SKKN ĐÊ THI GIÁO ÁN TOÁN THCS Thanh SKKN

Phần I: đặt vấn đềI - Lời mở đầu: Nh chúng ta đã biết khi giải một bài toán thì việc xác định sẽ sử dụng kiến thức nào để giải, hay nói cách khác là những loại toán nào có thể giải bằn

Phần I: đặt vấn đề

I - Lời mở đầu:

Nh chúng ta đã biết khi giải một bài toán thì việc xác định sẽ

sử dụng kiến thức nào để giải, hay nói cách khác là những loại toán nào có thể giải bằng phơng pháp nào, vấn đề này không phải là dễ dàng với đại đa số học sinh Có nhiều loại bài toán học sinh không định hớng đợc phơng pháp giải phải thử

bằng nhiều cách khác nhau để tìm ra lời giải trong đó có các bài toán về căn thức

Trong quá trình giảng dạy các loại bài toán về căn thức nh rút gọn, tính giá

trị của biểu thức, so sánh, giải phơng trình Tôi đã nhận thấy khi học sinh giải toán vẫn còn thiếu những phơng pháp giải học sinh cha định hớng đợc cách giải cho từng bài toán cụ thể, đặc biệt là học sinh gặp phải những bài toán phức tạp thì việc định hớng cách giải lại càng khó khăn hơn Để giúp học sinh tìm ra lời giải cho các bài toán phức tạp này giúp các

em trong việc giải toán trở nên dễ dàng hơn, thuận lợi hơn, linh hoạt hơn khi nhìn nhận định hớng cách giải một cách đúng

đắn vì thế tôi đã cung cấp cho học sinh cách giải một số loại toán chứa căn thức bằng cách sử dụng biểu thức liên hợp

Với đề tài này tôi hi vọng nó không chỉ giúp ích cho học sinh mà còn cung cấp thêm cho đồng nghiệp tài liệu dùng để

ôn thi học sinh giỏi các cấp bậc trung học cơ sở

II - Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:

Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy việc sử dụng kiến thức '' dùng biểu thức liên hợp để giải một số bài toán về căn thức '' thì đối với học sinh , học sinh thờng chỉ ấp dụng vào những bài toán đơn giản thuần tuý nh khử mẫu, trục căn thức ở mẫu, hoặc cao hơn là dùng để rút gọn biểu thức và khi giải toán học sinh chỉ nhận ra đợc những bài toán sử dụng biểu thức liên hợp

đơn giản, quen thuộc, và khi vận dụng kiến thức này vào giải toán học sinh chỉ thờng áp dụng tính chất nhân với biểu thức liên hợp, điều này làm cho học sinh nhận thức về biểu thức liên hợp chỉ áp dụng vào giải những bài toán đơn giản và với một

số ít dạng toán nhất định

Đối với một số giáo viên thì việc dạy cho học sinh cũng chỉ đa

ra những lí thuyết thuần tuý của sách giáo khoa và kiến thức ''

sử dụng biểu thức liên hợp để giải toán '' cũng chỉ áp dụng vào các bài toán đơn giản Giáo viên thờng không dạy cho học sinh hiểu sâu về bản chất của biểu thức liên hợp và không áp dụng vào nhiều thể loại bài tập để học sinh thấy đợc sự phong phú khi giải toán để học sinh nhận thức đợc rằng khi đã thấm

nhuần kiến thức thì việc t duy vận dụng kiến thức vào giải toán sẽ đa dạng , phong phú hơn

Với sự hạn chế về khuôn khổ, chơng trình nên việc đề cập của sách giáo khoa về biểu thức liên hợp còn ít chỉ thuần tuý

về lí thuyết và các bài tập đơn giản nh trục căn thức nên cũng

đã gây cho ngời dạy và ngời học xem nhẹ vấn về

Qua nhiều năm giảng dạy tôi đã nhận ra sự hạn chế ở giáo viên

và học sinh khi dạy và học về biểu thức liên hợp

- Học sinh chỉ nắm đợc lí thuyết thuần tuý của biểu thức liên hợp, không hiểu rõ về bản chất của biểu thức liên hợp

- chỉ áp dụng biểu thức liên hợp vào giải các bài tập đơn giản

- Khó nhận đợc thể loại bài tập nào thì có thể vận dụng biểu thức liên hợp nào vào giải và áp dụng tính chất nào của nó

- Học sinh thiếu sự đa dạng trong giải toán.

Và từ đó tôi đã khắc phục sự hạn chế tạo đợc hiệu quả cao hơn trong công tác dạy và học

Từ thực trạng trên để công tác dạy và học đạt hiệu quả cao hơn ,bản thân tôi mạnh rạn đa ra phơng pháp giải một số bài toán chứa căn bằng cách sử dụng biểu thức liên hợp

Phần ii: giải quyết vấn đề

1 Các giải pháp thựchiện.

1.1 Xây dựng cơ sở lí thuyết cho phơng pháp giải

1.1.1 Từ các hằng đẳng thức

+ a2 - b2 = ( a + b )( a - b )

+ a3 - b3 = ( a - b )( a2 + ab + b2 )

+ a3 + b3 = ( a + b )( a2 - ab + b2 )

+ an - bn = ( a - b )( an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1 )

1.1.2 Ta suy ra các biểu thức liên hợp thờng gặp có dạng

+ a  b và a  b

+ n a  b c và n a  b c

+ a + b và a2 - ab + b2

+ a - b và a2 + ab + b2

+ a - b và an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1

Với a, b là các biểu thức

1.1.3 Tính chất của một số biểu thức liên hợp

1.1.3.1 Tích của hai biểu thức liên hợp

+  a b a  ba b

+ ( a + b )( a2 - ab + b2) = a3 - b3

+ ( a - b )( a2 + ab + b2) = a3 + b3

+ ( a - b )(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1) = an - bn

+ ab c. a b c  a2  b2c

+ 3 ab c 3 a b c  3 a2  b2c

+ n ab c.n a b c n a2  b2c

1.1.3.2 Luü thõa cña tæng hai biÓu thøc liªn hîp.

+   a b  a  b 2 2 a2  4a

+ a b c a b c2  2a 2 a2  b2c









+ a b c a b c2  2a 2 a2  b2c

































 3 ab c 3 a b c 3 2a 3 3 a2 b2c 3 a b c 3 a b c























 3 ab c  3 a b c lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh cã d¹ng

X3  3 3 a2  b2c X  2a 0

























 3 ab c  3 a b c 3 2b c 3 3 a2 b2c 3 a b c 3 a b c























 3 ab c  3 a b c lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh cã d¹ng

3 3 3 2 2 2 0







X

II Bµi tËp vËn dông

1 Lo¹i to¸n: Rót gän biÓu thøc

a, ¸p dông tÝnh chÊt tÝch cña hai biÓu thøc liªn hîp.

VD1: Rót gän biÓu thøc :

3 6

3 3

5

2









A

Gi¶i

 

    6  3 6  3

3 6 3 3

5 3 5

3 5 2

















A

   

3 6

3 6 3 3

5

3 5 2













A

A 5  3  6  3

A 5  6

VD 2: Rót gän biÓu thøc











































1

1 1

: 1

1 1

1

a

a a

a a

a B

Gi¶i











































1

1 1

: 1

1 1

1

a

a a

a a

a B

1

1 1

: 1 1























a

a a

a a a

a B

 

1 1

1

1 1

















a a

a a

a B

B a 1

b, ¸p dông tÝnh chÊt luü thõa cña tæng 2 biÓu thøc liªn hîp

VD 3: Rót gän biÓu thc:

C  4 102 5  4 102 2

Gi¶i:





















2

C

C2 82 6 2 5

 2

C

C2  8  2 5  1

2  2

1 5 5 2



C

Do C  0  C  C2

 C   5  12  5  1

VD 4: Rót gän biÓu thøc

D abcd2 abacbdcd  abcd 2 abacbdcd

Trong đó a,b,c,d là các

số không âm

Giải:

Ta có: D2  2abcd 2 abcd2  4abacbdcd

D2  2abcd 2 a b cd2

D2  2abcd 2a b cd

+ Nếu a + d ≥ b + c  D2 = 4( a + d )

 D = 2 a  d vì D 0

+ Nếu a + d  b + c  D2 = 4( b + c )

 D = 2 b  c vì D 0

2 Loại toán: Tính giá trị của biểu thức

a áp dụng tính chất nhân vói biểu thức liên hợp

VD 1: Tính giá trị của biểu thức

6 2 5

1 2

2 3

1









A

Giải:

6 2 5

1 2

2 3

1









A

6 2 5 6 2 5

6 2 5 2

2 3 2 2 3

2 2 3

















A

24 25

6 2 5 8

9

2 2 3













A

A 3 2 3  5 2 6

 2  2

2 3 1



A

A 2  1  3  2

A 2  1  3  2

A 3  1

VD 2: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc

4 4 4

125 25

2 5 3 4

2









B

Gi¶i:

4 4 4

125 25

2 5 3 4

2









B

4 2 4 25 3 4 5 4 5 3

2









B

   2

4 2 4

4 4

5 5 3 25 2 4

5 5 3 25 2 4 2















B

4

5 3 2

4 5 3 5 2 5 2











B

2

5 3 4 5 3 5 2 5 2

2

4













B

4 2

12 5 9 5 2 5 2 5

2  4 5  4 4  4 2  4 



B

5 1 1 5 4

2

1 5 2 5 2 2















B

b, ¸p dông tÝnh chÊt vÒ luü thõa cña biÓu thøc liªn

hîp.

VD 3: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc

C 3 1805  8 48013  3 1805  8 48013

Gi¶i:

Ta cã: C3  2 1805  3C3 1805 2  8 2 48013

↔ C3 - 171C - 3610 = 0

↔ (C3 - 19.C2) + (19.C2 - 192C) + ( 190C - 3610 ) = 0 ↔ C2(C - 19 ) + 19.C(C - 19) + 190(C - 19) = 0

↔ (C - 19)(C2 + 19.C + 190 ) = 0

↔ C - 19 = 0

V× C2 + 19.C + 190 = ( C + 19/ 2) + 399/ 4  0

VËy C = 19

VD 4: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc

D = x3 + y3 - 3( x + y ) + 2009

BiÕt x 3 3  2 2  3 3  2 2

y 3 17  12 2  3 17  12 2

Gi¶i:

Tõ x 3 3  2 2  3 3  2 2

 3 6 3 3 3 2 2 3 3 2 2  3 3  2 23  2 2













x

 x3  6  3x ( 1 )

vµ y 3 17  12 2  3 17  12 2

 3 34 3 3 17 12 2 3 17 12 2  3 17  12 217  12 2













y

 y3  34  3y ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra

D = ( 6 + 3x ) + ( 34 + 3y ) - 3( x + y ) + 2009

= 6 + 34 + 2009

= 2049

3 Loại toán: So sánh các biểu thức chứa căn

a Nhân với biểu thức liên hợp

VD 1: So sánh 13  12 và 12  11

Ta nhận thấy  13  12 13  12 1 ( 1 )

và  12  11 12  11 1 ( 2 )

13  12  12  11 ( 3 )

Từ ( 1 ) ( 2 ) và ( 3 ) suy ra 13  12  12  11

VD 2: So sánh A 2007  2009 và B 2 2008

Giải:

Ta có  2009  2008 2009  2008

 2008  2007 2008  2007

Mà 2009  2008  2008  2007

Từ đó suy ra 2009  2008  2008  2007

↔ 2009  2007  2 2008

Vậy A  B

b Sử dụng tính chất luỹ thừa của biểu thức liên hợp.

VD 1: So sánh A x 2y x và B x 1  x 2y 1

Với x, y là các số nghuyên dơng

Giải:

Ta có: A2  2x 2y 2 x2  2xy

B2  2x 2y 2 x 1x 2y 1

B2  2x 2y 2 x2  2xy2y 1

Vì x, y là các số nghuyên dơng và A > 0 , B > 0

Suy ra : x2  2xy  x2  2xy2y 1

Do đó A < B

VD 2: So sánh 7  13 và 2 10

Ta có:    

2 2

2 2

2

3 10 2 10 2

3 10 3

10 13

7

















Suy ra: 7 13 2.102 102  3  2.102 100 2 10

Vậy 7  13 < 2 10

4 Loại toán: Giải phơng trình :

a, Giải phơng trính sử dụng tính chất nhân với biểu

thức liên hợp

VD 1: Giải phơng trình

3 9 2  21

2

2

2









x x x

( 1 )

Giải:

Điều kiện:































0 2

9 3

2 9

0 2 9

x

x x

x

2 9 3 2

2

2 2













x

x x

4

2 9 3 2

2

2 2









x

x x

 18  2x 6 9  2x  2x 42

 9  2x  4

2

7



 x ( thoả mãn )

Vậy phơng trình có nghiệm x = 7/2

VD 2: Giải phơng trình

12x 13  4x 13  x 1 (*)

Giải :

0 1

0 13 4

0 3 12





























x x

x x

Nhân hai vế của phơng trình (*) với biểu thức liên hợp với vế trái ( biểu thức này luôn dơng ) ta đợc

 *  8x x 1 12x 13  4x 13 ( 1 )

Với x = 1 không là nghiệm của phơng trình (*) Nhân hai vế của (*) với x 1 ta đợc

x 1  x 1 12x 13  4x 13 ( 2 )

Trừ từng vế phơng trình (1) và (2) ta đợc

 7x 1  2 x 14x 13

Với

7

1 0

1

7x   x bình phơng hai vế ta đợc

49x2 - 14x + 1 = 4( x + 1 )( 4x + 13 )

33x2 + 82x - 51

x1 = 3 , x2 = - 17/2 ( loại )

Vậy phơng trình có nghiệm x = 3

b, Giải phơng trình sử dụng tính chất luỹ thừa của

biểu thức liên hợp

VD 1: Giải phơng trình:

3 x 1  3 x 2  3 x 3 (1)

Giải:

(1)  3 x 1  3 x 22  2x 3

 2x 3  33 x 1x 2 3 x 1  3 x 2 2x 3

 33 x 1x 2 3 2x 3  0

   























































2 3 2 1 0

3 2

0 2

0 1 0

3 2 2 1

3 3

x x x x

x

x x

x x

Vậy phơng trình có nghiệm x1 = 1, x2= 2, x3 = 3/ 2

VD 2: Giải phơng trình

x x2 1 x x2 1 2 (*)

Giải:

0 1

1 0

1

0 1

2

2











































x x

x

x x

x x

(*)  2x 2 x2  x2  1  4

 2x 2  4  x = 1 (tho¶ m·n)

VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1

5 Mét sè lo¹i to¸n kh¸c:

VD 1: TÝnh tæng

2009 2008

1

4 3

1 3

2

1 2

1

1



















S

Gi¶i:

2009 2008

1

4 3

1 3

2

1 2

1

1



















S

2009 2008

2009 2008

4 3

4 3 3

2

3 2 2

1

2 1



























S

1

2009 1











S

VD 2: chøng minh r»ng

7

125 9 3 7

125 9



Gi¶i:

7

125 9 3 7

125 9



XÐt

3 3

3 3

7

125 9 3 7

125 9 3





























x

x3  6  5x

3 5 6 0





 x

x ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 1 VËy x lµ mét sè nguyªn

VD 3: T×m x biÕt:

x 5 13 5 13

Gi¶i:

NhËn thÊy x > 2

XÐt x2 5 13 5 13 5

 x2  52  13 x

 x4  10 x2  x 12  0

 x4  9 x2  x2  9 x 3 0

 x 3   x 3x 1x 1 1  0

V× x > 2 suy ra ( x + 3)( x + 1 )( x - 1 ) - 1 > 0

 x - 3 = 0

 x =3

III Bµi tËp

1 Rót gän biÓu thøc

2 2

4 1 2 2

14 1

2

3



























A

b, B abc 2 abac  abc 2 abac

2 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc

a,

100 99 99 100

1

4 3 3 4

1 3

2 2 3

1 2

1 1 2

1



















b, B 3 2  5  3 2  5

3 So s¸nh.

a, 7  6 vµ 3  2

b, 2 3  2 3 vµ 2  1

4 Gi¶i ph¬ng tr×nh:

a, 3x2  5x 1  3x2  5x 7  2

b, 3 1  x  3 1  x  2

5 Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh:

x2  3x 2  x2  4x 3  2 x2  5x 4

C Kết luận.

Trong đề tài này tôi đã làm cho học sinh nhận thấy đợc sự

đa dạng trong giải toán, dù chỉ là một đơn vị nhỏ kiến thức nhng khi vận dụng nó một cách nhần nhuyễn thì có thể giúp cho ta giải quyết đợc khá nhiều các dạng bài tập chứa căn thức Qua đó khi giải toán học sinh có thể lựa chọn các phơng pháp giải toán đơn giản, ngắn gọn phụ hợp với bài tập đó

Trên đây là một vài kinh nghiệm nhở của bản thân tôi, đã tự

đúc rút ra qua nhiều năm giảng dạy môn toán 9 Tuy đề tài này còn nhiều khiếm khuyết, cha hoàn chỉnh nhng củng đã giúp nâng cao chất lợng học sinh, và cũng góp phần thêm kinh

nghiệm cho đồng nghiệp

Để đề tài này có hiệu quả cao trong giảng dạy giúp ích đợc nhiều cho giáo viên và học sinh thì rất cần sự góp ý xây dựng thêm của đồng nghiệp để đề tài này trở nên hoàn thiện hơn

và đợc nhân rộng làm tài liệu tham khảo thêm cho giáo viên và học sinh

Rất mong đợc sự đóng góp ý kiến của đồng nhiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn!