Hàm một biến

Trường ĐHSP Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA: TOÁN  MAI THẢO LOAN TÊN ĐỀ TÀI: HÀM MỘT BIẾN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN VĂN HÙNG HÀ NỘI – 2012 GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Mai Thảo Loan K34B LỜI CẢM ƠN Sau thời gian miệt mài nghiên cứu hồn thành khố luận trước tiên cho em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô giáo tổ Giải tích – Khoa Tốn trường ĐHSP Hà Nội động viên giúp đỡ em suốt trình thực hồn thành khố luận Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn T.s Nguyễn Văn Hùng tạo điều kiện tốt bảo tận tình để em hồn thành khố luận tốt nghiệp Do thời gian kiến thức có hạn nên vấn đề trình bày khố luận khơng tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận ý kiến đóng góp q báu thầy bạn sinh viên để khoá luận em hoàn thiện Một lần em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Mai Thảo Loan GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng SVTH: Mai Thảo Loan K34B LỜI CAM ĐOAN Khoá luận tốt nghiệp em hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo T.s Nguyễn Văn Hùng với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu em kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Em xin cam đoan kết nghiên cứu khoá luận tốt nghiệp kết nghiên cứu thân, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Mai Thảo Loan MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN… …………………………………………………….… LỜI CAM ĐOAN……………………………………………………………….2 MỤC LỤC……………………………………………………………………… MỞ ĐẦU…………………………………………………… .… Lý chọn đề tài…………………………………………………………… Mục đích nghiên cứu……………………………………………………….….7 Đối tượng nghiên cứu………………………………………………………….7 Phương pháp nghiên cứu………………………………………………… Cấu trúc khóa luận…………………………………………………….… NỘI DUNG…………………………………………………………………… Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM MỘT BIẾN…………….9 1.1 Các khái niệm hàm biến………………………………… 1.1.1 Khái niệm biến số……………………………………………………….….9 1.1.2 Các biến số kinh tế……………………………………………………… 1.1.3 Khái niệm hàm số……………………………………………………… 10 1.1.4 Quan hệ hàm số biến số……………………………………… 11 1.1.5 Đồ thị hàm số……………………………………………………… 12 1.1.6 Khái niệm hàm ngược………………………………………………… 12 1.2 Một số hàm đặc biệt………………………………………………… … 14 1.2.1 Hàm số đơn điệu……………………………………………………….14 1.2.2 Hàm số bị chặn………………………………………………………… 14 1.2.3 Hàm số chẵn hàm số lẻ…………………………………………….….14 1.2.4 Hàm tuần hoàn………………………………………………………… 15 1.3 Các hàm số sơ cấp phép toán sơ cấp hàm số……15 1.3.1 Các hàm số sơ cấp bản……………………………………………… 15 1.3.2 Các phép toán sơ cấp hàm số……………………………… 16 1.4 Một số mô hình hàm số phân tích kinh tế…………………….… 17 1.4.1 Hàm cung hàm cầu……………………………………………………17 1.4.2 Hàm sản xuất ngắn hạn………………………………………………… 18 1.4.3 Hàm doanh thu, hàm chi phí hàm lợi nhuận………………………….19 1.4.4 Hàm tiêu dùng hàm tiết kiệm……………………………………… 20 Chương GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN…………………………….20 2.1 Khái niệm giới hạn hàm số biến số…………………………….20 2.1.1 Định nghĩa giới hạn hàm số…………………………………… … 20 2.1.2 Giới hạn phía……………………………………………………… 21 2.2 Giới hạn hàm số sơ cấp bản………………………………….22 2.2.1 Giới hạn điểm thuộc miền xác định…………………………… 22 2.2.2 Giới hạn đầu mút khoảng xác định giới hạn x → ∞… 22 2.3 Các định lý giới hạn………………………………………… 23 2.3.1 Tính chất hàm số có giới hạn hữu hạn……………………………….23 2.3.2 Các quy tắc tính giới hạn……………………………………………… 28 2.3.3 Các dạng vô định……………………………………………………… 30 2.4 Vô bé vô lớn……………………………………………… 31 2.4.1 Khái niệm vô bé……………………………………………………31 2.4.2 Bậc vô bé…………………………………………………….31 2.4.3 Khái niệm vô lớn………………………………………………… 33 2.4.4 Bậc vô lớn…………………………………………………… 34 2.5 Một số tập…………………………………………………………… 34 Chương TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN…………………… 38 3.1 Khái niệm hàm số liên tục……………………………………………… 38 3.1.1 Hàm số liên tục điểm………………………………………….…38 3.1.2 Hàm số liên tục miền………………………………………… 40 3.2 Các phép toán sơ cấp hàm số liên tục………………………41 3.3 Các tính chất hàm số liên tục……………………………… 43 3.3.1 Định lý giá trị trung gian…………………………………………… 43 3.3.2 Tính bị chặn hàm số liên tục khoảng đóng…………… 3.3.3 Tính liên tục hàm số đơn điệu với miền giá trị khoảng… 44 45 3.3.4 Tính liên tục hàm ngược…………………………………………… 46 3.4 Một số tập…………………………………………………………… 46 Chương ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ………………………………………47 4.1 Khái niệm đạo hàm……………………………………………………….47 4.1.1 Khái niệm đạo hàm…………………………………………………… 47 4.1.2 Tính liên tục hàm số có đạo hàm……………………………….… 50 4.1.3 Đạo hàm độ dốc đường cong…………………………………… 50 4.2 Đạo hàm hàm số sơ cấp ……………………………… 51 4.3 Các quy tắc tính đạo hàm……………………………………………… 52 4.3.1 Đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương hàm số……………………… 52 4.3.2 Đạo hàm hàm hợp………………………………………………… 53 4.3.3 Đạo hàm biểu thức luỹ thừa mũ phương pháp logarit hoá……….54 4.4 Ứng dụng đạo hàm toán học………………………………….55 4.4.1 Tính giới hạn dạng vơ định……………………………………… …55 4.4.2 Đạo hàm hướng biến thiên hàm số…………………………… 59 4.4.3 Đạo hàm cấp cao……………………………………………………… 61 4.5 Tìm điểm cực trị hàm số………………………………………63 4.5.1 Khái niệm cực trị địa phương………………………………………… 63 4.5.2 Điều kiện cần cực trị……………………………………………… 63 4.5.3 Bài tốn cực trị tồn thể……………………………………………… 66 4.6 Liên hệ đạo hàm cấp hai tính lồi, lõm hàm số………… 67 4.6.1 Định nghĩa hàm số lồi hàm số lõm……………………….……… 67 4.6.2 Liên hệ với đạo hàm cấp hai………………………………………….….69 4.6.3 Điểm uốn hàm số……………………………………………….……70 4.7 Sử dụng đạo hàm phân tích kinh tế………………………………70 4.7.1 Ý nghĩa đạo hàm kinh tế học………………………… …… 70 4.7.2 Sự lựa chọn tối ưu kinh tế………………………………… …… 74 4.8 Một số tập…………………………………………………………… 78 Chương VI PHÂN CỦA HÀM SỐ……………………………………….79 5.1 Khái niệm vi phân……………………………………………………… 80 5.2 Các quy tắc tính vi phân……………………………………………… 80 5.2.1 Vi phân tổng, hiệu, tích, thương hàm số………………………81 5.2.2 Tính bất biến biểu thức vi phân………………………………… .81 5.3 Các định lý hàm số khả vi………………………………… 81 5.4 Vi phân cấp cao………………………………………………………… 84 5.4.1 Định nghĩa……………………………………………………………… 84 5.4.2 Công thức Taylor……………………………………………………… 85 5.5 Một số tập…………………………………………………………… 88 KẾT LUẬN…………………………………………………………………….89 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………….90 I MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Mọi vật xung quanh biến đổi theo thời gian Chúng ta nhận thấy điều qua chuyển động học vật thể: ô tô, máy bay,… thay đổi đại lượng vật lý: hàng hoá, lãi suất tiết kiệm Tất loại hình gán tên chung đại lượng hay hàm số, phụ thuộc vào đối số chẳng hạn thời gian Xem xét hàm số tức quan tâm đến giá trị, tính chất biến thiên Việc đặt nhu cầu khách quan cho người xã hội Do với hướng dẫn tận tình thầy giáo T.s Nguyễn Văn Hùng em chọn đề tài “ HÀM MỘT BIẾN ” để nghiên cứu luận văn tốt nghiệp MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Bước đầu làm quen với cơng việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu hàm biến NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Nghiên cứu số sở lý thuyết liên quan đến hàm biến: giới hạn, tính liên tục, đạo hàm vi phân ngồi đưa mơ hình sử dụng tốn học phân tích kinh tế PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp đọc sách - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm CẤU TRÚC KHỐ LUẬN Ngồi phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khoá luận gồm Chương : Các khái niệm hàm biến Chương 2: Giới hạn hàm biến Chương 3: Tính liên tục hàm biến Chương 4: Đạo hàm hàm số Chương 5: Vi phân hàm số II NỘI DUNG Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM MỘT BIẾN 1.1 Các khái niệm hàm biến 1.1.1 Khái niệm biến số Biến số ký hiệu mà ta gán cho số thuộc tập số X ≠ ∅ cho trước (X ⊂ R) Tập hợp X gọi miền biến thiên (MBT) số thực x0 ∈ X gọi giá trị biến số Từ biến số gọi tắt biến Các biến số thường ký hiệu chữ cái: x, y, z, …trong toán học người ta thường xét biến số thay đổi giá trị cách liên tục với miền giá trị khoảng số Các khoảng số ký hiệu sau: Khoảng đóng (đoạn): (a; b] = {x: a ≤ x ≤ b} Khoảng mở : (a; b) = {x: a < x < b} Các khoảng nửa mở : [a; b) = {x: a ≤ x < b} (a; b] = {x: a < x ≤ b} Các khoảng vô hạn : (-∞; b] ={x: x ≤ b} (-∞; b) = {x: x < b} [a; +∞ ) = {x: x ≥ a} (a; +∞) = {x: x > a} (-∞; +∞) = R 1.1.2 Các biến số kinh tế Trong lĩnh vực kinh tế người ta thường quan tâm đến đại lượng như: giá cả, lượng cung, lượng cầu, doanh thu,… Khi phân tích xu hướng thay đổi giá trị số vdu − udv u = 4, d  (v ≠ 0) v  v   5.2.2 Tính bất biến biểu thức vi phân Nếu f(x) hàm số khả vi biến độc lập x vi phân tính theo cơng thức (5.3) Xét x hàm số khả vi biến độc lập t : x = ϕ(t) Khi y hàm số biến độc lập t: y = f[ϕ(t)] Theo cơng thức tính vi phân quy tắc tính đạo hàm hàm hợp ta có: dy = y 'tdt = (y 'xx 't)dt = y 'x(x 'tdt) = y 'xdx Vậy biểu thức vi phân (5.3) giữ nguyên dạng trường hợp x biến độc lập mà phụ thuộc vào biến độc lập khác Hay biểu thức vi phân (5.3) bất biến phép đổi biến số x = ϕ(t) 5.3 Các định lý hàm số khả vi • Định lý Fermat Định lý: Giả sử hàm số f(x) xác định khoảng X nhận giá trị lớn (giá trị nhỏ nhất) điểm c bên khoảng X (c không trùng với đầu mút khoảng X) Khi đó, c hàm số có đạo hàm f '(c) = • Định lý Rolle Định lý: Giả sử hàm số f(x) thoả mãn điều kiện: Xác định liên tục [a; b]; Khả vi khoảng (a; b); f(a) = f(b) Ý nghĩa hình học: Nếu hai điểm A B có tung độ nối với đường cong liên tục y = f(x), có tiếp tuyến điểm đường cong có điểm mà tiếp tuyến song song với trục hồnh Ví dụ: Cho hàm số f(x) liên tục [a; b], có đạo hàm khoảng (a; b) f(a) = f(b) = Chứng minh với k số phương trình f '(x) = kf(x) có nghiệm -kx Giải: Đặt g(x) = f(x).e , x thuộc (a; b) Với giả thiết hàm số f(x), hàm số g(x) thoả mãn điều kiện: - Liên tục [a; b]; - Có đạo hàm khoảng (a; b): g '(x) = e [f '(x) – kf(x)], ∀x ∈ (a; b), -kx - g(a) = g(b) = Theo định lý Rolle, tồn điểm c ∈ (a; b) cho: g '(c) = e [f '(c) - kf(c)] = -kc ⇒ f '(c) – kf(c) = ⇒ f '(c) = kf(c) Vậy phương trình f '(x) = kf(x) có nghiệm c∈ (a; b) • Định lý Lagrange Định lý: Giả sử hàm số f(x) thoả mãn điều kiện: 1, Xác định liên tục [a; b]; Khả vi khoảng (a; b); Khi tồn điểm c ∈ (a; b) cho: f (b ) f '(c) = − f (a) b− a (5.4) Ý nghĩa hình học: Nếu hai điểm A B nối với đường cong liên tục y = f(x), có tiếp tuyến điểm đường cong có điểm mà tiếp tuyến song song với đường thẳng AB Nhận xét: Khi f(a) = f(b) đẳng thức (5.4) trở thành f '(c) = Điều chứng tỏ định lý Rolle trường hợp riêng định lý Lagrange Công thức (5.4) viết dạng: f(b) – f(a) = f '(c).(b – a) (5.5) c điểm nằm a b gọi công thức Lagrange hay công thức số gia hữu hạn Đặt a = x0, b = x0 + ∆x, ta có: ∆f(x0) = f '(c).∆x (5.6) Cơng thức (5.6) nói số gia hàm số số gia đối số nhân với giá trị đạo hàm điểm trung gian x0 x0 + ∆x Ví dụ 1: Chứng minh < a < b thì: b− a b < ln b− ab < a a Giải: Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số f(x) = lnx [a; b] ta có: ln b = ln b − ln a = a c (b − a) Do < a < c < b b – a > 0, ta có: < < b⇒ c a b− a b b− a b− a ln < = < b a c a Ví dụ 2: Chứng minh hàm số f(x) khả vi không bị chặn khoảng hữu hạn (a; b) f '(x) khơng bị chặn khoảng Giải: ta chứng minh phản chứng Giả sử f '(x) bị chặn khoảng (a; b), tức tồn số K > cho: f (x) ≤ K ,∀x ∈(a; b); Lấy điểm x0 thuộc khoảng (a; b) cố định x0 Theo cơng thức Lagrange với x ∈ (a, b) ta có: f(x) = f(x0) + f '(c)(x – x0) Với c điểm x0 x, từ suy ra: f (x) ≤ f (x0 ) + f '(c) x − x0 ≤ f (x0 ) + K (b − a) điều mâu thuẫn với giả thiết f(x) không bị chặn khoảng (a; b) • Định lý Cauchy Định lý: Giả sử hàm số f(x) g(x) thoả mãn điều kiện sau: Xác định liên tục [a; b]; Khả vi khoảng (a; b); g '(x) ≠ với x ∈ (a, b) Khi tồn điểm c ∈ (a, b) cho: f (b) − f (a) = g '(c) g(b) − g(a) f '(c) (5.7) 5.4 Vi phân cấp cao 5.4.1 Định nghĩa: Vi phân cấp n hàm số y = f(x) vi phân vi phân cấp n – hàm số (ta gọi vi phân dy vi phân cấp 1) n n Vi phân cấp n hàm số y = f(x) ký hiệu d y d f(x) n n-1 d y = d(d y) Ta có : dy= d(dy) = d[y ' (x )dx] = dx.d[y '(x)]; n (n) n Bằng quy nạp ta chứng minh được: d y = y (dx) Vi phân cấp cao khơng có tính bất biến biểu thức vi phân cấp 1, tức n > công thức x biến độc lập Ví dụ: Tính vi phân cấp hàm số y = ln(1 + x ) tai điểm x = 0, biến độc lập x thay đổi lượng ∆x = 0,3 Giải: Ta tính đạo hàm cấp 2: y ' = 2x 2(1− x , y '' 1+ = ) (1+ x ) x Vậy với y '(0) = 2, dx = ∆x = 0,3 ta có: d y(0) = y '(0)(dx) = 2.(0,3) = 0,18 2 5.4.2 Công thức Taylor a) Công thức Taylor đa thức Cho đa thức p(x) có dạng: n p(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0) + a3(x – x0) + …+ an(x- x0) , x0 số cho trước Từ (5.7) lấy đạo hàm liên tiếp đến cấp n ta có: p '(x) = a1 + 2a2(x – x0) + 3a3(x – x0) +… +nan(x – x0) , n-1 p '(x) = 1.2.a2 + 2.3.a3(x – x0) +…+ (n-1).n.an(x – x0) , n-2 ……………………………………………………… (n) p = 1.2….(n – 1).n.an Thay x = x0 ta xác định hệ số ak: a = p(x ), a = p '(x0 ) 0 1! Vậy đa thức p(x) dạng: , …, an = p(n) (x ) p ''(x0 ,a = n! ) 2! (5.8) p(x) = p(x0 p '(x (x )+ ) 1! − x ) + p ''(x0 (x − )2 ) 2! x + + p ( n) (x ) n! (x − )n x0 (5.9) Công thức (5.8) gọi công thức khai triển Taylor đa thức p(x) Trường hợp x0 = công thức (5.8) có dạng: p(x) = p(x p '(x0 ) )+ + 1! p ''(x0 x2 x ) + + 2! p ) ( n) (x0 x n n! b) Công thức Taylor hàm số Cho hàm số f(x) xác định khoảng (a; b) có đạo hàm cấp n điểm x0 ∈ (a; b) Với hàm số f(x) ta lập đa thức bậc n: f '(x0 ) p(x) f (x0 ) (x 1! = − x0 ) + + f ''(x0 (x − )2 ) 2! x + + f (n) (x ) n! (x − )n x0 Từ ta có: p(x0) = f(x0), p '(x0) = f '(x0), …., p (x0) = f (x0) (n) (n) Vậy f(x) đa thức bậc n f(x) ≡ g(x) Trường hợp f(x) không đồng p(x) Đặt r(x) = f(x) – p(x), ta có: f (x) = f '(x0 f (x0 ) (x ) 1! − x ) + + f ''(x0 (x − )2 ) 2! x + + f (n) (x ) n! (x − )n + r(x) x0 (5.10) Công thức (5.9) gọi công thức khai triển Taylor hàm số f(x) Hàm số r(x) gọi phần dư công thức khai triển (5.9) Trườnghợp x0 = cơng thức (5.9) có dạng: f (x) = f (0) + f '(0) + 1! x f ''(0) n x + + 2! f (n) (1) x + r(x) n! Cơng thức (5.10) gọi công thức Maclaurin c) Các biểu thức phần dư (5.11) f (x) = f (x ) + f '(x0 ) )+ (x − x f ''(x0 ) n +0[(x −0 x ) ] (x −x 1! ) + + 2! f( n) (x0 ) n ) + (x −x n! (5.12) n Công thức Taylor với phần dư dạng Peano với r(x) = 0[(x – x0) ] phần dư dạng Peano Trường hợp x0 = ta có: f (x) = f (0) + f '(0) f ''(0) x + 1! x f (n) (0) x (5.13) n n + 0(x ) + + 2! n! Công thức khai triển Maclaurin với phần dư dạng Peano d) Khai triển số hàm đơn giản x • Với f(x) = e ta có: f (x) = e ∀k ∈ N f(0) = f '(0) = f '(0) =… = f (0) = (k) k (n) x Thay giá trị vào (5.11) ta công thức khai triển hàm số f(x) = e theo luỹ thừa x, với phần dư dạng Peano: x e = 1+ x + 1! x2 n + + 0(x n ) x + 2! n! • Với f(x) =sinx ta có: kπ (x) = sin(x + ), ∀k ∈ N; kπ 0, k = 2n f(0) = 0, f (k ) (0) = sin() =  n −1 , k = 2n −1 (−1) f (k ) Thay giá trị vào (5.11) ta công thức khai triển sinx = x − x + 1! 3! • Với f(x) =cosx ta có: 2n−1 − + n−1 (−1) x + 0(x x 5! (2n −1)! 2n −1 ) (k ) (x) = cos(x kπ + ), ∀k f ∈ N; kπ 0, k = 2n −1 f(0) = 0, f (k ) (0) = cos() =  n (−1) , k = 2n Thay giá trị vào (5.11) ta công thức khai triển cosx = x − x + 2! 1! 2n − + n x (−1) x 4! + 0(x ) 2n (2n)! • Với f(x) = ln(1+x) ta có k −1) (− (k (k ) f (x) = − 1)! , ∀k k ∈ N (1 + x) (k) k-1 f(0) = 0, f (0) = (- 1) (k – 1)! Thay giá trị vào (5.11) ta công thức khai triển ln(1+x) = x − x GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng +x − + n−1 x (−1) 14 n + 0(x ) SVTH: Mai Thảo Loan K34B n n 5.5 Một số tập 1) Lập biểu thức vi phân cấp hàm số y = ln(x + x + 4) 2) Lập biếu thức vi phân cấp hàm số y = arctanx 3) Khai triển hàm số f(x) = x theo công thức Taylor đến luỹ thừa bậc x – 1, với phần dư dạng Peano sinx 4) Khai triển hàm số f(x) = e theo công thức Maclaurin đến luỹ thừa bậc 3, với phần dư Peano KẾT LUẬN GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng 14 SVTH: Mai Thảo Loan K34B Trong q trình tìm hiểu, nghiên cứu khố luận em bước đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu Qua đó, em củng cố thêm kiến thức Giải tích đồng thời thấy phong phú , lý thú toán học Trong khoá luận kiến thức bổ trợ hàm biến, liên tục, giới hạn, đạo hàm vi phân em đưa thêm lý thuyết số toán kinh tế Hy vọng tài liệu góp chút cho bạn sinh viên quan tâm đến Giải tích nói riêng tốn học nói chung Qua em xin bày tỏ cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo T.s Nguyễn Văn Hùng người trực tiếp hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành khoá luận tốt nghiệp đồng thời em xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ em hồn thành khố luận tốt nghiệp Do bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Vậy, em kính mong thầy bạn sinh viên đóng góp ý kiến, trao đổi để khố luận hồn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Huy Hồng (2011), Hướng dẫn giải tập tốn cao cấp cho nhà kinh tế (phần II: Giải tích tốn học), NXB Thống Kê Nguyễn Đình Trí (2007), Tốn cao cấp - Tập hai (Phép tính giải tích biến số), NXB Giáo Dục Lê Đình Thúy (2010), Toán cao cấp cho nhà kinh tế (phần II: Giải tích tốn học), NXB Đại Học Kinh Tế Quốc Dân Trần Đức Long – Nguyễn Đình Sang – Hồng Quốc Tồn (2001), Giáo trình giải tích – Tập 1, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội ... khái niệm hàm biến Chương 2: Giới hạn hàm biến Chương 3: Tính liên tục hàm biến Chương 4: Đạo hàm hàm số Chương 5: Vi phân hàm số II NỘI DUNG Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM MỘT BIẾN 1.1 Các... ngược hàm cung hàm cầu Trong kinh tế học người ta gọi hàm ngược hàm Qs = S(p) hàm cung hàm ngược hàm Qd = D(p) hàm cầu: Qs = S(p) ⇔ p = S (Qs); −1 Qd = D(p) (Qd) ⇔ p = S −1 Đồ thị hàm cung hàm. .. nghĩa: Ta nói biến số y phụ thuộc hàm số vào biến số x hay biến số y hàm số biến số x, tồn quy tắc quy luật f cho giá trị biến số x miền biến thiên X đặt tương ứng với giá trị biến số y Theo