Xử lý số tín hiệu phkkhanh XLTH

Xử lý số tín hiệu phkkhanh XLTH tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh...

Phạm Hùng Kim Khánh XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ Frequency domain 20 -20 -40 Magnitude (dB) -60 -80 -100 -120 -140 -160 -180 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Normalized Frequency ( rad/sample) 0.7 0.8 0.9 XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ Ấn 2014 MỤC LỤC I MỤC LỤC MỤC LỤC I HƯỚNG DẪN V BÀI 1: SỐ HĨA TÍN HIỆU 1.1 CÁC PHẦN TỬ CƠ BẢN CỦA HỆ THỐNG XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU 1.2 LẤY MẪU (SAMPLING) 1.2.1 Tần số lấy mẫu 1.2.2 Định lý lấy mẫu 1.2.3 Lấy mẫu tín hiệu sin tín hiệu ngẫu nhiên 1.3 LƯỢNG TỬ HÓA 1.4 MÃ HÓA 10 TÓM TẮT 12 CÂU HỎI ÔN TẬP 13 BÀI 2: TÍN HIỆU RỜI RẠC THEO THỜI GIAN 14 2.1 TÍN HIỆU RỜI RẠC THEO THỜI GIAN 14 2.1.1 Các tín hiệu rời rạc sơ cấp 15 2.1.2 Phân loại tín hiệu rời rạc 17 2.1.3 Các phép tốn đơn giản tín hiệu rời rạc 19 2.1.4 Tương quan tín hiệu rời rạc 20 2.2 HỆ RỜI RẠC 24 2.2.1 Mô tả 24 2.2.2 Phân loại 26 TÓM TẮT 31 CÂU HỎI ÔN TẬP 32 BÀI 3: HỆ LTI RỜI RẠC 34 3.1 ĐÁP ỨNG XUNG 34 3.2 TÍNH CHẤT 35 3.2.1 Tính giao hốn 35 3.2.2 Tính kết hợp 37 3.2.3 Tính phân phối 38 3.3 HỆ LTI NHÂN QUẢ 38 3.4 SỰ ỔN ĐỊNH 39 3.5 ĐÁP ỨNG XUNG VÔ HẠN VÀ HỮU HẠN 40 II MỤC LỤC 3.6 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN .40 3.6.1 Hệ rời rạc đệ quy không đệ quy 40 3.6.2 Mô tả hệ LTI phương trình sai phân hệ số 41 3.6.3 Đáp ứng hệ LTI đệ quy 42 3.7 THỰC HIỆN HỆ THỐNG RỜI RẠC 43 3.7.1 Cấu trúc hệ thống LTI .43 3.7.2 Hệ thống FIR đệ quy không đệ quy 45 TÓM TẮT 48 CÂU HỎI ÔN TẬP 49 BÀI 4: BIẾN ĐỔI Z 50 4.1 BIẾN ĐỔI Z TRỰC TIẾP 50 4.2 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC 53 4.3 TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI Z 54 4.3.1 Tuyến tính .54 4.3.2 Dịch thời gian 55 4.3.3 Co miền z .55 4.3.4 Đảo thời gian 56 4.3.5 Vi phân miền z 56 4.3.6 Tích chập 57 4.3.7 Tương quan 57 4.3.8 Nhân 58 4.3.9 Định lý giá trị đầu 58 4.4 BIẾN ĐỔI Z HỮU TỈ .58 4.4.1 Các điểm cực điểm không 58 4.4.2 Hàm hệ thống hệ LTI 60 TÓM TẮT 62 CÂU HỎI ÔN TẬP 63 BÀI 5: BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC 65 5.1 CÁC ĐIỂM CỰC BẬC 65 5.2 CÁC ĐIỂM CỰC BẬC CAO 67 TÓM TẮT 69 CÂU HỎI ÔN TẬP 70 BÀI 6: BIẾN ĐỔI Z ĐƠN HƯỚNG 71 6.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 71 6.2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 72 MỤC LỤC III 6.3 PHÂN TÍCH HỆ LTI TRÊN MIỀN Z 73 6.3.1 Đáp ứng với hàm hữu tỉ 73 6.3.2 Đáp ứng với điều kiện đầu khác 73 6.3.3 Đáp ứng độ ổn định 75 6.3.4 Độ ổn định với điểm cực bậc cao 76 6.3.5 Độ ổn định hệ bậc 76 TÓM TẮT 77 CÂU HỎI ÔN TẬP 78 BÀI 7: BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC 79 7.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 79 7.1.1 Định nghĩa 79 7.1.2 Tính chất DFT N điểm 80 7.2 BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH (FFT – FAST FOURIER TRANSFORM) 82 7.2.1 Tính tốn DFT trực tiếp 82 7.2.2 Thuật toán FFT số 82 7.2.3 Thuật toán FFT số 89 7.2.4 Ứng dụng thuật toán FFT 92 7.3 TÍNH TỐN FFT DÙNG XẤP XỈ LỌC TUYẾN TÍNH 94 7.4 ẢNH HƯỞNG CỦA QUÁ TRÌNH LƯỢNG TỬ ĐẾN DFT 95 7.4.1 Lỗi lượng tử dùng DFT 95 7.4.2 Lỗi lượng tử dùng thuật toán FFT 96 TÓM TẮT 98 CÂU HỎI ÔN TẬP 99 BÀI 8: BỘ LỌC SỐ FIR 100 8.1 CẤU TRÚC CỦA HỆ FIR 103 8.1.1 Cấu trúc dạng trực tiếp 103 8.1.2 Cấu trúc dạng liên tầng 104 8.1.3 Cấu trúc dạng lấy mẫu tần số 104 8.1.4 Cấu trúc dạng mắt lưới 106 8.2 THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR 109 8.2.1 Bộ lọc FIR đối xứng phản đối xứng 109 8.2.2 Bộ lọc FIR pha tuyến tính dùng cửa sổ 111 8.2.3 Thiết kế lọc FIR pha tuyến tính phương pháp lấy mẫu tần số 121 8.2.4 Thiết kế lọc FIR pha tuyến tính đồng gợn sóng 124 TÓM TẮT 128 CÂU HỎI ÔN TẬP 129 IV MỤC LỤC BÀI 9: BỘ LỌC SỐ IIR 131 9.1 CẤU TRÚC CỦA HỆ IIR 131 9.1.1 Cấu trúc dạng trực tiếp 131 9.1.2 Cấu trúc dạng liên tầng 132 9.1.3 Cấu trúc dạng song song 134 9.1.4 Cấu trúc chuyển vị 135 9.2 THIẾT KẾ BỘ LỌC IIR 135 9.2.1 Thiết kế lọc IIR từ lọc tương tự 136 9.2.2 Thiết kế lọc IIR dựa phương pháp bình phương nhỏ 146 TĨM TẮT 149 CÂU HỎI ÔN TẬP 150 TÀI LIỆU THAM KHẢO 151 HƯỚNG DẪN V HƯỚNG DẪN MÔ TẢ MÔN HỌC Xử lý tín hiệu số mơn học sở cho chuyên ngành Kỹ thuật Điện tử Truyền thông Đây môn học đề cập đến trình xử lý tín hiệu số để có kết mong muốn So với tín hiệu tương tự, tín hiệu số có nhiều ưu điểm như: chép lưu trữ dễ dàng, xác; khơng thay đổi theo thời gian; tốc độ xử lý ngày cải thiện; … Xử lý tín hiệu số có nội dung rộng dựa sở tảng toán học phức tạp Trong tài liệu này, nội dung đề cập đến bao gồm khái niệm hệ thống rời rạc, phép biến đổi tín hiệu số cấu trúc cách thiết kế lọc số NỘI DUNG MÔN HỌC  Bài Số hóa tín hiệu: cung cấp phương pháp u cầu cần thiết chuyển tín hiệu tương tự thành tín hiệu số  Bài 2: Tín hiệu rời rạc theo thời gian: cách biểu diễn tín hiệu hệ thống rời rạc theo thời gian, phân loại hệ thống  Bài 3: Hệ LTI rời rạc: đáp ứng xung, tính tốn ngõ hệ LTI rời rạc tính chất hệ LTI  Bài 4: Biến đổi z: chuyển tín hiệu từ miền thời gian sang miền z, tính chất biến đổi z  Bài 5: Biến đổi z ngược: chuyển tín hiệu hữu tỷ miền z sang miền thời gian  Bài 6: Biến đổi z đơn hướng: ứng dụng giải phương trình sai phân, xác định ngõ hệ thống biết điều kiện đầu  Bài 7: Biến đổi Fourier rời rạc: chuyển tín hiệu rời rạc miền thời gian sang miền tần số, dùng thuật toán FFT để xác định biến đổi Fourier rời rạc  Bài 8: Bộ lọc số FIR: thiết kế lọc FIR theo yêu cầu cho trước  Bài 9: Bộ lọc số IIR: thiết kế lọc IIR theo yêu cầu cho trước VI HƯỚNG DẪN KIẾN THỨC TIỀN ĐỀ Mơn học Xử lý tín hiệu số đòi hỏi sinh viên có tảng Ngun lý truyền thơng YÊU CẦU MÔN HỌC Người học phải dự học đầy đủ buổi lên lớp làm tập đầy đủ nhà CÁCH TIẾP NHẬN NỘI DUNG MÔN HỌC Để học tốt môn này, người học cần ôn tập học, trả lời câu hỏi làm đầy đủ tập; đọc trước tìm thêm thơng tin liên quan đến học Đối với học, người học đọc trước mục tiêu tóm tắt học, sau đọc nội dung học Kết thúc ý học, người đọc trả lời câu hỏi ôn tập kết thúc toàn học, người đọc làm tập PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ MƠN HỌC Mơn học đánh giá gồm:  Điểm trình: 30% Hình thức nội dung giảng viên định, phù hợp với quy chế đào tạo tình hình thực tế nơi tổ chức học tập  Điểm thi: 70% Hình thức thi tự luận 60 phút Nội dung gồm tập thuộc thứ đến thứ BÀI 1: SỐ HĨA TÍN HIỆU > TRANG XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ BÀI 1: SỐ HĨA TÍN HIỆU Sau học xong này, người học có thể:  Hiểu cấu trúc hệ thống xử lý tín hiệu số  Cách thức yêu cầu chuyển tín hiệu từ tương tự sang số 1.1 CÁC PHẦN TỬ CƠ BẢN CỦA HỆ THỐNG XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU Hầu hết tín hiệu sử dụng kỹ thuật tín hiệu tương tự Các tín hiệu hàm số biến liên tục (thời gian hay không gian) thường có giá trị liên tục Chúng xử lý hệ thống tương tự (mạch lọc, mạch phân tích tần số, nhân tần, …) để thay đổi đặc tính chúng hay tách vài thơng tin cần thiết Trong trường hợp này, ta gọi tín hiệu xử lý dạng tương tự ngõ vào ngõ tín hiệu tương tự Ngõ vào Bộ xử lý tín hiệu tương tự Ngõ tương tự tương tự Hình 1.1 - Xử lý tín hiệu tương tự Q trình xử lý tín hiệu số cung cấp phương thức xử lý tín hiệu tương tự mơ tả Hình 1.2 Để thực phương thức xử lý số, cần phải giao tiếp xử lý tín hiệu số tín hiệu tương tự Phần giao tiếp gọi ADC (Analogto-digital converter – Bộ chuyển đổi tương tự - số) Ngõ ADC tín hiệu số ngõ vào xử lý số Bộ xử lý số máy tính lớn hay vi xử lý nhỏ để thực yêu cầu mong muốn theo ngõ vào Hệ thống linh hoạt so với hệ thống xử lý tương tự BÀI 9: BỘ LỌC SỐ IIR > TRANG 137 XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ Hai thơng số phụ hệ số phân biệt d hệ số chọn lọc k: 𝑑=√ (1−𝛿𝑝 ) −2 −1 𝛿𝑠−2 −1 𝑘= 𝜖 = √𝐴2 −1 Ω𝑝 (9.15) (9.16) Ω𝑠  Bộ lọc Butterworth Bộ lọc thông thấp Butterworth lọc có cực với bình phương biên độ đáp ứng tần số: |𝐻𝑎 (𝑗Ω)|2 = 𝑗Ω 2N 1+( ) jΩc (9.17) N bậc lọc c tần số cắt dB Đáp ứng tần số lọc Butterworth giảm đơn điệu  tăng bậc lọc tăng, dải chuyển tiếp hẹp Các tính chất minh họa Hình 9.9 Hình 9.9 – Đáp ứng tần số lọc Butterworth Do: |𝐻𝑎 (𝑗Ω)|2 = 𝐻𝑎 (𝑠)𝐻𝑎 (−𝑠)|𝑠=𝑗Ω Ta viết: (9.18) TRANG 138| XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ 𝐺𝑎 (𝑠) = 𝐻𝑎 (𝑠)𝐻𝑎 (−𝑠) = 1+( (9.19) 𝑠 2N ) jΩc Các cực Ga(s) nằm 2N điểm cách vòng tròn bán kính c đối xứng xung quanh trục j Hàm hệ thống Ga(s) tạo thành từ N nghiệm Ha(s)Ha(-s), nghiệm nằm nửa trái mặt phẳng s 𝐺𝑎 (𝑠) = 𝐻𝑎 (𝑠)𝐻𝑎 (−𝑠) = 1+( (9.20) 𝑠 2N ) jΩc Nếu lọc Butterworth chuẩn hóa với c = 1, hàm hệ thống có dạng: 𝑝𝑘 = (1 −)2𝑁 (𝑗Ωc ) = Ωc exp {𝑗 (𝑁+1+2𝑘)𝜋 2𝑁 (9.21) } Với p, s, p s cho trước, bước thiết kế lọc Butterworth sau:  Tìm giá trị cho k d  Xác định bậc lọc thỏa đặc tính cách dùng cơng thức thiết kế: 𝑙𝑜𝑔𝑑 𝑙𝑜𝑔𝑘 (9.22) ≤𝑁  Thiết lập tần số cắt dB khoảng: Ω𝑝 [(1 − 𝛿𝑝 ) −2 − 1] − 2𝑁 ≤ Ω𝑐 ≤ Ω𝑠 [𝛿𝑠−2 − 1]−2𝑁 (9.23)  Tổng hợp hàm truyền lọc từ cực Ga(s) (9.20), cực nằm nửa trái mặt phẳng s Như vậy: 𝐻𝑎 (𝑠) = ∏𝑁−1 𝑘=0 −𝑝𝑘 (9.24) 𝑠−𝑝𝑘 Với pk tính theo (9.21)  Bộ lọc Chebyshev Bộ lọc Chebyshev định nghĩa theo đa thức Chebyshev: cos⁡(𝑁𝑐𝑜𝑠 −1 𝑥) 𝑇𝑁 (𝑥) = { cosh(𝑁𝑐𝑜𝑠ℎ−1 𝑥) |𝑥 | ≤ |𝑥 | > (9.25) Các đa thức tạo cách đệ quy sau: 𝑇𝑘+1 (𝑥) = 2𝑥𝑇𝑘 (𝑥) − 𝑇𝑘−1 (𝑥) (9.26) Với T0(x) = T1(x) = x Các tính chất đa thức Chebyshev suy từ (9.25): BÀI 9: BỘ LỌC SỐ IIR > TRANG 139 XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ  Với |x|  1, biên độ đa thức bị chặn dao động  Với |x| > 1, đa thức tăng đơn điệu theo x  TN(1) = N  TN(0) =  với N chẵn = với N lẻ Mọi nghiệm TN(x) nằm khoảng -1  x  Có loại lọc Chebyshev, loại có cực, lọc có dải thơng đồng độ gợn dải chặn giảm đơn điệu Biên độ đáp ứng tần số là: |𝐻𝑎 (𝑗Ω)|2 = (9.27) Ω ) Ωp 2( 1+𝜖2 𝑇𝑁 Với N bậc lọc, p tần số cắt dải thông Do 𝑇𝑁2 ( || < p nên |𝐻𝑎 (𝑗Ω)|2 dao động 1+𝜖2 Ω Ωp ) biến thiên Khi bậc lọc tăng, số dao động (độ gợn) dải thông tăng độ rộng chuyển tiếp dải thông dải chặn hẹp Hàm truyền lọc Chebyshev có dạng: 𝐻𝑎 (𝑠) = 𝐻𝑎 (0) ∏𝑁−1 𝑘=0 −𝑝𝑘 𝑠−𝑝𝑘 (9.28) Với: 𝐻𝑎 (0) = {√1−𝜖2 𝑁⁡𝑐ℎẵ𝑛 (9.29) 𝑁⁡𝑙ẻ Với p, s, p s (hay  A) cho trước, bước thiết kế lọc Chebyshev sau:  Tìm k d  Xác định bậc lọc theo công thức: 𝑑 cosh−1( ) 𝑘 cosh−1 ( ) (9.30) ≤𝑁  Thành lập hàm hữu tỷ: 𝐺𝑎 (𝑠) = 𝐻𝑎 (𝑠)𝐻𝑎 (−𝑠) = 2( s ) 1+𝜖2 𝑇𝑁 jΩp (9.31) Với: 𝜖 = √(1 − 𝛿𝑝 ) −2 −1 (9.32) TRANG 140| XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ Sau cấu trúc hàm truyền Ha(s) cách lấy N cực Ga(s), cực nằm nửa trái mặt phẳng s Bộ lọc Chebyshev loại có dải thơng đơn điệu dải chặn đồng độ gợn, hàm truyền có điểm cực điểm không Biên độ đáp ứng tần số là: |𝐻𝑎 (𝑗Ω)|2 = Ω 𝑇𝑁 ( s ) Ωp 1+𝜖2 [ Ω ] 𝑇𝑁 ( s ) Ω (9.33) Với N bậc lọc, p tần số cắt dải thông, s tần số cắt dải chặn Hàm truyền lọc Chebyshev loại 2: 𝐻𝑎 (𝑠) = ∏𝑁−1 𝑘=0 𝑝𝑘 𝑠−𝑧𝑘 𝑧𝑘 𝑠−𝑝𝑘 (9.34) Các điểm cực đặt tại: 𝑝𝑘 = Ω2s (9.35) 𝑠𝑘 Trong sk điểm cực lọc Chebyshev loại Các điểm không zk nằm Ωs trục j tần số làm cho 𝑇𝑁 ( ) = Ω Thủ tục thiết kế lọc Chebyshev loại giống loại ngoại trừ: 𝜖= (9.36) √𝛿𝑠−2 −1  Bộ lọc elliptic Hàm truyền lọc elliptic có điểm cực điểm khơng Biên độ đáp ứng tần số là: |𝐻𝑎 (𝑗Ω)|2 = Với 𝑈𝑁 ( Ω Ωp Ω ) Ωp 2( 1+𝜖2 𝑈𝑁 (9.37) ) hàm elliptic Jacobian Hàm elliptic Jacobian hàm hữu tỷ bậc N có tính chất sau: 1 Ω 𝑈𝑁 (Ω) 𝑈𝑁 ( ) = (9.38) Các lọc elliptic có dải thơng dải chặn đồng độ gợn Việc thiết kế lọc elliptic khó khăn nhiều so với Butterworth hay Chebyshev phải dựa vào bảng hay khai triển chuỗi Bậc lọc phải thỏa điều kiện: BÀI 9: BỘ LỌC SỐ IIR > TRANG 141 XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ 16 log( ) 𝑑 𝑞 log( ) (9.39) ≤𝑁 Trong đó: 𝑞 = 𝑞0 + 2𝑞05 + 15𝑞09 + 150𝑞013 𝑞0 = 1−(1−𝑘 ) (9.40) 1/4 (9.41) 1+(1−𝑘 )1/4 9.2.1.1 Xấp xỉ đạo hàm Phương pháp đơn giản để chuyển lọc tương tự sang lọc số xấp xỉ phương trình vi phân (9.14) thành phương trình sai phân tương đương Xét đạo hàm dy(t)/dt thời điểm t = nT: 𝑑𝑦(𝑡) 𝑑𝑡 | 𝑡=𝑛𝑇 = 𝑦(𝑛𝑇)−𝑦(𝑛𝑇−𝑇) 𝑦(𝑛)−𝑦(𝑛−1) = 𝑇 (9.42) 𝑇 Trong T chu kỳ lấy mẫu y(nT)  y(n) Bộ vi phân tương tự có ngõ dy(t)/dt ngõ vào y(t) có hàm hệ thống H(s) = s hệ thống số có ngõ 𝑦(𝑛)−𝑦(𝑛−1) 𝑇 có hàm hệ thống H(z) = (1 – z-1)/T Như vậy, (9.42) có quan hệ miền tần số là: 𝑠= y(t) 1−𝑧 −1 (9.43) 𝑇 dy(t)/dt H(s) = s y(n) H(z) = 1−𝑧 −1 𝑇 𝑦(𝑛) − 𝑦(𝑛 − 1) 𝑇 Hình 9.10 – Phép ánh xạ cho đạo hàm cấp Đạo hàm cấp tính tốn sau: 𝑑 𝑦(𝑡) 𝑑𝑡 | 𝑡=𝑛𝑇 = 𝑑 𝑑𝑡 ( 𝑑𝑦(𝑡) 𝑑𝑡 )| 𝑡=𝑛𝑇 = [𝑦(𝑛)−𝑦(𝑛−1)] [𝑦(𝑛−1)−𝑦(𝑛−2)] − 𝑇 𝑇 𝑇 = 𝑦(𝑛)−2𝑦(𝑛−1)+𝑦(𝑛−2) 𝑇2 (9.44) Trong miền tần số, (9.44) tương đương với: 𝑠2 = 1−2𝑧 −1 +𝑧 −2 𝑇2 =( Tiếp tục trình trên, ta được: 1−𝑧 −1 𝑇 ) (9.45) TRANG 142| XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ 𝑠𝑘 = ( 1−𝑧 −1 𝑇 𝑘 (9.46) ) Như vậy, hàm hệ thống lọc IIR xác định theo xấp xỉ đạo hàm sau: 𝐻(𝑧) = 𝐻𝑎 (𝑠)| (9.47) 1−𝑧−1 𝑇 𝑠= Ví dụ 9.3: Chuyển lọc thông dải với hàm truyền 𝐻𝑎 (𝑠) = (𝑠+0,1)2 +9 sang lọc IIR dùng xấp xỉ đạo hàm Thay (9.43) vào Ha(s): 𝐻(𝑧) = − 𝑧−1 ( 𝑇 + 0,1) + = 𝑇 /(1 + 0,2𝑇 + 9,01𝑇 ) 2(1 + 0,1𝑇𝑠 ) 1− 𝑧 −1 + 𝑧 −2 + 0,2𝑇 + 9,01𝑇 + 0,2𝑇 + 9,01𝑇 9.2.1.2 Bất biến xung Phương pháp bất biến xung thực lấy mẫu lọc tương tự để tạo lọc số: h(n) = ha(nT) (9.48) Đáp ứng tần số lọc số có quan hệ với đáp ứng tần số lọc tương tự sau: (𝜔−2𝜋𝑘) 𝐻(𝜔) = 𝑇 ∑∞ 𝑘=−∞ 𝐻𝑎 [ 𝑇 (9.49) ] Quan hệ mở rộng mặt phẳng phức sau: 2𝜋𝑘 𝑇 𝑇 𝐻(𝑧)|𝑧=𝑒 𝑠𝑇 = ∑∞ 𝑘=−∞ 𝐻𝑎 [𝑠 − 𝑗 ] (9.50) Xét ánh xạ từ mặt phẳng s lên mặt phẳng z quan hệ: z = esT (9.51) Thay s =  + j biểu diễn biến phức z dạng tọa độ cực z = rej, (9.51) trở thành: rej = eTejT (9.52) r = eT (9.53) Từ đó:  = T Do đó,  <  < r < 1,  >  r >  =  r = Nửa trái mặt phẳng s ánh xạ bên vòng tròn đơn vị mặt phẳng z nửa phải mặt phẳng s ánh xạ bên ngồi vòng tròn đơn vị mặt phẳng z BÀI 9: BỘ LỌC SỐ IIR > TRANG 143 XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ Tương tự, trục j ánh xạ lên vòng tròn đơn vị Tuy nhiên, phép ánh xạ 1-1 Cụ thể khoảng (2k – 1)/T    (2k + 1)/T với k số nguyên dọc theo trục j ánh xạ lên vòng tròn đơn vị Hình 9.11 mô tả phép ánh xạ từ mặt phẳng s lên mặt phẳng z theo quan hệ (9.51) Hình 9.11 – Ánh xạ từ mặt phẳng s lên mặt phẳng z Xét hàm hệ thống lọc tương tự dạng phân thức với điểm cực đơn: 𝐻𝑎 (𝑠) = ∑𝑀 𝑘=1 𝐴𝑘 (9.54) 𝑠−𝑝𝑘 Đáp ứng xung: 𝑝𝑘 𝑡 ℎ𝑎 ( 𝑡 ) = ∑ 𝑀 𝑢(𝑡) 𝑘=1 𝐴𝑘 𝑒 (9.55) Bộ lọc số thành lập phương pháp bất biến xung: 𝑛 𝑝𝑘 𝑛𝑇 𝑝𝑘 𝑇 ℎ(𝑛) = ℎ𝑎 (𝑛𝑇) = ∑𝑀 𝑢(𝑛𝑇) = ∑𝑀 ) 𝑢(𝑛) 𝑘=1 𝐴𝑘 𝑒 𝑘=1 𝐴𝑘 (𝑒 (9.56) Hàm hệ thống lọc số: 𝐻(𝑧) = ∑𝑀 𝑘=1 𝐴𝑘 𝑝𝑘 𝑇 −1 1−𝑒 𝑧 (9.57) Như vậy, điểm cực s = pk lọc tương tự ánh xạ điểm cực z = 𝑒 𝑝𝑘 𝑇 lọc số Tuy nhiên điểm không không ánh xạ TRANG 144| XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ 𝑠+0,1 Ví dụ 9.4: Chuyển lọc tương tự có hàm truyền 𝐻𝑎 (𝑠) = (𝑠+0,1)2+9 sang lọc IIR dùng phương pháp bất biến xung Bộ lọc tương tự có điểm khơng z1 = -0,1 hai điểm cực p1,2 = -0,1  j3 Hàm truyền lọc biểu diễn sau: 𝐻𝑎 (𝑠) = 𝑠+0,1−𝑗3 + (9.58) 𝑠+0,1+𝑗3 Từ đó, theo (9.54) (9.57): 𝐻 (𝑧 ) = 1−𝑒 (−0,1+𝑗3)𝑇 𝑧 −1 + 1−𝑒 (−0,1−𝑗3)𝑇 𝑧 −1 = 1−(𝑒 −0,1𝑇 𝑐𝑜𝑠3𝑇)𝑧 −1 1−(2𝑒 −0,1𝑇 𝑐𝑜𝑠3𝑇)𝑧 −1 +𝑒 −0,2𝑇 𝑧 −2 (9.59) Bộ lọc số có điểm khơng z1 = 𝑒 −0,1𝑇 𝑐𝑜𝑠3𝑇 hai điểm cực p1,2 =𝑒 (−0,1±𝑗3)𝑇 9.2.1.3 Song tuyến tính Biến đổi song tuyến tính phép ánh xạ từ mặt phẳng s sang mặt phẳng z định nghĩa sau: 𝑠= 1−𝑧 −1 (9.60) 𝑇 1+𝑧 −1 Với lọc tương tự cho trước có hàm hệ thống Ha(s), lọc số thiết kế sau: 1−𝑧−1 (9.61) 𝐻(𝑧) = 𝐻𝑎 (𝑇 1+𝑧−1 ) Thay s =  + j biểu diễn biến phức z dạng tọa độ cực z = rej, (9.60) trở thành: 𝑠= 𝑧−1 𝑇 𝑧+1 = 𝑟𝑒 𝑗𝜔 −1 𝑇 𝑟𝑒 𝑗𝜔 +1 𝑟 −1 𝑇 1+𝑟 +2𝑟𝑐𝑜𝑠𝜔 = ( +𝑗 2𝑟𝑠𝑖𝑛𝜔 1+𝑟 +2𝑟𝑐𝑜𝑠𝜔 ) (9.62) Từ đó: 𝜎= Ω= 𝑟 −1 (9.63) 𝑇 1+𝑟 +2𝑟𝑐𝑜𝑠𝜔 2𝑟𝑠𝑖𝑛𝜔 (9.64) 𝑇 1+𝑟 +2𝑟𝑐𝑜𝑠𝜔 Nếu r <  < r >  > 0, nghĩa nửa trái mặt phẳng s ánh xạ vào bên vòng tròn đơn vị mặt phẳng z nửa phải mặt phẳng s ánh xạ bên ngồi vòng tròn đơn vị mặt phẳng z Khi r = 1,  = và: Ω= Hay: 𝑠𝑖𝑛𝜔 𝑇 1+𝑐𝑜𝑠𝜔 𝜔 𝑇 = tan ( ) (9.65) BÀI 9: BỘ LỌC SỐ IIR > TRANG 145 XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ ΩT ω = tan−1 ( ) (9.66) Quan hệ (9.66) miền tần số mơ tả Hình 9.12 Hình 9.12 – Phép ánh xạ miền tần số   dùng phép biến đổi song tuyến tính Ta thấy rằng, toàn giá trị  ánh xạ hoàn toàn khoảng -     Tuy nhiên, ánh xạ khơng tuyến tính, cho hàm làm lệch tần số (frequency warping function) (9.66) 𝑠+0,1 Ví dụ 9.5: Chuyển lọc tương tự có hàm truyền 𝐻𝑎 (𝑠) = (𝑠+0,1)2 +16 sang lọc IIR dùng phép biến đổi song tuyến tính lọc số có tần số cộng hưởng r = /2 Bộ lọc tương tự có tần số cộng hưởng c = Tần số cộng hưởng ánh xạ thành r = /2 cách chọn T thích hợp Theo (9.66), T = ½ Do đó, ánh xạ (9.60) trở thành: 𝑠=4 1−𝑧 −1 1+𝑧 −1 (9.67) Thay (9.67) vào Ha(s), ta hàm hệ thống lọc số: 𝐻(𝑧) = 0,128+0,006𝑧−1 −0,122𝑧−2 1+0,0006𝑧−1+0,975𝑧−2 (9.68) TRANG 146| XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ 9.2.1.4 Chuyển đổi băng tần Chuyển đổi băng tần xuất phát từ lọc thơng thấp có tần số cắt 0, cho theo cơng thức ánh xạ bảng sau: Bảng 9.1 – Công thức chuyển đổi băng tần từ lọc thông thấp Loại chuyển đổi Công thức Thông thấp 𝑧 −1 → 𝑧 −1 − 𝛼 − 𝛼𝑧 −1 Các tham số 𝜔 −𝜔 sin ( 𝑐 ) 𝛼= 𝜔 +𝜔 sin ( 𝑐 ) c: tần số cắt lọc Thông cao 𝑧 −1 → 𝑧 −1 + 𝛼 + 𝛼𝑧 −1 𝜔 −𝜔 cos ( 𝑐 ) 𝛼=− 𝜔 +𝜔 cos ( 𝑐 ) c: tần số cắt lọc Thông dải 𝑧 −1 𝑘 𝑘−1 𝑧 −1 + 𝑘 + 𝑘+1 → 𝑘 − −2 𝑘 𝑧 − 2𝛽 𝑧 −1 + 𝑘+1 𝑘+1 𝑧 −2 − 2𝛽 𝜔 +𝜔 cos ( 𝑐2 𝑐1 ) 𝛽=− 𝜔 −𝜔 cos ( 𝑐2 𝑐1 ) 𝜔0 𝜔𝑐2 − 𝜔𝑐1 𝑘 = tan ( ) cot ( ) 2 c1: tần số cắt thấp lọc c2: tần số cắt cao lọc Chắn dải 𝑧 −1 𝑘 𝑘−1 𝑧 −1 + 𝑘 + 𝑘+1 → 𝑘 − −2 𝑘 𝑧 − 2𝛽 𝑧 −1 + 𝑘+1 𝑘+1 𝑧 −2 − 2𝛽 𝜔 +𝜔 cos ( 𝑐2 𝑐1 ) 𝛽=− 𝜔 −𝜔 cos ( 𝑐2 𝑐1 ) 𝜔0 𝜔𝑐2 − 𝜔𝑐1 𝑘 = tan ( ) tan ( ) 2 c1: tần số cắt thấp lọc c2: tần số cắt cao lọc 9.2.2 Thiết kế lọc IIR dựa phương pháp bình phương nhỏ 9.2.2.1 Phương pháp Padé Gọi hd(n) đáp ứng xung đơn vị lọc lý tưởng cần xấp xỉ với lọc nhân có đáp ứng xung đơn vị h(n) hàm hệ thống hữu tỷ: BÀI 9: BỘ LỌC SỐ IIR > TRANG 147 XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ −𝑛 = 𝐻(𝑧) = ∑∞ 𝑛=0 ℎ(𝑛)𝑧 −𝑘 ∑𝑀 𝑘=0 𝑏(𝑘)𝑧 −𝑘 1+∑𝑁 𝑘=1 𝑎(𝑘)𝑧 𝐵(𝑧) = 𝐴(𝑧) (9.69) Tổng quát, ta tìm giá trị a(k) b(k) cho h(n) = hd(n) với n = 0, 1, …, M+N Viết (9.69) lại sau: A(z)H(z) = B(z) (9.70) Chuyển (9.70) sang miền thời gian: 𝑎(𝑛) ∗ ℎ(𝑛) = ℎ(𝑛) + ∑𝑁 𝑘=1 𝑎(𝑘)ℎ(𝑛 − 𝑘) = 𝑏(𝑛) (9.71) Chuỗi b(n) biến đổi z ngược B(z) nên có giá trị khoảng  n  M Thiết lập h(n) = hd(n) tạo thành M+N+1 phương trình với M+N+1 ẩn số: ℎ𝑑 ( 𝑛 ) + ∑ 𝑁 𝑘=1 𝑎 (𝑘 )ℎ𝑑 (𝑛 − 𝑘 ) = { 𝑏(𝑛) 𝑛 = 0,1, … , 𝑀 𝑛 = 𝑀 + 1, 𝑀 + 2, … , 𝑀 + 𝑁 (9.72) Đầu tiên, ta xác định hệ số a(k) cách sử dụng N phương trình sau hệ (9.72), N phương trình viết dạng ma trận sau: ℎ𝑑 (𝑀) ℎ𝑑 (𝑀 + 1) [ ⋮ ℎ𝑑 (𝑀 + 𝑁 − 1) ℎ𝑑 (𝑀 − 1) ℎ𝑑 (𝑀) ⋮ ℎ𝑑 (𝑀 + 𝑁 − 2) ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ℎ𝑑 (𝑀 − 𝑁 + 1) 𝑎(1) ℎ𝑑 (𝑀 + 1) ℎ𝑑 (𝑀 − 𝑁 + 2) 𝑎(2) ℎ (𝑀 + 2) ][ ] = −[ 𝑑 ] (9.73) ⋮ ⋮ ⋮ ℎ𝑑 (𝑀) 𝑎(𝑁) ℎ𝑑 (𝑀 + 𝑁) Giả sử phương trình độc lập tuyến tính, nghiệm hệ phương trình Sau đó, hệ số b(k) tìm từ M+1 phương trình (9.72): 𝑏(𝑛) = ℎ𝑑 (𝑛) + ∑𝑁 𝑘=1 𝑎(𝑘)ℎ𝑑 (𝑛 − 𝑘) (9.74) Do h(n) không ràng buộc n > M+N nên không tạo xấp xỉ tốt n > M+N 9.2.2.2 Phương pháp Prony Khi sử dụng phương pháp bình phương nhỏ để thiết kế lọc, ta tìm hệ số a(k) b(k) để tối thiểu sai số bình phương nhỏ nhất: 𝜀 = ∑𝑈 𝑛=0|ℎ𝑑 (𝑛) − ℎ(𝑛)| (9.75) Trong U giới hạn chọn trước Do  hàm phi tuyến theo a(k) b(k) nên giải tốn tổng qt gặp khó khan Với phương pháp Prony, lời giải xấp xỉ thực qua bước Bước thứ tìm hệ số a(k) nhằm tối thiểu: 𝜀 = ∑∞ 𝑛=𝑀+1 𝑒 (𝑛) Trong đó: (9.76) TRANG 148| XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ 𝑒(𝑛) = ℎ𝑑 (𝑛) + ∑𝑁 𝑘=1 𝑎(𝑘)ℎ𝑑 (𝑛 − 𝑘) (9.77) Khi xác định a(k), hệ số b(k) tìm phương pháp Padé để hd(n) = h(n): 𝑏(𝑛) = ∑𝑁 𝑘=1 𝑎(𝑘)ℎ𝑑 (𝑛 − 𝑘) , ≤ 𝑛 ≤ 𝑀 (9.78) Các hệ số a(k) nhằm tối thiểu  tìm cách lập đạo hàm riêng  cho 𝛿𝜀 𝛿𝑎(𝑘) =0 (9.79) Việc thiết lập đạo hàm tạo hệ phương trình: 𝑟𝑑 (1,1) 𝑟 (2,1) [ 𝑑 ⋮ 𝑟𝑑 (𝑁, 1) 𝑟𝑑 (1,2) 𝑟𝑑 (2,2) ⋮ 𝑟𝑑 (𝑁, 2) ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ 𝑟𝑑 (1, 𝑁) 𝑎(1) 𝑟𝑑 (1,0) 𝑟𝑑 (2, 𝑁)) 𝑎(2) 𝑟 (2,0) ][ ] = −[ 𝑑 ] ⋮ ⋮ ⋮ 𝑟𝑑 (𝑁, 𝑁) 𝑎(𝑁) 𝑟𝑑 (𝑁, 0) (9.80) Với: 𝑟𝑑 (𝑘, 𝑙) = ∑∞ 𝑛=𝑀+1 ℎ𝑑 (𝑛 − 𝑙)ℎ𝑑 (𝑛 − 𝑘) (9.81) BÀI 9: BỘ LỌC SỐ IIR > TRANG 149 XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ TÓM TẮT Bài giới thiệu cấu trúc hệ IIR thiết kế lọc IIR Một lọc số IIR xây dựng theo cấu trúc trực tiếp, cấu trúc liên tầng, cấu trúc song song hay chuyển vị cấu trúc Một lọc FIR thiết kế dựa vào lọc tương tự, ta phải xác định trước hàm truyền lọc tương tự thỏa mãn đặc tính u cầu Sau q trình chuyển từ lọc tương tự sang lọc số Quá trình thực thông qua xấp xỉ đạo hàm, phép biến đổi bất biến xung hay song tuyến tính Ngồi ra, q trình thiết kế lọc IIR thực dựa bình phương nhỏ nhất: phương pháp Padé Prony TRANG 150| XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ CÂU HỎI ÔN TẬP Câu 1: Cho hàm truyền lọc tương tự 𝐻𝑎 (𝑠) = 𝑠+1 Dùng phương pháp xấp xỉ đạo hàm, chuyển sang lọc số với T = 0,1 Câu 2: Chuyển mạch lọc tương tự sau thành mạch số phương pháp xấp xỉ đạo hàm Câu 3: Chuyển mạch lọc tương tự sau thành mạch số phương pháp song tuyến tính Câu 4: Một lọc số thơng thấp cần đặc tính sau: - Độ gợn dải thông:  0,5 dB - Biên dải thông: 1,2 KHz - Độ suy giảm dải chặn:  40 dB - Biên dải chặn: KHz - Tốc độ lấy mẫu: KHz Xác định bậc lọc: a Butterworth b Chebyshev c Elliptic TRANG 151 XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ TÀI LIỆU THAM KHẢO John G Proakis and Dimitris D Manolakis Digital Signal Processing Prentice Hall International, ISBN 0-13-394338-9 Tống Văn On, Hồ Trung Mỹ Lý thuyết Bài tập Xử lý tín hiệu số NXB Lao động Xã hội, TP Hồ Chí Minh Nguyễn Hữu Phương Xử lý tín hiệu số NXB Thống kê ... ngõ vào ngõ tín hiệu tương tự Ngõ vào Bộ xử lý tín hiệu tương tự Ngõ tương tự tương tự Hình 1.1 - Xử lý tín hiệu tương tự Q trình xử lý tín hiệu số cung cấp phương thức xử lý tín hiệu tương tự... xử lý số, cần phải giao tiếp xử lý tín hiệu số tín hiệu tương tự Phần giao tiếp gọi ADC (Analogto-digital converter – Bộ chuyển đổi tương tự - số) Ngõ ADC tín hiệu số ngõ vào xử lý số Bộ xử lý. .. trình xử lý tín hiệu, thơng thường ta xử lý tín hiệu số Do cần phải thực chuyển đổi tín hiệu liên tục thành tín hiệu rời rạc để xử lý Q trình gọi lấy mẫu tín hiệu (sampling), thay tín hiệu liên