Hệ phương trình tuyến tính

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Tốn TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN  NGUYỄN THỊ HUỆ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành : Giải tích HÀ NỘI, 2012 Nguyễn Thị Huệ Lớp K34A TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN  NGUYỄN THỊ HUỆ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành : Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN VĂN HÙNG HÀ NỘI, 2012 Lời cảm ơn Sau thời gian miệt mài nghiên cứu giúp đỡ thầy cô giáo bạn sinh viên đến khóa luận em hoàn thành Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến Sĩ Nguyễn Văn Hùng hướng dẫn giúp đỡ em tận tình q trình chuẩn bị hồn thành khóa luận Em xin trân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Tốn tạo điều kiện cho em có hội để tập dượt với việc nghiên cứu khoa học Đồng thời em xin trân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy cô tổ giải tích, động viên giúp đỡ, đóng góp ý kiến bạn bè dành cho em trình học tập hồn thành khóa luận Vì lần em làm quen với công việc nghiên cứu kiến thức thân hạn chế nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót Em mong đóng góp ý kiến thầy bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Em xin trân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Huệ Lời cam đoan Em xin cam đoan khóa luận cơng trình nghiên cứu riêng em Trong nghiên cứu, em kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Những kết nêu khóa luận chưa cơng bố cơng trình khác Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Huệ Mục lục Lời cảm ơn……………………………………………………………………1 Lời cam đoan…………………………………………………………………2 Mở đầu……………………………………………………………………… Nội dung Chương 1: Một số kiến thức bản………………………………………….6 1.1 Số gần sai số………………………………………………… 1.2 Chữ số có nghĩa, chữ số chắc………………………………………… 1.3 Sai số tính tốn………………………… ………………………….… 1.4 Bài toán ngược toán tham số………………………………… 12 Chương 2: Lý thuyết hệ phương trình tuyến tính……………………… 13 2.1 Các dạng biểu diễn hệ phương trình tuyến tính…………………………13 2.2 Một số khái niệm……………………………………………………… 14 2.3 Nghiệm điều kiện tồn nghiệm……………………… ………….14 2.4 Hệ n phương trình n ẩn…………………………………………………15 2.5 Phân tích sai số………………………………………………………….17 2.6 Chuẩn ma trận chuẩn củavec tơ…………………………………19 Chương 3: Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính……… ….20 3.1 Phương pháp trực tiếp giải hệ phương trình tuyến tính………………20 3.1.1 Phương pháp Gauss………………………………………………… 20 3.1.2 Phương pháp Cholesky……………………………………………….27 3.1.3 Phương pháp trực giao hóa………………………………………… 31 3.2 Phương pháp gián tiếp giải hệ phương trình tuyến tính… ………… 34 3.2.1 Phương pháp lặp đơn………………………………………… …… 34 3.2.2 Phương pháp Jacobi………………………………………………… 40 3.2.3 Phương pháp Seidel………………………………………………… 42 3.2.4 Phương pháp Gauss-Seidel…………………………………… …….45 Chương 4: Bài tập áp dụng………………………………………………… 48 Kết luận…………………………………………………… ………………63 Tài liệu tham khảo………………………………………………………… 64 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Các tốn ứng dụng kinh tế kĩ thuật thường không đẹp khơng thể giải theo phương pháp tính Người ta cần phương pháp giải có tính chất thuật giải kết gần sai số phải “đủ nhỏ” (thường hội tụ 0) Cho dù phương pháp đòi hỏi lượng phép tính lớn, với máy tính toán dễ dàng giải Một ngành học nghiên cứu phương pháp giải tích số Phương pháp giải tích số có ý nghĩa lớn đại số tuyến tính, đặc biệt việc giải hệ phương trình tuyến tính Khi số phương trình lớn phương pháp truyền thống nhiều gặp khó khăn, khơng thể giải cách xác mà đưa lời giải gần cho tốn Chính em chọn đề tài “ Hệ phương trình tuyến tính” với nội dung chủ yếu tìm phương pháp giải gần hệ n phương trình tuyến tính n ẩn để làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu kiến thức hệ phương trình tuyến tính -Làm rõ phương pháp giải gần hệ phương trình tuyến tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: kiến thức hệ phương trình tuyến tính Phạm vi nghiên cứu: kiến thức sai số; phương pháp giải trực tiếp; gián tiếp hệ phương trình tuyến tính Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày lý thuyết hệ phương trình tuyến tính - Đề xuất phương pháp giải gần hệ phương trình tuyến tính Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sử dụng lí luận, cơng cụ toán học Nghiên cứu sách tham khảo, tài liệu liên quan Nghiên cứu lí luận, tổng hợp, đánh giá Cấu trúc khóa luận Gồm phần: Phần I: Mở đầu Phần II: Nội dung Gồm chương Chương 1: Một số kiến thức Chương 2: Lý thuyết hệ phương trình tuyến tính Chương 3: Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính Chương 4: Bài tập áp dụng NỘI DUNG Chương 1: Một số kiến thức 1.1 Số gần sai số 1.1.1 Định nghĩa * Trong thực tế tính tốn ta thường khơng biết số a mà biết số đủ gần a Ta nói a số gần nhiều Đại lượng   * * a , a không sai khác a a  gọi sai số thực a a * Do a* nên cũng khơng biết ta tìm số  a  cho a   a  a * (1.1) hay a     a* a a a Số a thỏa mãn (1.1) gọi sai số tuyệt đối a Tỉ số   gọi sai số tương đối a a a a * Ví dụ 1.1.1 Cho số a ; 3.14 a  3.14  * 3.14 a  * a  3.15;  3.142 ; a 0.01  0.002  a  Trong phép đo nói chung sai số tuyệt đối nhỏ tốt Ví dụ 1.1.2 Đo độ dài hai đoạn thẳng AB, CD ta a 10cm b 1cm ; với a   b 0.01 Khi ta có  0,1% a b  1% hay b 10a  Hiển nhiên phép đo a xác phép đo b a b Như độ xác phép đo phản ánh qua sai số tương đối 1.1.2 Sai số thu gọn Xét số thập phân a biểu diễn dạng a (  10   10 )  .1 p1  p pq p p  p  Trong  9 ; > p 1 ;  i i p q p  Nếu p  q 0 a số nguyên  Nếu  p   q  p q chữ số 0 a số thập phân có phần lẻ gồm  thì a số thập phân vơ hạn  Nếu p q Ví dụ 1.1.2.1 2403  4 10 102 Ta thấy p Ví dụ 1.1.2.2  q 25.134  Ta thấy p  chữ số q 0 10 310 0 nên 2403 số nguyên 2 10   1 1 10 10   2 10  10 3 3 nên 25.134 số thập phân có phần lẻ gồm a   Thu gọn a vứt bỏ số chữ số bên phải a để số ngắn gọn đảm bảo độ xác cần thiết  Quy tắc thu gọn Giả sử : a   (p 10 p   j  10 j    10 pq p q ) 0.2554 1.1124 0.2226 0.2467 1.1138 0.2237 0.2472 1.1143 0.2243 0.2474 1.1145 0.2243 0.2475 1.1145 0.2243 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm gần đúng: x  0.2475; 1.1145; 0.2243T b) Hệ phương trình đưa dạng : 10x1 10x2   10x3 20x4  0.9x1   1.2x2  2.1x3  0.9x4  7.0  1.2x2  1.5x3  2.5x4  5.3  1.5x2  0.2x3  1.3x  10.3  2.5x2  1.3x3  24.3 1.2x1  1.1x4  2.1x1  0.9x1 x1 x2   x3 x   0.09x1   0.12x2  0.21x3  0.09x4  0.70  0.12x2  0.15x3  0.25x4  0.53  0.15x2  0.02x3  0.13x  1.03  0.125x2  0.065x3  0.055x4  1.215 0.12x1  0.21x1  0.045x1 Chọn x( )  0.7; 0.53; 1.03; 1.215T Ta có bảng sau: k x)(1k 0.7 x)(k2 0.53 x(k3 ) 1.03 x)(4k 1.215 1.026250 0.09215 0.960150 1.046475 0.914509 0.236451 1.114851 1.129696 0.981859 0.161715 1.062015 1.091997 0.952341 0.196115 1.091213 1.112533 0.967106 0.178932 1.077769 1.103951 0.960119 0.186927 1.084294 1.108075 0.963449 0.183120 1.081222 1.103416 0.961628 0.185602 1.083036 1.107201 0.962812 0.183867 1.081826 1.103779 10 0.961935 0.184677 1.082755 1.104316 11 0.962354 0.184778 1.082986 1.104085 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm gần Bài 0.962354; x  0.184778; 1.082986; 1.104085T Hệ phương trình đưa dạng : x1  x  x   x4  0x1  0.1x1   0.1x2  0x2  0.15x2  0.2x3  0.1x3  0x3  0.3x4  0.2x4  0.05x4   0.5  0.1x2  0.05x3  0x4  0.75  0.5 0.1x1  0.15x1 Hay x Bx g 0 0.1  0.2 0.3  0  ; 0.1 0,1 B   g 0.1 0.15 0.05   0.05 0.15 0   B max 0.35; 0.35; 0.35; 0.55  Chọn x(0) 0; 0.5; 0.5; 0.75T     0.5    0.5    0.75   0.55 1 ta có bảng sau: k x)(1k x)(2k 0.5 x)(3k 0.5 x)(4k 0.75 0.375 0.3 0.5375 0.725 0.355 0.26375 0.54625 0.690625 0.3428125 0.27175 0.54053125 0.6976875 0.3445875 0.272128125 0.344693718 0.271892625 0.54015937 0.69863437 0.540369796 0.69810703 0.344695331 0.271872242 0.540347914 0.69812407 Đánh giá sai số : (6) B x(6)  x(*)   B 0.55   Bài x(1)  x (0)  1  B (6) g 1 0.75 0.04613 0.45 a) Hệ phương trình đưa dạng : x 1 x  x  0x1   0.1x2  0x2  0.1x2 0.1x1   0.1x3  0.1x3  0x3  1.2  1.2  1.2 0.1x1 0.1 0 1   0.1 ; 0.1  g với B  g    0.1 0.1  0 Hay x  Bx  hội tụ Ta thấy B  max 0.2  Phân tích B  B1   0.2; 0.2; B với B1 1.2    1.2 ; 1.2   0.2 1 thỏa mãn điều kiện 0 0     0.1 0    0.1 0.1    0 0.1 0.1   B2  0.1   (k Ta có x 1) B  x(k 1)  Bx x ( k 1)  (k x Hay 1)  x ( k 1)  Chọn x(0) (k ) 0 0  g  )  0.1x (k  0.1x( k 1) (k  0.1x )  0.1x 1) (k 1.2; 1.2; 1.2T Ta có bảng sau:  1.2  1.2  1.2  0.1x( k )  0.1x( k 1)   k x(k1 ) x)(2k x)(3k 1.2 1.2 1.2 0.96 0.984 1.0056 1.00104 0.999336 1.00128 1.00007016 0.9999967 0.999962 Kết luận : Hệ phương trình có nghiệm gần x = ( 1.00007016; 0.999967; 0.999924) T b) Đưa hệ phương trình dạng x1  x  x   x4  0x1  0.25x1  0.0425x1  0.25x2  0x2  0.53x2  0.1x3  0.575x3  0x3  0.15x4  0.15x4  0.1x4  1.2625  0.3705  0.06x2  0.525x3  0x4  0.912  1.2975  0.09x1 ( k 1) x ( k 1)  x (k)  0.25x2 (k  0.25x 1)  0.1x)( k (k  0.575x  )  ( k 1) x (3k 1)  0.0425x(1) (k x  0.53x  k  1) Ta có bảng sau k x)(k2 0.3705  0.15x() k  0.15x() k  0.1x)( k  0.525x( k  1.2625  0.3705  1.2975  0.912 x)(1k 1.2625 x)(k3 1.2975 x)(4k 0.912 1.362175 0.85290 0.812152 1.40980 1.179530 0.6028399 0.887145 1.240236 0.666828 0.852017 1.44773 1.43092 1.225229 0.640355 0.867092 1.4907 1.231563 1.228818 0.651829 0.646793 0.860465 0.863377 1.43547 1.43705 Kết luận: Hệ có nghiệm gần x = ( 1.228818; 0.646793; 0.863377; 1.437059) Nguyễn Thị Huệ 60 T Lớp K34A Bài 7: Nhận xét: Hệ phương trình với ma trận đường chéo trội nên phương pháp Gauss-Seidel hội tụ Hệ phương trình đưa dạng:  x 0x      x  23   x x     x x  x  x  Hay x  Bx  x  23  x        01 1     6 x  35 36  72 x 12  x   0x  g; 23 x  x  x 4  x 23  x  x x 72  Trong B  35  x x  0x x  1 x 0x 35 1    x 1 x        12       23     23  23 23      35 35 35    1 72 72 36   Phân tích B   B B ma trận tam giác dưới; B ma B 2 trận tam giác Do ta có phép lặp đơn: x1)( k B x(  k 1)  B x( k  g )  x ( k 1) x )      x  (k x 1)     35 x  (k ) 23   ( k 1) x x  ( x (k)  k) ( k 1)   x( k 1)      ( k 1) x  x ( k) x ( k 1)  (k x  ( x (k)  12 x( k 1)  23 x( k )  23 4 k) x( k 1) 35  1 x( k 1)  x( k )  23 x( k ) 35 1 72 36  x ( k 1) x( k 1)   Chọn x(0)   x( k 1) 72 x( k 1)  x( k 1)  3; 6;  2 T 2; 2; Ta có bảng sau k x)(1k x)(2k x)(3k x)(4k 2 x)(5k 2 4.83333 0.94927 1.45942 1.64295 3.96000 5.24551 0.82238 1.43137 1.60619 4.03056 5.28946 0.806941 1.42165 1.59793 4.03664 5.29386 0.80494 1.42083 1.59723 4.03741 5.29454 0.80469 1.42071 1.59715 4.03752 5.29462 0.80466 1.42070 1.59713 4.03753 5.29462 0.80466 1.42926 1.59737 Kết luận: Hệ có nghiệm gần x  4.03753; 5.29462; 0.80466; 1.4292 1.59737T 6; Kết luận Trên tồn đề tài “ Hệ phương trình tuyến tính” Đối chiếu với mục đích nghiên cứu đề tài hoàn thành nhiệm vụ đặt Đề tài nghiên cứu lý thuyết hệ phương trình tuyến tính phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính mà trọng tâm phương pháp giải gần Từ thấy sức mạnh ngành tốn học Giải tích số, Tin học sống Từ sở lý thuyết đến cách tiếp cận với phương pháp giải xếp theo trình tự hợp lí Mặc dù có nhiều cố gắng tìm tòi, nghiên cứu khả thời gian có hạn nên đề tài khơng tránh khỏi thiếu xót Vì em mong bảo, đóng góp ý kiến thầy giáo bạn sinh viên để đề tài hoàn chỉnh Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Huệ Tài liệu tham khảo Phạm Kỳ Anh (2005) Giải tích số - NXB Đại học Quốc Gia Hà TS.Phan Đăng Cầu, TS.Phan Thị Hà, Phương pháp số- NXB Nội Học Viện Cơng Nghệ Bưu Chính Viễn Thông Nguyễn Minh Chương (chủ biên), Nguyễn Văn Khải, Khất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường, Giải tích số - NXB Giáo Dục Tạ Văn Đĩnh, Phương pháp tính – NXB Giáo Dục Phan Hồng Trường (2001) Đại số tuyến tính- NXB Đại học sư phạm Hà Nội ... số; phương pháp giải trực tiếp; gián tiếp hệ phương trình tuyến tính Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày lý thuyết hệ phương trình tuyến tính - Đề xuất phương pháp giải gần hệ phương trình tuyến tính. .. “ Hệ phương trình tuyến tính với nội dung chủ yếu tìm phương pháp giải gần hệ n phương trình tuyến tính n ẩn để làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu kiến thức hệ phương trình. .. thức hệ phương trình tuyến tính -Làm rõ phương pháp giải gần hệ phương trình tuyến tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: kiến thức hệ phương trình tuyến tính Phạm vi nghiên cứu: