Phương Pháp Tính - Các Kiến Thức Cần Biết 1. Hệ phương trình tuyến tính 2. Tính gần đúng tích phân 3. Cơ tính của vật liệu 4. Thế nắng toàn phần
PHẦN 2: CÁC KIẾN THỨC CẦN THIẾT Y Z X HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH o Ta phải giải hệ phương trình [K]{U}={F}: é K11 êK ê 21 ê ê ê ê ê ëêK n1 K12 K 22 Kn2 K1n ù ì U1 ü ì F1 ü K n úú ïï U ïï ïïF2 ïï ú ïï ïï ïï ïï úí ý = í ý úï ï ï ï úï ï ï ï ỳù ù ù ù K nn ỷỳ ùợU n ùỵ ùợFn ùỵ Phm Huy Hong 1 H PHNG TRèNH TUYẾN TÍNH o Phương pháp ma trận Phạm Huy Hồng HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Phạm Huy Hồng HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH o Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau: Phạm Huy Hồng HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Phạm Huy Hồng HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Phương pháp Gauss (Gaussian elimination): Tạo ma trận hệ số tam giác o Ma trận Các hệ số thuộc tam giác Ma trận hệ số A Vector B Phạm Huy Hồng HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH é -1 ê -1 - ê ëê - 2 é2 ê0 ê êë é2 ê0 ê êë 2ù - 1ú ú ûú -1 -4 -2 2 0 -1 -4 ì ïx = 2ù ï + x3 + 4.0 ï ú Þ í x2 = = =0 ú 5 ï úû - 0.x3 + 1.x2 - 0.0 + 1.0 ï = =1 ïỵ x1 = 2 Phạm Huy Hoàng ù ú ú úû HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1 é2 ê -1 -1 ê ëê - ù ú ú ûú Phạm Huy Hoàng HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1 é2 ê -1 -1 ê ëê - é1 ê ê ê0 ê ê0 êë 6ù 0ú ú ûú ùú 6ú ú 5ú - - 4ú úû é ê ê ê ê ê ëê 2 -5 -1 ùú ú ú ú - 10ú ûú -4 ì x = =2 ï -2 ï 6 ï Þ í x2 = + x3 = + = 5 5 ï 1 18 ï ïỵ x1 = - x3 - x2 = - 2 - = Phạm Huy Hồng TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN Tất tích phân có miền [x1 , x2] quy tích phân miền [-1, 1] x2 I = ò f ( x ) dx x1 I = ò f (x ) d x -1 ® Bằng cách đổi biến: x= 1- x 1+ x x1 + x2 2 Phạm Huy Hồng TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN Gần hình thang (Trapezoidal rule): Xấp xỉ hàm f(x) đường thẳng g(x) qua hai điềm đầu cuối g(x) f(-1) f(1) f(x) x -1 1- x 1+x g(x) = f (-1) + f (1) 2 1 -1 -1 I = ò f (x ) dx » ò g(x ) dx = f (1) + f (-1) Phạm Huy Hồng TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN 1 I = ò f (x ) dx » ò g(x ) dx = f (1) + f (0) + f (-1) -1 -1 3 g(x) f(-1) f(1) f(x) x -1 • Hàm f(x) tính hai điểm (-1) • Kết xác nều hàm tuyến tính hay số khơng xác cho hàm bậc trở lên Phạm Huy Hồng TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN Xấp xỉ bậc - Simpson’s rule: Xấp xỉ hàm f(x) đường parabol g(x) qua điểm đầu, cuối (-1), f(1) g(x) f(x) f(-1) f(0) x -1 g(x ) = x (x -1) x (1+x ) f (-1) + (1-x )(1+x ) f (0) + f (1) 2 1 -1 -1 I = ò f (x ) dx » ò g(x ) dx = f (1) + f (0) + f (-1) 3 Phạm Huy Hồng TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN • Hàm f(x) cần tính điểm (-1), • Kết xác cho hàm từ bậc hai trở xuống, khơng xác cho hàm bậc trở lên f(1) g(x) f(x) f(-1) f(0) x -1 1 I = ò f (x ) dx » ò g(x ) dx = f (1) + f (0) + f (-1) -1 -1 3 1 Tổng quát hóa cách xấp xĩ nào? Phạm Huy Hồng TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN Lưu ý xấp xỉ trước cho thấy dạng tổng quát sau: M I = ò f (x ) dx » åWi f (xi ) -1 i =1 trọng số điểm lấy tích phân 1 I = ò f (x ) dx » ò g(x ) dx = f (1) + f (0) + f (-1) -1 -1 3 Trapezoidal rule: M=2 Dùng cho hàm đa thức bậc tối đa M -1 = x1 = -1 W2 = x2 = W1 = Phạm Huy Hoàng TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN Lưu ý xấp xỉ trước cho thấy dạng tổng quát sau: M I = ò f (x ) dx » åWi f (xi ) -1 i =1 trọng số điểm lấy tích phân f (1) + f (0) + f (-1) -1 -1 3 W1 = 1/ x1 = -1 Simpson’s rule: M = W2 = / x2 = Chính xác cho hàm bậc tối đa M W2 = 1/ x2 = 1=2 1 I = ò f (x ) dx » ò g(x ) dx = Phạm Huy Hồng TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN Tổng qt hóa thành cơng thức: Newton-Cotes • Chia miền [-1,1] thành (M-1) khoảng nhỏ nhaubằng M điểm • Vẽ đường cong đa thức bậc (M-1) qua M điểm (giá trị đa thức giá trị hàm M điểm • Xấp xỉ tích phân tích phân đa thức f(1) f(x) f(-1) g(x) x -1 Phạm Huy Hồng TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN Newton-Cotes I = ò -1 f (x ) d x » M åW i =1 f (x i ) i N xi wi Bậc đa thức tối đa m -1, 1 -1, 4/3 1/3 -1/3, 1/3 -1, 3/4 1/4 -1/2, 1/2 -1,1 12/45 32/45 7/45 -1/5, 1/5 -3/5, 3/5 -1, 50/144 75/144 19/144 Phạm Huy Hồng TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN Với ‘M’ điểm tính xác tích phân hàm đa thức bậc ‘M-1’ Thực tế, với ‘M’ điểm lấy tích phân ‘M’ trọng số ta tính xác đến tích phân hàm đa thức bậc (2M-1)! → Công thức gần Gauss (Gaussian rule) Phạm Huy Hồng 10 TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN Nếu f(s,t) = t I = t s=1-t t s = ò ò t =0 s =0 f ( s , t ) dsdt = M åW IP =1 1- t M IP \ å W IP = IP =1 Phạm Huy Hoàng TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN Nếu M = f (s, t ) ~ s t 1/3 Iằ 1/3 s t ổ1 1ử fỗ , ữ è 3ø Phạm Huy Hoàng 20 TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN Nếu: f (s, t ) = a1 + a s + a 3t Thì: 1-t 1 1 f ( s, t ) dsdt = a + a + a s =0 3! 3! ò ò t =0 Nhưng 1-t ò ò t =0 s =0 f (s, t ) dsdt = W1 f (s1 , t1 ) 1 \ a1 + a + a = W1 (a1 + a s1 + a 3t1 ) 3! 3! 1 W1 = ; W1s1 = ; W1t1 = 3! 3! nên Phạm Huy Hồng TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN Nếu M = phù hợp hàm đa thức bậc f (s, t ) ~ t s 1/2 1 t s st 1/2 s t2 I» ỉ1 1ư ỉ1 ổ 1ử f ỗ , ữ + f ỗ ,0 ữ + f ỗ 0, ữ ố 2ứ è ø è 2ø Phạm Huy Hoàng 21 TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN Nếu M = phù hợp hàm đa thức bậc t f (s, t ) ~ (0.2,0.6) (1/3,1/3) (0.2,0.2) I »- 27 96 s 1(0.6,0.2) s s st t t2 s s 2t st t 25 25 ỉ 1 25 fỗ , ữ+ f (0.2,0.6) + f (0.2,0.2) + f (0.6,0.2) 96 96 è 3 ø 96 Phạm Huy Hồng TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN Gợi ý: Phạm Huy Hồng 22 CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU o Chuyển vị điểm có tọa độ (x, y, z) biểu diễn dạng vectơ: T u = [u , v, w] Phạm Huy Hoàng CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU sz Phần tử thể tích dV w u z x tzx Thể tích V v txz t xy sx x tzy tyz sy tyx y Phạm Huy Hồng 23 CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU sz tzy tzx z txz tyz Ứng suất xuất phần tử tích dV là: sy txy tyx sx y x sx, sy, sz: ứng suất pháp és x ù ês ú ê yú ês z ú ú σ=ê t ê xy ú ê ú t yz ê ú êt ú ë xz û t xy = t yx ; t yz = t zy ; t zx = t xz : ứng suất tiếp Phạm Huy Hồng CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU o Biến dạng điểm biểu thị vectơ: ìe x ü ïe ï ï y ï ïïe z ïï {e } = í ý ïg xy ï ïg ï ù yz ù ùợg zx ùỵ Phm Huy Hong 24 CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU o - Hai số đặc trưng cho tính vật liệu là: Module đàn hồi (còn gọi hệ số Young) E Hệ số Poison n Ví dụ: Thép: E = 200000MPa, n = 0,29 Hợp kim nhôm: E = 72000MPa, n = 0,3 o Module đàn hồi trượt G: G= E 2(1 +n ) Phạm Huy Hồng CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU Quan hệ biến dạng chuyển vị o Trong trường hợp biến dạng nhỏ: ¶u ex = ¶x ¶v ey = ¶y ez = ¶w ¶z g xy ¶v ¶u = + ¶x ¶y ¶w ¶u + ¶x ¶z ¶w ¶v = + ¶y ¶z g xz = g yz Phạm Huy Hồng 25 CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU Quan hệ biến dạng chuyển vị é¶ ê ¶x o Viết lại: ê éex ù ê êe ú ê e = ¶ u ê yú ê êez ú ê ê ú=ê¶ êg xy ú ê êg xz ú ê ¶y ê ú ê¶ ëêg yz ûú ê ¶z ê ê0 êë Phạm Huy Hồng { } [ ]{ } ¶ ¶y ¶ ¶x ¶ ¶z ù 0ú ú 0ú ú ¶ úéu ù ¶z ú ê v ú úê ú ú ê wú úë û ¶ú ú ¶x ú ¶ú ¶y úû CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU Ví dụ: o Chuyển vị: Biến dạng: ì u = A1x + B1y + C1z ï 2 ív = A x + B2 y + C z ïw = A x + B y + C z 3 ỵ e x = 2A1x, g xy = 2A x + 2B1y e y = 2B y g xz = 2A 3x + 2C1z e z = 2C3z g yz = 2B3 y + 2C z Phạm Huy Hồng 26 e x e y g xy ỉ ¶u ổ ỗỗ dx + ỗ u + dx ảx A' B' - AB è è = = AB dx æ ổ ảv ỗ dy + ỗỗ v + dy ỗ ¶y A' C' - AC è è = = AC dy π = - angle (C' A' B' ) = β + β 2 ¶v ¶u » + ¶x ¶x ư ÷ - u ÷÷ - dx ¶u ø ø = ¶x ư ÷÷ - v ÷÷ - dy ¶v ø ø = ¶y » tan β + tan β ¶v v + dy ¶y ¶u dy ¶y C’ y C b2 A’ b dy u v A dx B Phạm Huy Hoàng u+ B’ ¶v dx ¶x x ¶u dx ¶x CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU Quan hệ ứng suất biến dạng Trường hợp vật liệu đẳng hướng: o Quan hệ ứng suất biến dạng phạm vi đàn hồi, tuyến tính tuân theo định luật Hooke: {e } = [C ]{s } [C]: ma trận đàn hồi Phạm Huy Hồng 27 CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU Trường hợp vật liệu đẳng hướng: {e x } = ] {e } = E1 [s [ s x -n (s y + s z ) E {e z } = g xy y [ y ] - n (s z + s x ) ] s z - n (s x + s y ) E 2(1 + n ) 2(1 + n ) g = t = t yz yz yz = t xy = t xy G E G E 2(1 + n ) g zx = t xy = t zx G E Phạm Huy Hoàng CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU Trường hợp vật liệu đẳng hướng: o Ma trận C: é1 ê-n ê ê-n [C ] = ê Eê ê0 ê êë -n -n -n -n 0 0 0 0 0 0 2(1 +n ) 0 2(1 +n ) 0 ù ú ú ú ú ú ú ú 2(1 +n )úû 0 Phạm Huy Hồng 28 CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU Trường hợp vật liệu đẳng hướng: o Biểu diễn ứng suất theo biến dạng qua biểu thức: {s } = [D]{e } n n é1 - n ê s é xù -n n ê n ês ú ê n n -n ê yú ê ês z ú E 0 ê ê ú= t ( )( ) + n n ê ê xy ú ê êt xz ú 0 ê ê ú ê ëêt yz ûú 0 êë 0 0 - 2n 0 0 - 2n 0 Phạm Huy Hoàng ù úé e x ù úê ú úê e y ú úê e ú úê z ú ú êg xy ú ú êg xz ú úê ú - 2n ú ëêg yz ûú úû 0 CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU Trường hợp vật liệu đẳng hướng: o Nếu kết cấu chịu biến dạng ban đầu {e } {e } = [C ]{s } + {e } {s } = [D]({e }- {e }) Phạm Huy Hoàng 29 CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU -Trường hợp ứng suất phẳng: bề dày z nhỏ nhiều so với chiều dài rộng (x, y) stảiz tác = tdụng = 0chỉ mặt phẳng xy coi xz = t yz g yz = g xz = ez = - n (e x + e y ) (1 -n ) t xy s y t xy sx Phạm Huy Hoàng CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU Trường hợp ứng suất phẳng: o Quan hệ ứng suất biến dạng: és x ù E ê ú ês y ú = -n êt xy ú ë û é ùé ù n ê úê e x ú ên úê e y ú ê -n ú ê ú 0 ê ú ëg xy û û ë Phạm Huy Hồng 30 CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU Ví dụ: Thin plate with a hole t xy sy t xy sx Thin cantilever plate Phạm Huy Hồng CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU -Trường hợp biến dạng phẳng: bề dày z lớn nhiều so với chiều dài rộng (x, y) tiết diện tải không đổi theo trục z e z = g yz = g xz = t xz = t yz = s z = n (s x + s y ) g xy ey g xy ex Phạm Huy Hồng 31 CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU Trường hợp biến dạng phẳng: o Quan hệ ứng suất biến dạng: ésx ù E ê ú s = y ê ú (1 + n )(1 - 2n ) êt xy ú ë û é ùé ù n n ê úê ex ú ê n 1- n úê ey ú ê - 2n ú ê ú 0 ê ú ë g xy û û ë Phạm Huy Hồng CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU Một lát cắt có chiều dầy đơn vị Ví dụ: Đập nước t xy y sy sz t xy sx x z Bình chứa chịu áp lực hình trụ dài chịu áp lực bện ngàm chặt đầu Phạm Huy Hồng 32 CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU Trường hợp biến dạng chiều: o Chỉ tồn thành phần ứng suất s x = Ee x - EaDT a: hệ số dãn nở nhiệt DT: biến động nhiệt độ x Phạm Huy Hồng THẾ NĂNG TỒN PHẦN o Thế toàn phần hệ đàn hồi: P =U - A o U – đàn hồi vật thể tích lũy q trình biến dạng U= o T e { } [ D ] ({e } - {e }) dV Vò A – công ngoại lực sinh chuyển vị điểm đặt ngoại lực vật thể bị biến dạng A = ò {u} T V { g} dV + ò {u} { p} dS T St với {g}: lực thể tích tác dụng thể tích V {p} lực bề mặt tác dụng bề mặt S Phạm Huy Hoàng 33 THẾ NĂNG TỒN PHẦN o Ngun lý cực tiểu tồn phần: Khi hệ đàn hồi chuyển vị đạt trạng thái cân ¶Õ = Phạm Huy Hồng THẾ NĂNG TOÀN PHẦN Cân lực kx = P Năng lượng Thế đàn hồi Công U = kx 2 ò P&xdt = ò Pdx = Px Thế toàn phần Õ = kx - Px Cc tiu ả ế = ị kx - P = ¶x Phạm Huy Hồng 34