x

  

vớiP x2( )d2d x c3(  2)  d x c n(  2) (x c n1)

Ta thấyP x2( )là thương của phép chiaP x1( )

choxc1

vàP c2( )2 d2

…

Một cách tổng quát ta có:

1

P x   d x c P x

(c )

P d

với i1, 2,3, ,n1

Ta có (1) có hệ số bậc cao nhất làa n

, (2) có hệ số bậc cao nhất làd n ⇒a n d n

Như vậy muốn chuyển đa thức ( )P x được ghi dưới dạng chuẩn tắc suy rộng

[ ; ] 0

n

i h i

i

P x a x a



 

sang ghi dưới dạng chuẩn tắc suy rộng khác

[ ; ] 0

i

P x d x c



 

với c k, R cho trước Ta thực hiện các tiến trình sau:

Tiến trình 1:

Xác định: n a a a; 0; ;1 2; a a h c k n; ; ; ;

Tiến trình 2:

•Tínhd0 P c( )

•Tínhd i P c i( );i i1, 2,3, ,n1

•d n a n

Bằng cách lập bảng sau:

n

1 2

e e h e n2 e n3h … e1 e0 h e0  c a

c d n a n 1

1 1

n

d



 

2

1 2 2

n

d



  

1

2.1 1

d

0

1 0 0

( )

d

P c



1 2

'n 'n

e  e  h e'n2 e'n3h … e1  c1 a

1

c  c k d'n a n 1

1 1

' ' '

n

d



 

2

1 2 2

' '

n

d



  

1

2 1 1 1

' ' ( )

d

P c





1 1

e  c a

1

( 1)

n

c



   d'''n a n 1

1 1 1

''' ''' ''

n

n

d

P c



 







Tiến trình 3:

Biểu diễn P x( ) dưới dạng chuẩn tắc suy rộng khác:

[ ; ] 0

n

i k i

i



3 Thuật toán:

* Input:a a a0; ;1 2; a a h c k n; ; ; ;

* Output:d d d0; 1; 2; d n

* Giải thuật:

- Với mỗi i từ 0 đến n làm phép gán: di=ai;

- Với mỗi j tăng từ 0 đến n-1 ta thực hiện tiến trình:

- Với mỗi i giảm từ n-1 đến j làm phép gán

1

d  d d c jk  a i j h

4.Các ví dụ :

Ví dụ 1

0

i

P x a x



  , với a0 1,a12,a2 3,a3 4,a4 5,a5 6 Hãy biểu diễn đa

thứcP x( )ở dạng chuẩn tắc suy rộng 5 ( ;1)

0

i

P x d x



 

Gỉai:

Ta có:

5

[ ;2]

0

i

P x a x



 

Bước 1: Xác định các hệ số ban đầu

n a h a  a  a  a  a  a  c k

Bước 2: Điền vào bảng

5

Suy ra:d0 567,d1 562,d2 168,d3 24,d4  25,d5 6

0

i

P x d x



5

( ;1) (1;2) (2;2) (3;2) (4;2) (5;2) 0

i



Ví dụ 2:

Cho đa thức 7

0

i

P x a x



 , vớia0 4,a1 0,a2 1,a3  1,b4 3,a5 2,a6  5,a7 6 Hãy biểu diễn đa thứcP x( )ở dạng chuẩn tắc suy rộng vớix0  2,h1

Giải:

Ta có:

[ ;0]

P x a x a x

  

( )

P x được ghi ở dạng chuẩn tắc suy rộng như sau:

[ ;1]

P x d x d x

Bước 1: Xác định các hệ số ban đầu

n a h a  a  a  a   b  a  a   a 

2, 1

c  k 

Bước 2: Điền vào bảng

Suy ra:d0  1088,d11084,d2  538,d3 179,d4  22,d5 71,d6 37,d7 6

Bước 3: Vậy dạng biểu diễn P x( )ở dạng chuẩn tắc suy rộng vớix0  2;h1là:

7

( ;1) 0

(1;1) (2;1) (3;1) (4;1) (5;1) (6;1) (7;1)

i i

i

P x d x





5 Chương trình tương ứng:

#include <stdio.h>

#include <conio.h>

void main()

{

int n, a, c, i, j;

int h, k;

int hs[36], hsc[36], hsd[36];

printf("Bien doi dang Da thuc.\n");

printf("Chuan tac suy rong sang chuan tac suy rong.\n");

printf("Nhap n, a va h: ");

scanf("%d" "%d" "%d", &n, &a, &h);

printf("Nhap c va k: ");

scanf("%d" "%d", &c, &k);

hsd[n]=0;

for(i=0; i<= n; i++)

{

printf("Nhap vao he so a%d: ",i);

scanf("%d", &hs[i]);

}

printf("\n%5s"," ");

for (i=n; i>=0; i )

{

printf("%5d ", hs[i]);

}

for (j=0;j<n;j++)

{

for (i=n-1;i>=j;i )

{

hsc[j]=c+(j*k);

hsd[i]=(hsc[j]-a+((j-i)*h)); //hsd[i]=(c+(j*k)-a+((j-i)*h));

hs[i]=hs[i]+hs[i+1]*hsd[i]; //hs[i]=hs[i]+hs[i+1]*(c+(j*k)-a+((j-i)*h));

}

printf("\n%5s"," ");

for (i=n; i>=j; i )

{

printf("%5d ", hsd[i]);

}

printf("\n%5d",hsc[j]);

for (i=n; i>=j; i )

{

printf("%5d ", hs[i]);

}

}

printf("\n\nVoi c = %d va k = %d, cac he so cua da thuc moi la:\n",c,k);

for (i=0; i<=n; i++)

{

printf("%5d ", hs[i]);

}

getch();

}

6 Nhận xét:

Ta có 14 dạng để chuyển đổi qua lại giữa các dạng của đa thức:

- Dạng 1: Chuyển đa thức từ dạng chuẩn tắc suy rộng này sang dạng chuẩn tắc suy rộng khác

- Dạng 2: Chuyển từ dạng chính tắc sang chuẩn tắc

- Dạng 3: Chuyển từ dạng chuẩn tắc sang chính tắc

- Dạng 4: Chuyển từ dạng chính tắc sang chuẩn tắc suy rộng

- Dạng 5: Chuyển từ dạng chính tắc sang chính tắc suy rộng

- Dạng 6: Chuyển từ dạng chuẩn tắc sang chính tắc suy rộng

- Dạng 7: Chuyển từ dạng chuẩn tắc sang chuẩn tắc suy rộng

- Dạng 8: Chuyển đa thức từ dạng chuẩn tắc suy rộng sang chính tắc

- Dạng 9: Chuyển từ dạng chuẩn tắc suy rộng sang chuẩn tắc

- Dạng 10: Chuyển từ chính tắc suy rộng sang dạng chuẩn tắc

- Dạng 11: Chuyển từ chính tắc suy rộng sang dạng chính tắc

- Dạng 12: Chuyển từ chính tắc suy rộng sang dạng chuẩn tắc suy rộng

- Dạng 13: Chuyển từ dạng chuẩn tắc suy rộng sang chính tắc suy rộng

- Dạng 14: Chuyển từ dạng chính tắc suy rộng sang chính tắc suy rộng khác

Ta nhận thấy dạng chính tắc, chuẩn tắc, chính tắc suy rộng là các trường hợp đặc biệt của dạng chuẩn tắc suy rộng

 Dạng chính tắc: h=0, x0=0

 Dạng chuẩn tắc: h=0

 Dạng chính tắc suy rộng: h=1, x0= 0

Vì vậy, để trình bày các dạng chuyển đổi giữa các dạng của đa thức ta chỉ cần thực hiện dạng tổng quát: chuyển đa thức từ dạng chuẩn tắc suy rộng này sang dạng chuẩn tắc suy rộng khác

III KẾT LUẬN:

Thuật toán chuyển từ dạng chuẩn tắc suy rộng này sang dạng chuẩn tắc suy rộng khác có thể áp dụng cho tất cả các dạng chuyển đổi còn lại

IV.TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Bài giảng Phương Pháp Tính của thầy Trịnh Công Diệu

2 Phương pháp tính – Tạ Văn Đỉnh