CHƯƠNG 4: BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC DFT (Discrete Fourier Transform) FFT (Fast Fourier Transform) 11:24 AM Chương DFT (Discrete Fourier Transform) Định nghĩa ∞ X (ω ) = ∑ x ( n )e − jnω n = −∞ DFT-N điểm N −1 X ( k ) = ∑ x ( n )e − j πkn / N - Chuỗi x(n) có N giá trị - k=0÷N-1 n=0 Biến đổi Fourier ngược (Inverse DFT) x ( n) = 11:24 AM N −1 X (k )e j 2πkn / N ∑ N k =0 Chương DFT (Discrete Fourier Transform) 1 ≤ n < L x ( n) = khác 0 N −1 L −1 L −1 n=0 n =0 n =0 X ( k ) = ∑ x ( n)e − j 2πkn / N = ∑ e − j 2πkn / N = ∑ (e − j 2πk / N ) X (k ) = n − e − j 2πkL / N j sin(πkL / N )e − jπkL / N sin(πkL / N ) − jπk ( L−1) / N = = e − e − j 2πk / N j sin(πk / N )e − jπk / N sin(πk / N ) – e-jL = – cosL + jsinL = 2sin2L/2 + j2sinL/2cosL/2 = 2sinL/2(sinL/2 + jcosL/2) = 2jsinL/2(cosL/2 – jsinL/2) = 2jsinL/2e-jL/2 11:24 AM Chương DFT (Discrete Fourier Transform) Xác định DFT – 10 điểm tín hiệu: x(n) = sin 3π n (0 ≤ n ≤ 10) 10 x(n) = + cos 11:24 AM 3π n (0 ≤ n < 10) 10 Chương 4 FFT (Fast Fourier Transform) DFT trực tiếp N −1 2πkn 2πkn X (k ) = ∑ x(n) cos − j sin N N n =0 2πkn 2πkn hàm lượng giác x (n) cos − j sin phép nhân số thực N N phép cộng số thực 2N hàm lượng giác 4N phép nhân số thực 4(N-1) phép cộng số thực Một giá trị X(k) cần: 2N2 hàm lượng giác 4N2 phép nhân số thực 4N(N – 1) phép cộng số thực N giá trị X(k) cần: 11:24 AM Chương FFT (Fast Fourier Transform) FFT số miền thời gian N −1 N −1 n =0 n=0 X (k ) = ∑ x (n)e − j 2πkn / N = ∑ x(n)WNkn ேିଵ ேିଵ ẵ ẻ n = 2m: WN2 = (e − j2 π / N ) = e − j4 π / N = e − j2 π /( N / 2) = WN / 2 ܺ ݇ = ܹ)݊(ݔே + ܹ)݊(ݔே ேିଵ WN = e-j2π/N ே ିଵ ଶ ே ିଵ ଶ ே ୀ ିଵ ଶ ୀ ܹ)݊(ݔே = (ݔ2݉)ܹேଶ = (ݔ2݉) ܹேଶ ẵ ேିଵ ே ିଵ ଶ ே ିଵ ଶ = (ݔ2݉)ܹே/ଶ ୀ n = 2m+1: ܹ)݊(ݔ = (ݔ2݉ + 1)ܹ (ଶାଵ) = ܹ (ݔ2݉ + 1) ܹ ଶ ே ே ே ே ẻ 11:24 AM ୀ ே ିଵ ଶ = ܹே (ݔ2݉ + 1)ܹே/ଶ ୀ ୀ Chương FFT (Fast Fourier Transform) FFT số miền thời gian ே ିଵ ଶ ே ିଵ ଶ ܺ ݇ = ݔ2݊ ܹே + ܹே (ݔ2݊ + 1)ܹே/ଶ ଶ ୀ x(n) có N giá trị ୀ x(2n) x(2n + 1) có N/2 giá trị DFT N điểm x(n): - Chuỗi x(n) có N giá trị - k=0÷N-1 N −1 X ( k ) = ∑ x(n)e − j 2πkn / N n=0 ே ିଵ ଶ ே ିଵ ଶ ݔ2݊ ܹே : DFT N/2 điểm ଶ x(2n) ୀ (ݔ2݊ + 1)ܹே/ଶ : DFT N/2 điểm x(2n+1) ୀ 11:24 AM Chương FFT (Fast Fourier Transform) FFT số miền thời gian ܺ ݇ = ܨଵ (݇) + ܹே ܨଶ (݇) ܨଵ ݇ ே ி்ି để ଶ ܺ ݇+ ݂ଵ ݊ = (ݔ2݊) k = ÷ N/2 - ܨଶ ݇ ே ி்ି để ଶ ݂ଶ ݊ = (ݔ2݊ + 1) ே ே ܰ ܰ ܰ ା = ܨଵ ݇ + + ܹே ଶ ܨଶ ݇ + = ܨଵ (݇) + ܹேଶ ܹே ܨଶ (݇) 2 ே ܹேଶ = ݁ ିଶగ/ே ܺ ݇+ 11:24 AM ே ଶ = ݁ ିగ = −1 ܰ = ܨଵ ݇ − ܹே ܨଶ (݇) Chương FFT (Fast Fourier Transform) FFT số miền thời gian Cách tính DFT – N điểm x(n): B1: xây dựng chuỗi N/2 giá trị từ x(n) f1(n) = x(2n) f2(n) = x(2n + 1) B2: Tính DFT – N/2 điểm f1 f2 B3: DFT – N điểm x(n): ܺ ݇ = ܨଵ (݇) + ܹே ܨଶ (݇) ܺ ݇+ ܰ = ܨଵ ݇ − ܹே ܨଶ (݇) 11:24 AM k = ÷ N/2 - Chương FFT (Fast Fourier Transform) FFT số miền thời gian Tính FFT – điểm x(n): x(n) = {2, – j, + j, -1} Tính FFT – điểm x(n): x(n) = {1,3,-2,-1,2,-3} 11:24 AM Chương 10 FFT (Fast Fourier Transform) FFT số miền tần số N −1 N −1 n =0 n=0 X (k ) = ∑ x (n)e − j 2πkn / N = ∑ x(n)WNkn WN = e-j2π/N WNkN / = (e − j 2π / N ) kN / ே ିଵ ଶ ேିଵ ୀ ே ୀ ଶ k = e − jkπ = (− 1) ܺ ݇ = ܹ)݊(ݔே + ܹ)݊(ݔே ேିଵ n = m+N/2: ܹ)݊(ݔே ே ୀ ଶ ே ିଵ ଶ ே ିଵ ଶ ୀ ୀ ܰ (ାேଶ) ܰ ே = ݉(ݔ+ )ܹே = ݉(ݔ+ )ܹே ଶ ܹே 2 ே ିଵ ଶ ܰ = −1 ݉(ݔ+ ) ܹே ୀ 11:24 AM Chương 11 FFT (Fast Fourier Transform) FFT số miền tần số ே ିଵ ଶ WN2 = WN / ே ିଵ ଶ ܰ ܰ ܺ ݇ = ܹ ݊ ݔே + −1 ݊(ݔ+ ) ܹே = ݊ ݔ+ −1 ݊(ݔ+ ) ܹே 2 ୀ ே ିଵ ଶ ே ିଵ ଶ ୀ ே ିଵ ଶ ܰ ܰ ܺ 2݇ = ݊ ݔ+ ݊(ݔ+ ) ܹேଶ = ݊ ݔ+ ݊(ݔ+ ) ܹே/ଶ = ݃ଵ (݊)ܹே/ଶ 2 ୀ ே ିଵ ଶ ୀ ே ିଵ ଶ ୀ ܰ ܰ (ଶାଵ) ܺ 2݇ + = ݊ ݔ− ݊(ݔ+ ) ܹே = ݊ ݔ− ݊(ݔ+ ) ܹே ܹே/ଶ 2 ୀ ே ିଵ ଶ ୀ = ݃ଶ (݊)ܹே/ଶ ୀ 11:24 AM Chương 12 FFT (Fast Fourier Transform) ே ி்ି để ଶ ܩଵ ݇ ܩଶ ݇ ே ி்ି để ଶ ܰ ݃ଵ ݊ = ݊ ݔ+ ݊(ݔ+ ) ܰ ݃ଶ ݊ = ݊ ݔ− ݊(ݔ+ ) ܹே X(2k) = G1(k) k = ÷ N/2 - X(2k + 1) = G2(k) 11:24 AM Chương 13 FFT (Fast Fourier Transform) FFT số miền tần số Cách tính DFT – N điểm x(n): B1: xây dựng chuỗi N/2 giá trị từ x(n) ܰ ݃ଵ ݊ = ݊ ݔ+ ݊(ݔ+ ) ܰ ݃ଶ ݊ = ݊ ݔ− ݊(ݔ+ ) ܹே B2: Tính DFT – N/2 điểm g1 g2 B3: DFT – N điểm x(n): 11:24 AM X(2k) = G1(k) X(2k + 1) = G2(k) k = ÷ N/2 - Chương 14 FFT (Fast Fourier Transform) FFT số miền tần số Tính FFT – điểm x(n): x(n) = {2 – j, – j, + j, -2} Tính FFT – điểm x(n): x(n) = {-1,-1,2,2,-3,3} 11:24 AM Chương 15 ... nhân số thực N N phép cộng số thực 2N hàm lượng giác 4N phép nhân số thực 4(N-1) phép cộng số thực Một giá trị X(k) cần: 2N2 hàm lượng giác 4N2 phép nhân số thực 4N(N – 1) phép cộng số thực... Transform) FFT số miền thời gian Tính FFT – điểm x(n): x(n) = {2, – j, + j, -1} Tính FFT – điểm x(n): x(n) = {1,3,-2,-1,2,-3} 11:24 AM Chương 10 FFT (Fast Fourier Transform) FFT số miền tần số N −1... Fourier Transform) FFT số miền tần số Cách tính DFT – N điểm x(n): B1: xây dựng chuỗi N/2 giá trị từ x(n) ܰ ݃ଵ ݊ = ݊ ݔ+ ݊(ݔ+ ) ܰ ݃ଶ ݊ = ݊ ݔ− ݊(ݔ+ ) ܹே B2: Tính DFT – N/2 điểm g1