PHƯƠNG TRÌNH bất PHƯƠNG TRÌNH hệ PHƯƠNG TRÌNH

Luyện thi PTTH Quốc gia 2017 – Đại số Lương Anh Nhật ĐT:0964459734 PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH Kiến thức cần nhớ: a  b a b   a  b b  a b a  b a   b   a  b a  b Ví dụ 1: Giải phương trình: b   a  b   b   a  b  b  a b a  b x   x   x 1 HD: biến đổi cho hai vế khơng âm bình phương đưa dạng Ví dũ 2: Giải phương trình: x  x   x x  x   x  x HD: biến đổi hai vế, đặt t  Ví dụ 3: Giải phương trình: x  x  đưa dạng đẳng cấp 1  2 x  x2 HD: Đặt x  sin  , lượng giác hóa phương trình Ví dụ 4: Giải phương trình: x   27 x3  27 x2  13x  HD: Dùng đơn điệu Ví dụ 5: Giải phương trình:  x  3 x   x  x  HD: Dùng lượng liên hiệp Ví dụ 6: Giải phương trình: x  x  20  x  x  29  97 HD: Dạng gặp, xét hai vecto có tọa độ thích hợp đưa độ dài Ví dụ 7: Giải phương trình: x  x   x  x   HD: Biến đổi dạng đẳng cấp, ý dấu (Làm nhiễu thơi!)  Ví dụ 8: Giải bất phương trình: x  3x  x  3x   HD: Dạng Ví dụ 9: Giải bất phương trình: x2  x  x3 0 HD: Chia khoảng theo điều kiện giải bình thường Luyện thi PTTH Quốc gia 2017 – Đại số Ví dụ 10: (A-2004) Giải bất phương trình:  x  16  x 3 Lương Anh Nhật ĐT:0964459734  x 3  7x x 3 Ví dụ 11: Giải bất phương trình: x  x  15  x  x  15  x  18 x  18 HD: Chia trường hợp theo điều kiện xác định Lưu ý: Thường thường câu điểm đề thi PTTH Quốc gia câu giải phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình Theo ý kiến cá nhân tơi phương trình tảng cho dạng lại, bất phương trình kế thừa phương trình mang màu sắc xét dấu chủ yếu lại phép biến đổi Hệ phương trình dung hòa hai (nhiều) phương trình Nói chung khó toán nằm kinh nghiệm giải bạn ý đồ kết hợp phương pháp tác giả! Các ví dụ dạng thường gặp “bài toán điểm” thi PTTH Quốc gia Cùng xem số câu tham khảo nhé! Bài Giải phương trình: x  x2 1   x  13x  x   x  x  1 Hướng dẫn Điều kiện:  x  13  17 1 2  x  1  13  x    x  x x x Phương trình cho tương trương với: Đặt t  x 1 1  t  x   , từ (1) suy t > x x Phương trình (1) trở thành:     t    13   t    t   t2  8  2t     2t   t   t  t2  2t   5t  20 t   t2    t  4   0 2   2t  t   t  Vì   2t  t   t Suy ra: x  t > nên t =   x  x 1   x  1  x   2 x So sánh với điều kiện đề bài, kết luận: x   2 Luyện thi PTTH Quốc gia 2017 – Đại số Lương Anh Nhật ĐT:0964459734 Nhận xét: Bài toán hay chỗ chia hai vế cho x đưa dạng quen thuộc kết hợp ẩn phụ liên hiệp, có dính dáng đến chút phương pháp đánh giá biểu thức không khó Tiếp tục với phương trình hay liên quan đến tính đơn điệu Bài (PTTH Quốc gia 2015) Giải phương trình: x2  2x    x  1 x2  2x    x2 2 Hướng dẫn Điều kiện: x  2 Phương trình tương đương với:  x   x    x  2x   x  1 x2 x22  x4 x 1    x  2   0 x      x  1  x   x 1   x4    *   x  1  x2 2 Nhìn kỹ phương trình (*) ta thấy nét đẹp phép biến đổi sau:  x  2    x  1  x 1 x22     x2   2   x     x  1    x  1      **  2 Xét hàm số: f  t   t   t   , t   f '  t   2t  t    t   f  t   0, t  **  f  x  x   13 x   f  x  1  x   x     x 2  x   x  x   x  3x    Kết luận: x  2, x   13 Nhận xét: Bài toán hay chỗ sau liên hiệp xong phần đơng học trò lấn cấn chỗ dung đơn điệu, làm quen bạn dễ dàng thấy rõ chỗ bí ẩn Phần lớn học trò năm 2015 – anh chị trước gặp tình trạng tương tự nên khơng rõ khơng Tiếp theo nên lưu ý Bài Giải phương trình: x    15  x  x  15  15  x  x Hướng dẫn Điều kiện:  x  15 Phương trình tương đương với: Luyện thi PTTH Quốc gia 2017 – Đại số 15  x  x 15  x  x  Đặt u  15  x , v   Lương Anh Nhật ĐT:0964459734  15  x  x  1 x : 1  u  3uv  4v   u  v    u   3v   u  2v  4v  u  2v 2    3v     2v  4v    v     u  v  _ u  2v  15  x  x  x  2  19  nhan   x  2  19  loai  _ u  v   15  x  x   15  x   x  15  x  19  x  Có  x  15  19  x   15  x  19  x   15  x  19  x  vô nghiệm Kết luận: x  2  19 Nhận xét: Bài toán hay chỗ đặt ẩn phụ dò mối tương quan ẩn phụ denta phương trình bậc hai theo ẩn thích hợp Các bạn nên lưu ý dạng tốn Bài Giải phương trình:  x  x  x3  x   x  1   x Hướng dẫn Điều kiện: 2  x  Phương trình tương đương với: x   x  x  x   x  x   (1) Có: x  x2    x  x  4, x   2; 2  x   x  2, x   2; 2 Có dấu “=” x   x  2 (2) Đặt t  x  x  t   1; 2 , x   2, 2 t  Khi vế phải phương trình (1) là: f  t   t  2t  2, t   1, 2  f '  t   3t  4t  f '  t     t   3 2 4 3 Hàm số f(t) liên tục tập xác định nên: f  1  1, f    0, f     2 Ta có: x  x  x  x  22 , f     f  t   2, t   1, 2 27   2, x   2, 2 Dấu “=” xảy x   x  2 (3) Từ (2) (3) cho ta: phương trình có ba nghiệm x   x  2 Nhận xét: Dạng đánh giá bạn gặp rắc rối, nên lưu tâm Dạng khơng có kinh nghiệm để học mà kinh nghiệm bạn giải nhiều thôi! Luyện thi PTTH Quốc gia 2017 – Đại số Lương Anh Nhật ĐT:0964459734 Bài Giải phương trình: 2 x  10 x  17 x   x x  x Hướng dẫn Ta nhận thấy x = khơng nghiệm phương trình Ta chia vế phương trình cho x3, ta được: 2  Đặt t  10 17    1 x x x x , t  phương trình trở thành: x 2  10t  17t  8t  5t    2t  1   2t  1    5t   5t  1 Xét hàm số: f  t   t  2t  f '  t   3t   f '  t   0, t  1  f  2t  1  f  t  5t   2t   5t    2t  1  5t   8t  17t  6t    17  97 t   16 _ t  loại trường hợp  _t 3 17  97 17  97 x 16 12 Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x  Bài Giải phương trình: 2 _t  17  97 17  97 x 16 12 17  97 12 x3  x  14 x   3x  x   1 2x Hướng dẫn Phương trình tương đương với: x3  x  14 x   1  x  3x  x    x    x  x   1  x  1  x  x     x  x  3 Đặt a  x  2, b  1  x  x     x  x  3 Ta có hệ sau: b  a  b3  1  x  a   x  x  3    b3  a3   1  x  b  a     b 2 a    b  1 2x    a  1  x  a   x  x  3 2 _ ba   _ a  3 x x   x  lập phương hai vế ta ba nghiệm x  3  x  3  2 b   b   x  rõ rang vơ nghiệm nhé! 2 Kết luận: Phương trình có nghiệm x  3  x  3  2 Luyện thi PTTH Quốc gia 2017 – Đại số Lương Anh Nhật ĐT:0964459734     Bài Giải phương trình:   x  x x  25 x  18 Hướng dẫn Điều kiện: x  1 Phương trình tương đương với:   x3  x  25 x3  18 x  25 x3  25   x3  x  18 x  20  25 x3  25   x3  x  16 x  16  x     x3   1 x   x  3  x  1 Xét hàm số: f  t   t  t , t   f '  t   2t   f '  t   0, t  1    f  x3  f  x     x3   x    Đặt u   x  1  x  x  1   x  x  1   x  1 x  1, u  0; v  x  x  1, v  , ta được: 5uv   u  v   2u  5uv  2v   u  2v hay v  2u _ u  2v  x   x  x   x  x   (vô nghiệm) _ v  2u  x2  x   x   x2  5x    x   37 So sánh điều kiện đề bài, kết luận: Phương trình có nghiệm x   37 Nhận xét: Bài toán nhìn ngắn ngắn khó khăn khâu xử lý tình mà tác giả đặt Bài hay chỗ phối hợp đơn điệu ẩn phụ đưa đẳng cấp, có nhiều bạn giải đến phân nửa hai hàm giải lung tung nên khó lòng mà chu tồn bài! Bài Giải phương trình: log Hướng dẫn 4x  2x   x  2.8 x  3.2 x  1 x x 2.16  2.4  Phương trình tương đương với: log  x  x  1  log  2.16 x  2.4 x  1  2.16 x  3.4 x  x  log  x  x  1  x  x   log  2.16 x  2.4 x  1  2.16 x  2.4 x  1 Xét hàm số: f  t   log t  t , t   f '  t   1    f '  t   0, t  t.ln f  x  x  1  f  2.16 x  2.4 x  1  x  x   2.16 x  2.4 x   2.2 x  3.2 x  x   1   x    x  x  1  x    0     Luyện thi PTTH Quốc gia 2017 – Đại số Lương Anh Nhật ĐT:0964459734 x  2     1    x  log  1   x 2         x  1       Kết luận: Phương trình có nghiệm x  0, x  log  Nhận xét: Bài tốn khơng q khó tơi mạn phép đưa vào để làm đường dẫn cho luyện tập dười đây! Mạnh dạng làm nhé, đề làm nhiễu bạn thôi! Bài tập: Giải phương trình: x   log 16 x  96 x  208  3x   x   x 12 x  16  45 x  81 Bài Giải bất phương trình: x  x  11  14 x2 Hướng dẫn Điều kiện:  x  Bất phương trình tương đương:  x    x  Đặt t  t  x2 2t  5t  , ta có: 2t      t  2t   t  1      t  t t x  + t 1 +  7x x2 x (x = không thỏa mãn bất phương trình) 2 5  x2 x2 x x2 1 x   x 1 x 2 x  0 x 2 x4  7 x2 0  x  t 0  0   x  x  x 1  2 x    Kết luận: Bất phương trình có nghiệm x  4,    x  Bài 10 Giải bất phương trình: x   x   x  2 x  x   16 Hướng dẫn Điều kiện: x  1 Bất phương trình tương đương với: 2x   x 1    2 x   x   20  nhan  t  4  loai  t  Đặt t  x   x  1, t  Ta có: t  t  20    Luyện thi PTTH Quốc gia 2017 – Đại số Lương Anh Nhật ĐT:0964459734  3x     x  2 x  x    t   x   x    2 x  x   3x      3x      x  13    x  26 x  11  Kết luận: Bất phương trình có nghiệm x  Bài 11 Giải bất phương trình: x  x   x  x   x   x    Hướng dẫn Điều kiện: x  Bất phương trình tương đương với:  x  1 x    x  1 x   x   x      x  1      x  x3 3 x4  x3   x  1     x   x 3 1   x  1   1 x4  x3   x  1   x   x    x  1       x  1       x4  x3  11  11 x  11   x  x       x6 x5 3  x  1  x  x  12  x  11x  30       x  Kết luận: Bất phương trình có nghiệm x > Bài 12 Giải bất phương trình: 3x 1 x 1  (Rất đơn giản không bảo khó khăn)  x2 Hường dẫn Điều kiện: 1  x  Bất phương trình tương đương với: Đặt t  x  x2  x2  x2 3x x2 3x     20 2 1 x 1 x 1 x  x2 t  t  Ta có: t  3t      x   x  1  x  _ t 1   1 x  x    1  x  2 x0  1 x   2 x  Luyện thi PTTH Quốc gia 2017 – Đại số Lương Anh Nhật ĐT:0964459734 x    x   x2   x  x2 5 x  x _t   So sánh điều kiện đề bài, kết luận: Bất phương trình có nghiệm: 1  x  2   x  Bài 13 Giải bất phương trình: x   x   x  15 Hướng dẫn Bất phương trình tương đương với: x    x    x  15   x2 1 4x2     x  1   x2  x  15 0   2x 1 2x 1   x  1  2   1  x  15   4x   Ta có: x   x   x  15  x   x  15  x    x  Vì x     x  15 nên Do 2x 1 4x   2 2 2x 1 4x   2  2x 1  x  15  2x 1  0 2x 1  : 1  x    x   x  15 Kết luận: Bất phương trình có nghiệm x     Bài 14 Giải bất phương trình: x  x  1  x x  x     1   x  Hướng dẫn Điều kiện:   x  1  Bất phương trình tương đương với: x  x  x    x  x    x  x    x x  x   3x  Tới dạng đẳng cấp, bạn giải bình thường nhé!  1  17  65  ,  2   Đáp án: S   1  5,     x 3 9 x  x x 1  x  Hướng dẫn Điều kiện: 1  x  9, x  Bất phương trình tương đương với: Bài 15 Giải bất phương trình: Luyện thi PTTH Quốc gia 2017 – Đại số  x  3x   x x   x   x x   x 1    x  3  Lương Anh Nhật ĐT:0964459734  0    x  1   x x   x   0   x   x   x     x  x   x  x   x  1 x x   x 1 x 33 x   x 1   x 0 x x 1 x 1    x  0 x x 1 0   x 1    x 1   1  x x    x 8  x 1   00 x8 x  x     x  So sánh điều kiện đề bài, kết luận: Bất phương trình có nghiệm  x  Nhận xét: Tuy tốn khơng rầm rầm rộ rộ khác để trục mẫu khơng phải dễ đâu nhé! Bài 16 Giải bất phương trình: x   x2  x  2x  2x 1  Hướng dẫn Điều kiện: x  1, x  13 Bất phương trình tương đương với: x 1     x  2 x   x2  x    x  x2  x   x       * 3 2x 1  2x 1  2x 1  Vừa có bậc ba bậc hai thường ta nên nghĩ đến dung đơn điệu, lưu ý nhỏ ta giải toán trục mẫu chia trường hợp ; dễ dàng thơi, ta có phép biến đổi sau: Trường hợp 1: x     x  13 *   x  1  x    x  1 x   x  ** Xét hàm số: f  t   t  t  f '  t   3t   f '  t   0, t  **  f    2x 1  f  x   x   x    x  1   x  1  x  1  1  0 x 2 So sánh điều kiện TH1, vô nghiệm Trường hợp 2: x     x  13 Giải tương tự, ta được: 10 Luyện thi PTTH Quốc gia 2017 – Đại số Lương Anh Nhật ĐT:0964459734   1  x    1 x   x      x  13  1  x   x      x  1   x  1 So sánh điều kiện TH2, ta được: 1  x   1  x  13 Kết luận: Bất phương trình có nghiệm 1  x   1  x  13 Nhận xét: Bài tốn khó khăn Bài 15 bạn nên lưu ý nhé! Tiếp theo số tập tự luyện BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Giải phương trình: x  x   3 x  x  x   x  x  ĐS: x  1 HD: Đánh giá hai thức BĐT Cauchy Bài 2: (PTTH Quốc gia 2016) Giải phương trình: 3log    x   x  2log     x   x log  x   1  log   3   ĐS: x  HD: Dạng đẳng cấp 17 3  8x  x2  Bài 3: Giải bất phương trình:    x    x 3x  2 x     ĐS: x  HD: Tương tự 15 x   x   49 x  x  42  181  14 x Bài 4: Giải bất phương trình: HD: Đặt ẩn phụ Bài 5: Giải bất phương trình: HD: Tương tự 16 ĐS:   x  1 x2  x  x  x   x  3 x   2x     x  1  x 6  1    1   ; 1   ,12      ĐS: S   11 Luyện thi PTTH Quốc gia 2017 – Đại số Lương Anh Nhật ĐT:0964459734 Phần tiếp bạn làm quen với số dạng thường gặp toán hệ phương trình xong chuyên đề câu điểm đề thi PTTH Quốc gia Theo quan điểm riêng tơi, câu hệ phương trình dễ thở so với hai dạng phương trình bất phương trình Tuy nhiên tùy theo ý đồ giả mà bạn bí hay khơng bí Bình tĩnh gải toán điều tất yếu!  x  y  xy  Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  2  x y  xy  HD: Thế bình thường  x  y 2   x  y   10  x  y 2   Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  x  y    3x  y  2 y  x  x   x  y Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:   y  x   xy  x HD: PT có dạng đẳng cấp HD: Dùng đơn điệu PT 1 2  x  2y  2 x  y   Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:     y2  x2  x y HD: Cộng trừ hai vế   y 1  x y   3x Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:  6  x y  x   HD: Chia hai vế PT cho x6  x  y   x   y  1 Ví dụ 6: Giải hệ phương trình:  2  x  y  xy   x  y  x  y  Ví dụ 7: Giải hệ phương trình:   x  y    x  y 2 HD: Dùng ẩn phụ HD: Dùng ẩn phụ u  x  y, v  x  y 2 x  y  x  y   2 7 x  12 x y  xy  y  x  y  Ví dụ 8: Giải hệ phương trình:  HD: Biến đổi hợp lý PT để thu thừa số chung y  x   7 x    y x    Ví dụ 9: Giải hệ phương trình:   x  y  y x   13 x  12    HD: Rút x  PT vào PT  x  3xy  y   x  xy  y   3x  xy  y Ví dụ 10: Giải hệ phương trình:  3x  10 xy  34 y  47 HD: Chuyển vế liên hiệp PT 12 Luyện thi PTTH Quốc gia 2017 – Đại số Lương Anh Nhật ĐT:0964459734 Các ví dụ nêu dạng thường gặp giải hệ phương trình Bản chất tốn theo quan điểm cá nhân dạng tập tích hợp kỹ từ việc giải phương trình Nhìn chung dạng cho thi dễ thở ln ln có phương trình làm cầu nối cho lời giải toán Dưới số dạng toán hay mà bạn nên tham khảo Một lưu ý, phần giải chi tiết số câu cần thiết làm khó người giải hai phương trình, câu lại đường dẫn để bạn tự làm việc  x  x  y  4  y 3 y  4    x  y    Bài Giải hệ phương trình:    3x  xy  22   y  x  y   x  y  1  xy   1 2 Hướng dẫn Đề có tác dụng gây rối người giải thôi, biểu thức dong dài phận đẳng thức để ý kỹ bạn dễ dàng có phép biến đổi sau: 1   x  y      x  y  2   y  x  4   y  x  t Xét hàm số: f  t   t   t , t   f '  t   t2    f '  t   0, t  Do đó, ta có: f  x  y    f  y  x   x  y   y  x  y   x Thay vào phương trình (2), ta được: x  x  22  x  x  x   x  x  22    x  x  x    x2  x  1 x  x2  2x  x  x  22   x  x  3 x  1   x  x  x     x  x  22   x          0   x  1    x  3 1   1  x x  x  22       A   B Vì x  nên A > B > Do x   y  Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm  x, y  1,    4 x   x   x  y  y    Bài Giải hệ phương trình:   x  y   2014 y  2015  x  4030 y  1  2 13 Luyện thi PTTH Quốc gia 2017 – Đại số Lương Anh Nhật ĐT:0964459734 Bài toán xu năm 2015, chế phù hợp với năm ơn thi thơi Cá nhân tơi chế tác lại hệ số cho phù hợp với năm đứng tâm người viết chuyên đề cần tơn trọng tác giả, điều tất yếu Bài toán hay phần đánh giá, phần lại bạn làm tốt tốn khơng có khó khăn cả! Hướng dẫn  2   x2  y    x  y   2015  y  1    x  y   x  1, y  + Xét x     x  , thay vào hệ có:  y  y     y  1  y      y   4  y  2014 y  2015  4030 y  y  2014 y  2015  4030 y + Xét x     x  , nhân hai vế 1 cho x   có: 1  x  4   x2  1  x2  x2  y3  y  2  x2  1  x2  y3  y    x2   x2   y3  y      x2 1   x    y   y  1 Vì x  1, y  nên  x   0,  x    3   x2     x    y   y  1  Do phương trình (3) vơ nghiệm Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm  x, y   0,1 x   x  x    y    x  1 y  1 Bài Giải hệ phương trình:  3x  x    x  1 y   1  2 Hướng dẫn Điều kiện x  1, y  1 x3  x  x   y    x  1 y  1 1 x x  x  x  1    y  2 y   x  1 x  1   x   x       x 1   x 1    y 1  y 1 Xét hàm số: f  t   t  t  f '  t   3t   f '  t   0, t  14 Luyện thi PTTH Quốc gia 2017 – Đại số  x   f  x 1  Do đó, ta có: f    y 1  Lương Anh Nhật ĐT:0964459734 x  y   x  Thay vào phương trình (2), ta có: x 1  3x  x   x x    x  1  x  x   2 x   x    x    3x  x    x  3  x  x   x      x  + x 1  x 1    x    13 x   + x    3x    x  13 9 x  10 x   x    Vì x > nên ta nhận x    y  43    Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm  x, y    3, 43     x  x2  x   y   y   Bài Giải hệ phương trình:    x  x   y   xy  y  x   y  x  Hướng dẫn Điều kiện: y  2  x   y  1  1 2 Bài toán dễ dàng thấy đơn điệu PT (1) nên ta có: 1   x  1   x  1   y  y2  Xét hàm số: f  t   t  t   f '  t    2t t2   f ' t    t  Xét f '  t    t   2t  t   f '  t    t  Dựa điều kiện, ta có: x   x 1   f  x  1  f  y   y  x   y 1  y 1 + Nếu  x   x 1   f  x  1  f  y   y  x   y 1  y 1 + Nếu  Thay vào PT (2) ta có: 15 Luyện thi PTTH Quốc gia 2017 – Đại số Lương Anh Nhật ĐT:0964459734 x  x   1  x   x   3   x    x  1  x 1   x  x   1  x   x  x    x  x    x 1  2 x  Từ   ,   cho ta: x   x    x 2 4 x  x     2 7   ;    Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm  x, y   1; 2  ,   y2  y   x  y   ln x  2x  Bài Giải hệ phương trình:  6 y   y  1 y   x  y   1  2 Hướng dẫn Chắc bạn nhớ Bài phần phương trình Áp dụng bà vào PT (1), ta dễ dàng có: x  y  Thay vào PT (2) ta được: x   x x   x  x   3 Xét x  có: x   x x     x  x  nên PT (3) vô nghiệm khoảng  ,1   x   x  10 x   Xét x  có: x   x x    x  1   1  x 2 Xét x  10 x   x  x   3x  12 x  12    x    2 Có đẳng thức x =  y  Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm  x, y   2,1  x2  y  3      x  y  1  1 xy  y x Bài Giải hệ phương trình:     x  1  xy  3x  y   x x  y  3  x  y    Hướng dẫn Điều kiện: x  0, 3  y  1  x  xy  y   x  y  x  x  y  y   xy  y    x  y     xy  y  x  y  2x  y  xy  y  0 16 Luyện thi PTTH Quốc gia 2017 – Đại số  2  x  x  y  3    x  y  3  Lương Anh Nhật ĐT:0964459734 x  y3  x y3  x  y   x  x  y  3   x  y  3   x  y3  0 Kết hợp hai điều kiện ta suy hệ có nghiệm Mà x  4, y  thỏa hệ phương trình Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm  x, y   4,1 Nhận xét: Các toán dung phương pháp đánh giá dạng cho phép người giải nhẩm nghiệm lý luận chặt chẽ mối tương quan phương trình Tuy nhiên phải giải nhiều bạn truy dạng 4 x2 16  y 8 y  x   y   y  y  17  x   y  35 y  88 x 2 Bài Giải hệ phương trình:     x2 1 x  x  y        , y  Hướng dẫn Điều kiện x   1  x 16  x   x  4 y   Xét hàm số f  t   4t 4 16   y  4  1 2 1  y   t   t , t   f '  t   2t.4t 4 ln  t  t t2 1  f '  t   0, t  Ta có: f  x   f  y    y  x  , thay vào PT (2) ta có: x   3x  1 x    x    3x   3x  11x  x4    2   2 x  x  2 x  2x2 1  5x2  x  5x  x   5x  x   x   2      3   x  1   3x  1  x2 1  x2    3 x   (Mò thơi bạn, phần chịu khó xíu!)  1   t  x  x   2    Đặt t  x  , có phương trình: 2t   3x  1 t  x  x       15 t  x  x     1      15 30  15  , ,  ;    2 7     Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm  x, y   4,8  ;  Nhận xét: Một số toán bất khả xâm phạm ta mò thôi! 17 Luyện thi PTTH Quốc gia 2017 – Đại số Bài Giải hệ phương trình: Lương Anh Nhật ĐT:0964459734 32  x  5  y 3 3     x x  y  1    1     Hướng dẫn Điều kiện: x  0, y  Đặt a  x  y 3   x   y  1 x,b     y  1   y  1 2  a  2a  b   b  a  2b    a  b   2   a  b    a  b   VP  a  b  2a  b  a  2b   Có: VT  Có đẳng thức a  b  x 2 x   32 y 3 3  x y    x  y   Thay vào phương trình (1), ta được: 5 32  x  y 3 y 3 3  * 5 Theo BĐT Cauchy, ta có:   x  y 3   x  y 3 3 y 3 3   2 32  x  y 3 y 3 3 Đẵng thức xảy khi:    32  x  y 3 y 3 3  8   VT  VP y 3 3 x  y 3   2   32  x  y 3 y 3 3    x     13 y    13   4  Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm  x, y   ,   x3  y   x  y      x  y   xy xy xy Bài Giải hệ phương trình:   3 2  x  x  x  x  y  x  y  y  Hướng dẫn 18 Luyện thi PTTH Quốc gia 2017 – Đại số 2 x  y Biến đổi phương trình (1) dạng: xy   3 x  x x y y   x y  x  3  5  được:   y y x x   y x   y    Đặt u  x , v  Đặt t  y xy   5 x  y  Lương Anh Nhật ĐT:0964459734 xy  chia hai vế cho xy ta y  8  x   u v3   u v   u v  y : pt               v u  v u  v u u v  , t  : pt  2t  3t  t   v u   t    2t  t  1   t   a  b  x  y x y Thay x = y vào phương trình (2) ta có: x3  x  x  x  x  x  x  x   x3  x  x  x3  x  x  x  x   x   x3  x  x  x3  x  x   x  1  x  Xét hàm đặc trưng: f  a   a  a, a   f '  a   2a   f '  a   0, a   f   x  x  x  f  x  1  x3  x  x  x    x   y  So điều kiện nhận x = y = Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm  x, y  1,1 Nhớ: Muốn giải tốt toán Phương trình, Bất phương trình hay Hệ phương trình điều thiết người nên đọc giải thật nhiều dạng toán thường gặp Đừng xem thường ví dụ đơn giản tốn khó dung hòa dạng cách có ẩn ý tác giả Chung quy lại, mà đưa vào phần tham khảo vừa tốn đại số vừa tốn tinh thần đòi hỏi bạn phải thật bình tĩnh vơ tư giải dù giải hay sai Kiến thức mà người khác cung cấp dù nhiều hay kiến thức người ta, muốn biến thành phải học Một câu gửi đến bạn: CÁCH CHUẨN BỊ TỐT NHẤT CHO MỘT KỲ THI LÀ LÀM THẬT TỐT BÀI TẬP ÔN THI! Chúc bạn sinh năm 1999 học vui! LUYỆN TẬP NHÉ! Bài 1: Giải bất phương trình:  x    x  x  3   x   x  x   3x  1 1   ,    2,     ĐS: S   Bài 2: Giải bất phương trình: x   x   x2  x   x  x2  x  ĐS: S  3;   19 Luyện thi PTTH Quốc gia 2017 – Đại số Lương Anh Nhật ĐT:0964459734 x2 2 Bài 3: Giải bất phương trình:  x2  2x  4   x  2  ĐS: x    x2  x  1  x2  x  HD: Chuyển vế liên hiệp dung ẩn phụ u    Bài 4: Giải bất phương trình:  x x   Bài 5: Giải bất phương trình: x  x   ĐS: S  1;   x2  x  x    x   x   3x  x  ĐS: S  1; 2  3;   HD: Nhẩm x  2, x  dùng liên hiệp Bài 6: Giải bất phương trình: x  x    HD: Thừa số chung   x2 x  x2  x   x  x   x , liện hiệp đặt ẩn phụ Bài 7: Giải bất phương trình: x2   3x   x2   ĐS: x    ĐS: S  ;     2;  HD: Dùng ẩn phụ t  x2  Bài 8: Giải bất phương trình:  13   x  13  57  10 x  3x  x   x2  2x  x   19  3x HD: Xem lại tập trang 9, 10 ĐS: S   2;1 1   x  y  12  1   x  y  1 Bài 9: Giải hệ phương trình:   x  y     y   x  y   y  HD: Ẩn phụ u  x  y  , sau dung đơn điệu ĐS:  2;  ,  3;3   3x  y   y  3x   x  y  Bài 10: Giải hệ phương trình:   x3  y  y  x  x  y   x   y  x      HD: Dùng ẩn phụ t  y  x đánh giá BĐT Cauchy   1 2 ĐS:  0;  ,  1;0  3 2   x  y  x  y  3x  y Bài 11: Giải hệ phương trình:  x  y  10 y   y  x   x  13 y  x  32       20 Luyện thi PTTH Quốc gia 2017 – Đại số Lương Anh Nhật ĐT:0964459734 HD: Đơn điệu PT trên, ý đoạn sau phải chứng minh phương trình vơ nghiệm ĐS:  2,     y  y  x 3x3  12 x x   x  x  3x  x   x  x  1  Bài 12: Giải hệ phương trình:   x  y   x  y HD: PT dung hàm số, ý biến cần đặt lại cho dễ nhìn      89  89 89   ĐS: 1;1 , ;  1   16   21