SỐ HỌC ĐA THỨC TOÁN THCS CHIA HET tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩn...
www.vnmath.com Mục lục Nội dung Trang A Mở đầu B – Néi dung Phần I: Tóm tắt lý thuyÕt PhÇn II: Các phơng pháp giải toán chia hết Phơng pháp sử dụng dấu hiệu chia hết Phơng pháp sư dơng tÝnh chÊt chia hÕt .6 Phơng pháp sử dụng xét tập hợp số d phép chia Phơng pháp sử dụng phơng pháp phân tích thành nhân tử .10 Phơng pháp biến đổi biểu thức cần chứng minh vỊ d¹ng tỉng 11 Phơng pháp quy nạp toán học .13 Phơng pháp sử dụng đồng d thức 14 Phơng pháp sử dụng nguyên lý Dirichlet .16 Phơng pháp phản chứng .18 www.vnmath.com PhÇn I: Tãm tắt lý thuyết I Định nghĩa phép chia Cho số nguyên a b b ta tìm đợc hai số nguyên q r nhÊt cho: a = bq + r Víi r b Trong đó: a số bị chia, b số chia, q thơng, r lµ sè d Khi a chia cho b cã thÓ xÈy b sè d r {0; 1; 2; ; b} Đặc biệt: r = a = bq, ta nói a chia hÕt cho b hay b chia hÕt a Ký hiÖu: ab hay b\ a VËy a b Cã sè nguyªn q cho : a = bq II C¸c tÝnh chÊt Víi a a a NÕu a b vµ b c a c Víi a a NÕu a, b > vµ a b ; b a a = b NÕu a b vµ c bÊt kú ac b NÕu a b (a) (b) Víi a a (1) NÕu a b vµ c b a c b NÕu a b vµ cb a c b 10 NÕu a + b c vµ a c b c 11 NÕu a b vµ n > an bn 12 NÕu ac b vµ (a, b) =1 c b 13 NÕu a b, c b vµ m, n bÊt kú am + cn b 14 NÕu a b vµ c d ac bd 15 TÝch n sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho n! III Mét sè dÊu hiÖu chia hÕt Gäi N = anan a 1a0 DÊu hiÖu chia hÕt cho 2; 5; 4; 25; 8; 125 + N a0 a0{0; 2; 4; 6; 8} + N a0 a0{0; 5} + N (hc 25) a1a0 (hc 25) + N (hc 125) a2 a1a0 (hc 125) DÊu hiƯu chia hÕt cho vµ + N (hc 9) a0+a1+…+an (hoặc 9) Một số dấu hiệu khác www.vnmath.com + N 11 [(a0+a1+…) - (a1+a3+…)] 11 + N 101 [( a1a0 + a5a4 +…) - ( a3a2 + a7a6 +…)]101 + N (hc 13) [( a2 a1a0 + a8 a7a6 +…) - [( a5 a4a3 + a11a10a9 +…) 11 (hc 13) + N 37 ( a2 a1a0 + a5 a4a3 +…) 37 + N 19 ( a0+2an-1+22an-2++ 2na0) 19 IV Đồng d thức a Định nghĩa: Cho m số nguyên dơng Nếu hai số nguyên a b cho số d chia cho m ta nói a đồng d với b theo modun m Ký hiÖu: a b (modun) VËy: a b (modun) a - b m b C¸c tÝnh chÊt Víi a a a (modun) NÕu a b (modun) b a (modun) NÕu a b (modun), b c (modun) a c (modun) NÕu a b (modun) vµ c d (modun) a+c b+d (modun) NÕu a b (modun) vµ c d (modun) ac bd (modun) NÕu a b (modun), d Uc (a, b) vµ (d, m) =1 a b (modun) d d NÕu a b (modun), d > vµ d Uc (a, b, m) a b m (modun ) d d d V Một số định lý Định lý Euler Nếu m số nguyên dơng (m) số số nguyên dơng nhỏ m nguyên tố víi m, (a, m) = Th× a(m) (modun) Công thức tính (m) Phân tích m thừa sè nguyªn tè m = p11 p22 … pkk víi pi p; i N* 1 Th× (m) = m(1 - p )(1 - p ) … (1 - p ) 1` k Định lý Fermat Nếu t số nguyên tố a không chia hết cho p (modp) Định lý Wilson a p-1 www.vnmath.com NÕu p lµ sè nguyên tố ( P - 1)! + (modp) www.vnmath.com phần II: phơng pháp giải toán chia hết Phơng pháp 1: Sử dụng dấu hiệu chia hết Ví dụ 1: Tìm chữ sè a, b cho a56b 45 Gi¶i Ta thÊy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = để a56b 45 a56b vµ XÐt a56b b {0 ; 5} NÕu b = ta cã sè a56b a + + + a + 11 a=7 NÕu b = ta cã sè a56b a + + + a + 16 a=2 VËy: a = vµ b = ta cã sè 7560 a = vµ b = ta cã sè 2560 Ví dụ 2: Biết tổng chữ số số không đổi nhân số với Chứng minh số chia hết cho Giải Gọi số cho a Ta có: a vµ 5a chia cho cïng cã sè d 5a - a 4a mµ (4 ; 9) = a (§pcm) 111 81 VÝ dơ 3: CMR sè 111 81 sè1 Gi¶i Ta thÊy: 111111111 111 = 111111111(1072 + 1063 + … + 109 + 1) Cã 111 81 sè1 Mµ tỉng 1072 + 1063 + + 109 + có tổng chữ số b»ng 9 1072 + 1063 + … + 109 + 111 81 (Đpcm) Vậy: 111 81 số1 Bài tập tơng tự Bài 1: Tìm chữ số x, y cho a 34x5y vµ b 2x78 17 Bµi 2: Cho sè N = dcbaCMR a N (a + 2b) b N 16 (a + 2b + 4c + 8d) 16 víi b ch½n www.vnmath.com c N 29 (d + 2c + 9b + 27a) 29 Bài 3: Tìm tất số có chữ số cho số gấp lần tích chữ số số Bài 4: Viết liên tiếp tất số có chữ số từ 19 ®Õn 80 ta ®ỵc sè A = 192021…7980 Hái sè A có chia hết cho 1980 không ? Vì sao? Bài 5: Tổng 46 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 46 không? Vì sao? 11 Bµi 6: Chøng tá r»ng sè 11 100 sè1 22 22 lµ tÝch cđa sè tù 100 số2 nhiên liên tiếp Bài 1: Bài 2: Hớng dẫn - Đáp số a x = y = x= vµ y = b 2x78 = 17 (122 + 6x) + 2(2-x)17 x = a N4 ab4 10b + a4 8b + (2b + a) 4 a + 2b4 b N16 1000d + 100c + 10b + a16 (992d + 96c + 8b) + (8d + 4c + 2b + a) 16 a + 2b + 4c + 8d16 víi b ch½n c Cã 100(d + 3c + 9b + 27a) - dbca 29 mµ (1000, 29) =1 29 dbca (d + 3c + 9b + 27a) 29 Bµi 3: Gäi ab lµ sè cã chữ số Theo ta có: ab= 10a + b = 2ab (1) ab2 b {0; 2; 4; 6; 8} thay vµo (1) a = 3; b = Bài 4: Có 1980 = 22.32.5.11 Vì chữ số tận a 80 A Tổng số hàng lẻ 1+(2+3++7).10+8 = 279 Tổng số hàng chẵn 9+(0+1+…+9).6+0 = 279 Cã 279 + 279 = 558 A 279 - 279 = 11 A 11 Bµi 5: Tỉng số tự nhiên liên tiếp số lẻ nên không chia hết cho Có 46 số tự nhiên liên tiếp có 23 cặp số cặp có tổng số lẻ tổng 23 cặp không chia hÕt cho VËy tỉng cđa 46 sè tù nhiên liên tiếp không chia hết cho 46 www.vnmath.com 22 = 11 02 11 22 11 100 Bµi 6: Cã 11 100 sè1 100 sè2 100 sè1 99 sè 02 = 33 34 Mµ 100 99 sè0 99 sè3 22 = 33 11 22 33 33 34 (§pcm) 11 100 sè1 100 sè2 100 sè3 99 sè3 Phơng pháp 2: Sử dụng tính chất chia hết * Chó ý: Trong n sè nguyªn liªn tiÕp cã vµ chØ sè chia hÕt cho n CMR: Gäi n số nguyên liên tiếp m + 1; m + 2; … m + n víi m Z, n N* LÊy n sè nguyªn liªn tiÕp trªn chia cho n ta đợc tập hợp số d lµ: {0; 1; 2; … n - 1} * NÕu tồn số d 0: giả sử m + i = nqi ; i = 1,n m+in * Nếu không tồn số d số nguyên dãy chia hết cho n ph¶i cã Ýt nhÊt sè d trïng i; j n m i nqi r Gi¶ sư: m j qjn r i - j = n(qi - qj) n i - j n mµ i - j< n i - j = i = j m+i=m+j VËy n sè ®ã cã số số chia hết cho n VÝ dơ 1: CMR: a TÝch cđa sè nguyªn liên tiếp chia hết cho b Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho Giải a Trong sè nguyªn liªn tiÕp bao giê còng có số chẵn Số chẵn chia hết cho VËy tÝch cđa sè nguyªn liªn tiÕp chia hết cho Tích số nguyên liên tiếp chia hết tích số nguyên liên tiếp chia hết cho b Trong sô nguyên liên tiếp bao giơ có sè chia hÕt cho TÝch sè ®ã chia hÕt cho mµ (1; 3) = Vậy tích số nguyên liên tiếp chia hÕt cho VÝ dơ 2: CMR: Tỉng lËp ph¬ng số nguyên liên tiếp chia hết cho Giải Gọi số nguyên liên tiếp lần lợt lµ: n - , n , n+1 Ta cã: A = (n - 1)3 + n3 + (n + 1)3 = 3n3 - 3n + 18n + 9n2 + www.vnmath.com = 3(n - 1)n (n+1) + 9(n2 + 1) + 18n Ta thÊy (n - 1)n (n + 1) (CM VÝ dô 1) 3(n - 1)n (n + 1) 9(n 1) 9 mµ 18n 9 A (§PCM) VÝ dơ 3: CMR: n4 - 4n3 - 4n2 +16n 84 víi n ch½n, n4 Giải Vì n chẵn, n4 ta đặt n = 2k, k2 Ta cã n4 - 4n3 - 4n2 + 16n = 16k4 - 32k3 - 16k2 + 32k = đặt 16k(k3 - 2k2 - k + 2) = đặt 16k(k - 2) (k - 1)(k + 1) Víi k nªn k - 2, k - 1, k + 1, k số tự nhiên liên tiếp nên sè ®ã cã sè chia hÕt cho vµ sè chia hÕt cho (k - 2)(k - 1)(k + 1)k Mµ (k - 2) (k - 1)k ; (3,8)=1 (k - 2) (k - 1) (k + 1)k 24 16(k - 2) (k - 1) (k + 1)k (16,24) VËy n4 - 4n3 - 4n2 +16n 384 với n chẵn, n Bài tập tơng tự Bài 1: CMR: a n(n + 1) (2n + 1) b n5 - 5n3 + 4n 120 Víi n N Bµi 2: CMR: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n 24 Víi n Z Bµi 3: CMR: Víi n lẻ a n2 + 4n + b n3 + 3n2 - n - 48 c n12 - n8 - n4 + 512 Bài 4: Với p số nguyên tố p > CMR : p2 - 24 Bµi 5: CMR: Trong 1900 sè tù nhiªn liªn tiÕp cã số có tổng chữ số chia hết cho 27 Hớng dẫn - Đáp số Bài 1: a n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1) [(n + 1) + (n + 2)] = n(n + 1) (n - 1) + n(n + 1) (n + 2) b n - 5n3 + 4n = (n4 - 5n2 + 4)n = n(n2 - 1) (n2 - 4) = n(n + 1) (n - 1) (n + 2) (n - 2) 120 Bµi 2: n4 + 6n3 + 6n + 11n2 = n(n3 + 6n2 + + 11n) = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) 24 Bµi 3: a n2 + 4n + = (n + 1) (n + 3) b n3 + 3n2 - n - = n2(n + 3) - (n + 3) www.vnmath.com = (n2 - 1) (n + 3) = (n + 1) (n - 1) (n + 3) = (2k + 4) (2k + 2) (2k víi n = 2k + 1, k N) = 8k(k + 1) (k +2) 48 12 c n - n8 - n4 + = n8 (n4 - 1) - (n4 - 1) = (n4 - 1) (n8 - 1) = (n4 - 1)2 (n4 + 1) = (n2 - 1)2 (n2 - 1)2 (n4 + 1) = 16[k(k + 1)2 (n2 + 1)2 (n4 + 1) Víi n = 2k + n2 + n4 + sè ch½n (n2 + 1)2 2 n4 + n12 - n8 - n4 + (24.22 22 21) VËy n12 - n8 - n4 + 512 Bµi 4: Cã p2 - = (p - 1) (p + 1) v× p số nguyên tố p > p ta cã: (p - 1) (p + 1) p = 3k + p = 3k + (k N) (p - 1) (p + 1) VËy p2 - 24 Bài 5: Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp n, n +1; n + 2; ; n + 1989 (1) 1000 tù nhiªn liªn tiÕp n, n + 1; n + 2; …; n + 999 cã sè chia hÕt cho 1000 gi¶ sử n 0, n0 có tận chữ số giả sử tổng chữ số n s 27 số n0, n0 + 9; n0 + 19; n0 + 29; n0 + 39; …; n0 + 99; n0 + 199; … n0 + 899 (2) Có tổng chữ số lần lợt là: s; s + ; s + 26 Cã sè chia hÕt cho 27 (§PCM) * Chó ý: n + 899 n + 999 + 899 < n + 1989 C¸c sè ë (2) nằm dãy (1) Phơng pháp 3: xét tập hỵp sè d phÐp chia VÝ dơ 1: CMR: Víi n N Th× A(n) = n(2n + 7) (7n + 7) chia hÕt cho Gi¶i Ta thÊy thõa sè n vµ 7n + số chẵn Với n N A(n) Ta chøng minh A(n) LÊy n chia cho ta đợc n = 3k + (k N) Víi r {0; 1; 2} Víi r = n = 3k n A(n) Víi r = n = 3k + 2n + = 6k + A(n) www.vnmath.com Víi r = n = 3k + 7n + = 21k + 15 A(n) A(n) víi n mµ (2, 3) = VËy A(n) víi n N VÝ dơ 2: CMR: NÕu n th× A(n) = 32n + 3n + 13 Víi n N Giải Vì n n = 3k + r (k N); r {1; 2; 3} A(n) = 32(3k + r) + 33k+r + = 32r(36k - 1) + 3r (33k - 1) + 32r + 3r + ta thÊy 36k - = (33)2k - = (33 - 1)M = 26M 13 33k - = (33 - 1)N = 26N 13 víi r = 32n + 3n + = 32 + +1 = 13 13 32n + 3n + 13 víi r = 32n + 3n + = 34 + 32 + = 91 13 32n + 3n + VËy víi n th× A(n) = 32n + 3n + 13 Víi n N VÝ dơ 3: T×m tÊt số tự nhiên n để 2n - Gi¶i LÊy n chia cho ta cã n = 3k + (k N); r {0; 1; 2} Víi r = n = 3k ta cã 2n - = 23k - = 8k - = (8 - 1)M = 7M víi r =1 n = 3k + ta cã: 2n - = 28k +1 - = 2.23k - = 2(23k - 1) + mµ 23k - 2n - chia cho d víi r = n = 3k + ta cã : 2n - = 23k + - = 4(23k - 1) + mµ 23k - 2n - chia cho d VËy 23k - n = 3k (k N) Bài tập tơng tự Bài 1: CMR: An = n(n + 1)(n2 + 4) Víi n Z Bµi 2: Cho A = a1 + a2 + … + an B = a51 + a52 + … + a5n Bµi 3: CMR: NÕu (n, 6) =1 th× n2 - 24 Víi n Z Bài 4: Tìm số tự nhiên W ®Ĩ 22n + 2n + Bµi 5: Cho số tự nhiên m, n để thoả mãn 24m4 + = n2 CMR: mn 55 Híng dẫn - Đáp số Bài 1: + A(n) + LÊy n chia cho n = 5q + r r {0; 1; 2; 3; 4} r = n A(n) r = 1, n2 + A(n) 10 www.vnmath.com r = 2; n2 + A(n) A(n) A(n) 30 Bµi 2: XÐt hiÖu B - A = (a51 - a1) + … + (a5n - an) ChØ chøng minh: a5i - 30 đủ Bài 3: Vì (n, 6) =1 n = 6k + (k N) Víi r {1} r = 1 n2 - 24 Bµi 4: XÐt n = 3k + r (k N) Víi r {0; 1; 2} Ta cã: 22n + 2n + = 22r(26k - 1) + 2r(23k - 1) + 22n + 2n + Làm tơng tự VD3 Bài 5: Có 24m4 + = n2 = 25m4 - (m4 - 1) Khi m mn Khi m th× (m, 5) = m4 - (V× m5 - m (m4 - 1) m4 - 5) n2 ni5 VËy mn Phơng pháp 4: sử dụng phơng pháp phân tích thành nhân tử Giả sử chứng minh an k Ta phân tích an chứa thừa số k phân tích thành thừa số mà thừa số ®ã chia hÕt cho c¸c thõa sè cđa k VÝ dơ 1: CMR: 36n - 26n 35 Víi n N Gi¶i 6n 6n n n Ta cã - = (3 ) - (2 ) = (36 - 26)M = (33 + 23) (33 - 23)M = 35.19M 35 VËy 36n - 26n 35 Víi n N VÝ dơ 2: CMR: Với n số tự nhiên chăn biÓu thøc A = 20n + 16n - 3n - 232 Giải Ta thấy 232 = 17.19 mà (17;19) = ta chøng minh A 17 vµ A 19 ta cã A = (20n - 3n) + (16n - 1) cã 20n - 3n = (20 - 3)M 17M 16n - = (16 + 1)M = 17N 17 (n ch½n) A 17 (1) ta cã: A = (20n - 1) + (16n - 3n) cã 20n - = (20 - 1)p = 19p 19 cã 16n - 3n = (16 + 3)Q = 19Q 19 (n ch½n) A 19 (2) 11 www.vnmath.com Tõ (1) vµ (2) A 232 VÝ dô 3: CMR: nn - n2 + n - (n - 1)2 Víi n >1 Gi¶i n Víi n = n - n + n - = vµ (n - 1)2 = (2 - 1)2 = nn - n2 + n - 1 (n - 1)2 với n > đặt A = nn - n2 + n - ta cã A = (nn - n2) + (n - 1) = n2(nn-2 - 1) + (n - 1) = n2(n - 1) (nn-3 + nn-4 + … + 1) + (n - 1) = (n - 1) (nn-1 + nn-2 + … + n2 +1) = (n - 1) [(nn-1 - 1) + … +( n2 - 1) + (n - 1)] = (n - 1)2M (n - 1)2 VËy A (n - 1)2 (ĐPCM) Bài tập tơng tự 2n +1 Bài 1: CMR: a + 22n +2 b mn(m4 - n4) 30 Bµi 2: CMR: A(n) = 3n + 63 72 víi n ch½n n N, n Bµi 3: Cho a vµ b số phơng lẻ liên tiếp CMR: a (a - 1) (b - 1) 192 Bµi 4: CMR: Với p số nguyên tố p > p4 - 240 Bài 5: Cho số nguyên dơng a, b, c thoả mãn a2 = b2 + c2 CMR: abc 60 Híng dẫn - Đáp số 2n +1 2n +2 Bài 1: a +2 = 3.32n + 2.2n = 3.9n + 4.2n = 3(7 + 2)n + 4.2n = 7M + 7.2n b mn(m4 - n4) = mn(m2 - 1)(m2 + 1) - mn(n2 - 1) (n2 + 1) 30 Bµi 3: Cã 72 = 9.8 mµ (8, 9) = vµ n = 2k (k N) cã 3n + 63 = 32k + 63 = (32k - 1) + 64 A(n) Bµi 4: §Ỉt a = (2k - 1)2; b = (2k - 1)2 (k N) Ta cã (a - 1)(b - 1) = 16k(k + 1)(k - 1) 64 vµ Bài 5: Có 60 = 3.4.5 Đặt M = abc Nếu a, b, c không chia hết cho a2, b2 vµ c2 chia hÕt cho ®Òu d a2 b2 + c2 Do ®ã cã Ýt nhÊt sè chia hÕt cho Vậy M Nếu a, b, c không chia hÕt cho a2, b2 vµ c2 chia d hc b2 + c2 chia d 2; a2 b2 + c2 Do ®ã cã Ýt nhÊt sè chia hÕt cho VËy M NÕu a, b, c số lẻ b2 c2 chia hÕt cho d b2 + c2 (mod 4) a2 b2 + c2 12 www.vnmath.com Do số a, b phải số chẵn Giả sử b số chẵn Nếu C số chẵn M Nếu C số lẻ mà a2 = b2 + c2 a số lẻ b a c a c b = (a - c) (a + b) 2 b ch½n b m 2 VËy M = abc 3.4.5 = 60 Ph¬ng pháp 5: biến đổi biểu thức cần chứng minh dạng tổng Giả sử chứng minh A(n) k ta biến đổi A(n) dạng tổng nhiều hạng tử chứng minh hạng tử chia hết cho k VÝ dô 1: CMR: n3 + 11n víi n z Gi¶i 3 Ta cã n + 11n = n - n + 12n = n(n2 - 1) + 12n = n(n + 1) (n - 1) + 12n V× n, n - 1; n + số nguyên liên tiếp n(n + 1) (n - 1) vµ 12n VËy n3 + 11n VÝ dô 2: Cho a, b z tho¶ m·n (16a +17b) (17a +16b) 11 CMR: (16a +17b) (17a +16b) 121 Giải Có 11 số nguyên tố mà (16a +17b) (17a +16b) 11 16a 17b 11 (1) 17a 16b 11 Cã 16a +17b + 17a +16b = 33(a + b) 11 (2) 16a 17b 11 Tõ (1) vµ (2) 17a 16b 11 VËy (16a +17b) (17a +16b) 121 VÝ dơ 3: T×m n N cho P = (n + 5)(n + 6) 6n Gi¶i Ta cã P = (n + 5)(n + 6) = n + 11n + 30 = 12n + n2 - n + 30 Vì 12n 6n nên để P 6n n2 - n + 30 6n n2 - n 6 n(n - 1) 3 (1) 30 6n 30 n (2) Tõ (1) n = 3k hc n = 3k + (k N) Tõ (2) n {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} 13 www.vnmath.com VËy tõ (1); (2) n {1; 3; 6; 10; 15; 30} Thay giá trị n vµo P ta cã n {1; 3; 10; 30} thoả mãn Vậy n {1; 3; 10; 15; 30} th× P = (n + 5)(n + 6) 6n Bài tập tơng tự 3 Bài 1: CMR: + + 53 + 73 23 Bµi 2: CMR: 36n2 + 60n + 24 24 Bµi 3: CMR: a 5n+2 + 26.5n + 2n+1 59 b 2n + 14 Bµi 4: T×m n N cho n3 - 8n2 + 2n n2 + Hớng dẫn - Đáp sè 3 Bµi 1: + + + 73 = (13 + 73) + (33 + 53) = 8m + 8N 23 Bµi 2: 362 + 60n + 24 = 12n(3n + 5) + 24 Ta thấy n 3n + không đồng thời chẵn lẻ n(3n + 5) ĐPCM Bài 3: a 5n+2 + 26.5n + 2n+1 = 5n(25 + 26) + 2n+1 = 5n(59 - 8) + 8.64 n = 5n.59 + 8.59m 59 b 2n + 14 = 2n - + 15 = (81n - 1) + 15 = 80m + 15 Bµi 4: Cã n - 8n2 + 2n = (n2 + 1)(n - 8) + n + (n2 + 1) n + n2 + NÕu n + = n = -8 (tho¶ m·n) NÕu n + n + 8 n2 + n -n Víi n n n Víi n n n 0 Víi n n n 0 Víi n n {-2; 0; 2} thử lại Vậy n {-8; 0; 2} Phơng pháp 6: Dùng quy nạp toán học Giả sử CM A(n) P víi n a (1) Bíc 1: Ta CM (1) với n = a tức CM A(n) P Bớc 2: Giả sử (1) víi n = k tøc lµ CM A(k) P víi k a Ta CM (1) ®óng víi n = k + tức phải CM A(k+1) P Bíc 3: KÕt luËn A(n) P víi n a VÝ dô 1: Chøng minh A(n) = 16n - 15n - 225 víi n N* Gi¶i Víi n = A(n) = 225 225 n = 14 www.vnmath.com Giả sư n = k nghÜa lµ A(k) = 16k - 15k - 225 Ta ph¶i CM A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - 225 ThËt vËy: A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - = 16.16k - 15k - 16 = (16k - 15k - 1) + 15.16k - 15 = 16k - 15k - + 15.15m = A(k) + 225 mà A(k) 225 (giả thiết quy nạp) 225m 225 VËy A(n) 225 VÝ dô 2: CMR: víi n N* vµ n lµ sè tù nhiên lẻ ta có n m 12n Gi¶i Víi n = m - = (m + 1)(m - 1) (v× m + 1; m - số chẵn liên tiÕp nªn tÝch cđa chóng chia hÕt cho 8) Gi¶ sư víi n = k ta cã m2 k 1 cã ta ph¶i chøng minh 12k ThËt vËy k m 12k m 2k 12 k 2 m 2k 2k 2.q (q z ) k m 2 k 2.q m k 1 1 m 2k 2k 2.q 2k 4.q 2k 3.q = k 3 ( k 1 q q ) 2 k 3 VËy n m 12n với n Bài tập tơng tù Bµi 1: CMR: - 26n - 27 29 víi n 2n+2 Bµi 2: CMR: - 15 Bài 3: CMR số đợc thành lập 3n chữ số giống chia hết cho 3n với n số nguyên dơng Hớng dẫn - Đáp số Bài 1: Tơng tự ví dụ Bài 2: Tơng tự ví dụ 3n+3 Bài 3: Ta cÇn CM aa a 3n 3n (1) sèa Víi n = ta cã aa a 111a 3 a 3k Giả sử (1) với n = k tức lµ aa 3k sèa 15 www.vnmath.com Ta chøng minh (1) với n = k + tức phải chøng minh aa a 3k+1 ta cã 3k+1 = 3.3k = 3k + 3k +3k k 1 sèa aa a a a a a a a Cã 3k 1 sèa k 3k 3k 3k k aa a.102.3 aa a.103 a a k k 3k 3 k 1 aa a 10 10 3 3k Ph¬ng pháp 7: sử dụng đồng d thức Giải toán dựa vào đồng d thức chủ yếu sử dụng định lý Euler định lý Fermat Ví dụ 1: CMR: 22225555 + 55552222 Gi¶i Cã 2222 - (mod 7) 22225555 + 55552222 (- 4)5555 + 45555 (mod 7) L¹i cã: (- 4)5555 + 42222 = - 45555 + 42222 1111 = - 42222 (43333 - 1) = - 2222 V× 43 = 64 (mod 7) 22225555 + 55552222 (mod 7) VËy 22225555 + 55552222 1111 32 VÝ dô 2: CMR: n 1 n 1 33 522 0 (mod 7) với n N Giải Theo định lý Fermat ta cã: 310 (mod 11) 210 (mod 11) Ta t×m d phÐp chia lµ 24n+1 vµ 34n+1 cho 10 Cã 24n+1 = 2.16n (mod 10) 24n+1 = 10q + (q N) Cã 34n+1 = 3.81n (mod 10) 34n+1 = 10k + (k N) Ta cã: 32 n 1 n 1 33 310 q 2 210 k 3 = 32.310q + 23.210k + 1+0+1 (mod 2) (mod 2) mµ (2, 11) = VËy 32 n 1 n 1 33 522 víi n N 16 www.vnmath.com VÝ dơ 3: CMR: 22 n 1 11 víi n N Gi¶i Ta cã: (mod) (mod 10) 4n+1 2 = 10q + (q N) 22 n 4n+1 210 q2 Theo định lý Fermat ta có: 210 (mod 11) 210q (mod 11) 24 n 1 210 q2 4+7 (mod 11) (mod 11) VËy 22 n 1 11 víi n N (ĐPCM) Bài tập tơng tự Bài 1: CMR 22 n 2 319 víi n N Bµi 2: CMR víi n ta cã 52n-1 22n-15n+1 + 3n+1 22n-1 38 Bµi 3: Cho sè p > 3, p (P) CMR 3p - 2p - 42p Bµi 4: CMR víi mäi sè nguyên tố p có dạng 2n - n (n N) chia hết cho p Hớng dẫn - Đáp số Bài 1: Làm tơng tự nh VD3 Bài 2: Ta thÊy 52n-1 22n-15n+1 + 3n+1 22n-1 MỈt kh¸c 52n-1 22n-15n+1 + 3n+1 22n-1 = 2n(52n-1.10 + 6n-1) V× 25 (mod 19) 5n-1 6n-1 (mod 19) 25n-1.10 + 6n-1 6n-1.19 (mod 19) (mod 19) Bài 3: Đặt A = 3p - 2p - (p lẻ) Dễ dàng CM A vµ A A NÕu p = A = 37 - 27 - 49 A 7p NÕu p (p, 7) = Theo ®Þnh lý Fermat ta cã: A = (3p - 3) - (2p - 2) p Đặt p = 3q + r (q N; r = 1, 2) A = (33q+1 - 3) - (23q+r - 2) = 3r.27q - 2r.8q - = 7k + 3r(-1)q - 2r - (k N) víi r = 1, q phải chẵn (vì p lẻ) A = 7k - - - = 7k - 14 VËy A mµ A p, (p, 7) = A 7p Mµ (7, 6) = 1; A A 42p 17 www.vnmath.com Bµi 4: NÕu P = 22 - = Nếu n > Theo định lý Fermat ta cã: 2p-1 (mod p) 2m(p-1) (mod p) (m N) XÐt A = 2m(p-1) + m - mp A p m = kq - Nh vËy nÕu p > p có dạng 2n - n N = (kp - 1)(p - 1), k N chia hết cho p Phơng pháp 8: sử dụng nguyên lý Đirichlet Nếu đem n + thỏ nhốt vào n lồng có lång chøa tõ trë lªn VÝ dơ 1: CMR: Trong n + sè nguyªn bÊt kú cã sè cã hiƯu chia hÕt cho n Gi¶i LÊy n + số nguyên cho chia cho n đợc n + số d nhận c¸c sè sau: 0; 1; 2; …; n - cã Ýt nhÊt sè d cã cïng sè d chia cho n Gi¶ sư = nq1 + r 0r j; q, k N aj - aj = 1993(q - k) 111 1100 1993(q k ) i - j 1994sè1 i sè0 j 111 11.10 1993(q k ) i - j 1994sè1 mµ (10j, 1993) = 111 11 1993 (ĐPCM) 1994số1 Bài 3: Xét dãy số gồm 17 số nguyên a1, a2, , a17 Chia số cho ta đợc 17 số d phải cã sè d thc tËp hỵp{0; 1; 2; 3; 4} NÕu 17 sè trªn cã sè chia cho cã cïng sè d th× tỉng cđa chóng sÏ chia hÕt cho NÕu 17 sè số có số d chia cho tån t¹i sè cã sè d khác tổng số d là: + + + + = 10 10 VËy tỉng cđa sè nµy chia hÕt cho Bµi 4: XÐt d·y sè a1 = 1993, a2 = 19931993, … a1994 = 1993 1993 1994sè1993 ®em chia cho 1994 cã 1994 sè d thuéc tËp {1; 2; …; 1993} theo nguyªn lý Đirichlet có số hạng có sè d Gi¶ sư: = 1993 … 1993 (i sè 1993) aj = 1993 … 1993 (j sè 1993) aj - aj 1994 i < j 1994 ni 1993 1993 10 1993 j - i sè1993 Phơng pháp 9: phơng pháp phản chứng Để CM A(n) p (hoặc A(n) p ) + Giả sư: A(n) p (hc A(n) p ) 19 www.vnmath.com + CM giả sử sai + Kết ln: A(n) p (hc A(n) p ) VÝ dô 1: CMR n2 + 3n + 121 với n N Giả sử tồn n N cho n2 + 3n + 121 4n2 + 12n + 20 121 (v× (n, 121) = 1) (2n + 3)2 + 11 121 (1) (2n + 3)2 11 V× 11 số nguyên tố 2n + 11 (2n + 3)2 121 (2) Tõ (1) (2) 11 121 vô lý Vậy n2 + 3n + 121 VÝ dô 2: CMR n2 - n víi n N* Giải * Xét tập hợp số tự nhiên N Giả sö n 1, n N* cho n2 - n Gäi d lµ íc sè chung nhá nhÊt kh¸c cđa n d (p) theo định lý Format ta có 2d-1 (mod d) m < d ta chøng minh m\n Gi¶ sư n = mq + r (0 r < m) Theo gi¶ sư n2 - n nmq+r - n 2r(nmq - 1) + (2r - 1) n 2r - d r < m mà m N, m nhá nhÊt kh¸c cã tÝnh chÊt (1) r = m\n mµ m < d còng có tính chất (1) nên điều giả sử sai VËy n2 - n víi n N* Bài tập tơng tự Bài 1: Có tồn n N cho n2 + n + 49 không? Bài 2: CMR: n2 + n + víi n N* Bµi 3: CMR: 4n2 - 4n + 18 289 víi n N Hớng dẫn - Đáp số Bài 1: Giả sử tồn n N để n2 + n + 49 4n2 + 4n + 49 (2n + 1)2 + 49 (1) (2n + 1)2 V× số nguyên tố 2n + (2n + 1)2 49 (2) Tõ (1); (2) 49 vô lý Bài 2: Giả sử tån t¹i n2 + n + víi n (n + 2)(n - 1) + (1) n 3 v× số nguyên tố (n + 2)(n - 1) (2) n 13 20 www.vnmath.com Từ (1) (2) vô lý Bài 3: Giả sử n N để 4n2 - 4n + 18 289 (2n - 1)2 + 17 172 (2n - 1) 17 17 số nguyên tố (2n - 1) 17 (2n - 1)2 289 17 289 v« lý 21 ... 199 4số1 Bài 3: Xét dãy số gồm 17 số nguyên a1, a2, , a17 Chia số cho ta đợc 17 số d phải có số d thuộc tập hợp{0; 1; 2; 3; 4} Nếu 17 số cã sè chia cho cã cïng sè d th× tỉng cđa chóng sÏ chia. .. tất số có chữ số cho số gấp lần tích chữ số số Bài 4: Viết liên tiếp tất số có chữ số từ 19 đến 80 ta đợc số A = 192021…7980 Hái sè A cã chia hÕt cho 1980 không ? Vì sao? Bài 5: Tổng 46 số tự... j = i = j m+i=m+j VËy n số có số số chia hÕt cho n… VÝ dô 1: CMR: a TÝch số nguyên liên tiếp chia hết cho b TÝch cđa sè nguyªn liªn tiÕp chia hết cho Giải a Trong số nguyên liên tiÕp bao giê