Hệ số của đa thức chia đường tròn

Có nhiều nghiên cứu xung quanh các đa thức này, từcác công trình từ thế kỷ 19 cho đến những công trình xuất hiện mới gần đây.Một hướng nghiên cứu đáng lưu ý là về hệ số của các đa thức c

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

ĐOÀN BÁ THƯỢNG

HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC CHIA ĐƯỜNG TRÒN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

ĐOÀN BÁ THƯỢNG

HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC CHIA ĐƯỜNG TRÒN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Đoàn Trung Cường

THÁI NGUYÊN - 2017

Mục lục

1.1 Định nghĩa và ví dụ 3

1.2 Quan hệ giữa các đa thức Φn(x) 5

1.3 Tính chất thuận nghịch của đa thức chia đường tròn 11

1.4 Áp dụng 15

1.4.1 Giá trị của đa thức chia đường tròn và cấp của phần tử 15 1.4.2 Định lý Zsigmondy 19

1.4.3 Một số bài toán khác 21

2 Hệ số của đa thức chia đường tròn Φn(x) 24 2.1 Hệ số của đa thức Φpq(x) 24

2.2 Hệ số của đa thức Φn(x) với n nhỏ 30

2.3 Hệ số của đa thức Φpqr(x) 34

2.4 Các số nguyên là hệ số của một đa thức chia đường tròn 39

Lời nói đầu

Đa thức chia đường tròn là một đối tượng thú vị và quan trọng xuất hiện ở nhiềulĩnh vực toán học khác nhau như Số học, Đại số, Hình học , ở cả Toán phổthông và Toán cao cấp Có nhiều nghiên cứu xung quanh các đa thức này, từcác công trình từ thế kỷ 19 cho đến những công trình xuất hiện mới gần đây.Một hướng nghiên cứu đáng lưu ý là về hệ số của các đa thức chia đường tròn

tròn đầu tiên (n nhỏ) có hệ số chỉ nằm trong các số −1, 0, 1 Đã có giả thuyết làđiều này đúng với mọi đa thức chia đường tròn bất kỳ, tuy nhiên điều này khôngđúng Nghiên cứu kỹ hơn, người ta nhận thấy các hệ số của đa thức chia đường

vẫn có một số đánh giá độ lớn của các hệ số này qua n

Mục đích chính của luận văn là dựa trên các tài liệu [2, 3, 7, 8], trình bày chitiết một số điều kiện đủ để đa thức chia đường tròn là phẳng, có nghĩa là các

hệ số của đa thức đó nhận một trong các giá trị −1, 0, 1 Kết quả chính đượctrình bày là trường hợp n = pq, n = pqr là tích của hai và ba số nguyên tố khácnhau Ngoài ra câu hỏi những số nguyên nào có thể là hệ số của một đa thứcchia đường tròn cũng được xét trong luận văn này

Luận văn được chia thành hai chương Chương 1 nhắc lại định nghĩa đa thứcchia đường tròn và nêu một số ví dụ về những đa thức chia đường tròn đầu tiên.Một số tính chất cơ bản của các đa thức chia đường tròn cũng được lựa chọntrình bày trong chương này như mối liên hệ giữa các đa thức khác nhau, tínhchất thuận nghịch Một số ứng dụng của đa thức chia đường tròn cũng đượctrình bày trong phần cuối của chương này Chương 2 tập trung xét các tính chất

số nguyên tố phân biệt Kết quả chính của chương này là chứng minh hệ số

trong chương này Một kết quả quan trọng khác được trình bày trong phần nàykhẳng định rằng mỗi số nguyên đều là hệ số của một đa thức chia đường trònnào đó

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc với TS Đoàn TrungCường Thầy là người đã dành rất nhiều thời gian để nhắc nhở, đôn đốc và chỉbảo cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu Nhờ có sự tận tình,chu đáo và tâm huyết của thầy mà tác giả đã hoàn thành luận văn "Hệ số của đathức chia đường tròn"

Tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy cô giáo thuộc Khoa Toán - Tin,Phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giảtrong quá trình học tập và nghiên cứu

Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, lãnh đạođơn vị công tác và các đồng nghiệp đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điều kiệntốt nhất cho tôi trong quá trình học tập và làm luận văn

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017

Tác giả luận văn

Đoàn Bá Thượng

Chương 1

Đa thức chia đường tròn

Chương này được dành để trình bày về các đa thức chia đường tròn, từ địnhnghĩa, một số ví dụ tính toán cụ thể cho đến một số tính chất cơ bản và ứngdụng của các đa thức này Các kết quả trong chương này được tham khảo từ cáctài liệu [1, 3, 8]

Ví dụ 1.1.2 Sau đây là ví dụ về một số đa thức chia đường tròn đầu tiên

a) Vì 1 là số phức duy nhất có bậc 1 nên ta có đa thức chia đường tròn thứnhất là

b) Vì −1 là số phức duy nhất có bậc 2 nên ta có đa thức chia đường tròn thứhai là

c) Vì chỉ có hai số phức 12+

√ 3

√ 3

tròn thứ ba là

√3

đơn Trong đó ϕ là hàm Euler, ϕ (n) là số các số tự nhiên nhỏ hơn n vànguyên tố cùng nhau với n

(5) Tất cả các đa thức chia đường tròn trên đều có hệ số thuộc tập {−1, 0, 1}.Những nhận xét trên về 6 đa thức chia đường tròn đầu tiên liệu có đúng chotất cả các đa thức chia đường tròn hay không Để trả lời câu hỏi này chúng tacùng tìm hiểu về các tính chất cơ bản của đa thức chia đường tròn.

1.2 Quan hệ giữa các đa thức Φn(x)

Trong phần này ta sẽ tìm hiểu những tính chất đầu tiên của các đa thức chia

nghiệm chung khi và chỉ khi m = n

Chứng minh. Giả sử Φn(x) và Φm(x) có nghiệm chung là εmk = εnl với (k, m) = 1

Bổ đề 1.2.2 Cho số nguyên dương n, khi đó

d|n

Chứng minh. Để chứng minh đẳng thức trên, chúng ta chỉ cần chứng minh hai

đa thức ở vế trái và vế phải là những đa thức monic có cùng bậc, có cùng

đơn phân biệt nên ∏

và vế phải của đẳng thức trên cùng là đa thức monic, không có nghiệm bội, cócùng bậc và có cùng tập nghiệm nên chúng bằng nhau Vậy ta được điều phảichứng minh.

Dựa vào Bổ đề 1.2.2 ta có thể xác định được một số đa thức chia đường trònmột cách dễ dàng hơn

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh định lý bằng phương pháp quy nạp Với n = 1

Định lý trên dẫn đến một hệ quả thú vị sau

Hệ quả 1.2.5 Cho n > 2 Với mọi số thực a thì Φn(a) > 0

Chứng minh. Theo Định lý 1.2.4, Φn(x) là một đa thức nguyên với hệ số cao

Bổ đề 1.2.6 Với m, n là các số nguyên dương bất kì thì

lcm(m, ordω) = m.n khi và chỉ khi ordω ∈ D khi và chỉ khi ω là nghiệm của

mọi ước nguyên tố của m cũng là ước nguyên tố của n nên suy ra nếu k có ướcnguyên tố p thì p phải là ước của n Như vậy p|gcd(n, k) hay p|1, điều này là vô

lí Do đó k không có ước nguyên tố, suy ra k = 1 và D = {m.n}, vì vậy ta có

của 40 cũng là ước của 10 cho nên ta có

cũng là ước của 6 nên ta có

Kết quả sau đây cho phép ta chuyển việc đánh giá hệ số của các đa thức

Định lý 1.2.10 Cho n là tích các ước nguyên tố của số nguyên dương m Khi

Định lí này rất hữu ích trong việc xét các hệ số của đa thức chia đường tròn

Từ Định lí 1.2.10 khi xét các hệ số của đa thức chia đường tròn, chúng ta chỉ

Hệ quả 1.2.11 Cho p là số nguyên tố và là ước của số nguyên dương n Khi đó

Chứng minh. (i) Vì p là nguyên tố và là ước của n cho nên mọi ước của p



Chứng minh. Ta có Φ2(x) = −Φ1(−x)

đúng với mọi k lẻ và 3 ≤ k < n Ta sẽ chứng minh bổ đề đúng với mọi số n lẻ.Thật vậy, ta có:

Vậy ta được điều phải chứng minh

Kết quả của Định lí 1.2.12 cho thấy rằng, đối với bài toán đánh giá hệ số,thay vì xét hệ số của tất cả các đa thức chia đường tròn thì ta chỉ cần xét hệ số

Ví dụ 1.2.13 Hãy xác định đa thức chia đường tròn Φ42(x) Trước hết ta xác

1.3 Tính chất thuận nghịch của đa thức chia đường tròn

đó xuất hiện một câu hỏi đặt ra là có phải mọi đa thức chia đường tròn đều là đathức thuận nghịch không Trước khi trả lời câu hỏi này chúng ta nhắc lại địnhnghĩa và một vài tính chất của hàm M¨obius

Từ định nghĩa chúng ta thấy rằng µ là hàm nhân Tức là, với m, n là các sốnguyên dương bất kì và nguyên tố cùng nhau, ta có µ(mn) = µ(m).µ(n)

Bổ đề 1.3.2 Cho n là số nguyên dương Khi đó

Cho n ≥ 2 Ta đặt T là tích tất cả các số nguyên tố p là ước của n, tức là T = ∏

p|n

p.Chú ý rằng nếu q là ước của n có chứa thừa số bình phương thì µ(q) = 0 Do

Gọi p là một ước nguyên tố bất kỳ của T Chú ý rằng mỗi ước của T là một ước

Ta có điều phải chứng minh

Trong số học chúng ta đã biết nếu f là hàm nhân thì F(n) = ∑

Vì mọi ước t của n/d đều là ước của n nên ta có

Luật thuận nghịch cho tích được phát biểu như sau

d|n

Chứng minh. Chứng minh của mệnh đề này tương tư như chứng minh của Mệnh

đề 1.3.3 trong đó mỗi tổng được thay bằng tích và mỗi phép nhân liên quan đếnhàm µ được thay bởi lũy thừa của hàm đó

Vì mọi ước t của n/d đều là ước của n nên ta có:

Định lý 1.3.6 Nếu n > 1 thì Φn(x) là đa thức thuận nghịch.

Định nghĩa 1.4.1 Cho n > 1 và a là số nguyên dương, (a, n) = 1 Khi đó số

đường tròn Trước khi phát biểu rõ ràng kết quả mô tả mối liên hệ này, ta cầnhai kết quả chuẩn bị sau

Bổ đề 1.4.2 Cho m, n là các số nguyên dương phân biệt và p là số nguyên tố.

Chứng minh. Luôn tồn tại đa thức f (x) có hệ số nguyên thỏa mãn

Lấy đạo hàm hai vế tại x = a, ta được

trên ta suy ra p là ước của mn Ta được điều phải chứng minh

Hệ quả 1.4.3 Cho m, n là các số nguyên dương và p là số nguyên tố Giả sử

Suy ra

với s = α − β Ta được điều phải chứng minh

Định lý 1.4.4 Cho số nguyên tố p và số nguyên dương n sao cho (n, p) = 1.

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n Với n = 1, hiển nhiên ta

p|mn, điều này mâu thuẫn với (mn, p) = 1, cho nên m = n

đã được chứng minh

Hệ quả 1.4.5 Cho số nguyên tố p và số nguyên dương n sao cho (n, p) = 1.

Định nghĩa 1.4.6 Cho n > 1, a là số nguyên dương và (a, n) = 1 Khi đó, nếu

Kết quả của bổ đề sau đây sẽ là công cụ để chứng minh rằng mọi số nguyên

tố p luôn tồn tại căn nguyên thủy modulo p

Bổ đề 1.4.7 Cho số nguyên tố p Cho đa thức P(x) có bậc n với hệ số nguyên

Định lý 1.4.8 (Tồn tại căn nguyên thủy modulo p) Với mọi số nguyên tố p,

Chứng minh. Tồn tại đa thức T (x) ∈ Z[x] sao cho xp−1− 1 = Φp−1(x)T (x)

1.4.2 Định lý Zsigmondy

Định lí Zsigmondy là một trong những định lí quan trọng của của số học, có

đó a, b, n là các số nguyên thỏa mãn (a, b) = 1, a > b ≥ 1, n > 1 Trong phầnnày, chúng ta sẽ đề cập đến một trong những ứng dụng của đa thức chia đườngtròn là chứng minh trường hợp đặc biệt của định lí khi a > b = 1, n > 1 Trướchết chúng ta xét các bổ đề sau liên quan đến đa thức chia đường tròn

Bổ đề 1.4.9 Cho các số nguyên a, n > 1 Giả sử tất cả các ước nguyên tố của

Chứng minh. Nếu p là số nguyên tố sao cho p|Φn(a) thì (a, p) = 1 Ta đặt

Vậy suy ra vp(Φn(a)) = 1, nên Φn(a) = p.

Trường hợp 2 Nếu p = 2, suy ra a là số lẻ và 2 là ước nguyên tố duy nhất của

Hơn nữa,

1≤ j≤k ( j,k)=1

... dụng tính chất đa thức chia? ?ường tròn chương trước để tìm hiểu hệ số đa thức Nộidung chương xoay quanh câu hỏi tất hệ số

trường hợp n tích hai số nguyên tố lẻ, n tích ba số nguyên tố lẻ.Các... có

Như khẳng định rằng, đa thức chia đường tròn

ba số nguyên tố lẻ phân biệt, khẳng định với số trường hợpriêng lẻ, nói chung khơng cịn

2.3 Hệ số đa thức Φpqr(x)... hệ số nguyên đa thức< /p>

số nguyên nên f (x) đa thức monic bậc (p − 1) (q − 1) = ϕ (pq) có hệ số

trên ta chứng minh nghiệm f (x) Như f (x) đa thứcmonic, có hệ số nguyên, có bậc ϕ(pq) nguyên