Chuyờn Toỏn 11: Gii hn - Liờn tc A - GII HN I - GII HN XC NH Bi 1: Tớnh cỏc gii hn sau: 1) 2 1 lim( 2 1) x x x + + 2) 1 lim( 2 1) x x x + + 3) ( ) 2 3 lim 3 4 x x 4) 1 1 lim 2 1 x x x + ; 5) 2 5 1 1 lim ; 2 3 + + + x x x x 3 4 2 4 2 x 0 x 0 x 1 x 2 x 3 1 1 1 x x x 3x 1 x 6) lim x 1 ; 7)lim ; 8)lim ; 9) lim x 4 ; 10)lim . 1 x (2x 1)(x 3) 2x 1 1 x + + ữ + II - GII HN Vễ NH: DNG 0 0 1) Loại 1. Dạng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 x x 0 0 f x , g x f x L lim g x x g x 0 là các đa thức với f = = = Phơng pháp Do ( ) ( ) 0 0 0= =f x g x nên 0 x là nghiệm của các phơng trình ( ) ( ) 0; 0= =f x g x , do đó ta lấy 0 x x ra khỏi ( ) ( ) và gf x x bằng cách phân tích ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 1 1 x x f x f x f x g x x x g x g x = = . Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 lim lim = = x x x x f x f x L g x g x + Nếu ( ) 1 0 0g x thì ( ) ( ) 1 0 1 0 = f x L g x + Nếu ( ) 1 0 0=g x thì ( ) ( ) 1 0 1 0 0 ) 0 x x = Khi f L= (theo quy tắc dấu Khi f tiêp tục lặp lại quá trình phân tich nh trên *) Chú ý: ( ) ( ) n n n 1 n 2 n 2 n 1 a b a b a a b a.b b = + + + + ( ) ( ) n n 1 n 2 a 1 a 1 a a a 1 = + + + + 2) Loại 2. Dạng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , lim 0 0 0 0 chứa các căn thức cùng chỉ số với f = = = x x f x g x f x L g x x g x Phơng pháp Nhân với biểu thức liên hợp của mẫu số và tử số (nếu cần) để lấy 0 x x ra khỏi căn thức và rút gọn để đa về giới hạn đã biết. *) Chú ý 1) Nếu tử số có nhiều căn thức, tách thành nhiều giới hạn để tìm từng giới hạn đó. 2) Các biểu thức liên hợp 2 23 3 3 3 3 2 2 3 3 3 3 3 - - - a b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a b + + + + + liên hợp với để đ ợc liên hợp với để đ ợc liên hợp với để đ ợc 3) Loại 3. Dạng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 , lim 0 chứa căn thức không cùng chỉ số với f = = = x x f x g x f x g x L h x x g x h x Phơng pháp Chn hng s ( ) ( ) 0 0 = =c f x g x và phân tích: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = f x g x f x c g x c h x h x h x Tìm các giới hạn ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 lim ; lim x x x x f x c g x c h x h x . Đây là các giới hạn đã biết cách tìm. Phơng pháp trên gọi là phơng pháp gọi số hạng vắng (số hạng vắng là hằng số c) *) Chú ý: Có một số bài toán không phải thêm bớt hằng số c nh trên mà phải thêm bớt một biểu thức chứa ẩn x (ph- ơng pháp tách bộ phân nghiệm kép). C th : khi 0 x x ta s thờm bt mt i lng F(x) sao cho 0 0 0 ( ) ( ) ( )F x f x g x= = Hong Thanh Võn - T Toỏn, THPT nh Hoỏ 1 Chuyên đề Toán 11: Giới hạn - Liên tục 1-Tìm giới hạn dạng 0 0 của hàm phân thức đại số Bài 2: Tính các giới hạn ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 2 2 x 1 x 3 x 2 x 1 3 3 3 2 3 x 1 x 1 x 0 h 0 2 3 2 3 2 2 x 1 x 2 x 1 x 3 x 3x 2 x 1 1)lim ; 2)lim ; 3)lim ; 4)lim ; x 1 x 2x 15 x 2x 3 x 2 x 2 8 2 x h 2x x x 1 3 5)lim ; 6)lim ; 7)lim ; 8)lim ; 1 x 1 x x h x 1 2x 3x 1 x x 2x 8 9)lim ; 10)lim x x x 1 x → → → → → → → → → → − − − + − − + − + − − − + + − − − ÷ − − − − + + − − − − + − 3 2 3 2 2 1 x 3 x 2 x 4x 4x 3 8x 1 ; 11)lim ; 12) lim ; 3x 2 x 3x 6x 5x 1 → → − + − − + − − + ( ) ( ) ( ) 4 3 2 2 3 4 3 2 2 4 x 1 x 3 x 1 3 100 3 50 x 2 x 0 x 1 2 n x 1 x 1 2x 5x 3x x 1 x 5x 6 x 3x 2 13)lim ; 14)lim ; 15)lim ; 3x 8x 6x 1 x 8x 15 x 4x 3 1 x 1 2x 1 3x 1 x 3x 9x 2 x 2x 1 16)lim ; 17)lim ; 18)lim ; x x 6 x x 2x 1 x x x n x 19)lim ; 20)lim x 1 → → → → → → → → − + + − − + − + − + − − + − + + + + − + − − − + − − − + + + + − − ( ) ( ) ( ) m n m n x 1 n n n 1 n n n m 2 2 x a x a x 0 x 4 1 m n ; 21)lim ; x 1 1 x 1 x x a n.a x a x a (1 mx) (1 nx) 22)lim ; 23)lim ; 24)lim ; x a x x a 3 x 1 25)lim ; x 2 2 → − → → → → − − ÷ − − − − − − − + − + − − − − − − 2-Tìm giới hạn dạng 0 0 của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc hai Bài 3: Tính các giới hạn sau 2 2 x 0 x 1 x 7 x 1 2 3 2 2 x 6 x 5 x 2 x 0 2 2 x 1 x 1 x 0 x 4 2 x 3 2 2 x 2 x 2x 1 1)lim ; 2)lim ; 3)lim ; 4) lim ; x x 1 x 49 x 12x 11 x 2 2 x 4 3 x 5 3 x 1 1 5)lim ; 6)lim ; 7)lim ; 8)lim ; x 6 x 25 x 2 x x x 2x 1 2x 1 x 1 9)lim ; 10)lim ; 11)lim 1 x x x 1 x → → → → → → → → → → → + − + − − − − − − − − + − − + − + − + − − − − + − + − − − − − ( ) x 2 2 2 2 2 x 0 x 1 x 2 x a 2 2 x 1 x 3 x 1 x 0 x 2 2 x 1 x ; 12)lim ; x 7 3 x 1 1 4 x 2 x 2 2x x a x a 13)lim ; 14)lim ; 15)lim ; 16)lim ; 3 2x 9 x 1 3 x 9 x 3 x a 4x 5 3x 5 x 1 3x 5 x x 1 1 x 1 1 17)lim ; 18)lim ; 19)lim 20)lim x 3 2 2x 3 x 6 x 1 → → → → → → → → → + − + − − + − + − − − + − − + − − + − − − − − − + − + + − − + − − + − + − + − + − ; x Hoàng Thanh Vân - Tổ Toán, THPT Định Hoá 2 Chuyờn Toỏn 11: Gii hn - Liờn tc 2 2 2 2 x 2 x 1 x 1 x 3 x 7 3 x 2 1 2x 2 3x 1 x 2x 6 x 2x 6 21)lim ; 22) lim ; 23)lim ; 24)lim . x 4 x 1 x 4x 3 x 5 2 + + + + + + + + 3-Tỡm gii hn dng 0 0 ca hm phõn thc i s cha cn thc bc ba v bc cao Bi 4: Tớnh cỏc gii hn sau 3 3 3 3 3 x 2 x 0 x 1 x 1 2 3 3 3 3 3 3 x 1 x 0 x 1 x 8 5 4 x 0 x 1 4x 2 1 x 1 2x 1 1 x 1 1)lim ; 2)lim ; 3)lim ; 4) lim ; x 2 x x 1 x 2 1 2x 1 x x 1 x 1 x x x 1 9 2x 5 5)lim ; 6)lim ; 7) lim ; 8)lim ; x 1 x 1 2x 1 x 1 x 2 5x 1 1 4x 3 1 9)lim ; 10)lim ; 11)li x x 1 + + + + + + + + + + + 7 4 x 1 x 1 3 n m n n 1 n x 0 x 1 4x 3 1 2 x 1 m ; 12)lim ; x 1 x 1 1 x 1 x 1 (1 x)(1 x ) (1 x) 13)lim ; 14)lim ; 15)lim . x (1 x) x 1 + 4-Tớnh gii hn dng 0 0 ca hm s s dng phng phỏp gi hng s vng Bi 5: Tớnh cỏc gii hn sau 5 43 3 3 2 x 0 x 1 x 1 x 0 2 1 x 8 x 2x 1 x 2 2x 2 7x 1 1 2x 1 3x 1)lim ; 2)lim ; 3) lim ; 4)lim ; x x 1 x 1 x + + + + + 3 3 2 2 x 1 2 5 x x 7 5)lim ; x 1 + + 3 1 2 2 1. 5 3 6) lim 1 x x x x + + 3 2 2 3 2 2 7)lim ; 2 x x x x x III - Giới hạn vô định: dạng ; 0. và *) Với giới hạn dạng ta chia cả tử và mẫu cho m x (m là bậc cao nhất của x dới mẫu số) và sử dụng các kết quả đã biết hoặc quy tắc tìn giới hạn vô cực. *) Với giới hạn dạng , 0. ta nhân với biểu thức liên hợp để đa về dạng . Chú ý: ( ) ( ) 2 x x x x = = khi x 0 áp dụng khi x + khi x<0 áp dụng khi x 1-Tớnh gii hn dng ca hm s Bi 6: Tớnh cỏc gii hn sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 5 3 2 2 5 4 2 2 2 100 100 100 2 3 2 100 10 2 2 2 1 3 1 6 7 4 3 3 2 1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 8 5 2 1 2 1 4 8 5 2 1 2 100 2 3 4 7 2 3 4) lim ; 5) lim ; 6) lim 10 100 3 1 10 9 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + + + 2 2 2 5 2 ; 1 2 1 2 3 4 5 1 7) lim ; 8) lim ; 9) lim ; 2 1 5 1 3 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Hong Thanh Võn - T Toỏn, THPT nh Hoỏ 3 Chuyên đề Toán 11: Giới hạn - Liên tục →−∞ →−∞ →−∞ →+∞ − + − + − + + + + − + − − + + 2 2 2 2 2 4 1 2 1 5 3 1 4 5 2 1 10) lim ; 11) lim ; 12) lim ; 13) lim ; 1 4 3 1 3 2 7 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 6 6 4 3 2 2 2 3 x x x x 2 4 5 2 2 x x x x 2 x x 3x x 3x x x 11 2x x 10 14) lim ; 15) lim ; 16) lim ; 17) lim ; 2x 1 2x 1 2x 7 9 3x x 7x 12 x 4 x x 11 3x 1 18) lim ; 19) lim ; 20) lim ; 21) lim ; 3 x 17 x 4 2x x 1 1 x 4x x x x x 22) lim x 10 →−∞ →+∞ →+∞ →+∞ →−∞ →−∞ →+∞ →−∞ →−∞ − − − + + − + + − − − + + + − + − + + + − + − + + + 4 2 2 2 x x x 2x x 1 x x 5 x x 1 ; 23) lim ; 24) lim ; 25) lim . 1 2x 2x 1 x →+∞ →−∞ →−∞ + − − + + + − − 2-Tính giới hạn dạng ∞ − ∞ của hàm số Bài 7: Tính các giới hạn sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x x x 2 2 2 x x x 2 2 2 2 2 2 x x x 3 3 2 x 1) lim x 1 x ; 2) lim x x 1 x ; 3) lim x 1 x 1 ; 4) lim 3x x 1 x 3 ; 5) lim 3x x 1 x 3 ; 6) lim 2x 1 x ; 7) x x x 4 ; 8) lim x 2x 4 x 2x 4 ; 9) lim x 8x 4 x 7x 4 ; lim 10) lim x 3x x 2x ; →+∞ →+∞ →−∞ →+∞ →−∞ →−∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ + − + + − + + − + + − + + + + + + − + + + − − + + + − + + + − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n 2 2 2 2 n x x n 1 2 n x x x 2 2 2 x x x 2 x x x 1 x x 1 11) lim x( x 2x 2 x x x); 12) lim ; x 13) lim (x a )(x a ) (x a ) x ; 14) lim x x x ; 15) lim x a x b x ; 16) lim 2x 5 4x 4x 1 ; 17) lim x 4x 9 2x ; 18) lim x x 1 x ; 19) lim x 3 →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →−∞ →−∞ →−∞ →+∞ →+∞ − − + + − + − + + + + + − + − + + − − − − − + + + − ( ) ( ) ( ) 3 4 4 2 2 3 x x x 5 3x 2 ; 20) lim x x 2x x 2 x x ; 21) lim x 1 x . →+∞ →−∞ + − − + + − + + − 3-Tính giới hạn dạng 0. ∞ của hàm số Bài 8: Tính các giới hạn sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 3 x x x 2 x 1 x x x 1 2x 1 1) lim x 2 ; 2) lim x 1 ; 3) lim x 2 ; 4) lim x 1 ; x 4 x 1 x x x x 2 + + →+∞ →−∞ → → − − + − + + + − − + + + ( ) ( ) 3 2 3 5 2 x x x 2 3x 1 2x x 3 x 4 5) lim 1 2x ; 6) lim x ; 7)lim . x 1 x x 3 4 x x 2 →+∞ →−∞ → + + + − + − + − − IV - GIỚI HẠN MỘT BÊN Bài 9: Dựa vào định nghĩa giới hạn một bên, tìm các giới hạn sau ( ) x 1 x 5 x 3 x 1 1 1 a) lim x 1; b) lim 5 x 2x ; c) lim ; d) lim . x 3 x 3 + − + − → → → → − − + − − Bài 10: Tính các giới hạn sau ( ) 2 2 2 2 5 4 x 0 x 2 x 3 x 1 x 2 x 4 x x 7x 12 x 3x 2 1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim ; x x 2 x 9 x x x + − − + → → → → − + − − + + + − − − + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x 2 x 2 x 1 x 1 3x 6 3x 6 x 3x 2 x 3x 2 5) lim ; 6) lim ; 7) lim ; 8) lim ; x 2 x 2 x 1 x 1 + − − + → − → − → − → − + + + + + + + + + + ( ) ( ) 2 3 2 2 2 2 3 x 3 2 x 2 x 1 x 1 x 4 x 1 1 x x 1 9 x 9) lim ; 10) lim ; 11) lim ; 12) lim 2x 7x 3 x 1 x x x 1 2 x − + − →− → → → − − − + − − + + − − + − Bài 11: Cho hàm số ( ) = − ≥ − 3 2 x víi x<-1 f x 2x 3 víi x 1 . Tìm ( ) ( ) ( ) − + → → → x 1 x 1 x 1 lim f x , lim f x vµ limf x (nếu có). Hoàng Thanh Vân - Tổ Toán, THPT Định Hoá 4 Chuyên đề Toán 11: Giới hạn - Liên tục Bài 12: Cho hàm số ( ) − + ≤ = − > 2 x 2x 3 víi x 2 f x 4x 3 víi x 2 . Tìm ( ) ( ) ( ) − + → → → x 2 x 2 x 2 lim f x , lim f x vµ lim f x (nếu có). Bài 13: Cho hàm số ( ) − ≤ = = − > 2 2 9 x víi -3 x<3 f x 1 víi x 3 x 9 víi x 3 . Tìm ( ) ( ) ( ) − + → → → x 3 x 3 x 3 lim f x , lim f x vµ lim f x (nếu có). Bài 14: Tìm giới hạn một bên của hàm số ( ) + ≤ = ≥ − 2 2 2x 3 víi x 1 5 f x 6-5x víi 1<x<3 x-3 víi x 3 x 9 khi ± ± → →x 1 vµ x 3 . V - MỘT VÀI QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN Bài 15: Tìm các giới hạn sau ( ) 33 2 2 3 x x x 3 2 2 3 3 2 x x x 1) lim 3x 5x 7 ; 2) lim 2x 3x 12; 3) lim 1000 x ; 1 4) lim ; 5) lim 3x 5x; 6) lim x 3x ; 2x x 3x 5 →−∞ →+∞ →−∞ →−∞ →+∞ →+∞ − + − + − − − − + + Bài 16: Tìm các giới hạn sau 2 2 x 0 x 2 x 2 x 2 2x 1 2x 1 1 1 1 1 1) lim ; 2) lim ; 3)lim ; 4) lim ; x 2 x 2 x x x 2 x 4 + − − → → → → + + − − ÷ ÷ − − − − ( ) 2 2 2 2 3 2 x 0 x 2 x 3 x 2 2 x x 3 1 2x x 4 5)lim ; 6)lim ; 7) lim ; 8) lim . x x x 3 x 2 x 2 + + → → → → − − − − + − − − Bài 17: Tìm các giới hạn sau 3 4 4 2 2 2 x x x x x 5 x x 2x x 1 x 5x 2 1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim . x 1 1 2x x x 1 2 | x | 1 →+∞ →−∞ →−∞ →−∞ − − − − − + + − + + + Bài 18: Tìm các giới hạn sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 3 2 2 x 1 x 1 x 1 x 2 1 2x 3 5 1 1 1 4x 3 1)lim . ; 2)lim ; 3)lim . ; 4) lim . 2x 3 x 3 2x 3x 2 x 1 x 3x 2 x 1 x 3 + → → → → − + + − ÷ − + − − − + − − B. HÀM SỐ LIÊN TỤC I - Hàm số liên tục tại một điểm Bài 19: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm cho trước ( ) ( ) − = − + = + 3 3 2 x 1 1)f x x x 3 vµ g x x 1 tại điểm ∈¡ 0 x . ( ) ( ) ( ) ( ) − + − ≠ ≠ = = − − ≠ = = 2 3 x 3x 2 x 1 víi x 2 víi x 1 2)f x t¹i ®iÓm x=2; 3)f x t¹i ®iÓm x=1; x 2 x 1 1 víi x=2 2 víi x=1 1 víi x 0 4)f x t¹i ®iÓm x=0; 5)f x | x | t¹i ®iÓm x=0; x 0 víi x=0 ( ) ( ) − − + ≠ − ≠ = = 2 1 1 x x 1 víi x 1 víi x 0 x 6)f x t¹i ®iÓm x=0; 7)f x t¹i ®iÓm x=-1; 1 víi x=-1 1 víi x=0 2 2 Hoàng Thanh Vân - Tổ Toán, THPT Định Hoá 5 Chuyên đề Toán 11: Giới hạn - Liên tục ( ) − ≠ = + − 2 x 4 víi x -2 8)f x t¹i ®iÓm x=-2. x 2 4 víi x=-2 Bài 20: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x=1 ( ) ( ) + − + − ≠ = = − − ≠ + − 3 2 2 x a víi x=1 x x 2x 2 víi x 1 1)f x ; 2)f x . x 1 x 1 víi x 1 3x a víi x=1 x 1 Bài 21: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x=1 và x=3 ( ) − − = − ≠ − 2 2 2 a víi x=0 x x 6 f x víi x 3x 0 . x 3x b víi x=3 Bài 22: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm cho trước ( ) ( ) ( ) ( ) + ≤ + < = = − + ≥ − ≤ = = − ≥ 2 2 2 2 3 x 1víi x 1 x 4 víi x 2 1)f x t¹i ®iÓm x=1; 2)f x t¹i ®iÓm x=2; x 1 víi x>1 2x 1 víi x 2 x víi x<0 4 3x víi x -2 3)f x t¹i ®iÓm x=0; 4) f x t¹i ®iÓm x=-2. x víi x>-2 1 x víi x 0 . Bài 23: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x=0 ( ) ( ) 2 2 x a khi x 0 x 2a khi x 0 a)f x ; b)f x . x 1 khi x 0 x x 1 khi x 0 + < + < = = + ≥ + + ≥ Bài 24: Cho hàm số ( ) 2 x 3x 2 khi x 1 x 1 f x a khi x 1 − + ≠ − = = . a)Tìm a để hàm số liên tục trái tại x=1; b)Tìm a để hàm số liên tục phải tại x=1; c)Tìm a để hàm số liên tục trên .R II. Hàm số liên tục trên một khoảng Bài 25: Giải thích vì sao: a)Hàm số f(x)= 2 2 x sinx-2cos x+3 liên tục trên .R b)Hàm số ( ) + = 3 x xcosx+sinx g x liªn tôc trªn . 2s inx+3 R c)Hàm số ( ) ( ) + = ≠ π ∈ 2x 1 sinx-cosx h x liªn tôc t¹i mäi ®iÓm x k , k . xs inx R Bài 26: Hàm số ( ) + ≠ = + 3 x 8 víi x 2 f x 4x 8 3 víi x=2 có liên tục trên R không? Bài 27: Xét tính liên tục của các hàm số sau đây trên tập xác định của nó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ≤ + < = = = − ≥ ≥ − + + ≤ ≤ ≤ = = = − ≤ + ≤ ≤ ≥ 2 2 2 2 2 2 2 2 a x víi x 2 x x khi x 1 x víi x<1 1)f x ; 2)f x ; 3)f x ; 1 a x víi x>2 ax+1 khi x 1 2ax+3 víi x 1 x 3x 2 2x a víi 0 x<1 x víi 0 x 1 víi x<2 4)f x ; 5)f x ; 6)f x x 2x 2-x víi 1<x 2 ax 2 víi 1 x 2 mx+m+1 víi x 2 . Hoàng Thanh Vân - Tổ Toán, THPT Định Hoá 6 Chuyên đề Toán 11: Giới hạn - Liên tục Bài 28: Xét tính liên tục của hàm số − − + − = + ≤ 2 2 2x 1 2x 2 khi x > 1 x 1 f(x) x mx khi x 1 2 trên ¡ . III. Ứng dụng hàm số liên tục: CM phương trình có nghiệm Bài 29: Chứng minh rằng: 1)Phương trình + − = 5 x x 1 0 có nghiệm thuộc khoảng (-1; 1). 2)Phương trình sinx-x+1=0 có nghiệm. 3)Phương trình + + = 3 2 x 1000x 0,1 0 có ít nhất một nghiệm âm. 4)Phương trình − − = 3 2 1 x 1000x 0 100 có ít nhất một nghiệm dương. 5)Phương trình − + − = 4 2 x 3x 5x 6 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 2). 6)Phương trình + + = 3 x x 1 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1. 7)Phương trình 4 2 4x 2x x 3 0+ − − = có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-1; 1). 8)Phương trình 2x+ − 3 6 1 x =3 có ít nhất ba nghiệm phân biệt thuộc (-7; 9). 9)Phương trình − + = 3 2x 6x 1 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trên khoảng (-2; 2). 10)Phương trình + − = 3 2 x mx 1 0 luôn có nghiệm dương. 11)Phương trình + + + = 3 2 x ax bx c 0 luôn có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c. 12)Nếu 2a+3b+6c=0 thì phương trình 2 atan x+btanx+c=0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng k ; k , k . 4 π π + π ∈ ÷ R Hoàng Thanh Vân - Tổ Toán, THPT Định Hoá 7 . x x x x x x Hong Thanh Võn - T Toỏn, THPT nh Hoỏ 3 Chuyên đề Toán 11: Giới hạn - Liên tục →−∞ →−∞ →−∞ →+∞ − + − + − + + + + − + − − + + 2 2 2 2 2 4 1 2 1 5 3 1 4 5 2 1 10) lim ; 11) lim ; 12) lim. 2)lim ; 3)lim ; 4) lim ; x x 1 x 49 x 12x 11 x 2 2 x 4 3 x 5 3 x 1 1 5)lim ; 6)lim ; 7)lim ; 8)lim ; x 6 x 25 x 2 x x x 2x 1 2x 1 x 1 9)lim ; 10)lim ; 11) lim 1 x x x 1 x → → → → → → → → → → → +. + − − + − − + − − − − − − + − + + − − + − − + − + − + − + − ; x Hoàng Thanh Vân - Tổ Toán, THPT Định Hoá 2 Chuyờn Toỏn 11: Gii hn - Liờn tc 2 2 2 2 x 2 x 1 x 1 x 3 x 7 3 x 2 1 2x 2 3x 1 x 2x