***** thức Sáng kiến kinh nghiệm Dùng biểu thức liên hợp để giải số toán ***** Phần I: đặt vấn đề I - Lời mở đầu: Nh biết giải toán việc xác định sử dụng kiến thức để giải, hay nói cách khác loại toán giải phơng pháp nào, vấn đề dễ dàng với đại đa số học sinh Có nhiều loại toán học sinh không định hớng đợc phơng pháp giải phải thử nhiều cách khác để tìm lời giải có toán thức Trong trình giảng dạy loại toán thức nh rút gọn, tính giá trị biểu thức, so sánh, giải phơng trình Tôi nhận thấy học sinh giải toán thiếu phơng pháp giải học sinh cha định hớng đợc cách giải cho toán cụ thể, đặc biệt học sinh gặp phải toán phức tạp việc định hớng cách giải lại khó khăn Để giúp học sinh tìm lời giải cho toán phức tạp giúp em việc giải toán trở nên dễ dàng hơn, thuận lợi hơn, linh hoạt nhìn nhận định hớng cách giải cách ***** Giáo viên: Phạm Bá Thanh ***** Trờng THCS Thiết Kế ***** thức Sáng kiến kinh nghiệm Dùng biểu thức liên hợp để giải số toán ***** đắn cung cấp cho học sinh cách giải số loại toán chứa thức cách sử dụng biểu thức liên hợp Với đề tài hi vọng không giúp ích cho học sinh mà cung cấp thêm cho đồng nghiệp tài liệu dùng để ôn thi học sinh giỏi cấp bậc trung học sở II - Thực trạng vấn đề nghiên cứu: Trong trình giảng dạy nhận thấy việc sử dụng kiến thức '' dùng biểu thức liên hợp để giải số toán thức '' học sinh , học sinh thờng ấp dụng vào toán đơn giản tuý nh khử mẫu, trục thức mẫu, cao dùng để rút gọn biểu thức giải toán học sinh nhận đợc toán sử dụng biểu thức liên hợp đơn giản, quen thuộc, vận dụng kiến thức vào giải toán học sinh thờng áp dụng tính chất nhân với biểu thức liên hợp, điều làm cho học sinh nhận thức biểu thức liên hợp áp dụng vào giải toán đơn giản với số dạng toán định ***** Giáo viên: Phạm Bá Thanh ***** Trờng THCS Thiết Kế ***** thức Sáng kiến kinh nghiệm Dùng biểu thức liên hợp để giải số toán ***** Đối với số giáo viên việc dạy cho học sinh đa lí thuyết tuý sách giáo khoa kiến thức '' sử dụng biểu thức liên hợp để giải toán '' áp dụng vào toán đơn giản Giáo viên thờng không dạy cho học sinh hiểu sâu chất biểu thức liên hợp không áp dụng vào nhiều thể loại tập để học sinh thấy đợc phong phú giải toán để học sinh nhận thức đợc thấm nhuần kiến thức việc t vận dụng kiến thức vào giải toán đa dạng , phong phú Với hạn chế khuôn khổ, chơng trình nên việc đề cập sách giáo khoa biểu thức liên hợp tuý lí thuyết tập đơn giản nh trục thức nên gây cho ngời dạy ngời học xem nhẹ vấn Qua nhiều năm giảng dạy nhận hạn chế giáo viên học sinh dạy học biểu thức liên hợp - Học sinh nắm đợc lí thuyết tuý biểu thức liên hợp, không hiểu rõ chất biểu thức liên hợp - áp dụng biểu thức liên hợp vào giải tập đơn giản - Khó nhận đợc thể loại tập vận dụng biểu thức liên hợp vào giải áp dụng tính chất ***** Giáo viên: Phạm Bá Thanh ***** Trờng THCS Thiết Kế ***** thức Sáng kiến kinh nghiệm Dùng biểu thức liên hợp để giải số toán ***** - Học sinh thiếu đa dạng giải toán Và từ khắc phục hạn chế tạo đợc hiệu cao công tác dạy học Từ thực trạng để công tác dạy học đạt hiệu cao ,bản thân mạnh rạn đa phơng pháp giải số toán chứa cách sử dụng biểu thức liên hợp Phần ii: giải vấn đề Các giải pháp thựchiện ***** Giáo viên: Phạm Bá Thanh ***** Trờng THCS Thiết Kế ***** thức Sáng kiến kinh nghiệm Dùng biểu thức liên hợp để giải số toán ***** 1.1 Xây dựng sở lí thuyết cho phơng pháp giải 1.1.1 Từ đẳng thức + a2 - b2 = ( a + b )( a - b ) + a3 - b3 = ( a - b )( a2 + ab + b2 ) + a3 + b3 = ( a + b )( a2 - ab + b2 ) + an - bn = ( a - b )( an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1 ) 1.1.2 Ta suy biểu thức liên hợp thờng gặp có dạng + a b a + n + a+b vµ a2 - ab + b2 + a- b vµ a2 + ab + b2 + a- b vµ an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1 a b c vµ b n a b c Víi a, b lµ c¸c biĨu thøc 1.1.3 TÝnh chÊt cđa mét sè biĨu thức liên hợp 1.1.3.1 Tích hai biểu thức liên hỵp + + ( a + b )( a2 - ab + b2) = a3 - b3 + ( a - b )( a2 + ab + b2) = a3 + b3 + ( a - b )(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1) = an - bn a b + a b a b a b c a b c a b2c + a b c a b c 3 a b c + n a b c n a b c n a b c ***** Giáo viên: Phạm Bá Thanh ***** Trờng THCS Thiết Kế ***** thức 1.1.3.2 Sáng kiến kinh nghiệm Dùng biểu thức liên hợp để giải số to¸n vỊ ***** L thõa cđa tỉng hai biĨu thøc liên hợp + + a b c a b c 2a a b c + a b c + a b c a b c 2a 33 a b c a b c a b c ↔ a b c a b c 33 a b c a b c a b c 2a 0 a b a b 2 a 2 4 a 2 a b c 2a a b c nghiệm phơng trình có a b c 3 a b c d¹ng X 33 a b c X 2a 0 a b c + ↔ a b c a b c 3 3 a b c 2b c 33 a b c a b c a b c 33 a b c a b c a b c 3 a b c a b c 2b c 0 lµ nghiƯm phơng trình có dạng X 33 a b c X 2b c 0 ***** Giáo viên: Phạm Bá Thanh ***** Trờng THCS Thiết Kế ***** thức Sáng kiến kinh nghiệm Dùng biểu thức liên hợp để giải số toán ***** II Bài tập vận dụng Loại toán: Rót gän biĨu thøc a, ¸p dơng tÝnh chÊt tích hai biểu thức liên hợp VD1: Rút gọn biÓu thøc : A 5 3 6 Gi¶i A A 5 5 5 5 3 6 5 6 A 5 3 6 6 6 6 A 5 VD 2: Rót gän biĨu thøc 1 B a a a a ***** Giáo viên: Phạm Bá Thanh ***** a 1 : 1 a 1 Trêng THCS ThiÕt KÕ ***** thức Sáng kiến kinh nghiệm Dùng biểu thức liên hợp để giải số toán ***** Gi¶i 1 B a a a a 1 B a 1 : 1 a 1 a a 1 a a : a a 1 a a B a 1 a a a 1 B a b, ¸p dơng tÝnh chÊt luỹ thừa tổng biểu thức liên hợp VD 3: Rót gän biĨu thc: C 10 10 2 Gi¶i: Ta cã: C 8 10 10 C 8 C 8 51 C 8 C 6 Do C C C2 C 1 1 VD 4: Rót gän biĨu thức ***** Giáo viên: Phạm Bá Thanh ***** Trờng THCS Thiết Kế Sáng kiến kinh nghiệm ***** thức Dùng biểu thức liên hợp để giải số to¸n vỊ ***** D a b c d ab ac bd cd a b c d ab ac bd cd Trong ®ã a,b,c,d số không âm Giải: Ta có: D 2 a b c d a b c d 4 ab ac bd cd D 2 a b c d a b c d D 2 a b c d a b c d + NÕu a + d ≥ b + c D2 = 4( a + d ) D = ad + NÕu a + d b + c v× D 0 D2 = 4( b + c ) D = bc D Loại toán: Tính giá trị biểu thức a áp dụng tính chất nhân vói biểu thức liên hợp VD 1: Tính giá trÞ cđa biĨu thøc A 1 32 52 Gi¶i: A A A 1 32 52 3 2 32 3 2 5 52 5 3 2 5 9 25 24 ***** Giáo viên: Phạm Bá Thanh ***** Trờng THCS Thiết Kế ***** thức Sáng kiến kinh nghiệm Dùng biểu thức liên hợp để giải số toán ***** A 3 5 A 21 3 A 2 1 3 2 A 1 A 3 VD 2: Tính giá trị biểu thức B 34 24 25 125 Gi¶i: B B B B 34 24 25 125 4 24 25 34 4 2 25 34 B B 24 34 4 52 B 25 34 24 34 23 52 5 24 24 94 12 2.4 2 24 2.4 1 ***** Giáo viên: Phạm Bá Thanh ***** 10 Trờng THCS Thiết Kế ***** thức Sáng kiến kinh nghiệm Dùng biểu thức liên hợp để giải số toán ***** b, ¸p dơng tÝnh chÊt vỊ l thõa cđa biểu thức liên hợp VD 3: Tính giá trị biÓu thøc C 3 1805 48013 1805 48013 Gi¶i: Ta cã: C 2.1805 3C 18052 2.48013 ↔ C3 - 171C - 3610 = ↔ (C3 - 19.C2) + (19.C2 - 192C) + ( 190C - 3610 ) = ↔ C2(C - 19 ) + 19.C(C - 19) + 190(C - 19) = ↔ (C - 19)(C2 + 19.C + 190 ) = ↔ C - 19 = V× C2 + 19.C + 190 = ( C + 19/ 2) + 399/ Vậy C = 19 VD 4: Tính giá trị biÓu thøc D = x3 + y3 - 3( x + y ) + 2009 BiÕt x 3 2 3 2 y 3 17 12 17 12 Gi¶i: Tõ x 3 2 3 2 3 x 6 3 2 2 3 3 2 3 2 x 6 x vµ (1) y 3 17 12 17 12 ***** Giáo viên: Phạm Bá Thanh ***** 11 Trờng THCS Thiết Kế Sáng kiến kinh nghiệm ***** thức Dùng biểu thức liên hợp để giải số toán ***** 3 y 34 3 17 12 17 12 3 17 12 17 12 y 34 y (2) Tõ ( ) vµ ( ) suy D = ( + 3x ) + ( 34 + 3y ) - 3( x + y ) + 2009 = + 34 + 2009 = 2049 Lo¹i toán: So sánh biểu thức chứa a Nhân với biểu thức liên hợp VD 1: So sánh vµ 13 12 Ta nhËn thÊy vµ 13 12 13 12 1 11 12 11 1 (2) (3) 12 11 13 12 Tõ ( ) ( ) vµ ( ) suy So s¸nh (1) 12 13 12 VD 2: 12 11 vµ A 2007 2009 12 11 B 2 2008 Gi¶i: Ta cã 2009 2008 2008 Mà Từ suy ↔ VËy 2009 2008 2007 2008 2007 2009 2008 2009 2008 2009 2007 2008 2007 2008 2007 2008 A B ***** Giáo viên: Phạm Bá Thanh ***** 12 Trờng THCS Thiết Kế ***** thức Sáng kiến kinh nghiệm Dùng biểu thức liên hợp để giải số toán ***** b Sử dụng tính chất luỹ thừa biểu thức liên hợp VD 1: So s¸nh A x 2y x vµ B x 1 x y Với x, y số nghuyên dơng Giải: Ta có: A 2 x y x xy B 2 x y x 1 x y 1 B 2 x y x xy y 1 V× x, y số nghuyên dơng A > , B > Suy : x xy x xy y 1 Do ®ã A < B VD 2: So sánh 10 13 Ta cã: 13 10 10 2.10 10 Suy ra: VËy 13 2.10 10 2.10 100 2 10 13 < 10 Loại toán: Giải phơng trình : a, Giải phơng trính sử dụng tính chất nhân với biểu thức liên hợp VD 1: Giải phơng trình 2x 3 2x x 21 ***** Giáo viên: Phạm Bá Thanh ***** (1) 13 Trờng THCS Thiết Kế Sáng kiến kinh nghiệm ***** thức Dùng biểu thức liên hợp để giải số toán ***** Giải: x 0 x §iỊu kiƯn: (1) 2x 2x x 21 9 2x 2x 2x 4x x x 0 x 21 18 x x 2 x 42 x 4 x ( tho¶ m·n ) Vậy phơng trình có nghiệm x = 7/2 VD 2: Giải phơng trình 12 x 13 (*) x 13 x Gi¶i : 12 x 0 §iỊu kiƯn x 13 0 x x Nhân hai vế phơng trình (*) với biểu thức liên hợp với vế trái ( biểu thức dơng ) ta đợc * x x 12 x 13 x 13 (1) Víi x = không nghiệm phơng trình (*) Nhân hai vế (*) với x ta đợc x x 12 x 13 x 13 (2) Trõ vế phơng trình (1) (2) ta đợc x x 1.2 x 13 ***** Giáo viên: Phạm Bá Thanh ***** 14 Trờng THCS Thiết Kế Sáng kiến kinh nghiệm ***** thức Dùng biểu thức liên hợp để giải số to¸n vỊ ***** x 2 Víi x 0 x x x 13 bình phơng hai vế ta đợc 49x2 - 14x + = 4( x + )( 4x + 13 ) 33x2 + 82x - 51 x1 = , x2 = - 17/2 ( loại ) Vậy phơng trình có nghiệm x = b, Giải phơng trình sử dụng tính chất luỹ thừa biểu thức liên hợp VD 1: Giải phơng trình: (1) x x 3 x Gi¶i: (1) x 13 x 2 x x 33 x 1 x 2 x x 2 x 33 x 1 x x 0 x 0 x 1 x 2 x 3 0 x 0 x 0 x 1 x 2 x Vậy phơng trình có nghiệm x1 = 1, x2= 2, x3 = 3/ VD 2: Giải phơng trình x x x x 2 (*) Gi¶i: x 0 §iỊu kiƯn: x x 0 x 1 x x 1 x 0 ***** Giáo viên: Phạm Bá Thanh ***** 15 Trờng THCS Thiết Kế Sáng kiến kinh nghiệm ***** thức Dùng biểu thức liên hợp để giải số to¸n vỊ ***** (*) x x x 1 4 x 4 x = (tho¶ m·n) Vậy phơng trình có nghiệm x = Một số loại toán khác: VD 1: Tính tổng S 1 2 3 2008 2009 Gi¶i: S S 1 2 3 2008 2009 1 2 3 2008 2009 1 2 3 2008 2009 1 S 2009 2009 1 VD 2: chøng minh r»ng x 3 125 x 3 125 3 3 9 125 số nguyên Giải: Viết Xét 125 x 3 3 125 125 9 x 6 x x x phơng trình có nghiƯm nhÊt x = VËy x lµ mét số nguyên VD 3: Tìm x biết: ***** Giáo viên: Phạm Bá Thanh ***** 16 Trờng THCS Thiết Kế ***** thức Sáng kiến kinh nghiệm Dùng biểu thức liên hợp để giải số toán ***** x 13 13 Gi¶i: NhËn thÊy x > XÐt x 5 13 13 x 13 x x 10.x x 12 0 x 9.x x x 3 0 x 3 x 3 x 1 x 1 1 0 V× x > suy ( x + 3)( x + )( x - ) - > x-3=0 x =3 ***** Giáo viên: Phạm Bá Thanh ***** 17 Trờng THCS Thiết Kế Sáng kiến kinh nghiệm ***** thức Dùng biểu thức liên hợp để giải số toán ***** III Bµi tËp Rót gän biĨu thøc ©, A 1 14 21 2 2 2 b, B a b c ab ac a b c ab ac Tính giá trị biểu thøc a, b, A 1 2 B 3 3 100 99 99 100 So sánh a, b, 2 3 vµ 1 Giải phơng trình: a, b, 3x x 1 x 1 3x x 2 x 2 Giải bất phơng trình: ***** Giáo viên: Phạm Bá Thanh ***** 18 Trờng THCS Thiết Kế ***** thức Sáng kiến kinh nghiệm Dùng biểu thức liên hợp để giải số toán ***** x 3x x x 2 x x C KÕt luận Trong đề tài làm cho học sinh nhận thấy đợc đa dạng giải toán, dù đơn vị nhỏ kiến thức nhng vận dụng cách nhần nhuyễn giúp cho ta giải đợc nhiều dạng tập chứa thức Qua giải toán học sinh lựa chọn phơng pháp giải toán đơn giản, ngắn gọn phụ hợp với tập Trên vài kinh nghiệm nhở thân tôi, tự đúc rút qua nhiều năm giảng dạy môn toán Tuy đề tài nhiều khiếm khuyết, cha hoàn chỉnh nhng củng giúp nâng cao chất lợng học sinh, góp phần thêm kinh nghiệm cho đồng nghiệp ***** Giáo viên: Phạm Bá Thanh ***** 19 Trờng THCS Thiết Kế ***** thức Sáng kiến kinh nghiệm Dùng biểu thức liên hợp để giải số toán ***** Để đề tài có hiệu cao giảng dạy giúp ích đợc nhiều cho giáo viên học sinh cần góp ý xây dựng thêm đồng nghiệp để đề tài trở nên hoàn thiện đợc nhân rộng làm tài liệu tham khảo thêm cho giáo viên học sinh Rất mong đợc đóng góp ý kiến đồng nhiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! ***** Giáo viên: Phạm Bá Thanh ***** 20 Trờng THCS Thiết KÕ ... giải toán đơn giản với số dạng toán định ***** Giáo viên: Phạm Bá Thanh ***** Trờng THCS Thi t Kế ***** thức Sáng kiến kinh nghiệm Dùng biểu thức liên hợp để giải số toán ***** Đối với số giáo. .. tính chất ***** Giáo viên: Phạm Bá Thanh ***** Trờng THCS Thi t Kế ***** thức Sáng kiến kinh nghiệm Dùng biểu thức liên hợp để giải số toán ***** - Học sinh thi u đa dạng giải toán Và từ khắc phục... X 2b c 0 ***** Giáo viên: Phạm Bá Thanh ***** Trờng THCS Thi t Kế ***** thức Sáng kiến kinh nghiệm Dùng biểu thức liên hợp để giải số toán ***** II Bài tập vận dụng Loại toán: Rút gän biĨu