TOÁN HỌC CÁC CHUYÊN ĐỀ CHUYÊN TOÁN HAY

ℳừng xuân Canh Dần 2010 ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh Hàm sinh Kim Đình Sơn, 12A1,THPT Chuyên Vĩnh Phúc Giới thiệu Xét dãy số( ) hàm số ( )= + + +⋯+ +⋯ Khi ( ) đươcj gọi hàm sinh cho dãy ( ) , ta nói hàm ( ) mang đầy đủ thông tin dãy ( ) ∈ Hệ số số hạng dãy.Nếu biết đặc điểm hàm ( ) ta hoàn toàn biết số hạng dãy cách tổng quát Ví dụ dãy số thỏa mãn phương trình sai phân + + = ta có hàm sinh cho dãy thỏa mãn ( ( )− )+ − ( ( )− )+ ( )=0 Hay +( 1+ ( )= Nếu , hai nghiệm phương trình đặc trưng +( ( )= (1 − ) = (1 − ) VÍ DỤ 1.Tìm công thức tổng quát cho dãy ( = + (1 − , ) , ≥ 0) với = ( + ≥ Trong , = = xác định + + ∞ ( + ) ∞ = + = 1− + Suy ( )= ) , ∀ ≥ , ∞ ( )= + + Từ suy số hạng tổng quát dãy : theo Giải Xét ( ) = ∑∝ + ∞ ) + )(1 − ) + + (1 − )(1 − ) = − ∞ 1− − 1− = − − ( ) ℳừng xuân Canh Dần 2010 Do = ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh ,∀ VÍ DỤ Chứng minh số ∞ − = Giải Dãy = 0, thỏa mãn = ∞ ∞ ∞ ( )= = Suy VÍ DỤ ( ℎ , ∀ ≥ Đặt , − ∞ ∞ ∞ − = Để ý hàm sinh cho dãy + − = Xét hàm sinh ( ) = ∑∝ = ( + 1) = = =0= 1− , − =1= , ∀ Ta có điều cần chứng minh ) Chứng minh − − = +1 Các phép toán hàm sinh Cho dãy ∑∞ , …và = ∑∞ ( )là hàm sinh dãy số Khi hàm sinh cho dãy = ( ) Ta có pháp nhân , , … Tiếp theo, giả sử hai dãy { } à{ } có hai hàm sinh A(x) B(x) Khi ∞ dãy { + } có hàm sinh ∑ ( + ) = ∑∞ + ∑∞ = ( )+ ( ), ta có phép cộng Nếu thêm đằng trước dãy , số ta có hàm sinh co dãy 0,0, … ,0, ∑∞ = ( ), ta có phép nhân , , … ℳừng xuân Canh Dần 2010 ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh Bây ta xét hàm ( ) = ( ) ∙ ( ) = ∑∞ ∑ , đặt =∑ Ta có hàm sinh cho dãy { } hàm G(x) Ta gọi quy tắc “phép xoắn” hay quy tắc “xoắn”(ta có hai dãy { } à{ } ghép cặp số hạng kiểu ) VÍ DỤ Chứng minh số cách chèn dấu ∗ vào tích n+1 nhân tử số +1 Giải Ta nhận thấy số cách chèn dấu ∗ vào tích + nhân tử lại Do = Xét hàm sinh ∞ ∞ ( )= Khi ( ) − = ∑∞ ( ) − = ( ) Suy = ∑∞ =1+ ∑ , theo quy tắc xoắn ta có ( )= − √1 − Ta có ∞ √1 − = (1 − ) ∞ = = 1 2∙ 2−1 ∞ =1−2 −2 (−4 ) 1 − … 2− ! (2 − 2)! ( − 1)! ( − 1)! Vậy ta có điều phải chứng minh +1 ∞ = (−4 ) +1 − nhân tử ℳừng xuân Canh Dần 2010 ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh VÍ DỤ Chứng minh đẳng thức sau với số nguyên dương + (Công thức = , , − ) VÍ DỤ Cho dãy { } xác định =1 + + ⋯+ = Tìm công thức tổng quát cho Xây dựng hàm sinh Để biết thông tin dãy số ta xét hàm sinh cho dãy số Đối với toán đòi hỏi công thức tường minh cho số hạng dãy chứng minh đẳng thức dãy tức ta cần “nắm bắt thông tin “( quan trọng) dãy, ta cần xét hàm sinh cho biến Vậy “thông tin”? Ta gán cho thông tin ứng với biến Ví dụ, với phần tử dãy ta có hai lựa chọn chọn không chọn, biểu diễn hàm sinh cho + = + ta có hàm sinh cho dãy gồm phần tử chọn (1 + ) Ở thông tin xuất phần tử dãy VÍ DỤ 7( 3? 2003) Có số có chữ số từ tập hợp {2,3,7,9} chia hết cho Giải Ta có số chia hết cho tổng chữ số chia hết cho Như yêu cầu toán tương đương với việc tìm số số có chữ số mà tổng chữ số chia hết cho Ta có chữ số số thỏa mãn có giả trị số 2,3,7 ℎ ặ Do hàm sinh cho chữ số + + + Xét hàm sinh ℱ( ) = ( Trong số số có Xác định = ≠1 1+ + / + + + ) = + + + ⋯+ chữ số từ {2,3,7,9} mà có tổng chữ số nghiệm nguyên thủy bậc ba Unity ( phương trình = ( − 1)/( − 1) = Khi ℱ (1) = + ℱ( ) = + ℱ( ) = + + + + Khi + + +⋯ + + +⋯ + + +⋯ = 1), ta có ℳừng xuân Canh Dần 2010 ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh ℱ (1) + ℱ ( ) + ℱ ( ) = + (1 + + ) = 3( + + + ⋯ ) = + (1 + + ) +3 +⋯ Vậy ta có số cần tính = ℱ (1) + ℱ ( ) + ℱ ( ) = ((1 + + + 1) + ( + + + 1) + ( + + + 1) ) = (4 + 2) _ Nói thêm hàm sinh.Như phần giới thiệu, ta cần biết xác công thức dãy, thông thường ta tính hệ số giá trị hàm sinh điểm (như đủ).Cũng ta đưa số đại lượng cần tính việc tính hệ số hàm sinh Tuy nhiên ví dụ lại khác Đại lượng cần tính lại tổng vài số hạng dãy, loại hàm sinh ta cần xét dãy số mũ hàm sinh Như vậy, ta có hai lọai hàm sinh thường gặp( ứng với biến –một thông tin) loại thứ hai ( )= Trong dãy ( ) ∈ + + +⋯ dãy hữu hạn vô hạn , , … , , , , … , , với ≥ thỏa mãn Chứng minh lũy thừa VÍ DỤ Cho số nguyên dương phân biệt + |1 ≤ < ≤ = + |1 ≤ < ≤ Giải Xét hai hàm sinh ( )= + + + ⋯+ ( )= + + +⋯+ Và Suy ta có ( ) =∑ + 2∑ ( ) =∑ ( ) − ( Hay ( ) − ( ) = ( )− ( )= ( ) − ( ( ) ( )+ ( ) = ( ( ) ) ) Mặt khác (1) = (1) = ( ) − ( ) = ( − 1) Dođó( − 1) +2∑ − 1) ( ), ( (1) ≠ ),i.e, ( ) + ( ) = ( + 1) nên ta viết ( ) Vậy ℳừng xuân Canh Dần 2010 Với = 1, ta có = hay ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh =2 lũy thừa Vậy Ngoài ra, việc xây dựng hàm sinh không dựa biến (vì biến cho ta thông tin nhất!) Đối với toán đòi hỏi nhiều thông tin ta cần xét hàm sinh với nhiều biến Nhưng trước đến với ví dụ đo ta xét bốn định lý sau Định lý Trong ví dụ 7, ta thấy phương pháp giải toán dạng có kết hợp với số phức để tính (như báo thầy Đặng Hùng Thắng tạp chí Toán học & Tuổi trẻ: “dùng ảo đếm thực”) Trong / = ĐỊNH LÝ Xác định với số nguyên dương Khi đa thức ℱ( ) = + + +⋯ xác định + + +⋯= > ℱ Ta có tổng ℱ (1) + ℱ ( ) + ⋯ + ℱ ( n Chứng minh Ta xét chứng minh dựa vào tổng , = nên =1+ = Trong trường hợp khác ta có ℱ (1) + ℱ ( ) + ⋯ + ℱ ( )= + + ) ( +⋯+ ≠ = +⋯ = ( + ) Nếu ( ) chia hết = Ta có + + ⋯) Định lý chứng minh VÍ DỤ ( 1995 {1,2,3, … } thỏa mãn (i) (ii) 6) Cho số nguyên tố lẻ Tìm số tập có phần tử Tổng tất phần tử của tập chia hết cho Giải Bài toán có hai thông tin cần biết: số phần tử tập hợp tổng phần tử tập hợp Đến ta có hai hướng giải sau Hướng Rõ ràng với , ≤ ≤ ta góp vào với hàm tích 1+ Không thể tập có p phần tử Vì ta phải xét hàm sinh + =1+ ℳừng xuân Canh Dần 2010 ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh ( , ) = (1 + )(1 + ) … (1 + )= , , Trong , {1,2,3, … } thỏa mãn (i)| | = − số tập =∑ Vì ta cần tính | , / = Đặt ={ , Ta tính tổng ∑ ∈ Đầu tiên ta có ∑ ∑ ∈ (ii) ( ) = nghiệm nguyên thủy Unity ,…, = 1} , ( , ) theo hai cách ∈ ( , ) = ( , 1) + ∑ ( , 1) = ( + 1) Mặt khác với Do ∈ \{ } ( , ) = ( , 1) + ∑ Ta có ta có {1,2, … , } = {1 ⋅ , ⋅ , … , ∙ } ≢0 + , = + Hay Xét ( ) = ( − )( − ) = −( + 1) suy )…( − + = + )= − 1, ta có ( , ) = ( + 1) (− ) = (−1) ( + )( + + ( − 1)( )…( + + 1) ∈ ( , )= ∈ ∈ [( + 1) + ( − 1)( + 1) ] = ∈ ( + 1) ∈ = + ( − 1) = , , + ( − 1) ∑ + ( − 1) = 2+ + ( − 1) ∈ ∈ + 1) ∈ = Bây ta tính ∑ ( ∈ ∈ = + ( − 1) ( †) +4 −2 ∈ ( , ) theo cách khác Để ý