Nửa nhóm số và đa thức chia đường tròn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– LÊ THỊ NGỌC BÍCH NỬA NHĨM SỐ VÀ ĐA THỨC CHIA ĐƯỜNG TRỊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– LÊ THỊ NGỌC BÍCH NỬA NHĨM SỐ VÀ ĐA THỨC CHIA ĐƯỜNG TRÒN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN DUY TÂN Thái Nguyên - 2017 Mục lục Lời nói đầu Nửa nhóm số 1.1 Một số định nghĩa tính chất 1.2 Tập Apéry 13 Mối liên hệ nửa nhóm số đa thức bù trừ 16 2.1 Đa thức chia đường tròn đa thức bù trừ 16 2.2 Định lý 20 2.3 Đa thức bù trừ nhị phân 24 Một vài ứng dụng 27 3.1 Nửa nhóm số đối xứng 27 3.2 Mọi nửa nhóm số với chiều nhúng đối xứng 29 3.3 Phân bố gián đoạn độ gián đoạn 30 3.3.1 Độ gián đoạn cực đại đa thức chia đường tròn nhị phân 32 3.3.2 Tổng Sylvester số Bernoulli 35 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 Lời nói đầu Ta xét tập S = S(3, 7) gồm tổ hợp tuyến tính ngun khơng âm 7, tức S = {3u + 7v | u, v ∈ Z≥0 } = {0, 3, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, } Khi S ví dụ nửa nhóm số: S tập Z≥0 mà đóng với phép cộng Z≥0 \ S tập hữu hạn Đối với nửa nhóm số S = S(3, 7), ta liên kết với chuỗi lũy thừa hình thức sau đây, gọi chuỗi Hilbert S: xs = + x3 + x6 + x7 + x9 + x10 + x12 + x13 + x14 + · · · ∈ Z[[x]] HS (x) = x∈S Ta nhân chuỗi HS (x) với (1 − x) ta nhận đa thức, gọi đa thức nửa nhóm S: PS (x) =(1 − x)HS (x) =(1 − x)(1 + x3 + x6 + x7 + x9 + x10 )+ (1 − x)(x12 + x13 + x14 + · · · ) =(1 + x3 + x6 + x7 + x9 + x10 ) − (x + x4 + x7 + x8 + x10 + x11 ) + x12 =1 − x + x3 − x4 + x6 − x8 + x9 − x11 + x12 Bằng tính tốn trực tiếp ta kiểm tra đẳng thức đáng ngạc nhiên sau PS (x) = − x + x3 − x4 + x6 − x8 + x9 − x11 + x12 x14 + x7 + = x +x+1 (x21 − 1)(x − 1) = (x − 1)(x7 − 1) (x21 − 1)(x − 1) Nhận xét đa thức chia đường tròn Φ21 (x) Do (x − 1)(x7 − 1) ta có PS(3,7) (x) = Φ21 (x) Như ta thấy đa thức nửa nhóm S(3, 7) với đa thức chia đường tròn Φ21 (x) Một kết cổ điển nói ta có đẳng thức tương tự ta thay cặp (3, 7) cặp số nguyên tố phân biệt (p, q) ta xét nửa nhóm số tương ứng S(p, q), tức ta có PS(p,q) (x) = Φpq (x) Mục đích đề tài tìm hiểu chứng minh kết nói riêng tìm hiểu mối liên hệ nửa nhóm số dạng S(p, q) đa thức chia đường tròn nói chung Theo đó, luận văn có trình bày hai chứng minh cho kết cổ điển nói trên, phiên bao gồm trường hợp cặp (p, q) không thiết nguyên tố (xem Định lý 2.2.1), đồng thời có đưa vài hệ Đặc biệt luận văn trình số ứng dụng việc xét số gián đoạn nửa nhóm số Ngồi phần lời nói đầu, kết luận tài liệu tham khảo luận văn gồm chương: Chương Nửa nhóm số: Trong chương chúng tơi trình bày định nghĩa nửa nhóm số số bất biến liên quan nửa nhóm số như: số Frobenius, chiều nhúng, bội, chuỗi Hilbert nửa nhóm số, đa thức nửa nhóm số Chúng tơi chủ yếu sử dụng tài liệu [4] [5] cho nội dung chương Chương Mối liên hệ nửa nhóm số đa thức bù trừ: Trình bày tổng qt hóa đa thức chia đường tròn: Đa thức bù trừ, giới thiệu Bachman Đồng thời trình bày kết (folklore) đa thức nửa nhóm số chiều nhúng với đa thức bù trừ nhị phân Chương Một vài ứng dụng: Trong chương chúng tơi đưa định nghĩa nửa nhóm số đối xứng trình bày kết chứng minh nửa nhóm số với chiều nhúng đối xứng Bên cạnh chúng tơi trình bày số ứng dụng việc xét số gián đoạn nửa nhóm số trình bày kết Hong-Lee-Lee-Park độ gián đoạn cực đại đa thức chia đường tròn nhị phân Luận văn viết dựa theo báo Numerical semigroups, cyclotomic polynomials, and Bernoulli numbers tác giả P Moree (2004) phần sách Numerical semigroups tác giả J C Rosales and P A García-Sánchez (2009) Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Duy Tân Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho công tác nghiên cứu thân Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn K9B2 (khóa 2015 - 2017); nhà trường phòng chức trường; khoa Tốn - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn K9B2 (khóa 2015 - 2017) ln động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập, nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị cơng tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tác giả học tập nghiên cứu Thái Nguyên, 2017 Lê Thị Ngọc Bích Học viên lớp Cao học Toán K9B2 Khoa Toán Tin - Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Chương Nửa nhóm số 1.1 Một số định nghĩa tính chất Định nghĩa 1.1.1 Xét a1 , , am số nguyên dương Ta đặt S = S(a1 , , am ) tập tất tổ hợp tuyến tính ngun khơng âm a1 , , am , nghĩa là, S = {x1 a1 + · · · + xm am | xi ∈ Z≥0 , ∀i = 1, , m} Khi đó, S nửa nhóm (nghĩa đóng với phép cộng) Nửa nhóm S gọi nửa nhóm số phần bù Z≥0 \S hữu hạn Tập {a1 , , am } gọi hệ sinh nửa nhóm số S Mệnh đề 1.1.2 Ta có S(a1 , , am ) nửa nhóm số a1 , , am nguyên tố Chứng minh "⇒": Giả sử S := S(a1 , , am ) nửa nhóm số, tức Z≥0 \ S hữu hạn Gọi d ước chung lớn a1 , , am Khi phần tử s S chia hết cho d Vì Z≥0 \ S hữu hạn, nên tồn x cho x x + thuộc S Điều suy d ước x x + Do d = "⇐": Ta giả sử ước chung lớn a1 , , am Khi tồn z1 , , zm ∈ Z cho z1 a1 + · · · + zm am = Bằng cách chuyển giá trị zi sang bên vế phải, ta tìm i1 , , ik , j1 , , jl cho zi1 ai1 + · · · + zik aik = + (−zj1 )aj1 + · · · + (−zjl )ajl Đặt s = (−zj1 )aj1 +· · ·+(−zjl )ajl Khi s s+1 thuộc S Ta chứng minh n ≥ (s − 1)s + (s − 1) = s2 − n thuộc S Thật ta chia n cho s ta n = qs + r với ≤ r < s Vì n ≥ (s − 1)s + (s − 1) nên q ≥ s − ≥ r Do n = (rs + r) + (q − r)s = r(s + 1) + (q − r)s ∈ S, s s + thuộc S Như Z≥0 \ S tập tập hữu hạn {1, 2, , s2 − 1} S nửa nhóm số Định nghĩa 1.1.3 Nếu S nửa nhóm số, max(Z≥0 \S) =: F (S) số Frobenius S Ta có cách phát biểu khác sau Đặt d(k, a1 , , am ) số cách biểu diễn k thành tổ hợp tuyến tính ngun khơng âm a1 , , am Khi F (S) số k lớn cho d(k, a1 , , am ) = Định lý 1.1.4 (Sylvester) Nếu a, b hai số nguyên dương nguyên tố F (S(a, b)) = ab − a − b Chứng minh Ta chứng minh phương trình ab − a − b = ax + by khơng có nghiệm ngun khơng âm x, y Giả sử phản chứng ab − a − b = ax + by, với x, y ngun khơng âm Khi a(b − x − 1) = b(y + 1) Suy y + chia hết cho a (vì a b ngun tố nhau) Do y ≥ a − ax + by ≥ b(a − 1) = ab − b > ab − a − b, mâu thuẫn Mặt khác, xét k số nguyên dương lớn ab − a − b Ta chứng minh phương trình k = ax + by có nghiệm ngun khơng âm x, y Thật vậy, a, b nguyên tố nên tồn x, y ∈ Z cho k = ax + by Gọi x0 số dư x cho b, tức x = bq + x0 , với q ∈ Z ≤ x0 ≤ b − Khi k = ax + by = ax0 + b(y + q) = ax0 + by0 , với y0 = y + q Vì ab − a − b + ≤ k = ax0 + by0 ≤ a(b − 1) + by0 nên 1 ≤ b(y0 + 1) Do y0 ≥ > −1 y0 ≥ y0 số nguyên b−1 Ta có điều phải chứng minh Chú ý 1.1.5 (1) Ở chương sau ta đưa chứng minh khác cho định lý Sylvester (2) Việc tính tốn số Frobenius nửa nhóm nói chung vấn đề khó (xem [5]) Định nghĩa 1.1.6 Một hệ sinh nửa nhóm số S gọi hệ sinh tối tiểu khơng có tập thực sinh nửa nhóm số S Người ta chứng minh nửa nhóm số S có hệ sinh tối tiểu, đồng thời hệ sinh tổi tiểu hữu hạn (ta chứng minh khẳng định đây) Lực lượng hệ sinh tối tiểu gọi chiều nhúng nửa nhóm số S kí hiệu e(S) Phần tử nhỏ hệ sinh tối tiểu gọi bội nửa nhóm số S kí hiệu m(S) Chú ý 1.1.7 (1) Dễ thấy m(S) số nguyên dương nhỏ S Thật giả sử {a1 = m(S) < a2 < < ae } hệ sinh tối tiểu S Xét s số nguyên dương S Khi s = λ1 a1 + + λe ae , với a1 , , ae ∈ Z≥0 Vì s = nên tồn i cho λi = Khi ta có s ≥ λi ≥ ≥ a1 , ta có điều phải chứng minh (2) Người ta chứng minh e(S) ≤ m(S) 25 xpq+1 − xρp − xσq + xpq − xρp − xσq + x = − (xp − 1)(xq − 1) (xp − 1)(xq − 1) xpq+1 − xpq − x + = (xp − 1)(xq − 1) = Q{p,q} (x) ρ−1 x Khi khai triển hai tích biểu thức ip i=0 σ−1 jq −pq q−1 x −x j=0 p−1 ip xjq , x i=ρ j=σ đơn thức nhận có số mũ ip + jq với ≤ i ≤ ρ − 1, ≤ j ≤ σ − số mũ ip + jq − pq với ρ ≤ i ≤ q − σ ≤ j ≤ p − Theo Hệ 2.2.5 số mũ phân biệt, ta có điều phải chứng minh Hệ 2.3.3 Số hệ số dương Q{p,q} (x) ρσ số hệ số âm Q{p,q} (x) ρσ − Chứng minh Suy từ mệnh đề Mệnh đề 2.3.2 mơ tả cách đẹp đẽ với sơ đồ LLL (viết tắt cho Lenstra, Lam Lung) Dưới sơ đồ trường hợp p = q = Chú ý ρ = σ = trường hợp + · = 36 = · + · 28 33 13 18 23 21 26 31 11 16 14 19 24 29 34 12 17 22 27 32 10 15 20 25 30 Ta bắt đầu với số phía bên trái thêm p cho bước di chuyển sang phải thêm q cho bước di chuyển lên Sau ta rút gọn modulo pq Mọi số nguyên 0, , pq − nhận cách 26 xác lần cách (theo Định lý thặng dư Trung Hoa) Ta kẻ dòng kẻ ngang bên giá trị dòng kẻ đứng bên trái giá trị Khi ta sơ đồ LLL cho hai giá trị p q Mệnh đề 2.3.2 phát biểu lại theo cách sau Mệnh đề 2.3.4 Cho p, q > số nguyên dương nguyên tố Những số góc dưới, bên trái sơ đồ LLL số mũ số hạng Q{p,q} với hệ số Những số góc trên, bên phải số mũ số hạng Q{p,q} với hệ số −1 Tất hệ số lại Ví dụ 2.3.5 Xét p = q = Trong trường hợp + · = 29 = · + · sơ đồ LLL bảng 21 25 13 17 14 18 22 26 10 11 15 19 23 27 12 16 20 24 Như Q{4,7} (x) = + x4 + x7 + x11 + x14 + x18 − x − x5 − x9 − x13 − x17 = − x + x4 − x5 + x7 − x9 + x11 − x13 + x14 − x17 + x18 = PS(4,7) (x) 27 Chương Một vài ứng dụng 3.1 Nửa nhóm số đối xứng Định nghĩa 3.1.1 Một nửa nhóm số S gọi đối xứng S ∪ (F (S) − S) = Z, F (S) − S = {F (S) − s |s ∈ S } Ví dụ 3.1.2 Xét S = S(2, 7) = {0, 2, 4, 6, 7, 8, →} Khi F (S) = F (S) − S = {F (S) − s | s ∈ S} = {5, 3, 1, −1, −2, −3, ←} Do S ∪ (F (S) − S) = Z S = S(2, 7) đối xứng Ví dụ 3.1.3 Xét S = S(4, 7) Khi đó, F (S) = 17 S = {0, 4, 7, 8, 11, 12, 14, 15, 16, 18, →}, F (S) − S = {17, 13, 10, 9, 6, 5, 3, 2, 1, 0, ←} Do S ∪ (F (S) − S) = Z, S = S(2, 7) đối xứng Tổng qt ta ln có S(p, q) đối xứng ([6, Corollary 4.7]) Ta đưa chứng minh cho kết mục sau 28 Ví dụ 3.1.4 Xét S = S(3, 4, 5) = {0, 3, →} Khi F (S) = F (S) − S = {2, −1, ←} Ta có S ∪ (F (S) − S) khơng chứa 1, tức tập thực Z Do S = S(3, 4, 5) không đối xứng Ví dụ 3.1.5 Xét S = S(4, 6, 7) = {0, 4, 6, 7, 8, 10, →} Khi F (S) = F (S) − S = {9, 5, 3, 2, 1, 0, ←}, S đối xứng Định lý 3.1.6 Cho S nửa nhóm số Khi S đối xứng PS (x) tự thuận nghịch Chứng minh Nếu s ∈ S ∩(F (S) − S), s = F (S)−s1 với s1 ∈ S Điều dẫn đến F (S) = s + s1 ∈ S, mâu thuẫn Do S F (S) − S hai tập rời Do {j | ≤ j ≤ F (S), j ∈ S} {F (S)−j | ≤ j ≤ F (S), j ∈ S} ⊆ {0, 1, , F (S)} Vì số nguyên n ≥ F (S) + thuộc S số nguyên n ≤ −1 thuộc F (S) − S nên S đối xứng {0, 1, , F (S)} = {j | ≤ j ≤ F (S), j ∈ S} {F (S)−j | ≤ j ≤ F (S), j ∈ S}, điều lại tương đương với xj + xF (S)−j = + x + · · · + xF (S) 0≤j≤F (S) 0≤j≤F (S) j∈S j∈S Mặt khác PS (x) đa thức bậc F (S) + PS (x) = xF (S)+1 + (1 − x) xj 0≤j≤F (S) j∈S ((*)) 29 Do xF (S)+1 PS x − PS (x) =1 − xF (S)+1 +   xj +  (x − 1)   0≤j≤F (S) 0≤j≤F (S) j∈S j∈S  xF (S)−j   = PS (x) có đẳng thức (*) x Như PS (x) tự thuận nghịch S đối xứng Từ ta suy xF (S)+1 PS Hệ 3.1.7 Cho S nửa nhóm số cho n số nguyên dương thuộc S Giả sử Ap(S; n) = {0 = a0 < a1 < · · · < an−1 } tập Apéry n S Khi S đối xứng + an−1−i = an−1 với i ∈ {0, , n − 1} Chứng minh Ta có PS (x) = 1−x − xn xw w∈Ap(S;n) 1−x (1 + xa1 + · · · + xan−1 ) n 1−x có bậc deg PS (x) = an−1 − n + Do = −1 an−1 −n+1 − x x PS ( ) = x + x−a1 + · · · + x−an−1 x − x−n x − an−1 x + xan−1 −a1 + · · · + x0 = n x −1 1−x = + xan−1 −an−2 + · · · + xan−1 n 1−x Do S đối xứng PS (x) tự thuận nghịch an−1 −n+1 + an−1−i = an−1 với i ∈ {0, , n − 1} 3.2 Mọi nửa nhóm số với chiều nhúng đối xứng Sử dụng Định lý 3.1.6 Định lý 2.2.1, ta nhận kết (đã biết) sau 30 Định lý 3.2.1 Mọi nửa nhóm số với chiều nhúng đối xứng Chứng minh Giả sử S nửa nhóm số với chiều nhúng Khi S = S(p, q) với p, q hai số nguyên dương nguyên tố Khi (xpq − 1)(x − 1) đa thức bậc (p − 1)(q − 1) Ta có PS(p,q) = p (x − 1)(xq − 1) (p−1)(q−1) x −pq − 1)(x−1 − 1) pq+1−p−q (x PS(p,q) ( ) = x x (x−p − 1)(x−q − 1) (1 − xpq )(1 − x) = ) = PS(p,q) (x) (1 − xp )(1 − xq Như PS(p,q) tự thuận nghịch S(p, q) đối xứng Định lý 2.1.5 với Định lý 2.2.1 e(S) = PS (x) viết tích đa thức chia đường tròn Điều dẫn tới toán sau Bài toán Đặc trưng hóa nửa nhóm số S mà PS (x) biểu diễn tích đa thức chia đường tròn Một nửa nhóm số S mà PS (x) tích đa thức chia đường tròn gọi nửa nhóm số chia đường tròn, theo [2] Vì x − ln khơng ước PS (x) đa thức chia đường tròn Φn (x) với n ≥ tự thuận nghịch, ta suy S chia đường tròn PS (x) tự thuận nghịch, S đối xứng Tuy nhiên chiều ngược lại nói chung khơng đúng, tức có nửa nhóm đối xứng S mà S khơng chia đường tròn Trong [2], tác giả S đối xứng với e(S) = ta có S chia đường tròn 3.3 Phân bố gián đoạn độ gián đoạn Cho đa thức f = c1 xe1 + · · · + cs xes , với hệ số ci khác e1 < e2 < < es Khi khoảng trống lớn f kí hiệu 31 g(f ), định nghĩa g(f ) = max (ei+1 − ei ) , g (f ) = 1≤i hai số nguyên dương nguyên tố Khi N (S (p, q)) = (p − 1)(q − 1) Chứng minh Theo Định lý 2.2.1, S(p, q) nửa nhóm đối xứng Do N (S) = 3.3.1 F (S) + (p − 1)(q − 1) = 2 Độ gián đoạn cực đại đa thức chia đường tròn nhị phân Cho S nửa nhóm số Định nghĩa 3.3.3 Một tập B = {a + 1, a + 2, , a + t} t số nguyên liên tiếp gọi khối khoảng trống thỏa mãn hai điều kiện: (a) B ∩ S = ∅, (b) a ∈ S a + t + ∈ S Độ dài khối khoảng trống dài S ký hiệu g(G(S)) Định nghĩa 3.3.4 Một tập E = {a + 1, a + 2, , a + t} t số nguyên liên tiếp gọi khối phần tử thỏa mãn hai điều kiện: (a) E ⊆ S, (b) a ∈ S a + t + ∈ S 33 Độ dài khối phần tử dài S ký hiệu g(S) Ví dụ 3.3.5 Xét S = S(4, 7) = {0, 4, 7, 8, 11, 12, 14, 15, 16, 18, →} Khi khối khoảng trống S(4, 7) {1, 2, 3}, {5, 6}, {9, 10}, {13}, {17} Các khối phần tử S(4, 7) {0}, {4}, {7, 8}, {11, 12}, {14, 15, 16} Ta có g(G(S)) = g(S) = Chú ý ví dụ ta có PS(4,7) (x) = − x + x4 − x5 + x7 − x9 + x11 − x13 + x14 − x17 + x18 , g(PS(4,7) (x)) = Nhắc lại bội m(S) nửa nhóm số S số nguyên dương nhỏ thuộc S Bổ đề 3.3.6 Cho S nửa nhóm số Ta có khẳng định sau g(G(S)) = m(S) − g(S) ≤ m(S) − Nếu S đối xứng g(S) = m(S) − Chứng minh (1) Ta viết phần tử S theo thứ tự tăng dần: S = {0 = s0 , s1 = m(S), s2 , s3 , }, = s0 < s1 = m(S) < s2 < s3 < · · · Vì s0 = s1 = m(S), nên ta có g(G(S)) ≥ m(S) − Bây ta giả sử g(G(S)) ≥ m(S) Khi tồn khối khoảng trống E với độ dài lớn m(S) Vì độ dài E lớn m(S), nên E phải chứa bội km(S) m(S) Nhưng bội m(S) nằm S nên ta suy E chứa phần tử S, mâu thuẫn 34 Như ta có g(G(S)) = m(S) − (2) Giả sử phản chứng g(S) ≥ m(S) Khi ta tìm dãy gồm m(S) phần tử liên tiếp thuộc S: k, k + 1, , k + m(S) − cho k + m(S) ∈ S Nhưng điều rõ ràng mâu thuẫn k m(S) thuộc S (3) Ta giả sử S nửa nhóm đối xứng Từ chứng minh Định lý 3.1.6, ta có {0, 1, , F (S)} = {j | ≤ j ≤ F (S), j ∈ S} {F (S)−j | ≤ j ≤ F (S), j ∈ S} Từ ta suy E khối phần tử S F (S) − E = {F (S) − j | j ∈ E} khối khoảng trống S Ngược lại, B khối khoảng trống F (S) − B khối phần tử S Do g(S) = g(G(S)) = m(S) − Định lý 3.3.7 Cho S nửa nhóm số Khi g(PS (x)) = m(S) − Chứng minh Ta có PS (x) = xF (S)+1 + (1 − x) xs = + (x − 1) 0≤s