CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN, GIỚI HẠN DÃY SỐ

CHỦ ĐỀ: CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN - GIỚI HẠN DÃY SỐ I Kiến thức cần nhớ: a) Các định nghĩa:  Cấp số cộng: (u n ) cấp số cộng   n;u n+1 = u n + d ( d số gọi công sai)  Cấp số nhân: (u n ) cấp số nhân   n; u n+1 = u n q ( d số gọi công bội)  limu n =  Mọi | u n | nhỏ số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ số hạng trở  u n = u1 + (n-1) d  limu n =   Mọi u n lớn số dương tùy ý cho trước kể từ số hạng trở  limu n =   Mọi u n nhỏ số âm tùy ý cho trước kể từ số hạng trở b) Các tính chất cấp số cộng cấp số nhân  Định lý ba số hạng liên tiếp cấp số cộng: (u n ) cấp số cộng  u k =  u k-1 + u k+1 (k  2) Công thức số hạng tổng quát cấp số cộng (u n ) : u n = u1 + (n-1) d ( d cơng sai)  Cơng thức tính tổng n số hạng cấp số cộng (u n ) : Sn =  n(u1 + u n ) n[2 u1 + (n  1) d] hay Sn = 2 Định lý ba số hạng liên tiếp cấp số nhân: (u n ) cấp số nhân  u 2k = u k-1u k+1 (k  2)  Công thức số hạng tổng quát cấp số nhân (u n ) : u n = u1 q n-1 ( d công bội)  Công thức tính tổng n số hạng cấp số nhân (u n ) : Sn = u1 (1  q n ) 1 q c) Các định lý giới hạn hữu hạn dãy số  Nếu limun = L  R lim | u n |=| L |;lim u n  L;lim u n  L(u n  0n)  Nếu limu n = L  R,limvn = M  R lim(u n ± v n ) = L± M;limu n v n  L.M; limcu n  cL;lim un L  (M  0) M ( c số) II Một số tập bản: 1) Cấp số cộng (u n ) có u17 - u 20 = u 217  u 220 = 153 Hãy tìm số hạng đầu cơng sai cấp số cộng 2) Cấp số cộng (u n ) có u12 - u 20 = u 213  u 220 = 154 Hãy tìm số hạng đầu cơng sai cấp số cộng 3) Cấp số cộng (u n ) có u10 - u12 = 15 u 24  u 210 = 15 Hãy tìm số hạng đầu cơng sai cấp số cộng 4) Cấp số cộng (u n ) có u5 - u10 = 20 u  u 21 = 53 Hãy tìm số hạng đầu cơng sai cấp số cộng 5) Cấp số cộng (u n ) có u - u8 = 15 u1  u8 = 45 Hãy tìm số hạng đầu cơng sai cấp số cộng 6) Tính tổng số hạng cấp số cộng có số hạng đầu 102, số hạng thứ hai 105 số hạng cuối 999 7) Tính tổng số hạng cấp số cộng có số hạng đầu hạng thứ hai  , số số hạng cuối -2007 8) Cho cấp số cộng (u n ) có d > 0, u31  u34 = 11 u 231  u 234 = 101 Hãy tìm số hạng tổng quát số cộng 9) Cấp số nhân (u n ) có u  u5 = 3u3  u = 1 Hãy tìm số hạng tổng quát cấp số nhân 10) Cấp số nhân (u n ) có u  u = u3  8u = 12 Hãy tìm số hạng tổng quát cấp số nhân 11) Tính tổng số hạng cấp số nhân biết số hạng đầu , số hạng thứ hai -2 số hạng cuối 64 12) Cho dãy số (u n ) xác định u1 = 2; u n+1 = 3u2n -10 n  Chứng minh (u n ) vừa cấp số cộng, vừa cấp số nhân 13) CMR hai dãy số (u n ) , (vn ) với 1+ cosn n+ sin n có giới hạn un = ; = 3n+1 3n +1 14) CMR hai dãy số (u n ) , (vn ) với un = 2cos 5n nsin(7 n  4) có giới hạn ; = 3n+1 3n +1 15) Tìm lim u n với a) u n = 1+ cosn nsin n cosn nsin15n ; un = ; un = ; un = 3n+1 n +1 n +1 n + n1 n + 3n+ n2  n n2  n 2n + 3n b) u n = ; un = ; un = ; un = n + n+ n+1 n +1 5.3n +1 c) u n = n + 3n+ n4  n n8  n 4110n + 3n 10 ; u = ; u = ; u = n n n n + n+ n +1 n +1 5.4110n +1 d) u n = n + 3n+ n  n n  n 10 4110n + 3n  ; u =  n n + n+ n +1 n +1 5.4110n +1 e) u n = n + 3n+ n2  n n2  n 2n + 3n n3     n + n+ n+1 n +1 5.3n +1 n+ f) u n = n3 + 3n+ - n ; u n = n + 3n+ - n ; u n = n + 3n+ - n  ... Hãy tìm số hạng đầu cơng sai cấp số cộng 5) Cấp số cộng (u n ) có u - u8 = 15 u1  u8 = 45 Hãy tìm số hạng đầu cơng sai cấp số cộng 6) Tính tổng số hạng cấp số cộng có số hạng đầu 102, số hạng... tổng số hạng cấp số nhân biết số hạng đầu , số hạng thứ hai -2 số hạng cuối 64 12) Cho dãy số (u n ) xác định u1 = 2; u n+1 = 3u2n -10 n  Chứng minh (u n ) vừa cấp số cộng, vừa cấp số nhân... 105 số hạng cuối 999 7) Tính tổng số hạng cấp số cộng có số hạng đầu hạng thứ hai  , số số hạng cuối -2007 8) Cho cấp số cộng (u n ) có d > 0, u31  u34 = 11 u 231  u 234 = 101 Hãy tìm số hạng