Chương 1Bài 1: Một doanh nghiệp sản xuất có hàm lợi nhuận phụ thuộc vào 2 yếu tố vốn và laođộng như sau: 2 2 0,3 0,6 0,1 K L K La) Với lượng vốn K = K0, hãy xác định quy mô lao động có lợi ích cao nhất của doanhnghiệpb) Phân tích sự biến động của theo vốn L khi K = L0.c) Tại K = K0, nếu K tăng 10% thì lượng lao động sẽ thay đổi như thế nào để lợi nhuậnvẫn tối đa. Khi đó lợi nhuận tối ưu sẽ thay đổi thế nào?
Trang 1Bài tập Mô hình toán kinh tế Chương 1
Bài 1: Một doanh nghiệp sản xuất có hàm lợi nhuận phụ thuộc vào 2 yếu tố vốn và lao
động như sau: 0,3K 0,6L0,1K L2 2
a) Với lượng vốn K = K0, hãy xác định quy mô lao động có lợi ích cao nhất của doanh nghiệp
b) Phân tích sự biến động của theo vốn L khi K = L0
c) Tại K = K0, nếu K tăng 10% thì lượng lao động sẽ thay đổi như thế nào để lợi nhuận vẫn tối đa Khi đó lợi nhuận tối ưu sẽ thay đổi thế nào?
Bài 2: Một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm có hàm cầu là
QD=400 – P và hàm tổng chi phí TC(Q)= Q3– 70Q2 + 1330Q - 1000
a) Doanh nghiệp nên sản xuất sản lượng Q trong khoảng nào để đảm bảo luôn có lợi nhuận Hãy xác định mức sản lượng Q và giá bán P sao cho xí nghiệp đạt lợi nhuận tối
đa
b) Giả sử công ty sản xuất sản lượng Q trong khoảng đã xác định ở câu a và bị đánh thuế
với mức thuế là t trên mỗi đơn vị sản lượng Thuế có tác động như thế nào đến mức sản
lượng để lợi nhuận tối đa và đến lợi nhuận tối đa của công ty?
Bài 3: Một xí nghiệp có hàm sản xuất là Q(K, L)= 3.K0,25.L (K, L là lượng vốn và lao 0,5
động xí nghiệp sử dụng để tạo ra được Q sản lượng) Biết giá các yếu tố sản xuất là pK
=6 và pL=10
a) Với tổng chi phí sản xuất là 84, xí nghiệp sẽ sử dụng các yếu tố K, L như thế nào để
sản xuất được sản lượng lớn nhất Sản lượng lớn nhất (sản lượng tối ưu) đó là bao nhiêu?
b) Trong ngắn hạn, xí nghiệp chỉ có khả năng thay đổi lượng lao động L Nếu giá lao động tăng 10% và vẫn với điều kiện tổng chi phí sản xuất là 84, yêu cầu sản lượng tối ưu như ở câu a thì xí nghiệp phải thay đổi mức sử dụng L như thế nào?
Trang 2Bài 4: Một xí nghiệp có hàm sản xuất Q = 200.K0,5.L0,3, trong đó K là vốn, L là lao động Giá vốn pK = 5 USD, tiền công pL = 3 USD Xí nghiệp cần sản xuất Q0 = 3200 đơn vị sản phẩm
a) Tìm phương án sử dụng vốn và lao động để xí nghiệp tốn ít chi phí nhất
b) Tìm hệ số co giãn của tổng chi phí theo sản lượng tại mức sản lượng Q0 và nêu ý nghĩa của hệ số co giãn đó
c) Nếu xí nghiệp chỉ thay đổi được lượng lao động, khi tiền công pL tăng 1%, để sản xuất
Q0 đơn vị sản phẩm với chi phí nhỏ nhất, xí nghiệp phải thay đổi lượng lao động như thế nào?
Bài 5: Nhu cầu 2 mặt hàng của một công ty phụ thuộc giá như sau:
1 40 2 1 2, 2 35 1 2
Q P P Q P P
Hàm tổng chi phí là TC Q122Q2212 (Pi, Qi là giá và sản lượng loại hàng tương ứng) a) Tìm phương án sản xuất để công ty thu được lợi nhuận tối đa Khi đó giá bán sản phẩm
là bao nhiêu?
b) Tại mức sản lượng tìm được ở trên, nếu Q1 tăng 10%, Q2 tăng 5% thì tổng chi phí thay đổi như thế nào?
c) Tại mức giá bán tìm được ở câu a, nếu P1, P2 đều tăng 10% thì tổng chi phí thay đổi thế nào?
d) Giả sử cả hai mặt hàng đều bị nhà nước đánh thuế với cùng mức thuế là t (đơn vị tiền) trên mỗi đơn vị sản lượng thì các mức sản lượng để lợi nhuận cực đại phụ thuộc vào t như thế nào? Hãy phân tích tác động của t đến các mức sản lượng làm cho lợi nhuận đạt cực đại
Bài 6: Doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm sản xuất QK0,5L0,5 với giá thuê vốn pK = 6, giá thuê lao động pL = 4, giá sản phẩm p0 = 2
a) Tìm phương án sử dụng đầu vào tối ưu
Trang 3b) Phân tích sự biến động của lợi nhuận tối đa khi các yếu tố p0, pK, pL thay đổi
c) Xác định tỷ lệ thay thế vốn cho lao động
Bài 7: Hàm sản xuất của một doanh nghiệp có dạng Q = K0,3L0,5
a) Có người cho rằng nếu tăng vốn K lên 1% thì có thể giảm lao động 1% mà sản lượng vẫn không thay đổi Ý kiến đó có đúng không?
b) Doanh nghiệp tăng quy mô có hiệu quả không? Tại sao?
c) Cho giá thuê vốn pK = 6, giá thuê lao động pL = 2 và tổng chi phí dành cho sản xuất là
384 Hãy xác định phương án sử dụng đầu vào tối ưu (sản lượng cực đại)
d) Giả sử giá các yếu tố đầu vào không đổi, chi phí dành cho sản xuất tăng thêm 1 đơn vị thì sản lượng tối ưu thay đổi thế nào?
Bài 8: Hàm cầu ngược và hàm chi phí của một doanh nghiệp độc quyền là P = 200 – Q,
TC = Q2
a) Tìm mức sản lượng và giá P để lợi nhuận đạt cực đại
b) Tìm hệ số co giãn của mức cầu theo giá tại mức lợi nhuận tối đa
c) Giả sử chính phủ đánh một lượng thuế t với mỗi sản phẩm bán ra Tìm mức cung tối đa hoá lợi nhuận Sản lượng đó thay đổi thế nào khi t thay đổi?
Bài 9: Một doanh nghiệp độc quyền có hàm doanh thu biên MR = 1800 – 1,8Q2
a) Cho biết nếu tại mức sản lượng Q = 10 mà doanh nghiệp giảm giá 1% thì mức cầu sẽ biến động như thế nào?
b) Nếu doanh nghiệp định giá bán là P = 300 thì tổng doanh thu là bao nhiêu?
c) Nếu doanh nghiệp tăng mức sản lượng cung từ 10 lên 20 thì tổng doanh thu tăng lên bao nhiêu?
Bài 10: Cho hàm sản xuất Y(t) = 0,2K0,4L0,8 trong đó K = 120 + 0,1t, L = 200 + 0,3t a) Tính hệ số co giãn của Y theo K và theo L
b) Tính hệ số tăng trưởng của vốn K,lao động L và Y
Trang 4c) Hãy cho biết hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất trong trường hợp này
Bài 11: Một doanh nghiệp có hàm sản xuất: Q = 1,5KαL0,4 trong đó Q là sản lượng, K là vốn, L là lao động, 0 < α < 1
a) Xác định α nếu biết rằng tại mức K = 2, L = 4 tỉ lệ thay thế cận biên của vốn cho lao động là 1/3
b) Với α = 0,6 và doanh nghiệp dự kiến mức sản lượng Q0 = 120, xác định mức sử dụng vốn và lao động để cực tiểu hóa chi phí của doanh nghiệp, biết giá vốn pK = 3 và giá lao động pL = 2
c) Với kết quả từ câu b), khi giá pK, pL và sản lượng Q0 đồng thời tăng 1,5% thì chi phí tối thiểu thay đổi như thế nào?
Bài 12: Cho hàm tổng chi phí TC Q35Q214Q144
a) Khảo sát sự thay đổi tuyệt đối của TC theo Q từ đó cho nhận xét về mở rộng sản xuất b) Tính hệ số co giãn của TC theo Q tại Q = 2
c) Cho giá sản phẩm là p = 70, với mức thuế doanh thu 20%, tính lợi nhuận khi Q = 3 Tìm các điểm hoà vốn và phân tích sự thay đổi của hàm tổng lợi nhuận
Bài 13: Cho phương trình hàm cung, hàm cầu của một thị trường hàng hóa A như sau:
QD = 100 – 2P + 0,3M0 và QS=
2
0
12 0, 2P
1 T
trong đó M0 là thu nhập, T0 là thuế hàng hóa
a) Giả sử tại mức thu nhập là M0 = 1000 và T0=11, hãy xác định lượng và giá cân bằng trên thị trường hàng hóa A
b) Tại trạng thái cân bằng nói trên, nếu thu nhập thay đổi 10% nhưng thuế không thay đổi, giá cân bằng sẽ thay đổi như thế nào?
c) Nếu thu nhập tăng 5% nhưng thuế tăng 10%, giá cân bằng sẽ thay đổi như thế nào?
Trang 5Bài 14: Cho mô hình thị trường một hàng hóa A là:
2 2
với P là đơn giá; D là lượng cầu và S là mức cung của hàng hóa đó
a) Xác định mức giá cân bằng của hàng hóa A
b) Giả sử nhà nước đánh thuế t đơn vị tiền (0<t<150) trên mỗi đơn vị hàng hóa Hãy phân tích tác động của t đến sản lượng cân bằng và giá cân bằng
c) Khi đó, doanh thu của nhà cung cấp biến thiên như thế nào theo t?
Bài 15: Trong thị trường cạnh tranh hoàn hảo có hàm cầu là P=80–2Q2 và hàm cung là P= –2+0,5Q2
a) Hãy xác định giá và lượng cân bằng
b) Nếu nhà nước đánh thuế t (đơn vị tiền) trên 1 đơn vị sản phẩm bán ra thì với mức thuế
t bằng bao nhiêu thì mức doanh thu thuế của nhà nước sẽ lớn nhất?
Bài 16: Mô hình thị trường hàng hóa A có dạng:
0,4 0,5 0,1 0,3 0,05
trong đó p: giá hàng hóa A, q: giá hàng hóa B, M: thu nhập, T: thuế
a) Hãy cho biết quan hệ giữa hai hàng hóa A và B
b) Phân tích tác động của M và T tới giá cân bằng của hàng hóa A
Bài 17: Cho hàm cầu D, hàm cung S về một loại hàng hóa có dạng như sau:
0,1 0,2 0,4 0,05
D0, 2.p M ; S0,1.p q
trong đó p là giá hàng, M là thu nhập của người tiêu dùng, q là mức giá chung của các yếu tố sản xuất được sử dụng để sản xuất hàng hóa đó
a) Có ý kiến cho rằng, nếu giá hàng và thu nhập người tiêu dùng tăng cùng tỷ lệ thì mức cầu hàng hóa đó không đổi Cho nhận xét về ý kiến này
Trang 6b) Hãy phân tích tác động của thu nhập, của mức giá chung các yếu tố sản xuất tới mức giá cân bằng
c) Nếu nhà nước đánh thuế tiêu thụ với mức thuế suất là t vào mỗi đơn vị hàng hóa trên, hãy phân tích tác động của thuế đến người sản xuất và người tiêu dùng
Bài 18: Cho mô hình nền kinh tế đóng như sau
trong đó Y là thu nhập, C là tiêu dùng, I là đầu tư, T là thuế, G là chi tiêu của Chính phủ a) Xác định trạng thái cân bằng (Y*, C*, T*) bằng quy tắc Cramer
b) Phân tích sự thay đổi của trạng thái cân bằng khi , , , thay đổi
Bài 19: Cho mô hình thu nhập quốc dân như sau:
a) Xác định trạng thái cân bằng (Y*, C*, I*) bằng quy tắc Cramer
b) Cho b0=200; b1=0,7; a0=100; a1=0,2; a2=10; R=7; G=500 Khi tăng chi tiêu Chính phủ lên 1% thì thu nhập cân bằng thay đổi như thế nào?
Bài 20: Xét mô hình IS: Y = C + I + G ; C = 0,75Yd +50 ; I = 300 – 1000r ; Yd=Y – T Trong đó: Y: thu nhập quốc dân, C: tiêu dùng của dân cư, Yd: thu nhập khả dụng, I: đầu tư, G: chi tiêu của Chính phủ, T: thuế, r: mức lãi suất
a) Cho G=550, T=500, hãy xác định đường IS
b) Phân tích chủ trương kích cầu của Chính phủ bằng chính sách giảm lãi suất
Trang 7c) Phân tích chủ trương kích cầu của Chính phủ bằng chính sách giảm thuế, hãy so sánh với biện pháp ở câu b
Chương 2
Bài 1 Một cửa hàng bán thực phẩm cần vận chuyển gạo, đường, bột, trứng để giới thiệu
sản phẩm với khách hàng trên một xe tải có tải trọng là 400kg Khách hàng sẽ mua hết số thực phẩm được đem đến với điều kiện tối thiểu phải có 120 kg gạo, 15kg đường, 20 kg bột và 15 kg trứng Thông tin về thực phẩm và lợi nhuận được cho trong bảng sau:
Khối lượng Lợi nhuận (đơn vị : 1000 đồng)
Cửa hàng hiện có thể cung cấp tối đa 15 bao bột
Hãy lập mô hình bài toán tìm phương án vận chuyển sao cho lợi nhuận của cửa hàng lớn nhất Lưu ý các loại vật liệu phải được bảo quản trong thùng hoặc bao, không thể lấy ra riêng lẻ khi vận chuyển
Bài 2 Một xí nghiệp chuyên sản xuất hai sản phẩm là A, B Hai sản phẩm này phải được
gia công lần lượt tại hai phân xưởng là I và II Thời gian (đơn vị : giờ/sản phẩm) cần thiết cho việc gia công A và B trong các phân xưởng được cho ở bảng sau:
Phân xưởng Sản phẩm
Sản phẩm sau khi hoàn thành sẽ được lưu trữ ở kho, diện tích kho của xí nghiệp là 400m2 Mỗi sản phẩm A cần 3,5m2; mỗi sản phẩm B cần 4m2 Các sản phẩm A không thể
Trang 8để chồng lên nhau Các sản phẩm B có thể để chồng lên nhau; tuy nhiên, mỗi sản phẩm B
chỉ chịu được 1 sản phẩm cùng loại
Mỗi tuần có thể bán ra tối thiểu 25 sản phẩm A và 30 sản phẩm B Tiền lời (đơn vị:
1000 đồng/sản phẩm) thu được từ việc bán các sản phẩm A, B tương ứng là 300 và 200 Hãy lập mô hình bài toán xác định số sản phẩm A và B cần sản xuất trong mỗi tuần để thu được mức lời tối đa
Bài 3 Một máy bay vận tải có trọng tải là 100 tấn Cần chở 3 loại kiện hàng bằng máy
bay Trọng lượng mỗi bưu kiện và giá trị các loại bưu kiện được cho ở bảng sau:
Mặt khác, cần phải chuyển ít nhất 10 bưu kiện loại A đi, và hiện tại chỉ có 15 bưu kiện loại B, 12 bưu kiện loại C trong kho Hãy lập phương án chở bao nhiêu đơn vị mỗi loại thiết bị trên máy bay để trọng lượng tổng cộng không vượt quá trọng tải của máy bay
mà đạt được giá trị lớn nhất Có tồn tại phương án vận chuyển tốt nhất không?
Bài 4 Để nuôi một loại gia súc người ta sử dụng 3 loại thức ăn F1, F2, F3 Tỉ lệ (%) các
chất dinh dưỡng P1, P2 có trong 1kg các loại thức ăn F1, F2, F3 và giá 1kg thức ăn mỗi loại như sau:
Loại bưu kiện Trọng lượng (tấn/bưu kiện) Giá trị (USD/bưu kiện)
Trang 9Yêu cầu trong khẩu phần thức ăn của loại gia súc này: chất P1 phải có ít nhất 70g
và nhiều nhất là 80g, chất P2 có ít nhất 90g Hãy lập mô hình tối ưu của bài toán Bài
toán có phương án tối ưu không?
Bài 5: Một nông trường có 1000 ha đất để trồng 3 loại cây nông nghiệp là mía, sắn, và
khoai Biết rằng chi phí sản xuất (gồm chi phí vốn và lao động) và giá trị sản lượng ước tính trên 1 ha mỗi loại cây được cho ở bảng sau:
Loại
cây
Chi phí vốn (triệu đồng/ ha)
Chi phí lao động (triệu đồng/ ha)
Giá trị sản lượng ước tính/ ha (triệu đồng)
Nông trường có thể chuẩn bị được số tiền làm vốn cho sản xuất là 5 tỉ đồng và thuê lao động là 3 tỉ đồng Vì nhiều lý do, nông trường phải trồng ít nhất 400 ha mía và ít nhất 200 ha sắn Hãy lập bài toán tìm phương án phân bổ đất trồng sao cho tổng giá trị sản lượng thu được là lớn nhất
Bài 6: Giải bài toán QHTT sau:
a)
j
b)
j
Bài 7: Cho bài toán QHTT (P):
Trang 10 1 2 3 4
j
4x 5x 80
Bài 8: Cho bài toán QHTT (P):
j
3
2
Chứng tỏ x* = (0, 7/2, 1) có phải là phương án tối ưu của bài toán (P) và tìm tập phương án tối ưu của bài toán (P)
Bài 9: Cho bài toán QHTT (P):
Hỏi x* = (1/5, 0, 9/10) có phải là phương án tối ưu của bài toán (P) không? Nếu phải thì x* có phải là PATƯ duy nhất của bài toán (P) không?
Bài 10: Giải các bài toán QHTT sau:
Trang 11a)
b)