bai giang tcc chuong1 co so toan hoc

CƠ SỞ TỐN HỌC Nguyễn Văn Phong Tốn cao cấp - MS: MAT1006 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) Cơ Sở Toán Học Toán cao cấp - MS: MAT1006 / 27 Nội dung LOGIC Khái niệm Các phép toán Tương đương logic Hệ logic TẬP HỢP Khái niệm Quan hệ tập hợp Các phép toán tập hợp Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) Cơ Sở Toán Học Toán cao cấp - MS: MAT1006 / 27 Khái niệm Các phát biểu (khẳng định) đúng, sai vừa vừa sai Các mệnh đề gọi có chân trị mệnh đề sai có chân trị sai - Ký hiệu: p, q, r , : mệnh đề - Ký hiệu: 1: Chân trị đúng; 0: Chân trị sai Ví dụ p : "4 số nguyên tố" - mệnh đề có chân trị q : "1 + = 3" - mệnh đề có chân trị r : "x > 2" - không mệnh đề t : "2 số chẵn" - mệnh đề có chân trị Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) Cơ Sở Toán Học Toán cao cấp - MS: MAT1006 / 27 Các phép toán Phép phủ định Phủ định mệnh đề p, ký hiệu p¯ đọc khơng p, có chân trị p có chân trị Bảng chân trị p p¯ 1 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) Cơ Sở Toán Học Toán cao cấp - MS: MAT1006 / 27 Các phép toán Phép nối liền (phép hội) Mệnh đề p ∧ q, đọc p q, có chân trị p q có chân trị Bảng chân trị p 0 1 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) q p∧q 0 0 1 Cơ Sở Toán Học Toán cao cấp - MS: MAT1006 / 27 Các phép toán Phép nối rời (phép tuyển) Mệnh đề p ∨ q, đọc p hay q, có chân trị p q có chân trị Bảng chân trị p 0 1 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) q p∨q 0 1 1 Cơ Sở Toán Học Toán cao cấp - MS: MAT1006 / 27 Các phép toán Phép kéo theo Mệnh đề p → q, đọc p kéo theo q, (hay p q), có chân trị p có chân trị q có chân trị Bảng chân trị p 0 1 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) q p→q 1 0 1 Cơ Sở Toán Học Toán cao cấp - MS: MAT1006 / 27 Các phép toán Phép kéo theo hai chiều Mệnh đề (p → q) ∧ (q → p), ký hiệu p ↔ q, đọc p q, có chân trị p q có chân trị Bảng chân trị p 0 1 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) q p→q q→p p↔q 1 1 0 0 1 1 Cơ Sở Toán Học Toán cao cấp - MS: MAT1006 / 27 Định nghĩa Dạng mệnh đề Là mệnh đề phức hợp (hay gọi biểu thức mệnh đề) thành lập cách kết hợp từ biến mệnh đề đơn giản p, q, r , phép toán - Ký hiệu: A, B, C , - Ví dụ: Dạng mệnh đề: A(p, q, r ) := [(p → q) ∧ r ] Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) Cơ Sở Toán Học Toán cao cấp - MS: MAT1006 / 27 Định nghĩa Hằng Một dạng mệnh đề gọi (chân lý), ký hiệu 1, ln có chân trị bất chấp chân trị biến mệnh đề tạo thành Hằng sai Một dạng mệnh đề gọi sai (mâu thuẫn), ký hiệu 0, ln có chân trị bất chấp chân trị biến mệnh đề tạo thành Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) Cơ Sở Toán Học Toán cao cấp - MS: MAT1006 / 27 Tương đương logic Định lý Cho i) ii) iii) iv) p, q, r mệnh đề, ta có: (p → q) ⇔ (¯ q → p¯) (phép chứng minh đảo đề) (p → q) ⇔ p ∧ q¯ (phép chứng minh phản ví dụ) p ⇔ (¯ p → 0) (phép chứng minh phản chứng) [p → (q ∨ r )] ⇔ [(p ∨ q¯) → r ] Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) Cơ Sở Toán Học Toán cao cấp - MS: MAT1006 13 / 27 Hệ logic Định nghĩa Dạng mệnh đề B gọi hệ logic dạng mệnh đề A, ký hiệu A ⇒ B, dạng mệnh đề A → B Ví dụ Với dạng có p 0 1 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) mệnh đề A = p ∧ q, B = p ∨ q, ta q 1 A 0 B A→B 1 1 1 Cơ Sở Toán Học Toán cao cấp - MS: MAT1006 14 / 27 Hệ logic Định lý Cho i) ii) iii) iv) v) p, q, r mệnh đề, ta có: [(p → q) ∧ p] ⇒ q (phép khẳng định) [(p → q) ∧ q¯] ⇒ p¯ (phép phủ định) [(p → q) ∧ (q → r )] ⇒ (p → r ) (tam đoạn luận) [(p ∨ q) ∧ p¯] ⇒ q (tam đoạn luận rời) [(p → r ) ∧ (q → r )] ⇒ [(p ∨ q) → r ] (chứng minh theo trường hợp) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) Cơ Sở Toán Học Toán cao cấp - MS: MAT1006 15 / 27 Khái niệm Sự gom góp đối tượng có tính chất với cho ta hình ảnh tập hợp Các đối tượng gọi phần tử tập hợp Ký hiệu: A, B, C , tập hợp Nếu a phần tử A, ký hiệu a ∈ A Ngược lại a không phần tử A, ký hiệu a ∈ / A Tập rổng, ký hiệu ∅, tập khơng có phần tử Tập hợp xác định nhiều cách như: Liệt kê, Biểu thức mệnh đề, giản đồ Venn Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) Cơ Sở Toán Học Toán cao cấp - MS: MAT1006 16 / 27 Ví dụ A = {2, 4, 6, 8} A = x ∈ R p(x) = x − 2x + ≥ Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) Cơ Sở Toán Học Toán cao cấp - MS: MAT1006 17 / 27 Quan hệ tập hợp Tập Tập hợp A gọi tập tập hợp B, ký hiệu A ⊂ B , phần tử A phần tử B, nghĩa ∀x, x ∈ A → x ∈ B Quy ước: ∅ ⊂ A, ∀A Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) Cơ Sở Toán Học Toán cao cấp - MS: MAT1006 18 / 27 Quan hệ tập hợp Hai tập Tập hợp A B gọi nhau, ký hiệu A = B , phần tử A phần tử B ngược lại nghĩa ∀x, x ∈ A ↔ x ∈ B Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) Cơ Sở Toán Học Toán cao cấp - MS: MAT1006 19 / 27 Các phép toán tập hợp Với A, B tập tập X , ta có Phép lấy phần bù Phần bù A X , ký hiệu ¯ tập X bao gồm phần tử CX A hay A, không thuộc A ¯ = {x ∈ X |x ∈ A / A} Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) Cơ Sở Toán Học Toán cao cấp - MS: MAT1006 20 / 27 Các phép toán tập hợp Với A, B tập tập X , ta có Phép lấy phần hội Phần hội A với B, ký hiệu A ∪ B, tập X gồm phần tử thuộc A hay thuộc B A ∪ B = {x ∈ X |x ∈ A ∨ x ∈ B } Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) Cơ Sở Toán Học Toán cao cấp - MS: MAT1006 21 / 27 Các phép toán tập hợp Với A, B tập tập X , ta có Phép lấy phần giao Phần giao A với B, ký hiệu A ∩ B, tập X gồm phần tử thuộc A thuộc B A ∩ B = {x ∈ X |x ∈ A ∧ x ∈ B } Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) Cơ Sở Toán Học Toán cao cấp - MS: MAT1006 22 / 27 Các phép toán tập hợp Với A, B tập tập X , ta có Phép lấy phần hiệu Phần phần A với B, ký hiệu A\B, tập X gồm phần tử thuộc A không thuộc B A\B = {x ∈ X |x ∈ A ∧ x ∈ / B} Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) Cơ Sở Toán Học Toán cao cấp - MS: MAT1006 23 / 27 Một số tính chất Với A, B, C tập tập X , ta có Định lý ¯ =A i) A ii) A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A iii) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ); (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) iv) A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ); A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) ¯ ∩ B; ¯ (A ∩ B) = A ¯ ∪B ¯ v) (A ∪ B) = A Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) Cơ Sở Toán Học Toán cao cấp - MS: MAT1006 24 / 27 Một số tính chất Với A, B, C tập tập X , ta có Định lý vi) vii) viii) ix) x) A ∪ A = A; A ∩ A = A A ∪ ∅ = A; A ∩ X = A A ∪ X = X; A ∩ ∅ = ∅ ¯ = X; A ∩ A ¯=∅ A∪A A ∪ (A ∩ B) = A; A ∩ (A ∪ B) = A Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) Cơ Sở Toán Học Toán cao cấp - MS: MAT1006 25 / 27 Một số tính chất Với A, B, C tập tập X , ta có Mệnh đề i) A ∩ B ⊂ A ⊂ A ∪ B ii) Nếu A ⊂ B B ⊂ C A ⊂ C ¯ ⊂A ¯⇔A ¯ ∪B =X ⇔A∩B ¯ =∅ iii) A ⊂ B ⇔ B Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) Cơ Sở Toán Học Toán cao cấp - MS: MAT1006 26 / 27 Tập hợp tích Định nghĩa Với hai tập hợp X , Y , tích Descartes X Y , ký hiệu X × Y , tập hợp tất thứ tự (x, y ) với x ∈ X , y ∈ Y , X × Y = { (x, y ) | x ∈ X , y ∈ Y } Tổng quát, với n tập X1 , X2 , , Xn , ta có X1 × × Xn = { (x1 , , xn ) | x1 ∈ X1 , , xn ∈ Xn } Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) Cơ Sở Toán Học Toán cao cấp - MS: MAT1006 27 / 27