BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRỊNH THỊ HÒNG
TANG CUONG HE SO KHUC XA PHI TUYEN KIEU KERR TRONG HE NGUYEN
TU BON MUC DUA TREN HIEU UNG TRONG SUOT CAM UNG DIEN TU’
LUAN VAN THAC SI VAT Li
VINH, 2012
Trang 2BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRỊNH THỊ HÒNG
TANG CUONG HE SO KHUC XA PHI
TUYEN KIEU KERR TRONG HE NGUYEN
TU BON MUC DUA TREN HIEU UNG TRONG SUOT CAM UNG DIEN TU
Trang 3LỜI CÁM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Vật lí, Phòng Đào tạo Sau Đại học Trường Đại Học Vinh đã tạo điều kiện giúp đỡ tốt nhất để tôi có môi trường nghiên cứu khoa học trong suốt khố học
Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thây giáo PGS TS Định Xuân Khoa, người đã định hướng và tận tình hướng dan dé tơi hồn thành luận văn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thây giáo chủ nhiệm chuyên ngành Quang học TS Nguyễn Huy Bằng, cùng các thầy cô giáo đã giúp đỡ, giảng dạy và có nhiều ý kiến đóng góp quỷ báu cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình và bạn bè đã giúp đỡ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong quá trình học tập
Trang 4MỤC LỤC
Trang
00 1
Chuong 1 CO SO VE DO CAM PHI TUYEN 0 csccssceccsseesseesesseeseesees 4
1.1 Phuong trinh ma tran mat dO 200.0 cece eeeceeeeeeeeeeeeeeeeeeeneeneeeees 4 1.1.1 Thiét lập phương trình ma trận Imật đỘ - + s<++<+ss+s+x+e+ 5 1.1.2 Nghiệm nhiễu loạn của phương trình ma trận mật độ 11
1.2 Độ cảm phi tuyẾn - 2-52 SE SE E2E1E712E127171E 1121212121 xe, 13
1.2.1 Độ cảm phi tuyến trong mơ hình LOFehz ©2+ 55c ©5+25e+s+ccscset 13 1.2.2 Mô tả lượng tử cho độ cảm phi tHVẾN 55-55 ScccccctccEcctereerree 19
1.3 Hiệu ứng Kerr .23
Kết luận chương 1 - 2-2222 +E+2EE+2EE+EE+EEEEEEtEEEEEEE71211211 1122 ze 30 Chuong 2 HIEU UNG TRONG SUOT CAM UNG DIEN TU CHO HE NGUYÊN TỬ BÓN MỨC CÁU HÌNH BẬC THANG - 31
2.1 Phương trình ma trận mật độ cho hệ nguyên tử bốn mức cấu hình 0) 1 31 2.2 Giái phương trình ma trận mật độ trong gần đúng cấp một 36 2.3 Hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ cho hệ nguyên tử bốn mức cấu 000181003) 0 38
2.3.1 Hệ số hấp thụ và hệ số khúc xạ -2 2-52+5s+ccsEEccerkerrerkerscrree 38
2.3.2 Hiệu ứng trong suốt cảm tứng điện từ 5c5cccccccccceceerccrcee 40
Kết luận chương 2 - 2° + 2+ SE2EE9E12E12112711127127117171111 121.1 xe 44 Chương 3 TĂNG CƯỜNG HE SÓ KHÚC XẠ PHI TUYẾN KIEU KERR TRONG HE NGUYEN TU BÓN MUC CAU HINH BAC THANG DUA TRÊN HIỆU ỨNG TRONG SUÓT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ 45
Trang 53.3 Nghiên cứu sự tăng cường hệ số khúc xạ phi tuyến kiểu Kerr 48 3.3.1 Tăng cường hệ số khúc xạ phi tuyến kiểu Kerr dựa trên hiệu ứng trong suỐt cảm /71-8:/2/072PPẼPẼẺh a4 48 3.3.2 Điều khiển sự tăng cường hệ số khúc phi tuyến kiểu Kerr 50 Kết luận chương 3 - ¿2c s S9EE2E1211211211211111111E11 1111.111 54
KET LUẬN CHUNG . 2-©222E22EESEE2EE2EESE2EE273E212712122 21.22 xe 55
3005909213 57
Trang 6MỞ ĐÀU
Từ khi laser ra đời đã mở ra cho con người một cái nhìn mới mẻ về ánh sáng Với tính chất độ kết hợp cao, độ đơn sắc cao và công suất lớn, nó đã tạo
ra nhiều hiệu ứng phi tuyến cực kì thú vị mà trước đây đối với những nguồn
sáng thông thường không thể có được Thí nghiệm mở màn của Franken 1961 đã trở thành điểm mốc trong lịch sử, đánh dấu sự ra đời của một lĩnh vực nghiên cứu mới “Quang học phi tuyến” Lĩnh vực này đã và đang khẳng
định vị thế của mình với những thành tựu khoa học nỗi bật và sẽ là một lĩnh
vực đầy triển vọng trong tương lai
Trang 7cứu về chuyển mạch quang học [2], làm tăng hiệu suất của các quá trình quang phi tuyến [3], làm chậm vận tốc nhóm [4]
Gần đây, đã có rất nhiều sự quan tâm về việc tạo ra môi trường quang học phi tuyến có hệ số khúc xạ Kerr lớn, bởi vì nó có thể được sử dụng cho nhiều ứng dụng thú vị, chắng hạn như sự điều biến chéo pha cho các khóa quang hoc [5], tu diéu bién pha cho sự tạo ra của các soliton quang học, quá trình trộn bốn sóng cho sự biến đổi tần số [6], trạng thái pha tạp của quá trình thông tin lượng tử Trong môi trường Kerr truyền thống, chỉ số phi tuyến
của nó là quá nhỏ (cỡ 10 -10”'“em”/W) để hiệu ứng phi tuyến là đáng kế đối
với ánh sáng có cường độ lớn Ứng dụng hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ đã mớ ra một con đường đầy hứa hẹn để tăng cường đáng kê hệ số khúc xạ phi tuyến kiểu Kerr đồng thời giảm thiểu tối đa sự hấp thụ trong lân cận của tần số cộng hưởng
Với tầm quan trọng của lĩnh vực này, chúng tôi chọn “Tăng cường hệ số khúc xạ phi tuyến kiểu Kerr trong hệ nguyên tử bốn mức dựa trên hiệu ứng trong suỗt cảm ứng điện từ” làm đề tài luận văn tốt nghiệp của mình
Ngoài phần mở đầu và kết luận chung, luận văn được trình bày trong ba chương có nội dung như sau:
Chương 1 Cơ sớ về độ cám phi tuyến
Trong chương này, chúng tôi trình bày cơ sở của độ cảm phi tuyến theo quan điểm cô điển dựa trên mô hình Lorentz và theo quan điểm lượng tử dựa trên hình thức luận ma trận mật độ với các phép khai triển nhiễu loạn Từ đó,
chúng tôi trình bày lý thuyết về độ cảm phi tuyến bậc ba và trường hợp đặc biệt là “phi tuyến kiểu Kerr ” cùng với một số hiệu ứng liên quan đến loại môi
Trang 8Chương 2 Hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ trong hệ nguyên tử bốn mức cấu hình bậc thang
Đây là chương cơ sở cho việc xét khả năng tăng cường hiệu ứng phi tuyến kiểu Kerr dựa trên hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ Trong gần đúng lưỡng cực và gần đúng sóng quay, chúng tôi thiết lập hệ phương trình ma trận mật độ cho nguyên tử bốn mức cấu hình bậc thang được cảm ứng bởi hai trường laser Từ đó, sử dụng nhiễu loạn cấp 1 để dẫn ra biếu thức cho hệ số hấp thụ và hệ số khúc xạ của môi trường Đây là cơ sở để khảo sát hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ và đề tính các nghiệm nhiễu loạn cấp 3 được trình bày ở chương tiếp theo
Chương 3 Tăng cường hệ số khúc xạ phi tuyến kiểu Kerr trong hệ nguyên tứ bốn mức cấu hình bậc thang dựa trên hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ
Trong chương này, dựa trên phương trình ma trận mật độ cho hệ 4 mức được xây dựng ở chương 2, chúng tôi tiến hành tìm nghiệm nhiễu loạn cấp 3
để dẫn ra biểu thức giải tích cho hệ số khúc xạ phi tuyến kiểu Kerr Từ đó, chúng tôi tiến hành nghiên cứu khả năng điều khiển sự tăng cường hệ số khúc
Trang 9Chương 1
CƠ SỞ VẺ ĐỘ CÁM PHI TUYẾN
Sự tương tác của trường điện từ với môi trường vật chất là bài toán trọng tâm của ngành quang học Trong đó, mối liên hệ giữa độ phân cực P và cường độ điện trường E là ranh giới phân biệt giữa quang học tuyến tinh với quang học phi tuyến Quang học tuyến tính thường chỉ áp dụng cho những chùm sáng có cường độ yếu mà trong đó độ phân cực vĩ mô của môi trường tỉ lệ /„yến tinh với cường độ điện trường theo hệ thức:
P= % xE › (1.1)
z 1a d6 cam tuyén tinh, ¢, là hằng số điện của chân không Khi cường độ
điện trường tăng đến một giới hạn nào đó sẽ nảy sinh các hiệu ứng mới mà ta không thẻ giải thích được nếu chỉ xét đến mối quan hệ tuyến tính như hệ thức
(1.1) Khi đó, mối liên hệ giữa và # phải được thay thế bởi hệ /bứe phi
tuyến:
r
P=a(z B+ YE + ZR + ), (1.2)
với z”,z'®' tương ứng được gọi là độ cảm phi tuyến bậc 2 và bậc 3 (ta gọi chung là độ cảm phi tuyến) Thực nghiệm cho thấy, giá trị của các độ cảm
phi tuyến là rất bé so với độ cảm tuyến tính nên phân cực phi tuyến chỉ đáng
kế đối với các trường sáng có cường độ lớn Rõ ràng, độ cảm là đại lượng phụ thuộc vào cấu trúc vi mô của các nguyên tử trong môi trường Vì vậy, để mô tả đầy đủ độ cảm ta cần sử dụng cơ học lượng tử
1.1 Phương trình ma trận mật độ
Có bốn cách để mô tả bài tốn tương tác: cơ điển, bán cổ điển, bán
Trang 10tử và được gọi là “hệ lượng tử” Khảo sát tương tác của trường kích thích với hệ lượng tử, chúng ta tìm được thay đối của các thông số đặc trưng cho hệ thông qua việc giải phương trình chuyển động Đó là phương trình liên quan đến thay đổi các thông số đặc trưng cho hệ theo thời gian
Khi mô tả hệ lượng tử ta cần chú ý, nếu trạng thái của hệ được biết
chính xác thì hệ nằm trong trạng thái /h„ần khiết và được biêu diễn bởi hàm
sóng |wŒ.?) Sự tiến triển theo thời gian của hệ được biểu diễn thông qua phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian Tuy nhiên, trong nhiều bài toán trạng thái của hệ không biết được một cách chính xác, hay nói khác đi hệ nằm trong trang thái øổn hợp ( theo [7] đây là loại bất định thứ hai khi xem xét hệ lượng tử) Trường hợp này sẽ được xử lý bằng phương trình ma trận mật độ
1.1.1 Thiết lập phương trình ma trận mật độ
Chúng tôi xem xét hình thức luận ma trận mật độ theo sau các định luật cơ bản của cơ học lượng tử Nếu một hệ lượng tử (chang hạn như một nguyên tử) được biết trong trạng thái lượng tử s, ta hoàn toàn có thể mô tả tất cả các tính chất vật lý của hệ thông qua hàm sóng |yŒ.0) Hàm sóng này tuân theo phương trình Schrédinger [8] mÊ 9:9 — gự (Eø), (13) Ot trong đó #? là toan tir Hamilton toàn phần của hệ và được xác định Ñ=H,+P) (1.4)
Trang 11u(r, t= 3 ,C;00%, Œ) (1.5) Với z„ứ) là các nghiệm riêng năng lượng của phương trình Schrưdinger khơng phụ thuộc thời gian:
ñ„„@)=E„,0) (1.6)
Các hàm riêng này thoả mãn tính chất trực giao theo hệ thức:
“20%, Œ)đz=ổy, (1.7)
Hệ số khai triển Cÿ cho biên độ xác suất của nguyên tử trong trạng thái s rơi vào trạng thái năng lượng riêng ø ở thời điểm ¢ Sự tiến triển theo thời gian của ự,Œ.9) có thể được xác định thông qua sự tiến triển theo thời gian của
mỗi hệ số khai triển Cÿ(z) Để xác định các hệ số đó tiến triển theo thời gian
như thế nào chúng ta đưa khai triển (1.5) vào phương trình Schrödinger (1.3):
nề AO, =5 `C;(#u,ứ) (1.8)
Mỗi về của phương trình này đều liên quan đến cách lấy tổng trên tat ca các trạng thái riêng năng lượng của hệ Đề đơn giản, ta nhân bên trái mỗi về của phương trình (1.8) với u(r) sau đó lấy tích phân trên tồn bộ khơng gian
mồ a fu) H, (dr = = LO fur, ( ‘mn r) Au, Oar Gọi yếu tố ma trận của toán tử # là
H,, = fu, (r)Au, (Par (1.9)
Thay (1.9) vào (1.8) ta thu được kết quả:
Trang 12Giá trị kỳ vọng của một biến số động lực bất kì đều có thể được tính
toán dựa vào hàm sóng Theo tiên dé 2 cơ học lượng tử mỗi biến số động lực
A bất kỳ đều được biểu diễn bởi một toán tử hermite 2 Giá trị kì vọng của A
được tính theo công thức (2) = U;Av,d Mối liên hệ này có thể viết trong kí hiệu Dirac (4)=(v.|Aly.)=(s| Als) (1.11) Các kí hiệu |ự,) hoặc |s) có thể sử dụng để biểu diễn trạng thái s của hệ Chúng ta cũng có thể biểu diễn giá trị kỳ vọng A theo biên độ xác suất C; (2) bằng cách đưa (1.5) vào (1.11) ()=3 GA › mn (1.12)
trong đó 4,,, = (u,,|4|u,) là yếu tố ma trận của toán tử 4 trong cở sở của Ay
Khi trạng thái ban đầu và toán tử Hamilton #? của hệ được biết, hình
thức luận được mô tả từ (1.3) đến (1.12) cho ta khả năng mơ tả hồn chỉnh sự phụ thuộc thời gian của hệ Tuy nhiên, có những trường hợp trạng thái của hệ không được biết một cách chính xác, chẳng hạn một tập hợp các nguyên tử trong một đám hơi nguyên tử, ở đó mỗi nguyên tử có thể tương tác với nguyên tử khác đo sự va chạm dẫn đến hàm sóng của mỗi nguyên tử thay đổi Nếu trong các va chạm là yếu, sự thay đối có thé chi dan dén sự thay đổi về pha nói chung của hàm sóng Tuy nhiên, trên thực tế ta không thể theo dõi pha của mỗi nguyên tử trong đám hơi, hay nói khác đi trạng thái của mỗi nguyên tử không được xác định chính xác
Trang 13nghĩa thống kê Gọi p(s) là xác suất hệ ở trạng thái s Ta định nghĩa các phần tử của ma trận mật độ của hệ như sau
Pan = PSEA CG; « (1.13)
Méi quan hệ này cũng có thé viết tương đương
Pan = OnE + (1.14)
dấu nằm ngang chỉ trung bình thống kê, tức là lấy trung bình trên tất cả các
trạng thái khả dĩ của hệ Trong cả hai kí hiệu, chỉ SỐ „ VÀ m chạy trên toàn bộ các thái riêng năng lượng của hệ
Các phần tử ma trận mật độ có ý nghĩa vật lý như sau: phần tử đường chéo ø„„ cho ta xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái riêng ø Các phần tử ngoài đường chéo ø„ cho “sự kết hợp” giữa mức ø và m, với ý nghĩa này ø„ sẽ chỉ khác 0 nếu hệ là chồng chất kết hợp của trạng thái riêng năng lượng ø va m Các phần tử ngoài đường chéo của ma trận mật độ trong một số trường hợp xác định sẽ tỷ lệ với mô men lưỡng cực điện của nguyên tử
Với cách mô tả này chúng ta có thể tính giá trị kì vọng của biến số
động lực A bắt kì Như đã trình bày ở trên, khi trạng thái của hệ được biết
mn “ mn 3
chính xác trong trạng thái s thì giá trị kì vọng được tính bởi (4)= °C" C54 do đó đối với trường hợp trạng thái của hệ không được biết chính xác thì giá trị kì vọng sẽ nhận được bằng cách lấy trung bình phương trình (1.12) trên toàn bộ trạng thái khã dĩ của hệ
(4)=3)pGs)3)CÿC;A,„ nm (1.15)
Kí hiệu được sử dụng bên tay trái của phương trình này có nghĩa là tính toán trung bình thống kê cho giá trị kì vọng theo cơ học lượng tử của đại lượng quan sát A Sử dụng (1.14) có thể viết lại (1.15) trong dạng
Trang 14Tổng kép trong phương trình có thể phân tích
DY Pan Ann = LD Pon Amn) = 33„ =1(pA), (1.17) nm ở đây chúng ta đưa vào vế/ của toán tử, nó được định nghĩa cho một toán tử nn M bất kì là 7r(W) = 2M [9] Do đó giá trị kì vọng của A được cho bởi 7) (1.18)
Với 2 là toán tử mật độ có phần tử ma trận là ø„ ; 24 là tích của toán tử ơ
với tốn tử 4 và (24),„ là phần tử ma trận của tích này
Để tìm phương trình chuyển động của ma trận mật độ, ta đạo hàm theo
biểu thức (1.13) theo thời gian
dj
&, “Xà =3 CoC + LCS for “ aC Ion } Hn dt cs (1.19) Giả sử p(s) không thay đổi theo thời gian, số hạng thứ nhất trong biểu thức
này sẽ triệt tiêu Số hạng thứ hai được tính trực tiếp nhờ phương trình
Schrödinger (1.8) Ta thu được: ce dC : CÿS H„Œ, co ° (120) Cc “ee = CL me = OL Hoa Thay (1.20) vào (1.19) và bỏ qua số hạng thứ nhất bên về phái ta có Bis = LDS CC Fg CCH) (1.21)
Sử dụng (1.13), phương trình (1.21) được viết đơn giản như sau
Bin =D Pram Hw Pen) (1.22)
cuối cùng lấy tổng trén v ta thu được phương trình
Trang 15Phương trình (1.23) mô tả sự tiến triển theo thời gian của các phần tử ma trận mật độ như là kết quả của các tương tác được bao gồm trong Hamilton #7 Tuy nhiên như đã đề cập ở trên, có những tương tác nhất định (ví đụ do sự va chạm giữa các nguyên tử) dẫn đến xác suất của hệ ở trạng thái s không được
xác định, do đó ti sé dp(s)/dr không bị triệt tiêu Để đầy đủ hơn ta thêm vào
số hạng tắt dần mô tả những tương tác này cho phương trình chuyền động (1.23) Theo [6] có hai cách để mô tả những quá trình như vậy :
Cách thứ nhất là xem phương trình ma trận mật độ có dạng:
* Bl = BH 1B) ~ Yon Pan Pi) (1.24)
ở đây số hạng thứ hai bên phía tay phải là một thành phần tat dan mang tính
hiện tượng luận, nó chỉ ra rằng ø„ hồi phục đến giá trị cân bằng ø!* với tốc độ z„„.Vì z„„ là tốc độ phân rã Ngoài ra, ta thực hiện giả thiết vật lý
Poo!) =0,n#m, (1.25)
có nghĩa là ở trạng thái cân bằng không xảy ra sự két hop
Cách thứ hai là xem các phần tử ngoài đường chéo của ma trận mật độ bị tắt dần do sự phân rã từ các mức cao đến các mức thấp Trong trường hợp như vậy phương trình ma trận mật độ được xác định
đụ, =—ih '[R,Ô _ —y„p,„.n # m, (1.26)
Ä,=Tih [f,ð|] + 3) Tum, — 3) Tạ, (127)
TH BE, E„<E„
Trong đó, các tốc độ phân rã được hiểu như sau:
T„„ là tốc độ phân rã tự phát từ mức ø tới ø, z„„ là tốc độ tắt dần của độ kết mn
hop p,, và được biểu thị :
Yon = 5p 4 TQ) +72, (1.28)
Trang 16với T,= ÐT„ z2 là tốc độ lệch pha lưỡng cực, hay còn gọi là tốc độ lệch
Exe,
pha riêng, nó là do các quá trình (chẳng hạn như va chạm đàn hồi) mà chỉ làm thay đôi pha chứ không làm thay đổi độ cư trú hay nói khác đi không làm thay đối mức năng lượng
1.1.2 Nghiệm nhiễu loạn của phương trình ma trận mật độ
Theo cách mô tả thứ nhất trình bày trong mục (1.1.1) ta đã dẫn ra phương trình:
Bi = [8], Pon (Pam = PP):
Nói chung phương trình này thường không thể giải một cách chính xác, vì vậy người ta sử dụng kỹ thuật nhiễu loạn để giải nó
H=H,+V(t) (1.29)
Trong đó, năng lượng tương tác được giả thiết là yếu với ý nghĩa giá trị kỳ vọng rất nhỏ so với giá trị kỳ vọng của H, Ta gia str nang lượng tương tác này được cho ở gần đúng lưỡng cực điện [9]
È=-â.ʧ), (1.30)
ở đây =-e chỉ toán tử mômen lưỡng cực điện của nguyên tử Gọi trạng thái |z) là hàm riêng năng lượng ø„ của Hamilton không bị nhiễu loạn Ø,, tức là
f„„ = E„„ Như một hệ quả, ma trận của toán ?#, là ma trận chéo trong cơ sở
của chính nó
Hm O.nm =E,6, n mm * (1.31)
Khi đó ta có
(i
= YEG Pom ~ Pv Oum En)
= (Ap — pH, Yam = > (Ao unPom — Đau Ay um ) lam
Trang 17Ta định nghĩa tần số dịch chuyền (theo đơn vị tần số góc) theo công thức sau
= E, _ E,,
= 1.33
Om = (1.33)
Thay (1.30), (1.32) va (1.33) vao phuong trinh (1.24), thu duoc
Big = im Pam PoP |, Fam Pam ~ Prat) (1.35)
Khai triển giao hoán tử của ƒ với A co thé nhan dugc phuong trình ma trận mật độ dưới dạng:
i
Big =i Pag > YE Co Pom — Pa %om) ~ Yam Pam ~ Ps?) (1.35)
Để giải phương trình này chúng ta thay thé v, boi av,, void là tham số chạy từ 0 đến 1, nó đặc trưng cho cường độ của nhiễu loạn Giá trị 4 =1 tương ứng với tình trạng vật lý thực Mỗi yếu tố ma trận được khai triển dưới dạng
Pam = Pim + AP am +A” Prag + (1.36)
Phương trình (1.36) là nghiệm của phương trình (1.35) cho bat ki gia trị nào của 2 Do đó ta nhận được một tập hợp các phương trình
đu =—Ì0,„/Ðụu —Z⁄u(/Đặm — Prat) » (1.37a)
$2), = (Qn + 7m Pi" [ VP |, (1.37b)
AE) = GO +7 0? — i" PP” | (137c)
Phương trình (1.37a) mô tả sự tiến triển theo thời gian của hệ khi khơng có trường ngồi Nghiệm trạng thái dừng của phương trình này là:
Pim = Pn {=I} (1.38)
ở đây p=0 n#m (1.39)
Vì ø' đã được biết nên phương trình (1.37b) có thé lấy tích phân, muốn vậy
ta thay đối các biến số bằng cách biếu điễn ø!' như
Pan (t) = Sim (te CP" (1.40)
Trang 18Đạo hàm ø! có thể được biểu diễn thông qua s) mm nm
1) ;, 1) Gm + Yam GO + Fm )
BB) =O y+ Zam Sine on Fe" + Sere wn, am ‘nm nm (1.41)
các công thức này được thay vào (1.37b) ta thu được
& _ TP.2"] xa ad 42)
Lấy tích phân của (1.42) ta có
‘nm (1) _ ‘ a roe) A(0) GOpn + Fam May
9 =] h AG ),p ,.¢ Yon)! df (1.43)
Các biểu thức này được thay trở lại (1.40) và kết quả cuối cùng là
a) _ ‘ ai 2/2 (0) Gm +¥ im Mb Og
Piat= J Ư0).29 | ẻ dt (1.44)
Hoàn toàn tương tự ta có thể tính đến các đóng góp bậc cao hơn đối cho các
phan tử trận mật độ, chẳng han đối với ø*' ta có thể nhận được bằng cách thay thé 6 bởi 2'**” ở bên về phải của phương trình (1.42) Vi du cụ thé
như đóng góp bậc ba được viết
Pin = [SƯ OY al lay (1.45)
1.2 Độ cám phi tuyến
1.2.1 Độ cảm phi tuyến trong mô hình Lorentz
Để mô tá độ cảm phi tuyến theo quan niệm cô điển người ta thường sử dụng mô hình Lorentz, trong đó xem nguyên tử như một dao động tử điều hòa có tần số ø„, và đưa thêm một thành phần lực hồi phục phi tuyến tác động lên mỗi electron [6]
Chúng ta khảo sát độ cảm phi tuyến trong hai môi trường dưới đây
Môi trường không đối xứng tâm
Phương trình chuyền động của mỗi electron
Trang 19Trong đó: tr) là cường độ điện trường của trường ngoài, e là điện tích electron, —2my biếu diễn lực tắt dần và lực hồi phục được cho đưới đạng
Kuuoi = —IH60) 6 mat, (147)
trong đó z là thông số đặc trưng cho cường độ của phi tuyến Hàm thế năng tương ứng có đạng:
U(Wý=- [f§4= 2 maj + mai (148)
Số hạng thứ nhất trong (1.48) tương ứng với thế năng điều hòa và số hạng thứ
hai tương ứng với thành phần phi điều hòa được minh họa trên hình I.1
Parabol
> x
Hình 1.1 Hàm thế năng của môi trường không đối xứng tâm
Đây là mô hình mô tả môi trường không đối xứng xuyên tâm bởi vì hàm thế nang (1.48) chứa cả bậc chẵn và bậc lẻ của #
Gia sir rang trường quang học đặt vào có đạng:
EU) = Re 2+ E;e "9 +ee , (1.49)
Khi đó phương trình (1.46) sẽ không có lời giải chính xác Tuy nhiên, nếu trường đặt vào đủ yếu thì số hạng phi tuyến a# sẽ nhỏ hơn nhiều so với số hạng tuyến tính ø‡¿# cho mọi dịch chuyển # mà trường có thé gây ra Trong trường hợp đó phương trình (1.46 ) có thể được giải bằng phương pháp nhiễu
loạn Thay #§)trong phương trình (1.46) bằng 2#), khi đó phương trình
(1.46) trở thành
Trang 20§ 2x &u 03 M4 ald =—Aelr)/m (1.50)
Ta tìm một nghiệm của (1.50) trong dạng của một khai triển chuỗi năng lượng theo cường độ nhiễu loạn 2, nghĩa là nghiệm có dạng:
4 16) + A”96) + `6) + (1.51) Để phương trình (1.51) là nghiệm của phương trình (1.50) cho mọi giá trị của
2 thì các số hạng trong phương trình (1.50) phải thoả mãn:
+ 27.8) + 02.20 = TeÊf§) Lm, (1.52a)
#9 +2z# + of 26 +a[ 20 | =0, (1.52b) & +278 + 2.96 +2000 =0 (1.52c)
Từ phương trình (1.52a), ta thay rằng đóng góp bậc thap nhat 2% tudn theo phương trình giống như mô hình Lorentz thông thường (tuyến tính) Do đó nghiệm của nó là: (DQ =x (Je +x (ae +ec, (1.53) ở đây các biên độ x°'(ø,) có dạng: @ € E, AT (1.54) ở đây đưa vào ky hiệu D(@,)= độ =ø) ~2iØ7 - (1.55)
Trang 21Thay (1.57) vào (1.56) dẫn tới kết quả: xq) = rae my ET 1.58 7 9)” DGa)P?( (8) Tương tự biên độ của các đáp ứng tại các tần số khác: x2(24,)=—— SH) D(2a,)D"(@,) 6: (1.59) x (by +a,)=— — 4(€m EU, (1.59b) D(a, + @,)D(@,)D(@,) x(a, -@,) —2a(e/my E,E, (1.59) _ D( =ø,)D(@)D(=ø,)`
xOQ)= 24! mY EE, , —2a(el my EE, D(0)D(@)D(-@,) D(0)D(@,)D(-@,) (1.594)
Biểu diễn các kết quả này theo độ cảm tuyến tính (y"”) va phi tuyến(z®) Độ cảm tuyến tính được xác định theo hệ thức: P" (0) = & (@,JE(@,).- (1.60) Mat khac P°(œ,)=—Na"(œ,), (1.61) ở đây N là mật độ số của các nguyên tử Sử dụng biểu thức (1.54), (1.59) và (1.60) thu được N(e?/m) &D(a,) ` 1o)= (1.62) Cũng làm tương tự, độ cảm phi tuyến mô tả sự phát hoà ba bội hai được xác định thông qua hệ thức
P? 2a) = & 7° (2@,0,,0,)E(@) (1.63)
với P?(2a) là đóng góp phi tuyến tại tần số 2œ, cho độ phân cực phi tuyến bậc hai và được định nghĩa
P?!(2ø,)=—Nex?(2ø)) (1.64)
Trang 22So sánh các phương trình này với (1.63) thu được 2 N(e’/m°*)a ®(2 CO) 2G ae ie )D (a) "¬ 1.65 Từ (1.62) ta viết (1.65) dưới dạng tích cúa các độ cảm tuyến tính : 2 càma 1 1 2 z "(20,00 =F 2° 20)| Z' (@)] (1.66)
Độ cảm phi tuyến tại tần số ø, nhận bằng sự thay thế @, > @, Vao (1.64) Độ cảm phi tuyến mô ta sự phát tần số tổng nhận được qua các hệ thức
PO, + 0,) = 26,4 (@, + @,,0,,0,)E(@ )E(@,), (1.67) P'(@, + @,) =-Nex (@, + ø,) (1.68) So sánh các phương trình này với thành phần x?1(ø,+ø„) của hệ phương trình (1.594đ), độ cảm phi tuyến tại tần số tổng nhận được
(2) NC Im )a 1.69
OOO) + @D(@)D(@) (1.69)
Có thể viết lại đưới đạng tích của các độ cảm tuyến tính
LO, $0,050.) =P (04 +0) L(@)Z¢°(@,)- (1.70)
Các độ cam phi tuyén mô tả các quá trình bậc hai khác nhận được theo cach tương tự Đối với sự phát tần số hiệu ta có N(e`!m°)a ®(@ø—ø@„@„=@y}#———————————— Z7 61c 9) 2 pm =ø,)D()DCø,) ụ (1.71) _ &ma Nˆe z°(=ø,)z“'(@)#'°(ø,)
Trang 23gắn với 4" hơn trong khai triển được mô tả bởi (1.51) sẽ giúp chúng ta tính toán độ cảm z”
Mô hình đối xứng tâm
Đối với môi trường đối xứng tâm, thế năng phải là hàm đối xứng Như vây ở
bậc thấp nhất của thế phải chứa số hạng bậc bốn U (9)= may mb (1.72) Tức là lực kéo về vị trí cân bang là 7 iniuc = MO, Vo + mb (1.73) U(x) — parabol parabol —_ \ 'Thê năng thực #
Hình 1.2 Mô hình thế năng của môi trường đối xứng xuyên tâm Khi đó phương trình chuyên động của mỗi electron là:
$27 ð?9s b5 = —eỆ) Lm (174) Giả sử cường độ điện trường đặt vào chứa ba thành phần tần số khác nhau
Et) = Be + Bye" + Exec (1.75) Dùng phương pháp nhiễu loạn giống như đã trình bay trong trường hợp môi trường không đối xứng tâm ta thu được hệ các phương trình sau:
#9 + 2y #0 + øð299) = ~eÊf§) Lm, (1.76a)
& +278 +02 =0, (1.76b)
#8 +27, + of 86 —0[ 20 | =0 (1.76c)
Trang 24Khi giải phương trình (1.76a) ta cũng thu được
%(@,)=-2 177
TOO Dle,) (1.77)
Véc tơ phan cực có dang
P”(@,)=—Nex" (@,) = &)Z" (@, )E(@,)- (1.78) Suy ra
(ay = Ne /m) 1.79
WOO" Dw,) (17)
Dap ứng bậc hai của hệ được mô tả bởi phương trình (1.76b) Vi day là phương trình đao động tắt đần mà không có lực cưỡng bức, đo đó hệ được mô tả bởi phương trình này sẽ tiến đến trạng thái mà không có các dao động Tức là nghiệm ở trạng thái dừng của nó bằng không #6 =0 (1.80) Cũng lập luận tương tự ta tìm được biểu thức của độ cảm bậc ba tại tần số @=@+ø,+ø@, là 1 1°) (0,0,,0,,0,) = eet [ D(@) D(@,) D(@,) D(a) | (1.81) 1.2.2 Mô tả lượng tử cho độ cảm phi tuyến
Ở đây chúng tôi sẽ tính toán độ cảm phi tuyến qua mô tả môi trường bằng lý thuyết lượng tử Thay vì đùng hàm sóng chúng tôi sử dụng hình thức ma trận mật độ để mô tả hệ nguyên tử và phân tử, bởi vì dùng hàm sóng thì không mô tả được các quá trình hồi phục quan trọng trong trường hợp tương tác gần cộng hưởng
Trước tiên, ta sẽ tính toán cho độ cảm tuyến tính Trong phần 1.1, nghiệm nhiễu loạn trong gần đúng cấp một được dẫn ra
Pan (1) = [TỪ Œ),ð | emma lam (1.82)
Trang 25?(')=-A##:) (1.83) và ma trận không nhiễu loạn được cho bởi ø?)=0 VỚI n#m (1.84) Trường điện được cho bởi #r)=)E(ø,}y ”Ố, (1.85) Khi đó giao hoán tử trong (1.82) là [PA |= LI” (0°), Pm ~ Pn ()„ | = DH Po = Pay Lym |-E4t") = (PL) = PL en ERE) (1.86)
Thay (1.85) và (1.86) vào (1.82) thu được
Pin = (Phim ~ Pi! on DE (o,)
(1.87) xe 92-720! jan le] œy
Dòng thứ hai của phương trình (1.87) được tính bằng
e.-o,}sz~- Ï "
e 09.97 SE DĐ em (1.88)
l( ty, —@,)*Z„, l( #9, — @, )*Z„„
Do đó biểu thức ø!' cuối cùng thu được
gi = woo poy yan Ele) & (nm =p) im (1.89)
Trang 26Chúng ta phân tích (#z)) vào trong các thành phần tần số của nó theo ())=3 (6) p (1.100) Độ phân cực của môi trường được xác định P(ø,)= N((ø,))=sz"(ø,)E(ø,)- (1.101) Bằng cách so sánh phương trình này với (1.90) ta tìm độ phân cực tuyến tinh (0) _N (0) (0) mạ 1.102 z9(ø,) Po Di (Pm Pon om “) “if ( ) Kết quả trong phương trình (1.101) va (1.102) có thê viết trong dạng Đề các
B(e,)=N(u,(@,))= Daz) (@,)E, (2) (1.103)
ne (1) _N (0) (0) Tay 1.104
với z/'(ø,) ánh Dem Pan [om 0, ) ig, ~ 0) 7g ( )
Chúng ta nhìn thấy rằng độ cảm tuyến tinh tỷ lệ với hiệu độ cư tra p — p,
bởi vậy nếu hai mức n, m có độ cư trú bằng nhau thì dịch chuyển m—>n không đóng góp đến độ cảm tuyến tính
Ta có thể xem ban đầu hầu hết các nguyên tử tập trung ở trạng thái cơ bản z và sau một số bước biến đồi trung gian ta thu được
iy ii
2n |lGc j2 "Íasxjè.[ O19
Số hạng thứ nhất có thể coi như sự đóng góp cộng hưởng vào độ tự cảm còn số hạng thứ hai biểu điễn sự đóng góp không cộng hưởng
Dựa trên cách tính toán này ta có thể dẫn ra được biểu thức của các độ
cảm phi tuyến Chắng hạn đối với độ cảm phi tuyến bậc ba
1
8) Om + Fam ef TE TF ^(2) (9„,*+Z2g Egy
pase J-[Po.e° |e lam dt , (1.106)
ở đây giao hoán tử có thể được biểu diễn tường minh:
Trang 27[Pa] = DU 02 sg LOO « (1.107)
Từ biểu thức da biét cho p® va p® ching ta dùng kí hiệu viết tắt: om TỦ
po? _ DY Kye yt „ (1.108)
1 pq
ở đây K,„„là một biểu thức tương đối phức tạp không trình bày ở đây Chúng
ta biểu diễn điện trường đặt vào là #)=>E(ø,)e 2" (1.108) Giao hoán tử trở thành [f2] ==3)3)[u„,.E(e,)]K,„e 09212193 vl pậr (1.109) + > [Hin ECO, WK we” p tO, +0, )t - vl par [HE] Komi ~ @, ~~ @,)~ IY pm
Prin => (Om ha (1.110)
ol par | [Lom E(a, )|K„„ (9y, — 6, — 6, — @,) — ÏV Sự phân cực phi tuyến đao động ở tần số o, + @,+@, cho boi Plo, +0, +0,)=N (to, +0, +2,)), (1.111) ở đây (P= DX Pam ban = (06), (1.112)
Ta biểu diễn độ phân cực phi tuyến theo cảm bậc ba là:
PO, +O, + @,) = & >> Hn, + @, + 69,, (9,2 9,69, ) (1.113)
mm
xE, (a, JE(@, )E,(@,) :
Kết hợp phương trình (1.110) đến (1.113) ta nhận được độ cảm bậc ba
Trang 28N (3) = Zuu(„ +@, + 0,,0,,0,) = £ h Py , (0) (0) k i i h PGom ~ Pr) nn Ey Hor bin [ (yy = ©, ~ © ~,) =I ym |[ (9 — @, ~ @,)— 174, |[ (9, — @„)— i7, ] (ø) (ø) _ (Ø0 = PL inde in Ee [9 —#,=,—Ø,)—17,, || (rn =p ~ 2) Hom || (Qu — @) iY | (0) (0) Poe = Ph enh n Bb Be [mn —, —Q,-@,)— im | [(,, ~@„—@,)—Ï7Z„ II ~@,)— ir, | (0) (0) + Ph = Pin ) Erm tm Ee on
[mn — 2, — ©, —@,)-i7 44 || (@n — ©, —@,)-i7,», || (@y-@,) =i | (1.114)
Trong các biểu thức này ta dùng ? là toán tử nội hoán vị, với ý nghĩa là về phải lấy trung bình trên toàn bộ phép hoán vị của các tần số vào (,„„(9,„(0, , VỚI các chỉ số Đềcác »,¡,/,k được hoán vị đồng thời Như vậy biểu thức đầy đủ cho độ cảm bậc ba gồm 48 số hạng do sáu hoán vị của các tần số trường vào 1.3 Hiệu ứng Kerr
Chiết suất của môi trường sẽ được thay đổi dưới sự tác động của điện
trường lớn bên ngoài và sự phụ thuộc của chiết suất vào cường độ trường như sau [6]:
n=n,+7,(B¢t)) , (1.115)
trong đó ø„ là chiết suất tuyến tính thông, ø, là chỉ số khúc xạ bậc hai
Đại lượng # trong móc nhọn cho biết giá trị trung bình theo thời gian
ft) = E(o)e ”? +ee
=> ()°) =2E(ø)E” (ø) = 2|E(@)], (1.116) E(o)
Trang 29Sự thay đối chiết suất theo cường độ gọi là hiệu ứng Kerr quang học, trong đó
chỉ số khúc xạ của một môi trường vật chất thay đổi một lượng mà tí lệ với
bình phương của biên độ trường
Sự tương tác của một chùm tia sáng với môi trường quang học phi tuyến cũng có thể được mô tả trong các thành phần của độ phân cực phi tuyến mà ảnh hưởng đến sự lan truyền của chùm tia tần số ø là: P™ (w) =36,7° (= @+@-0)|E(a)| E(o) (1.117) Dé don gian, ta chua quan tam đến tính chất tenso của z°, độ phân cực toàn phần là: pron (0) = a7" E(@) +367" (w= 0+ 0-0) |E(o), E(o) =#Z„E(®); (1.118) ở đây đưa vào độ cảm hiệu dụng 2
Ley = 7) +3e,7'" |E(a) (1.119) Để có mối liên hế giữa độ cảm phi tuyến z#' với chỉ số khúc xạ phi tuyến ø,, ta cần lưu ý: ñ =l+g„ (1.120) Thay (1.116) và (1.119) vào (1.120), ta thu được: m=¬l1+ g® (1.121) (3) 7, = 2H (1.122) Ny Mặt khác, ta cũng có thể viết n=n,t+nl, (1.123)
với n, là hệ số khúc xạ phi tuyến kiểu Kerr, 7 biểu thị cường độ trung bình
theo thời gian của trường quang học, và được cho bởi
1=2nysje|E(@)} (1.124)
So sánh (1.116) và (1.123) ta thu được mối liên hệ giữa n, và n,
Trang 30(1.125) Cuối cùng ta thu được m =ơ[l+ gđ (1.126) (3) n,= 3z _~ (1.127) Sau đây sẽ trình bày một số hiệu ứng là hệ quả của chiết suất phụ thuộc vào cường độ Sự tự hội tụ của ánh sáng
Sự tự hội tụ của chùm sáng là một trong những hệ quả của chiết suất phụ thuộc vào cường độ trường Khi chùm laser công suất lớn đi vào môi trường làm cho chiết suất hiệu dụng của môi trường đối với chùm ánh sáng đó thay đối Tại tâm của chùm laser chiết suất của môi trường có giá trị lớn nhất và giảm dần về phía biên của chùm tia Do vậy, môi trường hoạt động như một thấu kính có tiêu cự dương gây nên sự hội tụ của chùm tia bên trong vật
liệu Khi độ dày môi trường ngắn thì điểm hội tụ sẽ nằm ngồi mơi trường và
ngược lại nếu môi trường quá dày thì điểm hội tụ nằm trong môi trường Khi đó năng lượng lớn tại điểm hội tụ sẽ có thể phá vỡ các tính chất của môi trường Trường hợp này được chỉ ra trong hình I với giả sử ø, >0 “ ExV n,>0 —>——— Hình 1.3 Sự tự hội tụ của ánh sáng
Liên hợp pha quang học
Trang 31tắm gương kim loại thường Rõ ràng phần nhanh nhất của mặt đầu sóng tới vẫn là nhanh nhất của sóng phản xạ Phần (b) của hình cho thấy cùng một mặt đầu sóng như vậy chiếu vào một gương liên hợp pha (phase conjugate mirror ~PCM), trong trường hợp này phần nhanh nhất trở thành phần chậm nhất sau khi phản xạ (a) es (b) — PCM s PCM E €
Hình 1.4 Sự phản xạ từ (4) một gương thường và (b) một gương liên hợp pha
Với lý do này, sự liên hợp pha đôi khi còn được gọi là sự đảo ngược mặt đầu sóng Lý do tại sao quá trình minh họa trong hình 1.4 được gọi là liên hợp pha quang học có thể được hiểu bằng cách đưa vào một mô tả toán học của quá trình Gọi sóng tới gương liên hợp pha (hay còn gọi là sóng tín hiệu ) là:
P(r.t)=E, (Fem +c (1.128)
Khi được chiếu bởi một sóng như vậy, gương liên hợp pha sinh ra một sóng phản xạ (được gọi là sóng liên hợp pha) được mô tả bởi:
E(r,t)=rE (He tee, (1.129)
ở đây z tương ứng với biên độ hệ số phản xạ của gương liên hợp pha Đề xác định ý nghĩa của thay thế E, () bới E () trong quá trình phản xạ, sẽ là hữu
ích nếu E, (F) được xem như là tích số:
E(P)=8,A (re, (1.130)
Trang 32ở đây ê tương ứng với véc tơ đơn vị phân cực, 4, () là biên độ trường biến thiên chậm, và k, là véc tơ sóng của sóng tới Liên hợp phức của (1.130) được cho bởi:
E(1)=840)6 55 (1.131)
Như vậy, sự ảnh hưởng của gương liên hợp pha gồm ba phần:
1 Véc tơ đơn vị độ phân cực phức của trường tới được thay thế bởi liên hợp phức của chính nó Ví dụ, ánh sáng phân cực tròn phải vẫn là ánh sáng phân cực tròn phải sau khi phản xạ qua gương liên hợp pha, còn đối với gương phản xạ kim loại thông thường thì ánh sáng phân cực tròn phải sẽ chuyền thành phân cực tròn trái sau khi phản xạ
2 A, () được thay thế bởi 4Œ) nghĩa là mặt đầu sóng được đảo ngược lại theo nghĩa minh họa trong hình I.4b
3 k, được thay thế bởi -k., cho thấy rằng sóng tới được phản xạ theo hướng ngược lại của chùm tới
Quá trình liên hợp pha có thể được sử dụng đề gỡ bỏ các hiệu ứng quang sai từ một số hệ quang học nhất định ((Zel’dovich et al 1985; Boyd and Grynberg
Trang 33Ban đầu, mặt đầu sóng phẳng lan truyền qua một môi trường gây ra quang sai (môi trường gây quang sai có thể đo hệ số khúc xạ không đồng nhất trong tắm
thủy tinh, hoặc một hệ quang học bị lỗi thiết kế), và do đó mặt sóng sẽ bị méo
khi đi ra khỏi môi trường này Nếu mặt đầu sóng bị quang sai được phép đến một tắm gương liên hợp pha thì một mặt sóng liên hợp sẽ được tạo ra, và cảm giác sự méo mặt sóng sẽ được đảo ngược lại trong sóng phản xạ này Như hệ quả, khi mặt đầu sóng đi qua môi trường gây quang sai một lần nữa, mặt sóng nguyên bản ban đầu sẽ xuất hiện
Tính lưỡng ốn định quang học
Hai nhân tố quan trọng cần thiết để chế tạo linh kiện lưỡng ổn định quang học đó là tính phi tuyến và phản hồi ngược Hai nhân tố này hoàn toàn có được trong quang học Khi tín hiệu quang học đi ra từ một môi trường phi tuyến (phần tử phi tuyến) được lái trở lại (sử dụng gương phản xạ) và sử dụng
nó để điều khiển khả năng truyền ánh sáng của chính môi trường đó thì đặc
trưng lưỡng ổn định sẽ xuất hiện
Trang 34ha
i J đao
Hình 1.7 Tiến trình thay đối trạng thái Đường đứt là trạng thái không ổn định Ttinh lưỡng ổn định có được nhờ quá trình chuyên pha loại II trong quá trình vật lý Sự chuyền pha trong các thiết bị lưỡng ôn định điện-quang và quang-quang dựa trên sự thay đổi chiết suất đo cường độ mạnh của trường ngoài [6] Ưu điểm của việc lựa chọn môi trường Kerr là ta có thể chủ động thay đổi chiết suất của môi trường trong các thiết bị lưỡng ổn định trực tiếp dựa trên cường độ đầu vào của trường tín hiệu
Trang 35KÉT LUẬN CHƯƠNG 1
Trong chương này chúng tôi đã đưa ra hai mô hình để mô tả độ cảm phi tuyến Mặc dù với mô hình Lorentz cho ta một cái nhìn đơn giản, trực quan và có mức độ chính xác nhất định trong phạm vi ngoài cộng hưởng nhưng cũng không thể bỏ qua những hạn chế nhất định tồn tại trong mô hình này Việc xem nguyên tử như một dao động phi điều hoà có một tần số cộng hưởng duy nhất buộc nó không thể mô tả đầy đủ tính chất cộng hưởng của độ cảm phi tuyến Hơn thế nữa, các độ cảm phi tuyén mới chỉ được đưa ra một cách hiện tượng luận mà chưa quan tâm đến cấu trúc vi mô của môi trường Tuy nhiên, đối với mô tả lượng tử mỗi nguyên tử không những có nhiều tần số cộng hưởng liên quan đến các trị riêng năng lượng mà còn dẫn ra biểu thức tường minh của độ cảm phi tuyến thông qua các nghiệm nhiễu loạn mật độ có gắn kết chặt chẽ với cấu trúc bên trong nguyên tử (chắng hạn như mô men dịch chuyển lưỡng cực và các trạng thái năng lượng của hệ ) Các nghiệm nhiễu loạn được lấy trực tiếp từ việc giải nhiễu loạn phương trình ma trận mật độ mô tả đầy đủ cho bài toán tương tác giữa trường laser và vật chất Hình thức luận ma trận mật độ đã khắc phục được những hạn chế trong mô hình cổ điển và cung cấp cách nhìn chính xác về bản chất của độ cảm phi tuyến bởi vậy đó cũng là lý do mà chúng tôi đã lựa chọn nó làm công cụ tính toán duy nhất xuyên suốt trong toàn bộ luận văn
Trên cơ sở mô tả độ cảm phi tuyến, chúng tôi giới thiệu về một hiệu ứng phi tuyến bậc ba liên quan đến sự thay đồi chiết suất của môi trường khi tương tác với trường laser mạnh “hiệu ứng kerr” Đây là hiệu ứng mà chúng tôi sẽ nghiên cứu tiếp trong chương 3, bởi vậy những kết quả được rút ra trong mục này sẽ được sử dụng trong các phép tính toán ở chương tiếp theo
Trang 36Chương 2
HIEU UNG TRONG SUOT CAM UNG DIEN TU CHO HE NGUYÊN TỬ BÓN MỨC CÁU HÌNH BAC THANG
Cho đến nay, đã có một số công trình nghiên cứu hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ cho các cấu hình 3 mức năng lượng với một trường dò và một trường điều khiển và kết quả thu được một của số trong miền phổ cộng hưởng [10] Đề tăng khả năng ứng dụng của hiệu ứng này, các nhà khoa học đã chú ý đến việc tạo ra nhiều cửa số trong suốt Một phương án đã được đề xuất là
đưa thêm các trường laser điều khiển đề kích thích thêm các trạng thái tham
gia quá trình giao thoa Cách làm này mặc đù tạo ra nhiều cửa số trong suốt [11], tuy nhiên việc điều khiển đồng thời nhiều chùm sáng như vậy là rất phức tạp Theo một cách khác, sử dụng chỉ một chùm điều khiển nhưng chọn hệ nguyên tử phù hợp để cùng một bước sóng ánh sáng có thế liên kết được với nhiều mức năng lượng khác nhau Đây là cách tương đối đơn giản cả về mặt thực nghiệm lẫn tính toán lý thuyết và đã được áp dụng cho các cấu hình 4 mức và 5 mức năng lượng Trong chương này, chúng tôi sử dụng cách thứ hai, tức là sử dụng hai chùm laser dé khảo sát hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ cho cấu hình bậc thang bốn mức năng lượng của hệ nguyên tử Rb 2.1 Phương trình ma trận mật độ cho hệ nguyên tử bốn mức cấu hình bậc thang
Xét hệ nguyên tử RbŸŸ cầu hình bốn mức năng lượng tương tác với hai trường laser (trường laser đò và trường laser điều khiển) có tần số thích hợp và cường độ của trường điều khiến rất mạnh so với trường đò Chùm dò được điều hưởng qua tần số dịch chuyên giữa các mức 5%, ;(F=3) và 5B„;(F'=4)
Chùm điều khiển được điều hưởng tần số để kích thích mite 52,,(F'=4) lên
Trang 37siêu tỉnh tế này tương đối bé (nhỏ hơn 10A⁄7z ) nên chúng có thể được cảm
ứng đồng thời bởi chùm sáng liên kết Kí hiệu các trạng thái |I), |2) |3) va
|4) lần lượt tương ứng với các mức 5S,.(F =3), 5P,,(F'=4), 5D,,(F"=4), 5D,„(F"=3) của nguyên tử Rb (@,,E,) va (@,,E,) 1a tần số, cường độ điện trường tương ứng của laser dò và laser điều khiển Laser dò kích thích dịch
chuyển |I) —> |2) còn laser điều khiển kích thích mức |2) lên nhóm hai mức
gần nhau là |3) và |4) (hình 2.1) Hai mức trên cùng sắp xếp cách nhau một khoảng phô tương ứng là ö [MHz] ) ys 9 MHz SDs; 1 mà dp ®‹ |2) FP =4 5P;; a P @ P — |) F=3 5S
Hình 2.1 Cấu hình 4 mức năng lượng dạng hình thang cho nghiên cứu EIT (a) sơ đồ kích thích ; (b) các mức năng lượng của nguyên tử Rb”
Đặt: A„=ø,~—ø„, là độ lệch tần của chùm dò,
A, =øœ —ø„„ là độ lệch tần của chùm liên kết,
ổ=@,—@;
Sự sự tiến triển theo thời gian của các trạng thái lượng tử dưới sự kích thích kết hợp của chùm laser dò và laser liên kết có thể được mô ta thông qua ma trận mật độ bởi phương trình Liouville:
Trang 38S2 -— 2 [8,2]+A2 (2.1) Trong do: © 2 là toán tử mật độ cho hệ bốn mức và được biểu diễn dưới dạng ma trận 4x4: Pr Pe Ps Pris Pr Po P23 Pr (2.2) P31 Đa Øy Pag Pa Đa Đa Đụ Các phần tử nằm trên đường chéo p, (i=1,2,3,4) cho ta xac suất tìm thấy hạt 4 ` x ở trạng thái |¡), đo đó 5` ø„ =1 Các phân tử năm ngoài đường chéo ø„ (¡# 7) ial
cho ta xác suất dịch chuyền từ trạng thái |¡) đến trạng thái |) và phải thỏa
mãn điều kiện tự liên hợp ø„ = øj
e # là Haminton toàn phần của hệ và được xác định bằng: H=H,+H,, (2.3) ñ, là Haminton của nguyên tử tự do được xác định theo công thức : ñ, =hø |D(|+hø, 2)(2|+hø,|3)(3|+hø,|4)(4|, (2.4) và dang ma trận của nó là : LC ? (2.5)
ñ, là Haminton tương tác của hệ nguyên tử và hai trường ngoài Trong gần đúng lưỡng cực điện, nó được xác định:
Trang 39ở đây 2 là toán tử mô men lưỡng cực điện, #4 là cường độ điện trường tổng hợp Sử dụng gần đúng sóng quay ta thu được biểu thức: (Qe! +204 h io ch A, =59,|2)\lle “+5 Qa 4)(2|e™ +ec (2.7) ,,E Trong dé: Dat a,,= Hx — 1.46, ay = 22 =1.9, - | Q = Hak tuong Hay May h h
ứng là các tần số Rabi gắn liền với chùm dò và chùm điều khiển và y, 14 phan
tử ma trận của mô men lưỡng cực Dạng ma trận của Haminton tương tác là: hQ, ,, 0 —Pø” 0 0 2 hQ, „„ 0 hQ „„ hQ_ „ ¬m 2°” 2° H,= h (2.8) 0 2 a,e 0 0 2 0 10, we! 0 0 Khi đó Haminton toàn phần là: hQ p io t ha, ee 0 0 2 hO, „„„ hQ ine hÓ, „„ e ha, ae pe =| 2 ho 2 2 (2.9) 0 —fa,e “⁄ ho, 0 0 aye 0 ha,
e© A2 được đưa vào một cách hiện tượng luận để đặc trưng cho cho các quá trình tích thoát (do phân rã tự phát, do va chạm ) của nguyên tử Nó được xác định như sau:
(AP), =YinPan (nzm),
(Aô )„ = x Pin Pnum — > DinPan > (2.10)
Eq>Ey E„<E,
Trang 40nm
trong đó : T„ là tốc độ phân rã tự phát xtừ mức |») xuéng mite |m), 7,,, 1a toc
độ tắt dần của độ kết hợp Pam VỀ CÓ mối liên hệ với tốc độ phát xạ tự phát như m
sau :
¬ nh (2.11)
E,<E, E,<E,
Trong đó T, là tốc độ phân rã tự phát xuống các mức thấp hơn, và T,=0 vì
| là trạng thái cơ bản Khi đó, ma trận mô tả cho quá trình phân rã trong hệ bốn mức bậc thang là: T12; YuPi2 VsiPis ~74/24 Aô= —72Ð TP + TPs + TyPas —Yx2P23 ~V42Pr4 , (2 1 2) ~Ys1P 3 722: — z2; —V43P 34 —VaiPa 7224 —V3Pa3 VPs
Thay (2.2), (2.9) va (2.12) vao phuong trinh (2.1) ta thu dugc mot hé 4x4=16 phương trình Tuy nhiên, do toán tử mật độ là toán tử hermite và tính đủ của các hàm riêng nên ta có thé rút về thành hệ 10 phương trình cho phần tử ma trận như sau:
& =T uP +29,0; —Ø)› (2.13a)