Chuyên đề giới hạn

CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠN GIỚI HẠN DÃY SỐ A LÝ THUYẾT I DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN Định nghĩa ( un ) 0 Ta nói dãy số có giới hạn ( hay có giới hạn ) với số dương nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương lim un = Kí hiệu: lim un = Nói cách ngắn gọn, trở Từ định nghĩa suy rằng: a) lim un = ⇔ lim un = ( un ) b) Dãy số không đổi c) Dãy số ( un ) , với Một số dãy số có giới hạn Định lí 4.1 Cho hai dãy số Nếu un ≤ với n ( ) nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng có giới hạn ( un ) un un = 0 , có giới hạn un gần 0 được, miễn lim = lim un = STUDY TIP Định lí 4.1 thường sử dụng để chứng minh dãy số có giới hạn Định lí 4.2 q 1 cho trước STUDY TIP Cách ghi nhớ kết bên sau: Khi tử số không đổi, mẫu số lớn (dần đến dương vô cực) phân số nhỏ (dần ) II DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN Định nghĩa ( un ) lim ( un − L ) = L Ta nói dãy số có giới hạn số thực lim un = L Kí hiệu: Dãy số có giới hạn số thực gọi dãy số có giới hạn hữu hạn STUDY TIP ( un ) un = c c a) Dãy số khơng đổi với , có giới hạn un − L lim un = L un L b) khoảng cách trục số thực từ điểm đến trở nên nhỏ un n n miễn đủ lớn; nói cách hình ảnh, tăng điểm “ L chụm lại” quanh điểm c) Không phải dãy số có giới hạn hữu hạn Một số định lí Định lí 4.3 Giả sử a) lim un = L lim un = L Khi lim un = L lim un = L un ≥ n L≥0 b) Nếu với Định lí 4.4 lim un = L lim = M c Giả sử , số Khi a) c) lim ( un + ) = L + M lim ( un ) = LM lim b) lim ( un − ) = L − M D) lim ( cun ) = cL un L = M M ≠0 e) (nếu ) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Định nghĩa Cấp số nhân lùi vơ hạn cấp số nhân có cơng bội Cơng thức tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn: q q 1 d) −∞ Dãy số có giới hạn k cho trước ( un ) −∞ Ta nói dãy số có giới hạn với số âm tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, nhỏ số âm lim un = −∞ Kí hiệu: Nói cách ngắn gọn, trở Nhận xét: a) lim un = −∞ lim un = −∞ ⇔ lim ( −un ) = +∞ b) Nếu lim un = +∞ un +∞ nhỏ số âm nhỏ tùy ý, kể từ số hạng trở nên lớn miễn nên nhỏ được, miễn Các dãy số có giới hạn vơ cực Định lí 4.5 un −∞ n đủ lớn Nói cách khác, STUDY TIP n đủ lớn Đo lim un = +∞ 1 = un un lim =0 un trở gọi chung dãy số có giới hạn vơ cực hay dần đến Nếu lim un = +∞ lim =0 un STUDY TIP Ta diễn giải “nơm na” định lí 4.5 sau cho dễ nhớ: Khi tử số khơng đổi, mẫu số có giá trị tuyệt đối lớn(dần đến vơ cực) phân số nhỏ(dần ) Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực Quy tắc Nếu lim u n = ±∞ lim v n = ±∞ lim ( un ) cho bảng sau: lim u n lim v n lim ( un ) +∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ STUDY TIP +∞ −∞ Vì khơng phải số thực nên không áp dụng định lí giới hạn hữu hạn cho dãy số có giới hạn vơ cực Quy tắc Nếu lim u n = ±∞ lim v n = L ≠ lim u n lim ( un ) Dấu L cho bảng sau: lim ( un ) +∞ + +∞ +∞ − −∞ −∞ + −∞ −∞ − +∞ Quy tắc lim u n = L ≠ lim v n = > < Nếu và kể từ số hạng trở u lim n cho bảng sau: Dấu L Dấu lim un + + +∞ + − −∞ − + −∞ − − +∞ STUDY TIP Ở ba quy tắc, dấu, tương tự quy tác dấu phép nhân phép chia hai số Để cho dễ nhớ, ta diễn giải quy tắc cách “nôm na” sau: - Quy tắc 1: Tích hai đại lượng vô lớn đại lượng vô lớn - Quy tắc 2: Tích đại lượng vô lớn với đại lượng khác đại lượng vô lớn 0 - Quy tắc 3: Khi tử thức có giới hạn hữu hạn khác , mẫu thức nhỏ(dần ) phân thức lớn(dần vơ cực) B CÁC DẠNG TỐN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ DẠNG TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC Câu 1: lim ( n3 − 2n + 1) A Đáp án D B C −∞ D +∞ Lời giải Cách 1: Ta có: lim n = +∞ 1  n − 2n + = n  − + ÷  n n  Vì Câu 2: 1  lim 1 − + ÷ = >  n n  lim ( n3 − 2n + 1) = +∞ nên theo quy tắc 2, n n3 − 2n + Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị biểu thức giá trị lớn (do CALC X? n → +∞ X − 2X +1 ) sau: Nhập vào hình biểu thức Bấm Máy hỏi = 105 X = 105 nhập , ấn Máy kết hình bên Ta thấy kết tính tốn với số dương lớn Do chọn D lim ( 5n − n + 1) −∞ −1 +∞ A B C D Hướng dẫn giải Chọn B   5n − n + = n  −1 + + ÷ n n   Cách 1: Ta có   lim  −1 + + ÷ = −1 < lim ( 5n − n + 1) = −∞ n n   lim n = +∞ Vì nên (theo quy tắc 2) Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ X = 105 Ta thấy kết tính tốn với số âm nhỏ Do chọn đáp án có giới hạn −∞ Tổng quát: Cho a) k số nguyên dương lim ( ak n k + ak −1n k −1 + + a1 n + a0 ) = +∞ lim ( ak n + ak −1n k b) k −1 + + a1 n + a0 ) = −∞ lim ( n − 2n + 1) = +∞ Chẳng hạn: Cho un nếu ak > ak < a3 = > lim ( 5n − n + 1) = −∞ a2 = −1 < ; STUDY TIP có dạng đa thức (bậc lớn 0) - Nếu hệ số lũy thừa bậc cao n lim un = +∞ n số dương lim un = −∞ n - Nếu hệ số lũy thừa bậc cao số âm Câu 3: lim un A un = , với 5n + 3n − n2 B bằng: C Hướng dẫn giải D −7 Chọn B  5n 3n    lim un = lim  + − ÷ = lim  + − ÷ = n n  n n    n Cách 1: Ta có: Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi tương tự ví dụ Đây khơng phải giá trị xác giới hạn cần tìm, mà giá trị gần số n n hạng với lớn, dần vô cực Tuy nhiên kết giúp ta lựa chọn đáp án đúng, đáp án B STUDY TIP 1500044 15 =5 300007 Một số dòng máy kết dạng phân số, chẳng hạn Do nên chọn B Câu 4: lim un , A −3 un = với 2n3 − 3n + n + n3 − n + B C Hướng dẫn giải D Chọn C n n3 n3 Cách 1: Chia tử mẫu phân thức cho ( lũy thừa bậc cao phân 2− + + n n n un = 5    lim  − + + ÷ = lim 1 − + ÷ = 1− + n n n    n n  ≠0 n n thức), ta được: Vì 2n3 − 3n + n + lim = =2 n3 − n + nên Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ Ví dụ 5: Giới hạn dãy số A ( un ) , un = với B n + 2n + n + 3n3 + 5n + C Hướng dẫn giải +∞ D Chọn B n4 n4 n Cách 1: Chia tử mẫu phân thức cho ( bậc cao phân thức), ta + + n + 2n + n n3 n = = lim un = lim = lim n + 3n3 + 5n + 1+ + + n n n Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ Ví dụ 6: Giới hạn dãy số A ( un ) với B 3n3 + 2n − un = 2n − n , C Hướng dẫn giải +∞ D Chọn C n2 n2 n Cách 1: Chia tử mẫu cho ( lũy thừa bậc cao mẫu thức), ta 3n + − 3n3 + 2n − n n un = =  3n  2n − n lim un = lim  ÷ = +∞ 2−   n Vậy n3 n n Cách 2: Chia tử mẫu cho ( lũy thừa bậc cao phân thức), ta lim un = lim − n n3 − n n2 3+ 1  2  lim  + − ÷ = > lim  − ÷ = − >0 n n   n n  n n2 Vì , với lim un = +∞ n nên theo quy tắc 3, 1    n3  + − ÷ 3+ − ÷  n n  n n lim un = lim  = lim  n ÷ 1 2  ÷ − n 2− ÷ n   n  lim n = +∞ Cách 3: Ta có Vì 3+ − n n = >0 lim 2− lim un = +∞ n nên theo quy tắc 2, Cách 4: Sử dụng MTCT tương ví dụ STUDY TIP n Rõ ràng làm theo cách (chia tử mẫu cho lũy thừa bậc cao mẫu thức) phải lập luận cách cách Tổng quát: Xét dãy số ( un ) un = với ni + −1ni −1 + + a1n + a0 , bk n k + bk −1n k −1 + + b1n + b0 , bk ≠ n (dạng phân thức với tử số mẫu số đa thức ) lim un = +∞ bk > 0, lim un = −∞ bk < i>k a) Nếu (bậc tử lớn bậc mẫu) nếu a lim un = i bk i=k b) Nếu (bậc tử bậc mẫu) lim un = i 13 Lưu ý: Sử dụng MTCT Với , máy tính cho kết hình bên Với , máy bào lỗi việc tính tốn vượt q khả máy Do với này, MTCT cho kết mang tính chất tham khảo Nhận xét: Hồn tồn tương tự, ta chứng minh rằng: a) sin k ( un ) lim = 0; Trong b) lim = ±∞, k cos k ( un ) lim =0 nguyên dương nπ    sin ÷ cos 2n +  lim  = lim cos ( 3n + 1) π = lim =0 n − 5n + n + n + 2n + 2n Chẳng hạn: ; ; ; … STUDY TIP Khi sử dụng MTCT, với tốn liên quan đến lượng giác, trước tính tốn ta cần chọn chế độ Rad (radian) Deg (degree) cho phù hợp với đề ( −1) lim n ( n + 1) n Ví dụ 8: A −1 B C Hướng dẫn giải +∞ D Chọn D ( −1) n ( n + 1) n 1 = < = n ( n + 1) n.n n Cách 1: Ta có mà Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ ( ( −1) ) n Nhận xét: Dãy có giới hạn I = lim Ví dụ 9: Tính giới hạn I = A ( khơng có giới hạn dãy n − 2n + − n B I = −1 ( −1) lim n ( n + 1) n lim = n nên suy  ( −1) n     ÷ ÷ lim = ±∞  , ) C Hướng dẫn giải I = =0 D I = +∞ Chọn B I = lim Cách 1: Ta có ( n − 2n + − n ) ( = lim n − 2n + − n )( n − 2n + + n ) n − 2n + + n −2 n 2 = lim = = −1 n − n + − n ( ) −2n + 3 + = lim = lim 1− + +1 n − 2n + + n n − 2n + + n n n −2 + Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự ví dụ STUDY TIP ( a − b ) ( a + b ) = a − b2 Hằng đẳng thức thứ ba: thức liên hợp Ví dụ: n − 2n + − n n − 2n + + n Hai biểu thức a−b a+b gọi biểu hai biểu thức liên hợp Nhận xét: a) bước ta chia tử mẫu cho n Lưu ý n = n2     n − 2n + − n = n  − + − 1÷ lim − + −  ÷ ÷  ÷= n n n n     lim n = +∞ b) Ta có , Vì nên khơng áp dụng quy tắc ví dụ trước ( lim n − 8n3 + 3n + Ví dụ 10: A +∞ ) bằng: −∞ B C Hướng dẫn giải −1 D Chọn B Cách 1: Ta có   8+ = lim n − + 3÷   ÷ lim n − 8n + 3n + n n   ( )   lim n = +∞, lim 1 − + + ÷ = − = −1 < ÷ n n   Vì Cách 2: Sử dung MTCT ví dụ ( lim n − n 4n + Ví dụ 11: A −1 ) nên bằng: B C Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: Ta có ) ( lim n − 8n3 + 3n + = −∞   n − n 4n + = n 1 − + ÷ n n2 ÷   +∞ D −∞ Mặt khác f ( −1) = ( −1) − = Do B sai Câu 53: Cho hàm số liên tục A lim − ≠ f ( −1) nên f ( x) x →( −1) x −8 x ≠  f ( x) =  x −  mx + x=2  x=2 khơng liên tục Tìm tất giá trị tham số thực m ( −∞; −1] để hàm số 17 m= Vậy B 15 m= C 13 m= D 11 m= Đáp án D Lời giải f ( x) Ta có xác định ¡ f ( ) = 2m + x3 − lim f ( x ) = lim = lim ( x + x + ) = 12 x→2 x →2 x − x→2 (có thể dùng MTCT để tính giới hạn hàm số) Để liên tục x = 11 f ( x) lim f ( x ) = f ( ) ⇔ 2m + = 12 ⇔ m = x →2 Câu 54: Chon hàm số số liên tục A m ∈∅   f ( x) =    x=3 Tìm tất giá trị tham số thực ( x − 3) x ≠ x−3 m x = B m∈¡ C m =1 D m = −1 Đáp án A Lời giải Hàm số cho xác định ¡ Ta có lim− f ( x ) = lim− x→3 Tương tự ta có x→3 ( x − 3) x −3 lim+ f ( x ) = x→3 m 2 = lim− x→3 x −3 − ( x − 3) = lim− = lim− ( −1) = −1 x→3 x − x→3 x − (có thể dùng MTCT để tính giới hạn hàm số) để hàm Vậy lim− f ( x ) ≠ lim+ f ( x ) x →3 nên x=3 a b số thực khác  ax + − x ≠  f ( x) =  x  x + 5b x =  A a = 5b , hàm số cho khơng Do đáp án A Ta tam khảo thêm đồ thị hàm số Câu 55: Cho m x →3 x →3 liên tục không tồn Vậy với lim f ( x ) B x≠3 để hiểu rõ Tìm hệ thức liên hệ liên tục a = 10b x=0 a b để hàm số C a=b D a = 2b Đáp án B Lời giải Cách 1: Theo kết biết lim f ( x ) = lim x →0 số cho liên tục x=0 x →0 ax + − a = x a lim f ( x ) = f ( ) ⇔ = 5b ⇔ a = 10b x →0 Cách 2: Sử dụng MTCT Chọn giá trị cụ thể toán kết Mặt khác lim f ( x ) = f ( ) a b f ( ) = 5b Để hàm Vậy đáp án B thỏa mãn hệ thức tính Chẳng hạn với hệ thức đáp án A, chọn x →0 a = 5; b = ta tìm lim x →0 án B, chọn a = 10; b = 5x + −1 = ; f ( 0) = x ta lim x →0 nên không thỏa mãn Với hệ thức đáp 10 x + − = 5; f ( ) = x Do đáp án B STUDY TIP nên thỏa mãn lim f ( x ) = f ( ) x →0 ax + − a = x n n lim x →0 Câu 56: Cho hàm số  2x − + x ≥  f ( x) =  x +1 x <   x − 2mx + 3m + hàm số liên tục A m=3 ¡ Tìm tất giá trị tham số thực m để B m=4 C m=5 D m=6 Đáp án C Cách 1: Hàm số xác định Ta có Nếu Nếu m=6 x →2 ta có m≠6 m=5 Tóm lại với x=2 x phương trình f ( x) = phương trình f ( x) = a liên tục đoạn f ( x) có nghiệm khoảng xác định đoạn f ( x) [ a; b] f ( x) = [ a; b ] đúng? A Nếu hàm số liên tục đoạn y = f ( x) f ( x) = có nghiệm khoảng có nghiệm khoảng ( a; b ) hàm số y = f ( x) ( a; b ) phải liên y = f ( x) liên tục, tăng đoạn khơng thể có nghiệm khoảng ( a; b ) [ a; b ] f ( a) f ( b) > phương trình Đáp án D A sai Chẳng hạn xét hàm số đó, đồng thời vào khoảng ( −3;3) f ( x ) = x2 − Lời giải Hàm số xác định đoạn f ( −3) f ( 3) = 4.4 = 16 > lại có hai nghiệm B sai thiếu điều kiện f ( x) liên tục đoạn [ a; b] [ −3;3] liên tục x1 = − 5; x2 = thuộc C sai Chẳng hạn xét hàm số có nghiệm x = −1 thuộc vào khoảng không liên tục ( −3;3) Hàm số xác định đoạn  x + x < f ( x) =   x + x ≥ ( −3;3) gián đoạn điểm x = ∈ ( −3;3) [ −3;3] , , tức Vậy D Thật vậy: - Vì hàm số liên tục, tăng đoạn nên giá trị nhỏ hàm số y = f ( x) [ a; b] đoạn - Nếu [ a; b ] f ( a) > f ( a) , giá trị lớn hàm số đoạn giá trị nhỏ hàm số đoạn khơng có giá trị phương trình + Nếu [ a; b] trình f ( a ) < 0, f ( x) = x khoảng khơng thể có nghiệm khoảng f ( a) f ( b) > nên suy số âm nên giá trị f ( x) = ( a; b ) f ( b ) < x khơng thể có nghiệm khoảng Câu 57: Cho phương trình x3 + ax + bx + c = ( 1) C Phương trình D Phương trình ( 1) ( 1) ( 1) số dương nên f ( x) = Do Vậy giá trị lớn hàm số đoạn ( a; b ) làm cho f ( x) = Do phương a, b, c định khẳng định sau A Phương trình vơ nghiệm với a , b , c ( 1) B Phương trình [ a; b ] f ( b) ( a; b ) khoảng ( a; b ) làm cho [ a; b ] có nghiệm với có hai nghiệm với có ba nghiệm với a, b, c a, b, c a , b, c tham số thực Chọn khẳng Lời giải Đáp án B Dễ thấy phương trình trở thành Vậy A, C, D sai Do B a=b=c=0 x = ⇔ x = ( 1) Giải thích thêm: Xét tốn “Chứng minh phương trình có nghiệm với Đặt + f ( x ) = x + ax + bx + c a, b, c Ta có: lim ( x3 + ax + bx + c ) = −∞ lim ( x + ax + bx + c ) = +∞ với nên tồn giá trị a, b, c với nên tồn giá trị a, b, c x →+∞ Vậy f ( x1 ) f ( x2 ) < khoảng ( x1; x2 ) mà ln ” Ta có lời giải cụ thể sau: x →−∞ + ( 1) x3 + ax + bx + c = f ( x) liên tục ¡ nên suy x = x1 x = x2 f ( x) = cho cho f ( x1 ) < f ( x2 ) > có nghiệm Từ suy ĐPCM STUDY TIP Phương trình đa thức bậc lẻ a2 n+1 x nghiệm với giá trị n +1 B m∈¡ a2 n +1 ≠ ln có , i = 2n + 1, Câu 58: Tìm tất giá trị tham số thực nghiệm A m ∈ { 1; 2} + a2 n x + + a1x + a0 = 2n m để phương trình: C (m − 3m + ) x − 3x + = m ∈ ¡ \ { 1; 2} D m ∈∅ có Lời giải Đáp án B Nếu : Phương trình cho trở thành m − 3m + = −3 x + = ⇔ x = Nếu m − 3m + ≠ Tóm lại với : theo STUDY TIP vừa nêu phương trình cho ln có nghiệm m∈¡ phương trình cho ln có nghiệm Do B Câu 59: Cho phương trình x − 3x + x − = A Phương trình B Phương trình C Phương trình D Phương trình Chọn khẳng định đúng: ( 1) có nghiệm khoảng ( 1) có hai nghiệm khoảng ( 1) có ba nghiệm khoảng ( 1) ( −1;3) ( −1;3) có bốn nghiệm khoảng ( 1) ( −1;3) ( −1;3) Lời giải Đáp án D Cách 1: Sử dụng chức Table MTCT: f ( X ) = X − 3X + X − , Step: 0.2 Start: −1, End: 3, ta kết sau: Quan sát kết ta thấy giá trị f ( x) điểm khoảng phương trình bậc có tối đa nghiệm thực Vậy phương trình khoảng ( −1;3) ( 1) ( −1;3) đổi dấu lần Mà có bốn nghiệm Do D đáp án Cách 2: Sử dụng chức Shift Calc (Solve) MTCT để tìm nghiệm xáp xỉ phương trình khoảng ( −1;3) Table Tuy nhiên cách tiềm ẩn nhiều may rủi cách sử dụng chức Nếu f ( x) f ( x) = liên tục đoạn STUDY TIP đổi dấu từ qua phương trình x a b f ( x) [ a; b ] có nghiệm khoảng Câu 60: Cho phương trình A Phương trình B Phương trình C Phương trình D Phương trình x − x + x − +1 = ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( a; b ) Chọn khẳng định khẳng định sau: khơng có nghiệm khoảng khơng có nghiệm khoảng ( −1;1) ( −2;0 ) có nghiệm khoảng ( −2;1) có hai nghiệm khoảng ( 0; ) Lời giải Đáp án D Cách 1: Sử dụng chức Table MTCT: Start: End: −2, 2, f ( X ) = X − X + X + 1, Step: 0.2 ta kết sau: Quan sát kết ta thấy khoảng ( −2;0 ) ( −1;1) phương trình có hai nghiệm, khoảng phương trình có hai nghiệm, khoảng nghiệm, khoảng ( 0; ) ( −2;1) phương trình có ba phương trình có hai nghiệm Vậy D đáp án C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Câu Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị hình đây: Chọn khẳng định đúng: A Hàm số liên tục C Hàm số liên tục Câu Cho hàm số  x+3 −2 ,   x −1 1 f ( x) =  , 4  x2 −1 ,   x − 7x + ¡ B Hàm số liên tục ( 1; +∞ ) D Hàm số liên tục x >1 x =1 x < Chọn khẳng định đúng: A liên tục không liên tục x = x = f ( x) B C D f ( x) f ( x) f ( x) liên tục x=6 không liên tục liên tục x=6 x=6 x =1 liên tục x =1 x =1 ( −∞; ) ( 1; ) Câu Cho hàm số  x4 + 4x2  x ≠ f ( x) =  x m − x =  số liên tục Câu m =1 Cho a m thỏa mãn B D số thực khác b m để hàm x = A Không có giá trị C Tìm tất giá trị tham số thực m=5 m ∈ { 1;5} Tìm hệ thức liên hệ a b để hàm số sau liên tục x =  ax + bx + − x ≠  f ( x) =  x a + b x =  A Câu a+b = B Cho hàm số Câu m ∈ { 1; 2} Cho hàm số số liên tục A C   −  ÷ x < f ( x ) =  − x − x   m3 x + − 3m x ≥  hàm số liên tục A 2a + b = D 3a + 2b = Tìm tất giá trị tham số thực m để ¡ B m ∈ { 1; −2} C  x+6−a x ≠  f ( x) =  x +1 −  x − ( 2b + 1) x x =  x = 3a + 4b = Số nhỏ hai số B a m ∈ { −1; 2} Trong b C a b D m ∈ { −1; −2} tham số thực Biết hàm D Câu Cho hàm số   x sin f ( x) =  x a cos x − hàm số liên tục A C Câu a=5 x > 11 a= B Phương trình C Phương trình D Phương trình ( 1) 4x4 + x2 − x − = ( 1) ( 1) ( 1) vô nghiệm khoảng ( −1;1) C D A C − 5m + ) ( x − 1) 1  m ∈ ¡ \  ; 2 2  1  m ∈  ; 2 2  D HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 42 Đáp án D ( −1;1) 2017 (x 2018 m ( −1;1) cho phương trình B Câu 10 Tìm tất giá trị tham số thực thỏa mãn ( −1;1) có hai nghiệm khoảng m a có hai nghiệm khoảng có nghiệm A m ∈ ¡ \ { 1; 4} ( 2m Chọn khẳng định đúng: có nghiệm khoảng Tìm tất giá trị tham số thực m ∈ { 1; 4} a=7 D Khơng có giá trị ( 1) để x ≤ B Cho phương trình a A Phương trình Câu ¡ Tìm tất giá trị tham số thực (m − 5m + ) x + x + = m ∈ ( −∞;1) ∪ ( 4; +∞ ) m∈¡ cho phương trình sau có nghiệm − ) + x + = B D 1  m ∈  −∞; ÷∪ ( 2; +∞ ) 2  m∈¡ Rõ ràng hàm số không liên tục x =1 Câu 43 Đáp án A Hàm số cho liên tục khoảng x = ( −∞;1) Do đáp án D ( 1; +∞ ) Do hàm số liên tục x = Ta có + lim+ f ( x ) = lim+ x+3−2 = ; x −1 lim− f ( x ) = lim− x2 −1 =− x − 7x + x →1 x →1 + x →1 Vậy x →1 lim f ( x ) không tồn nên hàm số không liên tục x →1 Câu 44 Đáp án A Ta có lim+ f ( x ) = 2; lim− f ( x ) = −2 x →0 m (có thể dùng MTCT để tìm giới hạn bên) x →0 Vậy hàm số giới hạn Do đáp án A x +  x + x > = x − x + x < x x4 + x2 = x Do x = để hàm số liên tục Câu 45 Đáp án C Theo kết biết lim x →0 Để hàm số liên tục x=0 x=0 x = nên không liên tục x = Vậy giá trị Đáp án A ax + bx + − a b = + x a b + = a + b ⇔ 3a + 4b = Vậy C đáp án Nếu sử dụng MTCT, với hệ thức ta chọn giá trị hàm số tính f ( 0) lim f ( x ) x →0 Nếu lim f ( x ) = f ( ) x →0 a b thỏa mãn hệ thức, thay vào hệ thức Câu 46 Đáp án B Hàm số cho xác định Theo kết biết , liên tục khoảng ¡ ( −∞;1)  −1  lim− f ( x ) = lim−  − = ÷= x →1 x →1  − x 1− x  ( 1; +∞ ) (Có thể dùng MTCT để tìm giới hạn trên) Mặt khác lim+ f ( x ) = lim+ ( m3 x + − 3m ) = m3 − 3m + = f ( 1) x →1 x →1 Để hàm số liên tục hàm số phải liên tục ¡ x = ⇔ m − 3m + = ⇔ m − 3m + = ⇔ m = 3 m = −2 (Sử dụng chức giải phương trình bậc MTCT) Vậy đáp án B Câu 47 Đáp án B f ( 3) = 27 − ( 2b + 1) Ta thấy Đặt g ( x ) = x + − a g ( 3) ≠ ⇔ a ≠ lim f ( x ) = lim x →3 Ta có x →3 g ( 3) = − a g ( x) x +1 − nên hàm số liên tục =∞ x = Nếu a =3 lim f ( x ) = lim x →3 x →3 x +6 −3 = x +1 − Hàm số liên tục x = ⇔ lim f ( x ) = f ( 3) ⇔ 27 − ( 2b + 1) = x →3 Vậy a =3 35 b= Số nhỏ a=3 35 ⇔b= Do đáp án B Lưu ý: Để giải phương trình 27 − ( 2b + 1) = ta làm sau: + Nhập vào hình 27 − ( X + 1) = + Bấm SHIFT CALC (SOLVE), máy báo SOLVE FOR X nhập 1= Máy hiển thị kết + Bấm 3.Qs=, máy hiển thị kết Vậy phương trình có nghiệm b= 35 Câu 48 Đáp án A Hàm số cho liên tục khoảng Ta có ( −∞;0 ) ( 0; +∞ ) lim f ( x ) = lim− ( a cos x − ) = a − = f ( ) x → 0− x →0 Ta có với x : x sin ≤ x x Hàm số cho liên tục Suy ¡ ⇔ 2  lim+ f ( x ) = lim−  x sin ÷ = x →0 x →0  x hàm số liên tục Vậy đáp án A Câu 49 Đáp án D Sử dụng chức TABLE MTCT với + f ( X ) = X + X − X − + Start: −1; End: 1; Step: 0,1 x = ⇔ a − = ⇔ a = Ta thấy giá trị khoảng ( −1;1) f ( x) điểm đổi dấu hai lần Suy f ( x) xót hai nghiệm Vậy đáp án D Câu 50 Đáp án A + Nếu phương trình cho trở thành Đây x + = m − 5m − = ⇔ m ∈ { 1; 4} phương trình vơ nghiệm + Nếu m − 5m − ≠ theo kết biết, phương trình ln có nghiệm Vậy để phương trình cho có nghiệm m ∈ ¡ \ { 1; 4} Câu 51 Đáp án D + Nếu phương trình cho trở thành m − 5m + = + Nếu 2m − 5m + ≠ 0, 2x + = ⇔ x = − phương trình cho đa thưc bậc lẻ (bậc 4035) nên theo kết biết, phương trình có nghiệm Vậy với m∈¡ , phương trình cho ln có nghiệm ... STUDY TIP Khi sử dụng máy tính cầm tay, nhập giá trị X lớn, máy báo lỗi giá trị an , a > tăng nhanh X tăng, nên vượt q khả tính tốn máy Khi cần thử an , a > n lại giá trị khác X Như toán chứa... = , máy hiển thị kết Do chọn đáp án A Nhận xét: Rõ ràng, thuộc cơng thức tốn giải thông thường nhanh MTCT! STUDY TIP Tổng n S n = u1 số hạng cấp số nhân có số hạng đầu − qn 1− q u1 công bội q