Toán phương trình và hệ phương trình lớp 9

Đây là tài liệu chúng tôi sưu tầm và tổng hợp, chúng tôi mong đây sẽ là tài liệu bạn cần, giúp ích bạn trong công việc, thi cử, học tập và mong bạn đạt được nhiều thành công hơn. Đây là tài liệu chúng tôi sưu tầm và tổng hợp, chúng tôi mong đây sẽ là tài liệu bạn cần, giúp ích bạn trong công việc, thi cử, học tập và mong bạn đạt được nhiều thành công hơn.

1 TỐN PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH (LỚP 9) Bài tốn 1: Giải phương trình x   10  x  x2  12 x  40 Bổ đề : Với a  0; b  a  b   a  b    a  b    a  b   a  b   a  b2  2 Giải: Điều kiện :  x  10 , Ta có x   10  x   x   10  x   mà   x2  12 x  40  x  12 x  36    x     Dấu xảy  x   10  x  x  Vậy phương trình có nghiệm x =  x   Hoặc: Áp dung bất đẳng thức Cơ si cho hai số khơng âm ta có  x  2 10  x  x   10  x    2 4 x   Dấu xảy   x6 10  x  x   10  x   Bài toán 2: Giải phương trình:  x2  x   x  x2   x2  x  Vì x2  x   x  x2   nên Áp dụng bất đẳng thức Cô si số hạng vế trái ta được: x2  x 1  x2  x  2 x  x   x  x2  x  x  1   2 x   (1)  (2)  x  1  Cộng (1) (2) vế theo vế ta có: x  x   x  x   x2  x x  x2    x  nên theo đề ta 2 có : x2  x   x    x  1  Đẳng thức xảy x = Thử lại ta thấy x = thoả Vậy phương trình có nghiệm x = Bài tốn 3: Giải phương trình: x    x  3x2  12x  14 (1)  x  2 x    Điều kiện tồn phương trình:     x  (*) 2 5  x  x   Vế phải (1): 3x2  12 x  14   x2  x      x     Đẳng thức xảy x = Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki thoả mãn (*) vế trái phương trình (1): x    x  12  12   x    x    Đẳng thức xảy 2 x    x  x  Đẳng thức xảy phương trình (1) nên x = nghiệm phương trình Hoặc Áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho hai số khơng âm ta có:  x  3    x   2x  1  2x 1   Đẳng thức xảy 2 2 x    x  Đẳng thức xảy phương trình (1) nên x = nghiệm phương  5  x  trình Bài tốn 4: Giải phương trình: x2  x   x2  x   3x  3x2 (1) 2 x  x   Giải: Điều kiện  (2)  1  3x  3x  Vế trái phương trình (1): x2  x    x  1   với x  R đẳng thức xảy x = Theo bất đẳng thức Bunhiacơpxki với x thoả mãn (2) vế phải phương trình (1) thoả: 1 x  x   3x  3x     12 x  x   3x  3x   x  x    x  1  đẳng thức xảy x2  x   3x  3x2 Để đẳng thức xảy phương trình (1) hai vế phương trình (1) Nên x = Thử lại thấy x = nghiệm phương trình Bài tốn 5: Giải phương trình:  x3   x   (1) Giải: Điều kiện  x3    x  1  x2  x  1  Do x2  x   với x nên x    x  1 Đặt a  x  ; b  x2  x  với a  ; b  Nên phương trình (1) trở thành :  5ab  a  b 2  a a a a         Giải phương trình   b b b b a  phương trình (1) vơ nghiệm b  x  1 a Với  x   x  x    Phương trình có hai nghiệm thoả điều kiện b  x  5x   Với x1   37 ; x2   37 42 60   (1) 5 x 7x  42   60  Phương trình (1) có nghĩa x < nên 1        0 5 x    x    42  42   60  60  42 60 3    3    9 9  x  x  x  x     0 5 x  7x 0     42  60  42   60  3  3  3  3  5 x  7x  5 x   7x       x   42   x   60   0   42  60  5  x     7  x    5 x  7x    Bài tốn 6: Giải phương trình:     1     1  3x    1  3x        42 60  5  x     7  x    5 x   x       5  x     42   5 x    > nên x  Thử lại nên nghiệm phương 60   7x  7  x    trình x  x  x    x  x  5  x  x  3 Bài tốn 7: Giải phương trình: (1) Điều kiện để phương trình có nghĩa : 3  x  ;0  x  Bình phương hai vế phương trình (1) ta được: x  x  2  x  x  5  x  x   x  5  x  x  3  x  x   x  5  10 x  x  x  x   x  5  10 x  x   x2  x  2 x  5  100 x  20 x3  x  x  x  x  10   100 x  20 x3  x  3x  8x3  60x   10   x  3x  8x  60   Giải phương trình x   ;0;6 Thử lai có hai nghiệm x   = 0; x = thoả mãn đề cho Bài tốn 8: Giải phương trình:    x   x   x  x  10  (1) Điều kiện x > -2 x2  x  10   x  2 x  5 Nhân hai vế phương trình (1) với    x   x  ta được:  x     x  5    1  x  2 x  5         x  2 x  5   x2  x5  x2  x5    x  1 x   1 x       x2  x5   x  2 x  5    x  1  x    x  1   x    x  4 Do x > -2 nên x = -4 (loại) Vậy nghiệm phương     x    x  1 1  x   trình x = -1 Cách giải khác: Đặt a  x   a  x  ; b  x   b2  x  nên b2  a2  x   x   Do phương b  a  trình (1) trở thành:  (*) (b  a)(1  ab)  Từ hệ (*) suy b2  a2  b  a 1  ab   b  a  a  b  ab  1  a  b b  a   a  b  ab     a  b    a  b  ta có x = -1     Bài tốn 9: Giải phương trình: 25  x  10  x  (1) 25  x    x  25 Giải: Điều kiện    x  10   10  x  10 (*)  2  10  x    x  10 Đặt  a  25  x2 ; 10  x2  b   a2  b2  25  x2 10  x2  15 Nên phương trình (1) trở a  b  a  b  a    a  b  15 a  b  b  Nếu b = 10  x2   x2   x  3 so với điều kiên (*) x  3 thoả Nếu a = 25  x2  16  x2   x  3 so với điều kiên (*) x  3 thoả Vậy phương trình có nghiệm x  3 thành  2 Bài toán 10: Giải phương trình: x   x   5x (*) Lập phương hai vế phương trình (*) ta được: 5x  x   x   3  x  1 x  1  x   x    5x  x  3 x  5x    x  5x  x  x3  5x x   x3  5x   x  x   Thử lại ta thấy phương trinh có ba nghiệm Bài tốn 11: Giải phương trình  x   x  (1) Điều kiện: x  Đặt  x  a ;  x  b  a3   x ;  b3   x nên phương trình (1)   a  b  a  b  a   b       2 3 2   b   b   b   b   a  b  a  ab  b    a  b  a  ab  b    a   b a   b a   b     a  b 1   2 2 b      4  4b  b  2b  b  b   b  2b    Nếu a =  x   x   x  Nếu b =  x   x   x  a  b  trở thành    Vậy x = nghiệm phương trình Bài tốn 12: Giải phương trình  x  x 1  (1) Giải: TXĐ x 1   x  Đặt  x  a ; x   b  Nên phương trình cho trở   a  b  a   b a   b a   b        3 3 2 2 1  b   b  1  3b  3b  b  b    a  b  a  b   b b  4b   a  b  thành:   Nên b 0;1;3 Do  a; b   1;0 ;  0;1 ;  2;3 Nếu a   x    x   x  ; b  x 1   x 1   x  Nếu a   x    x   x  ; b  x 1   x 1   x  Nếu a  2  x  2   x  8  x  10 ; b  x 1   x    x  10 Vậy phương trình có ba nghiệm x 1; 2;10  x 2x  x2  Bài tốn 13:Giải phương trình (*) x  x2  1 x  hay  x  x Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa x  1 x 2x 1 Thử thấy x  nghiệm phương trình (*)  1 x 1 x 1 x 2x 1 Với  x   x  x  x 1  Suy   1 x  x2 1 x 2x 1 Với  x    x  x x 1  Suy   1 x  x2 Vậy x = nghiệm phương trình *  Bài tốn 14: Giải phương trình : 3x  x  2001  3x  x  2002  x  2003  2002 Giải: Đ ặt : 3x2  x  2001  a  a3  3x2  x  2001  3x2  x  2002  b  b3  3x  x  2002  x  2003  c  c3  6 x  2003 Suy a3  b3  c3  2002 Do phương trình cho  a  b  c   a3  b3  c3 nên  a  b  c  (a3  b3  c3 )  Khai triển thu gọn được:  a  b  b  c  c  a    Nếu a  b   3x2  x  2001  3x2  x  2002  3x2  x  2001  3x2  x  2002  6x   x   Nếu b  c   3x2  x  2002   x  2003  3x2  x  2002  6 x  2003  1  13  13    3x2  x   Phương trình có nghiệm x   ;       Nếu a  c   3x2  x  2001  x  2003  3x2  x  2001  x  2003  3x2  x  4004  Phương trình vơ nghiệm  1  13  13   ;  6     Vậy phương trình có ba nghiệm x   ; Bài tốn 15: Tính giá trị biểu thức: a 1 a  a 1  a a nghiệm phương trình x2  x   Giải : Phương trình x2  x   có ac = -  nên có hai nghiệm phân biệt với a nghiệm dương phương trình nên ta có: 4a2  2a   (1) Vì a > nên từ (1) có : 1  a   a a  2a  a a    a  2.2 2 2 Gọi S  a 1 a  a 1  a   a  1  a4  a   a2  a4  a   a4   a  1 a4  a   a2 a  a 1 a 4  a4  a   a2   2a  a 1 a  2a  a  8a   a a  6a   a a   a  a 1          8 2 2 2 2 2 2 Bài toán 16: Giải phương trình: x2  x  1000  8000 x  1000 Giải: Đặt  8000x   y   8000 x  y    8000 x  y  y   y  y  8000x  y  y  2000 x Do phương trình cho trở thành hệ phương trình:  x  x  2000 y (1).Từ hệ phương trình (1) ta suy   y  y  2000 x x2  x  y  y  2000  y  x    x  y  x  y    x  y   2000  x  y   (2)   x  y  x  y   2000     x  y  x  y  1999   Từ hệ phương trình (1) suy ra: x2  y   x  y   2000  x  y   2001 x  y   x2  y   x  y  Nên x  y  1999  Do từ (2) suy x  y  hay x = y Thay vào hệ (1) ta x2  x  2000 x  x  x  2001   x  x  2001 Nhưng x = khơng nghiệm phương trình nên phương trình có nghiệm x = 2001 Bài tốn 17: Giải phương trình x  3x   x   x   x  x  Điều kiện phương trình: x  Ta có x2  3x   x   x   x2  x   x 1 x   x   x   x 1 x   x 1    x 2  x 3   x 2  x 3    x2  x3   x 1 1    x 2  x 3 x 1 1   x   x  x 1   0x  1 x   x  nghiệm phương trình Bài tốn 18: Giải phương trình 1   2 5x x  x  36 x  x  16 Giải : ĐKXĐ: x  Với x  nên chia   2 x x  36 x  12 x  36 x  122 hai vế phương trình cho x mẫu ta :  Đặt  2 36  12  36  12  4   9   x  x x  x Từ phương trình ta có  12  36  Quy đồng khử mẫu ta được:  t Khi ta có     4t 9t x  x t  12t  36    t  6   t  2 12 36 Do     Quy đồng khử mẫu ta x2  x  24  x  x Giải phương trình x2  x  24  ta nghiệm: x1,2  3  33 Vậy phương trình có hai nghiệm x1,2  3  33   y 20 x  11y  2009 (1)  z  Bài toán 19: Giải hệ phương trình: 20  11z  2009 (2)  y  x 20  11x  2009 (3)  z Giải: Từ (1) suy y  20  11  2009  y  Tương tự từ (2) (3) suy x  ; z  Vì x   hệ số khơng đổi ta hốn vị vòng quanh x; y; z giả thiết x = max(x, y, z) Nghĩa x  y ; x  z Trừ tường vế phương trình (3) cho phương trình (1) ta y  x 20     11 x  y    20 x3  yz  11x z  x  y   (4) Vì x  y  ; x  z  nên x  y  x  z x  y  x  y  z x3  yz  Do phương trình (4)    x  yz   Thay vào phương trình (1) ta được: 20 2009  4035201  11x  2009  11x  2009 x  20  Do x = y = z = 22 x 697  (1) x  y  Bài toán 20: Cho hệ phương trình  81  x  y  xy  3x  y   (2)  a) Nếu có (x; y) thoả (2) Chứng minh  y  b) Giải hệ phương trình Giải: a) Từ phương trình (2) có: x2  y  xy  3x  y    x2   y  3 x   y  2  Phương trình bậc hai ẩn x có nghiệm:     y  3   y      y   y   y   y     3 y  1  y     y  2 b) Tương tự phương trình bậc hai ẩn y có nghiệm: x2  y  xy  3x  y    y2   x  4 y  x2  3x       x    4( x2  3x  4)   x2  8x  16  x2  12 x  16   x   3x     x  4 7 256 49 697 Do  x   y  nên x  y          3 81 81 3 3 697 7 Đẳng thức xảy x  y   x  y  Khi x  y  thay vào phương trình 81 3 3 (2) vô nghiệm Nên hệ cho vô nghiệm     x  y x  y  144  Bài tốn 21 : Giải hệ phương trình:  2 2   x y  x y y Giải: Từ hệ phương trình suy y > (*)    2 2   x  y x  y  144 (1) (*)   2 (2)   y  x  24 Thế phương trình (2) vào phương trình (1) ta có: x  x  24 x2  x2  24  144   3x  24 24  x   144  72 x2  3x4  576  24x2  144     3x  96 x  720   x  32 x  256   x  16  16  x  20 ; y  16 x2  12 ; y    Thử lại nghiệm:  x; y    5;  ;  2 5; 4  ;  3;0  ;  2 3;0  2   x  xy  y  19  x  y  (*) Bài tốn 22: Giải hệ phương trình:  2 x  xy  y  x  y     2 2    x  xy  y  3xy  19  x  y   x  y   3xy  19  x  y  Giải : Hệ (*)    2 x  xy  y  xy  x  y     x  y   xy   x  y     x  y  a 6  x  y   xy  Đặt   xy  b  x  y  x  y  xy         6 a  b  Khi hệ trở thành:   7a  7a   7a  a  1   a  a   a  7a  b  x  y  x  Nếu a   b  suy    xy  y  x  y   x   y   Nên x; (-y) nghiệm phương trình bậc   xy    x   y   6 Nếu a   b  suy  hai k  k    k1  ; k2  2 Nếu x = k1  y  k2  ; Nếu x = k2  2 y  k1  3 ; Vậy hệ cho có nghiệm là:  x; y    0;0 ;  3; 2 ;  3; 2  x3  y  y   (1)  Tính Q  x2  y 2 (2)  x  x y  y  Bài toán 23: Cho hệ phương trình:  Giải: Từ (1) suy x3  3  y  y  1  1  y  y   1   y  1  1  x  1 Từ x2  x2 y  y  có x  2y   1  x  y2 1 (3) (4) Từ (3) (4) x  1 Do y  Vậy Q  x2  y   1  12  (1) x  3y  Bài toán 24: Giải hệ phương trình:  2  x  y  x  y   (2) Giải: Từ phương trình (2) suy  x2  x  1   y  y  1  11    x  1   y  1  11  2 Từ phương trình (1) suy x   y  1 Nên 3 y   1   y 1 2  11    y  2   y  1  11   y  12 y   y  y   11  2  10 y  10 y    y  y   Giải phương trình bậc hai ẩn y hai nghiệm : 2 5  85 10 5  85 15  85 5  85 15  85 Nếu y  x   y  1  ; Nếu y  x   y  1  10 10 10 10 y  15  85 5  85   15  85   85    ; ;  ;    10 10 10 10        Vậy hệ phương trình có nghiệm là:  x; y    2 x3  3x y  (*)  y  xy  Bài tốn 25: Giải hệ phương trình:  Hệ phương trình (*) tương đương 3 2   x  y 3  27  2 x  y  8 x  12 x y  20  x   3.4 x y  3.2 xy  y  27        2 3  y  xy  y  xy  y  xy  y 9y        Giải phương trình : y3  y     y  1  y  y    có ba nghiệm y1  ; y2   105 ; y3   105  105  105  105  105 x ; Nếu y  x 8     105  105    105  105   phương trình có ba nghiệm  x; y   1;1 ;  ; ;  ;    8        Nếu y   x  ; Nếu y  2  2 x  xy  y  x  y   (1) 2 x  y  x  y   (2)   ; Vậy hệ Bài toán 26: Giải hệ phương trình  Giải: Từ phương trình (1) suy y   x  1 y  x2  5x   Giải phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1  x  ; y2   x  Nên hệ phương trình tương đương:  y  2x 1  x  y    2  2 x  y  x  y   x  y  x  y    x     y  2x 1    Giải hệ phương trình :  2 x  y  x  y    y   13  x  y   x  Giải hệ phương trình  2 có nghiệm  y 1 x  y  x  y    Vậy hệ phương trình có nghiệm là:  x; y   1;1 ;   ;    13     10  2 x y  y x  y  Bài toán 27: Giải hệ phương trình  (Đề thi chuyên Lê Khiết năm  2 y x  x y  x  học 2008- 2009) Điều kiện hệ: x  ; y   2 x y  y x  y  2 x y  y x  y  Khi ta có:   x y  y x     2 y x  x y  y   y   4x   2 x y  y x  y    y   x  y   4x   x yy x x yy x   x yy x 4x   y    2 x y  y x  y  2 x y  y x  y      x y  y2 x 12  x  y   y   x  3   xy  x  y   0    4x   y  4x   y  x y  y x x y  y x 2 x y  y x  y       xy 12    (*)  x  y   x   y     x y  y x  3 Do điều kiện x  ; y  4   xy 12 nên phương trình(*) x  y  Do    > hay x = y x   y    x y  y x         Thay x = y vào phương trình ta có: 3x x  x   x3  x   x3  x   x   x 1    x  1 x  x       x  1  13 x  x    1,2   1  13 So với điều kiện x  (loại) V ậy hệ phương trình cho có nghiệm Cách giải khác: Điều kiện hệ x  ; y  2 x y  y x  y  Ta có:  2 y x  x y  x               xy x  y  y    xy y  x  x    Giả sử x  y suy x   y  nên    x  y    1  13 x  y     xy y  x  xy x  y  y  x  x  y  y  x  y  x (vô lý)  Giả sử x  y suy y   x  nên      xy x  y  xy y  x  x  y  y  x  x  y  x  y (vô lý) 11 Nên suy x  y Thay x = y vào hệ ta có phương trình: 3x x  x   x3  x   x  x   x   x 1    x  1 x  x       x  1  13 x  x    1,2   1  13 So với điều kiện x  (loaị) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x  y    1  13 x  y    x  y  z  (1)  Bài tốn 28: Giải hệ phương trình:  y  z  x  (2)   z  x  y  (3) Giải: Điều kiện x; y; z  Nhân phương trình với ta có: 2 x  y  z   2 y  z  x   x  y  z  x   y   z 1   2 z  x  y          4x 1  4x 1   y 1  y 1   4z 1  4z 1     4x 1 1    y 1 1   4z 1 1   x  y  z  Bài toán 29 Giải hệ phương trình sau: 12 x  48 x  64  y (1)  12 y  48 y  64  z (2) 12 z  48 z  64  x3 (3)  Giải: Giả sử ba số  x; y; z  nghiệm hệ phương trình  y; z; x   z; x; y  nghiệm phương trình Giả sử x số lớn x  y ; x  z (4) Từ (1) ta có 12 x2  48x  64  y3  y3  12  x2  x  4  16  12  x    16  16  y  Tương tự từ phương trình (2) (3) ta có x  ; z  (5) Trừ vế (1) (3) ta được: x3  y3  12  z  x2   48  z  x   12  z  x  x  z  4 (6) Theo (4) (5) suy x3  y3  ; z  x  ; x  z   Nên từ (6) suy x  y  z (7) Thay (7) vào (1) ta được: x3  12 x2  48x  64    x  4   x  Vậy hệ có nghiệm  x; y; z    4; 4; 4 Bài tốn 30: Tìm x, y, z biết x  y  z  x  y  z 12 Điều kiện: x; y; z  ; x  y  z  Đặt x  a2 ; y  b2 ; z  c Do a.b.c  nên ta có a  b2  c  a  b  c  a2  b2  c2   a  b  c  a2  b2  c2  a2  b2  c2  2ab  2ac  2bc  2b2  2ab  2ac  2bc   2b  a  b   2c  a  b    a  b b  c  a  b  a  b   b  c  b  c Do x = y z tuỳ ý ; y = z x tuỳ ý Hoặc cách giải khác: x  y  z  x  y  z  x  y  z  y  x  z  x  y  z  y  y  x  y  x   x  z  xz  y  x  y  z   xz  y  x  y  z   xz  y  x  y   yz  xz   y  x  y   z  x  y     x  y  y  z   Do x = y z tuỳ ý y = z x tuỳ ý x Bài toán31: Cho x > , y >  Từ  Chứng minh rằng: y 1   (1) Suy x > ; y > thức x y x  y  xy  xy  x  y     x  1 y  1    x y  x y2  x  1 y  1    x  y  x 1  y 1 x  ; y  tồn Từ (1) suy  x  1 y  1    x  1 y  1   x   y   x  y  x   y  (đpcm) Bài tốn 32: Cho tam giác có số đo đường cao số ngun, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác Chứng minh tam giác tam giác Giải: Gọi x, y, z độ dài đường cao ứng với cạnh a, b, c tam giác, đường cao tam giác ln lớn đường kính đường tròn nội tiếp tam giác đó, nghĩa x  2; y  2; z  Vì x, y, z số nguyên dương nên 1 1 1       Mặt khác ta lại có: x y z 3 1 a b c a bc          x  y  z  nên tam giác ABC x y z ax by cz 2S ABC r x  3; y  3; z   Bài tốn 33: Cho phương trình x4  2mx2   (*) Tìm giá trị tham số m để phương trình có nghiệm phân biệt x1; x2 ; x3 ; x4 thoả mãn x14  x24  x34  x44  32 Giải: Đặt x  t  phương trình (*) trở thành t  2mt   (1) Phương trình (*) có nghiệm phân biệt nên phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt t1; t2 ngh ĩa l à: m 2  '  m    m   m  2   m  2 t1  t2  2m   m    m  t t  t t  1 1 Khi m