Xấp xỉ hàm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA:TOÁN ********** NGUYỄN THỊ THẢO XẤP XỈ HÀM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN VĂN HÙNG HÀ NỘI – 2012 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo khoa Tốn tạo điều kiện, giúp đỡ, bảo tận tình cho chúng em suốt bốn năm qua Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy Nguyễn Văn Hùng - người trực tiếp hướng dẫn, bảo góp ý cho em q trình thực khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè động viên, giúp đỡ em suốt bốn năm học qua Kính mong nhận góp ý chân thành từ phía thầy bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên Nguyễn Thị Thảo LỜI CAM ĐOAN Khóa luận em hồn thành hướng dẫn thầy Nguyễn Văn Hùng với cố gắng thân em trình nghiên cứu thực khóa luận Ngồi ra, em có tham khảo thêm số tài liệu khác số tác giả (đã nêu mục Tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân, không trùng với kết nghiên cứu tác giả khác Nếu sai, em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Sinh viên Nguyễn Thị Thảo MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Không gian tuyến tính 1.2 Không gian định chuẩn 1.3 Không gian Hilbert .8 Chương 2: PHÉP NỘI SUY 2.1 Đa thức nội suy Lagrange 10 2.3 Sai phân 26 2.4 Tỷ sai phân 34 Chương 3: XẤP XỈ ĐỀU 3.1 Xấp xỉ tốt khơng gian tuyến tính định chuẩn .49 3.2 Xấp xỉ tốt không gian tuyến tính định chuẩn C[a;b] .49 3.3 Một số trường hợp đặc biệt 51 3.4 Ví dụ 53 Chương 4: XẤP XỈ TRUNG BÌNH PHƯƠNG 4.1 Bất đẳng thức Bessel bất đẳng thức Parseval 57 4.2 Xấp xỉ tốt không gian Hilbert 58 4.3 Xấp xỉ tốt L2 [ a,b ] 60 4.4 Ví dụ 67 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải tốn có nguồn gốc từ thực tiễn Cùng với thời gian, toán học ngày phát triển chia thành hai lĩnh vực: Tốn học lý thuyết Tốn ứng dụng Nói đến tốn ứng dụng, ta khơng thể khơng nói đến Giải tích số Giải tích số mơn khoa học nghiên cứu cách giải gần phương trình, toán xấp xỉ hàm số, toán tối ưu Sự đời phát triển Giải tích số góp phần quan trọng tạo thuật giải toán thực tế như: tốn ngược lĩnh vực thăm dò, chuẩn đốn, nhận dạng… Ngày nay, với phát triển tin học kiến thức Giải tích số trở nên cần thiết Chúng ta chứng kiến xu song song hóa diễn tất lĩnh vực Giải tích số Để tiết kiệm nhớ máy tính, người ta đề xuất phương pháp hữu hiệu xử lý hệ lớn, thưa kỹ thuật nén ma trận, kỹ thuật tiền xử lý ma trận… Vì ứng dụng rộng rãi Giải tích số với niềm u thích mơn Giải tích số, em chọn đề tài cho khóa luận tốt nghiệp em là: “Xấp xỉ hàm” Khóa luận gồm bốn chương: Chương 1: Một số khái niệm Chương 2: Phép nội suy Chương 3: Xấp xỉ Chương 4: Xấp xỉ trung bình phương GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Chương Xấp xỉ hàm MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Khơng gian tuyến tính Định nghĩa 1.1 Trên tập X ≠ ∅ , xác định cấu trúc tuyến tính λ với x, y ∈ X với t ∈ R (hoặc t ∈C ) xác định phép cộng x + y ∈ X phép nhân tx ∈ X thỏa mãn tính chất sau: a) x + y = y + x b) (x + y) + z = x + ( y + z) s(tx) = (st)x c) (s + t)x = sx + tx t(x + y) = tx + ty d) ∃ θ ∈ X : x +θ = x,∀x ∈ X e) ∃ (−x)∈ X : x + (−x) = 0,∀x ∈ X f) 1x = x Trong x, y, z ∈ X ; s,t ∈ R (hoặc Khi ( X , λ) s,t ∈C ) khơng gian tuyến tính Định nghĩa 1.2 Cho hệ n véctơ x1, x2 , , xn không gian tuyến tính X Xét đẳng thức véctơ: Nguyễn Thị Thảo -6- K34A SP Toán GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Xấp xỉ hàm α1x1 + α2 x2 + + αn xn = Đẳng thức xảy α1 = α = = αn = α1 , α2 , ,αn với hệ n véctơ độc lập tuyến tính tồn n ∑ để đẳng thức xảy hệ n véctơ phụ α i=1 >0 i=1 thuộc tuyến tính Tập hợp K X gọi lồi nằm K Nguyễn Thị Thảo -7- đoạn thẳng nối x, y ∀x, y ∈ K K34A SP Tốn 1.2 Khơng gian định chuẩn 1.2.1 Một vài định nghĩa Định nghĩa 1.3 Giả sử X khơng gian tuyến tính R Ánh xạ : X → R định X lấy giá trị tập số thực: kiện: a) x ≥ 0,∀x ∈ X x = 0⇔ b) x + y ≤ x + c) x ∈ R,∀x ∈ X xác thỏa mãn điều x= y , ∀x, y ∈ X λ x x ,∀λ ∈ R,∀x ∈ X = λ gọi chuẩn X Không gian tuyến tính X với gọi khơng gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.4 Hai chuẩn , xác định khơng gian tuyến tính X gọi tương đương tồn hai số c1,c2 cho: >0 x ≤ x ,∀x ∈ X c c x Định nghĩa 1.5 Cho ≤ X ,Y hai khơng gian tuyến tính định chuẩn Ánh xạ A : X → Y gọi bị chặn tồn số M > cho: Ax ≤ M x Y X ,∀x ∈ X 1.2.2 Một vài định lý ví dụ Định lý 1.1 Nếu X khơng gian tuyến tính hữu hạn chiều chuẩn X tương đương Chứng minh Thật vậy, giả sử X có hai chuẩn cho trước Gọi S= {x ∈ X: x = Vì S đóng X có số chiều hữu hạn nên } đạt max S , kí hiệu M m tương ứng Xét x ≠ phần tử X , đó: x =x Vì rằng: = nên m x x ≤ x x x1 = x x x1 1 ≤ M x ≤ M , m x ≤ x x 1 Vậy hai chuẩn tương đương Định lý 1.2 Tốn tử tuyến tính A : X bị chặn A tốn tử liên → tục Y Ví dụ 1.1 Xét C[0,1] hàm số liên tục x = x(t) ∈ C[0,1], [ 0,1] Với y = y(t) ∈C[ 0,1] , ∀k ∈ R Không gian C[0,1] Với ta định nghĩa: (x + y)(t) = x(t) + y(t),∀t ∈[0,1] (kx)(t) = kx(t),∀t ∈[0,1] với hai phép tốn khơng gian tuyến tính ... là: Xấp xỉ hàm Khóa luận gồm bốn chương: Chương 1: Một số khái niệm Chương 2: Phép nội suy Chương 3: Xấp xỉ Chương 4: Xấp xỉ trung bình phương GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Chương Xấp xỉ hàm MỘT... Ví dụ 53 Chương 4: XẤP XỈ TRUNG BÌNH PHƯƠNG 4.1 Bất đẳng thức Bessel bất đẳng thức Parseval 57 4.2 Xấp xỉ tốt không gian Hilbert 58 4.3 Xấp xỉ tốt L2 [ a,b ] 60 4.4... phân 26 2.4 Tỷ sai phân 34 Chương 3: XẤP XỈ ĐỀU 3.1 Xấp xỉ tốt khơng gian tuyến tính định chuẩn .49 3.2 Xấp xỉ tốt không gian tuyến tính định chuẩn C[a;b] .49 3.3 Một