Đề thi olympic toán Hùng Vương,đại cương về lịch sử môn giải tích toán học, Các chuyên đề toán

TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ ============================= Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên) KỶ YẾU TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG MÔN TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 02-04/08/ 2010 Mục lục Lời nói đầu Đề 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 thi Olympic Toán Hùng vương Olympic Toán Hùng vương lần thứ 1, năm 2005 Olympic Toán Hùng vương lần thứ 2, năm 2006 Olympic Toán Hùng vương lần thứ 3, năm 2007 Olympic Toán Hùng vương lần thứ 4, năm 2008 Olympic Toán Hùng vương lần thứ 5, năm 2009 Đáp án Olympic Toán Hùng vương lần thứ 5-2009 Đại cương lịch sử môn giải tích tốn học 2.1 Tóm lược lịch sử mơn giải tích 2.1.1 Hy Lạp La mã cổ đại 2.1.2 Trung cổ 2.1.3 Cận đại 2.1.4 Hiện đại 2.2 Đại cương lịch sử mơn giải tích tốn học thời Hy mã cổ đại 2.2.1 Pythagoras (580-500 trước Công nguyên) 2.2.2 Euclid (300 trước Công nguyên) 2.2.3 Archimedes (287 - 212 trước Công nguyên) 2.2.4 Papus (thế kỷ thứ sau Công nguyên) Lạp La 9 10 11 12 14 15 20 20 20 20 21 22 23 23 31 35 48 Các chuyên đề chuyên toán 50 3.1 Một số kĩ thuật đánh giá ước lượng giải phương trình đại số 50 3.1.1 Kĩ sử dụng bất đẳng thức 50 MỤC LỤC 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.1.2 Kĩ đánh giá dựa vào "giả thiết tạm" 3.1.3 Kĩ nhẩm nghiệm kết hợp đánh giá 3.1.4 Bài tập rèn luyện Tài liệu tham khảo Áp dụng định lí Burnside-Frobenius vào tốn tơ màu tổ hợp 3.2.1 Một số kiến thức bổ trợ nhóm định lí BurnsideFrobenius 3.2.2 Áp dụng vào tốn tơ màu tổ hợp 3.2.3 Bài tập tham khảo Tài liệu tham khảo Chuyên đề chọn lọc bất đẳng thức 3.3.1 Mở đầu 3.3.2 Nội dung Tài liệu tham khảo Một số nhận xét giảng dạy chuyên đề ứng dụng nguyên lý Dirichlet 3.4.1 Phần mở đầu 3.4.2 Phần nội dung 3.4.3 Bài tập vận dụng 3.4.4 Hướng dẫn cách giải 3.4.5 Kết luận Tài liệu tham khảo Sử dụng tính đơn điệu hàm số để tìm giới hạn 3.5.1 Các tính chất 3.5.2 Các ví dụ Tài liệu tham khảo Phương pháp lượng giác áp dụng 3.6.1 Các kết 3.6.2 Áp dụng giải phương trình, hệ phương trình 3.6.3 Áp dụng chứng minh bất đẳng thức 3.6.4 Dãy số giới hạn Tài liệu tham khảo Ứng dụng phép khử định lí Viét vào hình học phẳng 53 54 55 55 55 56 60 64 66 66 66 67 84 85 85 86 97 98 103 103 104 104 107 112 112 113 114 116 119 124 124 MỤC LỤC 3.7.1 Phép khử 3.7.2 Định lí Viét 3.7.3 Ứng dụng 3.7.4 Bài tập áp dụng Tài liệu tham khảo 3.8 Dãy số số tính chất 3.8.1 Một số phương pháp thường dùng 3.8.2 Chứng minh tính chất dãy số 3.8.3 Bài tập 3.8.4 Kết luận Tài liệu tham khảo 3.9 Một số phương pháp giải hệ phương trình thi học sinh giỏi 3.9.1 Dùng phép biến đổi đại số 3.9.2 Sử dụng tính đơn điệu hàm số 3.9.3 Phương pháp đánh giá Tài liệu tham khảo 3.10 Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số ứng dụng 3.10.1 Phần lý thuyết 3.10.2 Phần tập 3.10.3 Bài tập 124 125 125 130 131 131 131 140 163 173 174 174 174 184 189 195 196 196 197 215 Lời nói đầu Tốn học mơn học đặc biệt quan trọng chương trình học bậc phổ thông Trong năm gần đây, thầy giáo, cô giáo học sinh trường Trung học phổ thơng chun khiếu có điều kiện hội nhập với chương trình, chuyên đề tốn quốc tế khu vực thơng qua hoạt động hợp tác, tham dự kỳ thi olympic phương tiện viễn thơng quốc tế Nhiều dạng tốn hình thành, nhiều chun đề tốn phổ thơng cập nhật với trình độ tiên tiến nước phát triển Đặc biệt, nhiều chuyên đề toán học gắn với ứng dụng mơ hình thực tiễn làm cho nội dung giảng dạy học tập mơn Tốn học trường phổ thơng ngày phong phú đa dạng Tốn học khơng nhằm giúp trang bị cho học sinh kiến thức cụ thể để áp dụng sống thường ngày mà điều quan trọng cung cấp, rèn luyện cho học sinh kĩ năng, phương pháp tư chặt chẽ, logic Đó điều mà em cần thiết đời hoạt động thực tiễn sau Năm nay, Trại hè Hùng Vương bước sang năm thứ 6, tổ chức MỤC LỤC trường THPT Chuyên Thái Nguyên Các Kỷ yếu trại hè Hùng Vương lần thứ 2-5 đời đáp ứng mong đợi, kì vọng thầy, cô em học sinh khối trường trung học phổ thông chuyên khu vực miền núi trung du phía bắc Ngồi đề thi Olympic Toán Hùng Vương, Olympic Toán Hà Nội mở rộng Olympic quốc tế Singapore mở rộng, Kỷ yếu giới thiệu giáo sư, nhà khoa học qua nhiều năm tâm huyết với chiến lược đào tạo tài trẻ đất nước viết số phương pháp giải toán, kỹ vận dụng logic Toán học sống Một điều đáng ghi nhận: năm nay, khối trường tham gia Trại hè Hùng Vương có bước tiến dài đường hội nhập Nhiều kiến thức cập nhật, học kinh nghiệm trao đổi semina học thuật thuộc nhiều lĩnh vực lý thú toán học, chuyên đề tự chọn đặc sắc theo chương trình dành cho lớp chun Tốn thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy trường THPT Chuyên tỉnh thành Bắc Giang, Điện Biên, Sơn La, Phú Thọ, Vĩnh Phúc, Lạng Sơn, Hòa Bình, Hà Giang, Tuyên Quang, Lào Cai, Quảng Ninh, Yên Bái, Cao Bằng, Bắc Ninh, Bắc cạn Thái Nguyên viết thành chuyên đề Ngoài ra, Kỷ yếu lần bổ sung đề thi đề thi Olympic Toán Hùng Vương năm 2009, Olympic Toán Hà Nội mở rộng Olympic quốc tế Singapore mở rộng năm 2010 đề tốn dự tuyển trường đề nghị Cuốn sách trình bày hai phụ lục viết tiếng Anh để em có điều kiện làm quen với thuật ngữ bản, để tiếp cận tìm hiểu sâu thêm kiến thức cập nhật qua mạng internet sách chuyên đề nước Chúng hy vọng Kỷ yếu cung cấp thêm cho em học MỤC LỤC sinh số kiến thức bổ sung, giúp em hiểu sâu Sách giáo khoa chuẩn bị tốt cho kì thi học sinh giỏi, Olympic, kì thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh vào đại học Thay mặt Hội đồng Cố vấn Khoa học, xin chân thành cám ơn thành viên seminar Trại hè Hùng Vương, đồng nghiệp, thầy giáo, giáo đọc có đóng góp cho thảo Kỷ yếu hồn chỉnh Mọi ý kiến đóng góp xin gửi Ban Tổ Chức Trại hè Hùng Vương lần thứ V, Trường THPT Chuyên Hùng Vương Việt trì, Phú Thọ Hà Nội-Thái Nguyên, ngày 1-3 tháng năm 2010 Thay mặt Hội đồng Cố vấn Khoa học GS Nguyễn Văn Mậu Chương Đề thi Olympic Toán Hùng vương 1.1 Olympic Toán Hùng vương lần thứ 1, năm 2005 Câu Các số nguyên dương a1 , a2 , a3 , a4 , a5 lập thành cấp số cộng tăng Hỏi lập cấp số cộng thoả mãn điều kiện a1 > 50 a5 < 100? Câu Các số nguyên dương a1 , a2 , a3 , a4 , a5 lập thành cấp số nhân tăng Hỏi lập cấp số nhân thoả mãn điều kiện a5 < 100? Câu Các số dương a1 , a2 , a3 , a4 , a5 thoả mãn điều kiện (i) 2a1 , 2a2 , 2a3 , 2a4 , 2a5 số nguyên dương, (ii) a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 99 Tìm giá trị lớn tích P = a1 a2 a3 a4 a5 Câu Giả sử tam thức bậc hai f (x) luôn dương với x Chứng minh f (x) viết dạng tổng bình phương hai nhị thức bậc Câu Giả sử hàm trùng phương g(x) = x4 + bx2 + c luôn dương với x Chứng minh g(x) viết dạng tổng bình phương hai tam thức bậc hai 10 Chương Đề thi Olympic Toán Hùng vương Câu Cho hình vng ABCD Tìm quỹ tích điểm M thuộc hình vng (phần bên biên hình vng) cho diện tích tam giác M AB M AC Câu Cho hình vng ABCD Giả sử E trung điểm cạnh CD F điểm bên hình vng Xác định vị trí điểm Q thuộc cạnh AB cho AQE = BQF 1.2 Olympic Toán Hùng vương lần thứ 2, năm 2006 Câu Số đo góc ngũ giác lồi có tỷ lệ : : : : Số đo góc nhỏ [(A)] 200 , [(B)] 400 , [(C)] 600 , [(D)] 800 [(E)] 900 Câu Cho a = Giải hệ phương trình  2005 + y 2005 + z 2005 = a2005 x 2006 x + y 2006 + z 2006 = a2006  2007 x + y 2007 + z 2007 = a2007 Câu Xác định số dương a, b, c cho ax9 y 12 + by z + cz 11 x8 15x4 y z , ∀x > 0, y > 0, z > Câu Cho tam giác ABC điểm M thuộc BC Xét hình bình hành AP M N , P thuộc AB N thuộc AC hình bình hành ABDC với đường chéo AD BC O giao điểm BN CP Chứng minh P M O = N M O BDM = CDM Câu Cho số dương M Xét tam thức bậc hai g(x) = x2 + ax + b có nghiêm thực x1 , x2 hệ số thoả mãn điều kiện max{|a|, |b|, 1} = M