GIẢI ðÁP TOÁN CẤP 3 – THI ðẠI HỌC

GIẢI ðÁP TOÁN CẤP – THI ðẠI HỌC CÁC HƯỚNG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TRONG HÌNH HỌC OXY Biên soạn: Thanh Tùng CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC, TỨ GIÁC CÁC BÀI TOÁN VỀ ðƯỜNG THẲNG CÁC BÀI TỐN VỀ ðƯỜNG TRỊN CÁC BÀI TỐN VỀ ELIP BÀI TỐN TÌM ðIỂM *) Tóm tắt lý thuyết đầy đủ theo trình tự logic có hệ thống *) ðưa hướng tư phương pháp giải khái qt cho lớp tốn *) Có tốn mẫu minh họa kèm *) Phần tập áp dụng có gợi ý *) Lời giải chi tiết cho toán cụ thể (tham khảo thêm http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 ) HÀ NỘI 03/2013 http://boxtailieu.net CÁC HƯỚNG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC OXY A KIẾN THỨC CƠ BẢN http://boxtailieu.net http://boxtailieu.net B CÁC BÀI TỐN BÀI TỐN 1: BÀI TỐN TÌM ðIỂM ðể hiểu rõ cho hướng tư tương ứng với TH Bài tốn 1: “Bài Tốn Tìm ðiểm” thầy dùng thi ðại Học năm 2012 vừa qua ñể minh họa 1) (A, A1 – 2012:CB) Cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC, N ñiểm cạnh CD cho  11  ;  ñường thẳng AN có phương trình x − y − = Tìm tọa độ điểm A  2 CN = 2ND Giả sử M  2) (A, A1 – 2012 :NC) Cho đường tròn (C ) : x + y = Viết phương trình tắc elip (E), biết (E) có độ dài trục lớn (E) cắt (C ) bốn ñiểm phân biệt tạo thành bốn ñỉnh hình vng 3) (B – 2012:CB) Cho đường tròn (C1 ) : x + y = , (C2 ) : x + y − 12 x + 18 = ñường thẳng d : x − y − = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc (C2 ) , tiếp xúc với d cắt (C1 ) hai ñiểm phân biệt A B cho AB vuông góc với d 4) (B – 2012 :NC) Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD đường tròn tiếp xúc với cạnh hình thoi có phương trình x + y = Viết phương trình tắc elip (E) qua đỉnh A, B, C, D hình thoi Biết A thuộc Ox 5) (D – 2012:CB) Cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng AC AD có phương trình x + y = x − y + = ; ñường thẳng BD qua điểm M (− ;1) Tìm tọa ñộ ñỉnh hình chữ nhật ABCD 6) (D – 2012 :NC) Cho ñường thẳng d : x − y + = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d , cắt trục Ox A B, cắt trục Oy C D cho AB = CD = http://boxtailieu.net 1) (A, A1 – 2012:CB) Cho hình vng ABCD Gọi M trung ñiểm cạnh BC, N ñiểm cạnh CD cho  11  ;  đường thẳng AN có phương trình x − y − = Tìm tọa ñộ ñiểm A  2 CN = 2ND Giả sử M  Cách Phân tích: : +) Ta có { A} = AN ∩ AM nên Theo hướng tư (TH1) ta phải ñi lập thêm phương trình AM +) Biết M chưa biết A (chính đáp số ta cần tìm) nên ta phải tìm thêm vtpt vtcp +) Bài tốn khơng có yếu tố song song, vng góc để tìm vtpt vtcp nên ta phải khai thác ytố ñịnh lượng ( uuuur uuur +) Yếu tố ñịnh lượng: cos ∠MAN = cos nAM , nAN uuuur ) ⇒n AM ⇒ phương trình AM → tọa độ điểm A Giải: ðặt AB = a ⇒ ND = a 2a a ; NC = ; MB = MC = ( ABCD hình vng CN = ND ) 3 Và áp dụng Pitago ta ñược: AM = a 5a a 10 AN = ; MN = AM + AN − MN 2 = AM AN uuuur uuur uuuur uuur Gọi nAM = (a; b) vtpt AM ta có nAN = (2; −1) ⇒ cos ∠MAN = cos nAM , nAN Trong ∆AMN ta có: cos ∠MAN = ( ) 2a − b 3a = −b = ⇔ 2(2a − b) = 5(a + b ) ⇔ 3a − 8ab − 3b = ⇔ (3a + b)(a − 3b) = ⇔  2 2 a + b +1  a = 3b uuuur 11   1  +) Với 3a = −b chọn a = 1; b = −3 ⇒ nAM = (1; −3) ⇒ phương trình AM :  x −  −  y −  = 2  2  2 x − y − =  x = ⇔ ⇒ A(1; −1) hay AM : x − y − = Vì { A} = AN ∩ AM nên ta giải hệ:   x − y − =  y = −1 uuuur 11   1  +) Với a = 3b chọn a = 3; b = ⇒ nAM = (3;1) ⇒ phương trình AM :  x −  +  y −  = 2  2  ⇔ 2 x − y − = x = ⇔ ⇒ A(4;5) 3x + y − 17 =  y = hay AM : x + y − 17 = Vì { A} = AN ∩ AM nên ta giải hệ:  Vậy A(1; −1) A(4;5) http://boxtailieu.net Cách 2: Phân tích: A ∈ AN nên Theo hướng tư (TH2) ta gọi A(t ) ∈ AN ta cần thiết lập phương trình f (t ) =  11  ;  trung ñiểm BC ta chưa sử dụng – giúp ta làm ñiều này) → t = ? → A  2 (còn kiện M  Giải: +) Gọi H hình chiếu M lên AN ⇒ MH = d ( M , AN ) = ðặt AB = a ⇒ ND = 11 − −3 2 22 + 12 = a 2a a ; NC = ; MB = MC = ( ABCD hình vng CN = ND ) 3 Và áp dụng Pitago ta ñược: AM = a 5a a 10 AN = ; MN = Trong ∆AMN ta có: cos ∠MAN = AM + AN − MN 2 = AM AN ⇒ ∠MAN = 450 ⇒ ∆MAH cận H ⇒ AM = MH = +) Gọi A(t ; 2t − 3) ∈ AN AM = 10 (*) = 2 45 (theo (*)) t =  A(1; −1)  45  11   ⇔ t − 5t + = ⇔  ⇒ ⇔  t −  +  2t −  = 2  2  t =  A(4;5) Vậy A(1; −1) A(4;5) 2 Cách 3:  11  ;  cố ñịnh Nếu AM = h = const ( ta tìm cách tính AM )  2 Phân tích: A ∈ AN M  Nên Theo hướng tư (TH3) : { A} = AN ∩ (C ) với (C ) đường tròn tâm M bán kính R = h http://boxtailieu.net Giải: +) Gọi H hình chiếu M lên AN ⇒ MH = d ( M , AN ) = ðặt AB = a ⇒ ND = +1 2 = a 2a a ; NC = ; MB = MC = ( ABCD hình vng CN = ND ) 3 Và áp dụng Pitago ta ñược: AM = a 5a a 10 AN = ; MN = Trong ∆AMN ta có: cos ∠MAN = AM + AN − MN 2 = AM AN ⇒ ∠MAN = 450 ⇒ ∆MAH cận H ⇒ AM = MH = 10 = 2 Vậy AM = 11 − −3 2 10  45  11   ⇒ A nằm đường tròn có phương trình:  x −  +  y −  = 2  2   11 2   45 x = x =  x−  + y−  = Mà A ∈ AN : x − y − = Nên ta xét hệ :   2  2 ⇔  y = −1 y = 2 x − y − =  Vậy A(1; −1) A(4;5) Cách 4: (Các em tham khảo thêm cách giải Bộ Giáo Dục cách giải theo thầy khơng “tự nhiên” nên thầy khơng trình bày đây) 2) (A, A1 – 2012 :NC) Cho đường tròn (C ) : x + y = Viết phương trình tắc elip (E), biết (E) có độ dài trục lớn (E) cắt (C ) bốn ñiểm phân biệt tạo thành bốn đỉnh hình vng Phân tích: x2 y +) (E) có độ dài trục lớn ⇒ 2a = ⇒ a = + = ta cần tìm a; b a b2 +) Theo Hướng tư (TH4) ta gọi A( x; y ) ( x > ) giao ñiểm (E) (C ) : A ∈ (C ) ⇒ x + y = kiện (E) cắt (C ) bốn ñiểm phân biệt tạo thành bốn đỉnh hình vng giúp ta thiết lập thêm phương trình: y = x (4 đỉnh nằm hai ñường phân giác thuộc góc phần tư thứ thứ hai – ta chọn điểm +) Phương trình ( E ) : A( x; y ) ( x > ) thuộc góc phần tư thứ nhất) ⇒ tọa độ điểm A Giải: Gọi phương trình tắc elip ( E ) có dạng: +) Mà A ∈ ( E ) ⇒ b → phương trình (E) x2 y + =1 a b2 +) (E) có độ dài trục lớn ⇒ 2a = ⇒ a = +) Gọi A( x; y ) ( x > ) giao ñiểm (E) (C ) Ta có: A ∈ (C ) ⇒ x + y = (1) Mặt khác: (E) cắt (C ) bốn ñiểm phân biệt tạo thành bốn đỉnh hình vng ⇒ y = x (2) Từ (1) (2) ⇒ x = ⇒ x = (vì x > ) ⇒ y = ⇒ A(2; 2) +) Mà A ∈ ( E ) ⇒ 22 22 16 x2 y2 Vậy phương trình tắc elip (E) là: + = ⇒ b = + =1 42 b 16 16 http://boxtailieu.net 3) (B – 2012:CB) Cho đường tròn (C1 ) : x + y = , (C ) : x + y − 12 x + 18 = ñường thẳng d : x − y − = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc (C2 ) , tiếp xúc với d cắt (C1 ) hai ñiểm phân biệt A B cho AB vuông góc với d Phân tích: Muốn viết phương trình đường tròn ta cần: +) Xác định tâm I (dùng Thuật Tốn Tìm ðiểm) Khi theo Hướng tư (TH2) ta gọi I (t ) ∈ II1 (Trước ta lập phương trình II1 qua I1 vng góc với AB (tính chất đường nối tâm) hay song song với d ) Và kiện I ∈ (C2 ) giúp ta thiết lập phương trình : f (t ) = → t = ? → tọa độ điểm I ( Ta làm theo Hướng tư (TH3) với { I } = II1 ∩ (C2 ) → tọa ñộ I - cách trình bày khác TH2) +) Xác định bán kính: R nhờ R = d ( I , d ) Giải: Gọi I tâm đường tròn (C ) cần viết phương trình Ta có (C1 ) : x + y = ⇒ tâm (C1 ) I1 (0;0)  II1 ⊥ AB ⇒ II1 // d ⇒ phương trình II1 : x − y =  AB ⊥ d Vì  Gọi I (t ; t ) ∈ II1 mà I ∈ (C2 ) ⇒ t + t − 12t + 18 = ⇔ t − 6t + = ⇔ t = ⇒ I (3;3) Mà (C ) tiếp xúc với d ⇒ R = d ( I , d ) = 3−3+ +1 2 = 2 Vậy phương trình (C ) là: ( x − 3) + ( y − 3) = 4) (B – 2012 :NC) Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD đường tròn tiếp xúc với cạnh hình thoi có phương trình x + y = Viết phương trình tắc elip (E) qua đỉnh A, B, C, D hình thoi Biết A thuộc Ox x2 y + = (a > b > 0) ta cần tìm a; b a b2 +) Theo Hướng tư (TH2) (E) qua đỉnh A, B, C, D A ∈ Ox nên gọi A( a; 0) ∈ Ox B (0; b) ∈ Oy Phân tích: +) Phương trình ( E ) : +) Khai thác kiện: AC = 2BD → f1 (a, b) = (1) +) Khai thác kiện: đường tròn x + y = tiếp xúc với cạnh hình thoi → f ( a, b) = (2) Từ (1) (2) → a = ? b = ? → phương trình (E) http://boxtailieu.net Giải: Gọi phương trình tắc elip ( E ) : x2 y2 + = ( với a > b > ) a b2 Vì (E) qua đỉnh A, B, C, D A ∈ Ox nên khơng tính tổng quát giả sử: A( a; 0) B (0; b) Mà hình thoi ABCD có AC = 2BD ⇔ 2OA = 4OB ⇔ OA = 2OB ⇔ a = 2b (vì a > b > ) hay A(2b;0) , B (0; b) Gọi H hình chiếu O lên AB ⇒ OH = R = ( đường tròn x + y = tiếp xúc với cạnh hình thoi) 1 1 1 Xét tam giác OAB ta có: = + hay = + ⇔ b = ⇒ a = 4b = 20 2 OH OA OB 4b b x y2 Vậy phương trình tắc elip ( E ) là: + =1 20 5) (D – 2012:CB) Cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng AC AD có phương trình x + y = x − y + = ; ñường thẳng BD ñi qua ñiểm M ( − ;1) Tìm tọa ñộ đỉnh hình chữ nhật ABCD Cách 1: Phân tích: +) Theo Hướng tư (TH1) : { A} = AC ∩ AD → tọa ñộ ñiểm A +) Theo Hướng tư (TH2) : D ∈ AD , B ∈ AB nên ta gọi D (t1 ), B(t2 ) (trước ta lập pt AB ) +) Gọi { I } = AC ∩ BD ( I trung ñiểm AC BD ) ⇒ I (t1 , t2 ) mà I ∈ AC ⇒ f1 (t1 , t2 ) = (1) uuur uuuur Vì MB, MD phương ⇒ f (t1 , t2 ) = (2) t1 = ? ⇒ tọa ñộ B, D, I C t2 = ? +) Từ (1) (2) ⇒  x + 3y =  x = −3 ⇔ ⇒ A(−3;1) x − y + = y =1 Giải: Vì { A} = AC ∩ AD nên xét hệ:  x + y −1 = ⇔ x+ y+2=0 −1  t +t t −t +2 Gọi B (t1 ; −t1 − 2) ∈ AB D (t2 ; t2 + 4) ∈ AD ( t1 ; t2 ≠ −3 ) ⇒ I  ;  : trung ñiểm BD   t +t t −t + Mà I ∈ AC ⇒ + = ⇔ 2t2 − t1 + = ⇔ t1 = 2t2 + (*) 2 uuur  uuuur  10     Có: MB =  t1 + ; −t1 −  =  2t2 + ; −2t2 −  (theo (*)) MD =  t2 + ; t2 +  3       uuur uuuur 6t + 10 −2t2 − Mặt khác B, D , M thẳng hàng ⇒ MB , MD phương ⇒ = = −2 ⇔ t2 = −1 ⇒ t1 = 3t2 + t2 + AB qua A vng góc với AD nên AB có phương trình: ⇒ B (1; −3), D(−1;3) I (0;0) ⇒ C (3; −1) ( I trung ñiểm AC ) http://boxtailieu.net 5) (D – 2012:CB) Cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng AC AD có phương trình x + y = x − y + = ; ñường thẳng BD ñi qua điểm M ( − ;1) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Cách 2: Phân tích: +) Theo Hướng tư (TH1) : { A} = AC ∩ AD → tọa ñộ ñiểm A +) Do tốn có nhiều tính chất đối xứng nên ta nghĩ tới việc tìm điểm phụ liên quan Cụ thể: +) Ta tìm điểm N đối xứng với M qua ñường trung trực d AD cách viết pt d ' ñi qua M song song với AD { N } = d '∩ AC ⇒ pt trung trực d AD ⇒ tọa ñộ trung ñiểm I , J AC AD ⇒ tọa ñộ C , D, B x + 3y =  x = −3 ⇔ ⇒ A(−3;1) x − y + = y =1 Giải: Vì { A} = AC ∩ AD nên xét hệ:  − ( y − 1) = ⇔ 3x − y + =  x = −1 x + 3y =  1 ⇔ ⇒ N  −1;  Gọi { N } = d '∩ AC nên ta xét hệ:  3  3 x − y + =  y = Gọi d ñường trung trực AD cắt MN , AC , AD H , I , J Phương trình d ' qua M song song AD có dạng: x + 5  5   5 ⇒ H , I , J trung ñiểm MN , AC , AD ⇒ H  − ;  ⇒ pt d :  x +  +  y −  = ⇔ x + y = 4  4   4 x + y = x = ⇔ ⇒ I ( 0;0 ) ⇒ C (3; −1) ( I trung điểm AC ) Ta có: { I } = d ∩ AC nên ta xét hệ:  x + 3y =  y = x + y =  x = −2 ⇔ ⇒ J ( −2; ) ⇒ D( −1;3) ( J trung ñiểm AD ) { J } = d ∩ AD nên ta xét hệ:  x − y + =  y = ⇒ B (1; −3) ( I trung ñiểm BD ) 6) (D – 2012 :NC) Cho ñường thẳng d : x − y + = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d , cắt trục Ox A B, cắt trục Oy C D cho AB = CD = 10 http://boxtailieu.net Ví dụ (B – 2010): Cho tam giác ABC vng A có đỉnh C(– 4; 1), phân giác góc A có phương trình x + y – = Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC 24 đỉnh A có hồnh độ dương Bài 18: Tam giác ABC cân A, biết AB BC nằm ñường thẳng d1 , d Biết M ( x0 ; y0 ) ∈ AC Tìm tọa độ đỉnh Cách giải: C2: +) Tìm {B} = d1 I d +) Viết phương trình d qua M song song với d +) Tìm {N } = d1 I d ⇒ phương trình trung trực d MN ⇒ {A} = d I d1 +) Viết phương trình AM ⇒ {C} = AM I d NHẬN XÉT: C2 hay C1 Bài tập áp dụng (Các em dựa vào ý tưởng Bài 18 để giải ví dụ sau) Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân A có phương trình hai cạnh BC, AB là: x – 3y – = x – y – = ðường thẳng AC ñi qua M(–4; 1) Tìm tọa độ đỉnh C 8 1 5 5 (ðs: C  ;  ) Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, xác ñịnh tọa ñộ ñỉnh tam giác ABC vuông cân A Biết cạnh huyền nằm ñường thẳng d: x + 7y – 31 = 0, ñiểm N(7; 7) thuộc ñường thẳng AC, điểm M(2; –3) thuộc AB nằm ngồi ñoạn AB (ðs: A( −1;1), B (−4;5), C (3; 4) ) Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân A có phương trình AB, BC y + = x + y – = Tính diện tích 23 http://boxtailieu.net (ðs: S ∆ABC = ) tam giác ABC biết AC ñi qua ñiểm M(–1; 2) Ví dụ (A – 2010 – NC): Cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6; 6); ñường thẳng ñi qua trung ñiểm cạnh AB AC có phương trình x + y – = Tìm tọa độ đỉnh B C, biết ñiểm E(1; - 3) nằm ñường cao ñi qua ñỉnh C tam giác ñã cho (ðs: B (0; −4), C ( −4;0) B ( −6; 2), C (2; −6) ) Ví dụ (B – 2007): Cho ñiểm A(2; 2) ñường thẳng d1 : x + y – = 0, d : x + y – = Tìm tọa ñộ ñiểm B C thuộc d1 d cho tam giác ABC vuông cân A (ðs: B (−1;3), C (3;5) B (3; −1), C (5;3) ) 1  2  Ví dụ (B – 2011 – NC): Cho tam giác ABC có đỉnh B  ;1 ðường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tương ứng ñiểm D, E, F Cho D(3; 1) đường thẳng EF có phương trình y – = Tìm tọa  13  )  3 ( ðs: A  3; ñộ ñỉnh A, biết A có tung độ dương Bài 19: Các ñiểm liên hệ với ẩn ñiều kiện ñịnh lượng Cách giải: +) Khai thác kiện tốn để chuyển điểm ẩn t (nhờ thuật tốn tìm điểm) +) Thiết lập phương trình: f (t ) = ⇒ t = ? ⇒ điểm cần tìm CHÚ Ý: Bài trường hợp ñặc biệt Bài 19 ñiều kiện định lượng điều kiện góc 900 (vng góc) Bài tập áp dụng (Các em dựa vào ý tưởng Bài 19 để giải ví dụ sau) Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông A Hai điểm A, B thuộc trục hồnh Phương trình cạnh BC 4x + 3y – 16 = Xác ñịnh tọa ñộ trọng tâm G tam giác ABC, biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC   4 3   4 3 (ðs: G  2;  G  6; −  ) Ví dụ (A – 2002): Cho tam giác ABC vng A, phương trình đường thẳng BC 3x − y − = , ñỉnh A B thuộc trục hồnh bán kính đường tròn nội tiếp Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC 7+4 6+2   −4 − −6 −  G  ; ;   )   3  3    (ðs: G  Ví dụ (D – 2008): Cho (P): y = 16 x ñiểm A(1; 4) Hai ñiểm phân biệt B, C (B C khác A) di ñộng (P) cho góc ∠BAC = 900 Chứng minh đường thẳng BC ln qua ñiểm cố ñịnh (ðs: ñiểm cố ñịnh I(17; –4)) Ví dụ (A – 2006): Cho ñường thẳng: d1 : x + y + = 0, d : x – y – = 0, d : x – 2y = Tìm tọa độ điểm M nằm ñường thẳng d cho khoảng cách từ M ñến ñường thẳng d1 hai lần khoảng cách từ M ñến ñường thẳng d (ðs: M ( −22; −11) M (2;1) ) Ví dụ (B – 2005): Cho hai ñiểm A(2;0) B(6;4) Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hồnh điểm A khoảng cách từ tâm (C) ñến ñiểm B (ðs: (C ) : ( x − 2) + ( y − 1) = (C ) : ( x − 2) + ( y − 7) = 49 ) Ví dụ (A – 2005): Cho hai ñường thẳng d1 : x – y = d2 : 2x + y – = tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết ñỉnh A thuộc d1 , ñỉnh C thuộc d2 đỉnh B, D thuộc trục hồnh (ðs: A(1;1), B (0;0), C (1; −1), D (2;0) A(1;1), B (2;0), C (1; −1), D (0;0) ) Ví dụ (D – 2006): Cho đường tròn (C ) : x + y − x − y + = ñường thẳng d: x – y + = Tìm tọa độ điểm M nằm d cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đơi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc ngồi với đường tròn (C) ( ðs: M (1; 4) M (−2;1) ) Ví dụ (D – 2004): Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1; 0); B (4; 0); C(0;m) với m ≠ Tìm tọa độ trọng tâm G 24 http://boxtailieu.net tam giác ABC theo m Xác định m để tam giác GAB vng G 1 2 (ðs: G (1; m ), m = ±3 )   Ví dụ (B – 2002): Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I  ;0  , phương trình đường thẳng AB x – 2y + = AB = 2AD Tìm tọa độ điểm A, B, C, D biết A có hồnh độ âm (ðs: A( −2;0), B (2; 2), C (3;0), D (−1; −2) ) Dạng 2: Các tốn đường thẳng Loại 1: ði qua ñiểm thỏa mãn yếu tố ñịnh lượng Cách giải chung: C1: +) Gọi phương trình qua điểm M ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k có dạng: y = k ( x − x0 ) + y0 hay kx − y + y0 − kx0 = ( ∆ ) +) Sau ñó “cắt nghĩa” kiện ñịnh lượng ñể thiết lập phương trình: f ( k ) = ⇒ k = ? ⇒ phương trình ∆ C2: r +) Gọi phương trình qua điểm M ( x0 ; y0 ) có vtpt n = ( a; b ) ( a + b ≠ ) có dạng: a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) = hay ax + by − ax0 − by0 = ( ∆ ) +) Sau “cắt nghĩa” kiện định lượng để thiết lập phương trình: f (a, b) = → a = kb (*) a = ? ⇒ phương trình ∆ b = ? +) Từ (*) chọn  CHÚ Ý: Chúng ta ñã sử dụng cách Bài 18 Bài tập áp dụng Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho hai ñiểm M(1; 4) N(6; 2) Lập phương trình đường thẳng ∆ qua M cho khoảng cách từ N tới ∆ (ðs: 21x − 20 y + 59 = x = 1) Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho hai ñiểm A(1; 2) B(5; –1) Viết phương trình đường thẳng qua M(3; 5) cách ñều A B (ðs: 3x + 4y – 29 = x = 3) Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1; 2) Viết phương trình ñường thẳng qua M cắt Ox, Oy hai ñiêm A, B cho OAB tam giác vuông cân (ðs: x + y – = x – y + = 0) Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho ñiểm M(4; 3) Viết phương trình đường thẳng qua M cho tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích (ðs: x − y − = 3x – 8y + 12 = 0) Ví dụ 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 1), B(1; 7) C(-1; 0) Viết phương trình đường thẳng qua C chia tam giác thành hai phần nhau, phần chứa ñiểm A có diện tích gấp đơi phần chứa điểm B (ðs: 6x – 5y + = 0) Ví dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba ñiểm A( - 1; 2), B(5; 4) M(2; 5) Viết phương trình ñường thẳng ñi qua M cách ñều hai ñiểm A B (ðs: 5x – 3y + 13 = x = 2) Ví dụ 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(9; 4) Viết phương trình đường thẳng qua M, cắt hai tia Ox tia Oy A B cho: 1) tam giác OAB có diện tích nhỏ (ðs: 4x + 9y – 72 = 0) 2) OB + OC nhỏ (ðs: 4x + 9y – 72 = 0) Ví dụ : Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có cạnh AB nằm ñường thẳng x – 2y + = ba ñiểm M(–1; 4), N(1; 1), P(–3; 3) thuộc cạnh BC, CD AD Viết phương trình cạnh AD (ðs: x + y − = 11x − y + 39 = ) 25 http://boxtailieu.net CHÚ Ý: +) Nếu tốn đề cập tới điểm A(a; 0) B(0; b) giao ñiểm với hai trục tọa độ em viết phương trình đường thẳng theo ñoạn chắn ñi qua AB: x y + =1 a b +) Nếu A(a; 0) , B(0; b) OA = a OB = b Loại 2: Cắt đường tròn, Elip (xem Dạng 3, Dạng 4) Dạng 3: Các tốn đường tròn Loại 1: Viết phương trình đường tròn xác định yếu tố đường tròn Bài 1: Thiết lập phương trình đường tròn Cách giải chung: C2: +) Gọi phương trình đường tròn có dạng x + y + ax + by + c = +) Tìm a, b, c nhờ “cắt nghĩa” kiện toán Bài tập áp dụng Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn: 1) đường kính AB với A(3; 1) (B(2; – 2) 2) Có tâm I(1; – 2) tiếp xúc với ñường thẳng d: x + y – = 3) Có bán kính 5, tâm thuộc trục hồnh qua A(2; 4) 4) Có tâm I(2; – 1) tiếp xúc ngồi với đường tròn: ( x − 5) + ( y − 3) = 5) có tâm nằm đường thẳng ∆ tiếp xúc với hai trục tọa ñộ Ox, Oy 6) qua A(–2; –1), B(–1; 4) C(4; 3) (ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) 7) qua A(0; 2), B(–1; 1) có tâm nằm đường thẳng 2x + 3y = 8) qua A(5; 3) tiếp xúc với ñường thẳng d: x + 3y + = ñiểm T(1; –1) 9) Nội tiếp tam giác OAB biết A(3; 0) B(0; 4) Ví dụ 2(A – 2007): Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2), B(– 2; – 2) C(4; – 2) Gọi H chân ñường cao kẻ từ B; M N trung ñiểm cạnh AB BC Viết phương trình đường tròn ( ðs: x + y + z − x + y − = ) qua ñiểm H, M, N x2 y2 + = Gọi F1 F2 tiêu ñiểm (E) ( F1 có hồnh độ âm); M giao điểm có tung ñộ dương ñương thẳng AF1 với (E); N ñiểm ñối Ví dụ 3(B – 2010 – NC): Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho ñiểm A(2; ) (E):  3 xứng F2 qua M Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2 (ðs: ( x − 1) +  y −  = )    26 http://boxtailieu.net Bài 2: Xác ñịnh tâm bán kính Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn Cách giải chung: *) Xác định tâm bán kính 2 a b  +   − c > : ðiều kiện tồn đường tròn 2 2  C2: Sử dụng đẳng thức (tách ghép) đưa đường tròn dạng: h > : ðiều kiện tồn đường tròn *) Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn uuur C1: Nếu biết tiếp điểm M ⇒ phương trình tiếp tuyến d (C) M nhận IM làm véc tơ pháp tuyến C2: Nếu khơng biết tiếp điểm dùng điều kiện : ∆ tiếp tuyến (C) ⇔ d ( I , ∆ ) = R Bài tập áp dụng Ví dụ 1: Cho đường tròn (C): x + y − x + y − = 1) Tìm tâm bán kính (C) 2) Cho A(3; – 1) Chứng minh A điểm nằm đường tròn Viết phương trình đường thẳng qua A cắt (C) theo dây cung có ñộ dài nhỏ 3) Cho d: 3x – 4y = Chứng minh d cắt (C) hai ñiểm phân biệt M, N sau tính MN Ví dụ 2(Các tốn bản: Viết phương trình tiếp tuyến điểm cho trước, có phương cho trước qua điểm cho trước) Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn: 1) ( x − 3) + ( y + 1) = 25 ñiểm có hồnh độ – 2) x + y + x − y − = điểm đường tròn cắt trục Ox 3) x + y = có hệ số góc 4) x + y − y − 24 = biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 3x – 4y + 2012 = 5) có tâm I(2; 1), bán kính R = ñi qua ñiểm A(–1; 2) Loại 2: Sự tương giao Loại 2.1: Sự tương giao ñường thẳng đường tròn 27 http://boxtailieu.net Bài 1: Viết phương trình ñường thẳng ∆ ñi qua M ( x0 ; y0 ) cắt đường tròn (C) A, B cho AB = l Cách giải uur +) Gọi n∆ = (a; b) ⇒ phương trình ∆ : a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) = ⇔ ∆ : ax + by − ( ax0 + by0 ) = a = ? ⇒ phương trình ∆ b = ? ∆ ) (C ) +) Từ (*) ta chọn :  ( Nếu muốn tìm cụ thể A, B ta giải hệ :  Bài tập áp dụng (Các em dựa vào ý tưởng Bài để giải ví dụ sau) Ví dụ 1: Cho đường tròn (C ) : x + y − x + y − 12 = Viết phương trình đường thẳng ∆ ñi qua M(1; 3) cắt (C) theo dây cung AB có độ dài (ðs: x – y + = x + 41y – 124 = 0) Ví dụ (A – 2009 – NC): Cho ñường tròn (C ) : x + y + x + y + = ñường thẳng ∆ : x + my − 2m + = , 2 với m tham số thực Gọi I tâm đường tròn (C) Tìm m ñể ∆ cắt (C) hai ñiểm phân biệt A B cho (ðs: m = m = diện tích tam giác IAB lớn ) 15 Ví dụ (B – 2009 – NC): Cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(–1;4) ñỉnh B,C thuộc ñường thẳng ∆: x – y – = Xác ñịnh toạ ñộ ñiểm B C, biết diện tích tam giác ABC 18  11       11  ;  , C  ; −  B  ; −  , C  ;  )  2 2 2 2 2  2 ( ðs: B  Ví dụ 4(D – 2009 – NC): Cho ñường tròn (C ) : ( x − 1) + y = Gọi I tâm (C) Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm M thuộc (C) cho ∠IOM = 900 3 3 3 3 M  ; − )  2  2     ( ðs: M  ; Ví dụ 5: Cho đường tròn (C ) : x + y − x + y − 15 = Gọi I tâm đường tròn (C) Viết phương trình đường thăng ∆ qua M(1; –3) cắt (C) A, B cho tam giác IAB có diện tích cạnh AB cạnh lớn (ðs: 4x + 3y + = y + = 0) Ví dụ 6: Cho đường tròn (C ) : ( x − 1) + ( y − 2) = điểm M(2; 1) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M cắt (C) ñiểm A, B cho 1) Dây cung AB lớn 2) Dây cung AB ngắn (ðs: x + y – = 0) (ðs: x – y – = 0) Ví dụ 7: Cho đường tròn (C) : x + y = ðường tròn ( C’) tâm I(2;2) cắt (C) ñiểm A,B cho AB = Viết phương trình đường thẳng AB ( ðs: x + y + = x + y − = ) 28 http://boxtailieu.net uur Bài 2: Viết phương trình đường thẳng ∆ biết n∆ = (a0 ; b0 ) (hoặc phải tìm nhờ quan hệ song song vng góc) cắt đường tròn (C) ñiểm phân biệt A, B thỏa mãn ñiều kiện ñịnh lượng Cách giải: uur +) Phương trình ∆ có n∆ = (a0 ; b0 ) : a0 x + b0 y + m = ⇒ y = − a0 x − m −m (*) (nếu b0 = ⇒ x = ) b0 a0 +) Thay (*) vào phương trình đường tròn (C) ⇒ ax + bx + c = (2*) (phương trình chứa tham số m) +) Gọi A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) ⇒ x1 , x2 nghiệm phương trình (2*) Nếu x1 , x2 biểu diễn theo m : Bài tập áp dụng (Các em dựa vào ý tưởng Bài ñể giải ví dụ sau) Ví dụ 1(D – 2011 – NC): Cho điểm A(1; 0) đường tròn (C): x + y − x + y − = Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C) hai ñiểm M N cho tam giác AMN vuông cân A (ðs: y = y = −3 ) Ví dụ 2(D – 2010 – CB ): Cho tam giác ABC có đỉnh A(3; –7), trực tâm H(3; –1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(–2; 0) Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hồnh độ dương (ðs: C (−2 + 65;3) ) Ví dụ 3: Cho đường tròn (C ) : ( x − 2) + ( y − 3) = 10 Xác ñịnh tọa độ đỉnh hình vng ngoại tiếp đường tròn, biết cạnh AB ñi qua ñiểm M ( −3; −2) đỉnh A có hồnh độ dương ( ðs: A(6; 1), B(0; –1), C(–2; 5), D(4; 7)) Bài 3: Tìm ñiểm M thuộc ñường thẳng ∆ cách ñiểm cố định I khoảng khơng đổi (MI = R) Cách giải : Có thể hiều tốn theo cách (bản chất một) ∆ (C ) C2: Tọa ñộ ñiểm M nghiệm hệ :  ( (C) đường tròn tâm I bán kính R) CHÚ Ý: +)Với C1 khơng cần quan tâm tới toán tương giao ñường thẳng ñường tròn (ñề cập C2) giải theo phương pháp đại số thơng thường +) Với C2 ta thấy rõ chất toán +) C1 C2 hai cách trình bày khác phương pháp giải hệ phương trình +) Có thể chưa nhìn thấy ln điểm I Khi đề thường cho biết điểm M nhìn đoạn AB cố định góc vng (I lúc trung điểm AB), phải thơng qua vài khâu cắt nghĩa yếu tố định lượng ta có ñược MI = R = const… +) Ý tưởng Bài tốn xuất nhiều kì thi ðại Học năm qua 29 http://boxtailieu.net Bài tập áp dụng (Các em dựa vào ý tưởng Bài để giải ví dụ sau) Ví dụ (A, A1 – 2012 – CB ): Cho hình vng ABCD Gọi M trung ñiểm cạnh BC, N ñiểm cạnh CD  11  ;  đường thẳng AN có phương trình x − y − = Tìm tọa ñộ ñiểm A  2 (ðs : A(1; −1) A(4;5) ) cho CN = 2ND Giả sử M  Ví dụ (A – 2011 – CB ): Cho ñường thẳng ∆ : x + y + = đường tròn (C): x + y − x − y = Gọi I tâm (C), M ñiểm thuộc ∆ Qua M kẻ tiếp tuyến MA MB ñến (C) (A B tiếp ñiểm) Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích 10 (ðs : M (2; −4) M (−3;1) ) Ví dụ (A – 2010 – CB): Cho hai ñường thẳng d1 : 3x + y = d : 3x − y = Gọi (T) đường tròn tiếp xúc với d1 A, cắt d hai ñiểm B C cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình (T), biết tam giác ABC có diện tích  điểm A có hồnh ñộ dương (ðs :  x +  2   3  +  y +  =1) 3   Ví dụ (D – 2010 – CB): Cho tam giác ABC có ñỉnh A(3; –7), trực tâm H(3; –1), tâm ñường tròn ngoại tiếp (ðs : C (−2 + 65;3) ) I(–2; 0) Xác ñịnh tọa ñộ ñỉnh C, biết C có hồnh độ dương Ví dụ (D – 2010 – NC): Cho ñiểm A(0; 2) ∆ ñường thẳng ñi qua O Gọi H hình chiếu vng góc A ∆ Viết phương trình ñường thẳng ∆ , biết khoảng cách từ H ñến trục hoành AH (ðs : ( − 1) x − Ví dụ (B – 2009 – CB ): Cho đường tròn (C): (x – 2)2 + y2 = − y = ( − 1) x + − 2y = ) hai ñường thẳng ∆1: x – y = ∆2: x – 7y = Xác định toạ độ tâm K bán kính đường tròn (C1); biết đường tròn (C1) tiếp xúc với ñường thẳng ∆1, ∆2 8 4 5 5 (ðs : K  ;  bán kính R = tâm K thuộc đường tròn (C) 2 ) Ví dụ (B – 2009 – NC): Cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(–1;4) ñỉnh B,C thuộc ñường thẳng ∆: x – y – = Xác ñịnh toạ ñộ ñiểm B C, biết diện tích tam giác ABC 18  11       11  ;  , C  ; −  B  ; −  , C  ;  )  2 2 2 2 2  2 (ðs : B  Ví dụ (D – 2007): Cho đường tròn (C ) : ( x − 1) + ( y + 2) = ñường thẳng d: 3x – 4y + m = Tìm m ñể d có ñiểm P mà từ kẻ hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B tiếp ñiểm) cho tam giác PAB ñều (ðs : m = 19 m = −41 ) Ví dụ (D – 2006): Cho đường tròn (C ) : x + y − x − y + = ñường thẳng d: x – y + = Tìm tọa độ điểm M nằm d cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đơi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc ngồi với đường tròn (C) (ðs : M (1; 4) M (−2;1) ) Ví dụ 10 (B – 2005): Cho hai điểm A(2;0) B(6;4) Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hồnh điểm A khoảng cách từ tâm (C) ñến ñiểm B (ðs : ( x − 2) + ( y − 1) = ( x − 2) + ( y − 7) = 49 ) 2 3 (ðs : A(0; 2), B (4; 0), C ( −2; −2) )   Ví dụ 11 (B – 2003): Cho tam giác ABC có AB = AC , BAC = 900 Biết M(1; -1) trung ñiểm cạnh BC G  ;0  trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh A, B, C 1 2   Ví dụ 12 (B – 2002): Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I  ;0  , phương trình đường thẳng AB x – 2y + = AB = 2AD Tìm tọa độ điểm A, B, C, D biết A có hồnh độ âm (ðs : A( −2;0), B (2; 2), C (3;0), D (−1; −2) ) Ví dụ 13: Cho tam giác ABC có trực tâm H(–1; 4), tâm đường tròn ngoại tiếp I(–3; 0) trung ñiểm cạnh BC M(0; 3) Viết phương trình đường thẳng AB, biết B có hồnh độ dương (ðs: 3x + 7y – 49 = 0) 30 http://boxtailieu.net Ví dụ 14: Cho ba điểm I(1; 1), M(–2; 2) N(2; –2) Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD cho I tâm hình vng, M thuộc cạnh AB, K thuộc cạnh CD A có hồnh độ dương (ðs: A(1; 5), B(–3; 1), C(1; –3), D(5; 1)) 1 1 2 4 3 3 5 5 cạnh BC M(–1; 2) Viết phương trình đường thẳng AC, biết B có hồnh ñộ âm (ðs: 3x + y – = 0) Ví dụ 16: Cho đường tròn ( C ) : x + y − x + y + 21 = ñường thẳng d : x + y – = 0.Xác ñịnh tọa ñộ Ví dụ 15: Cho tam giác ABC có trọng tâm G  ;  , tâm đường tròn ngoại tiếp I  ; −  trung điểm đỉnh hình vng ABCD ngoại tiếp (C) biết A thuộc d hồnh độ điểm B lớn hồnh độ điểm D) (ðs : A(6;5), B (6; −1), C (2;1), D (2; −5) A(2;1), B (6; −1), C (6;5), D (2; −5) ) Bài 4: Qua điểm M ( x0 ; y0 ) nằm ngồi đường tròn (C) có tâm I bán kính R 1) Viết phương trình tiếp tuyến MT1 , MT2 đến đường tròn 2) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua T1 , T2 3) Tính diện tích tứ giác MT1 IT2 Cách giải: Cách viết tổng quát phương trình tiếp tuyến: uur TH1: Nếu biết tiếp điểm T ⇒ tiếp tuyến ∆ (C) ñi qua T nhận IT làm vtpt ⇒ phương trình ∆ TH2: Nếu khơng biết tiếp điểm dùng điều kiện : ∆ tiếp tuyến (C) ⇔ d ( I , ∆ ) = R 1) Như với toán ta làm theo TH2 : r +) Gọi ∆ ñi qua ñiểm M ( x0 ; y0 ) có vtpt n = ( a; b ) ( a + b ≠ ) có dạng: a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) = hay ax + by − ax0 − by0 = ( ∆ ) a = ? ⇒ phương trình ∆1 , ∆ hay phương trình MT1 , MT2 b = ? +) Từ (*) chọn  ( hai phương trình (*) có: a = b = 0) ∆ (C ) CHÚ Ý: Có thể tìm cụ thể tọa độ T1 , T2 nhờ giải hệ:  2) T ∈ (C ) (*)  MT IT = +) Gọi T ( x0 ; y0 ) tiếp ñiểm tiếp tuyến kẻ từ M ñến (C) ⇒  uuur uur 3) S MT1IT2 = 2S MT1I = MT1.IT1 = MT1.R với MT1 = MI − R 31 http://boxtailieu.net Bài tập áp dụng (Các em dựa vào ý tưởng Bài ñể giải ví dụ sau) Ví dụ 1(B – 2006): Cho đường tròn: (C ) : x + y − x − y + = ñiểm M(– 3; 1) Gọi T1 T2 tiếp ñiểm (ðs: x + y − = ) tiếp tuyến kẻ từ M ñến (C) Viết phương trình đường thẳng T1 T2 Ví dụ 2: (A – 2011 – CB): Cho ñường thẳng ∆ : x + y + = ñường tròn (C): x + y − x − y = Gọi I tâm (C), M ñiểm thuộc ∆ Qua M kẻ tiếp tuyến MA MB ñến (C) (A B tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích 10 (ðs : M (2; −4) M (−3;1) ) Bài 5:Cho đường thẳng ∆ , đường tròn (C) có tâm I hai điểm M , N nằm ngồi đường tròn 1) Tìm điều kiện để ∆ cắt (C) hai ñiểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB lớn 2) Tìm K thuộc (C) cho diện tích tam giác KMN lớn nhất, nhỏ 3) Tìm P thuộc ∆ cho qua P kẻ hai tiếp tuyến PT1 , PT2 cho diện tích tam giác IT1T2 lớn TH1 TH2 TH3 Cách giải : Bài tập áp dụng (Các em dựa vào ý tưởng Bài để giải ví dụ sau) Ví dụ : Cho đường tròn (C ) : x − x + y − = Gọi B, C giao ñiểm ñường thẳng ∆ : x + y − = Hãy tìm điểm A đường tròn (C) cho tam giác ABC có chu vi lớn (ðs : A(1 − 2; − 2) ) Ví dụ : Cho đường tròn (C ) : x + y − x − y + 12 = có tâm I đường thẳng ∆ : x + y − = Tìm 2 đường thẳng ∆ điểm M cho tiếp tuyến kẻ từ M tiếp xúc với (C) A, B mà tam giác IAB có diện tích lớn (ðs : M ( 3+ 5− 3− 5+ ; ), M ( ; )) 2 2 Ví dụ : Cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A(2 ; - 2), B(4 ; 0), C(3 ; − ) ñường thẳng 32 http://boxtailieu.net ∆ : x + y − = Tìm đường thẳng ∆ ñiểm M cho tiếp tuyến (C) qua M tiếp xúc với C N cho 5 (ðs : M (2; −4), M ( ; − ) ) diện tích tam giác NAB lớn Bài 6: Viết phương trình ∆ qua M ( x0 ; y0 ) cắt đường tròn (C) có tâm I, bán kính R A, B cho MA = kMB Cách giải : MH = IM − h C1 : +) ðặt IH = h →   HA = HB = R − h (*) CHÚ Ý: +) Cách giải thầy sử dụng trường hợp k > ( với k < em làm tương tự) +) Cách giải thầy sử dụng M ( x0 ; y0 ) nằm ngồi đường tròn (C) ( M ( x0 ; y0 ) nằm (C) em làm tương tự) C2 : +) Xét phương trình ∆ qua M ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k có dạng : y = k ( x − x0 ) + y0 +) Xác định phương trình hồnh độ giao ñiểm ∆ (C) : f ( x , x, k ) = (*) +) Dùng vi – et cho (*) kết hợp MA = kMB ⇒ k = ? ⇒ phương trình ∆ Bài tập áp dụng (Các em dựa vào ý tưởng Bài để giải ví dụ sau) Ví dụ : Cho đường tròn (C): x + y − x + y − 23 = , điểm M(7; 3) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M cắt đường tròn (C) A, B cho MA = 3MB ( ðs : y = 12 x − y − 69 = ) Ví dụ : Cho điểm A(-1 ; 14) đường tròn (C) tâm I(1 ; -5), bán kính 13 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A cắt (C) M, N mà khoảng cách từ M ñến AI nửa khoảng cách từ N ñến AI (ðs : x + y – 13 = 433x – 281y +4367 = 0) Loại 2.2: Sự tương giao hai đương tròn 33 http://boxtailieu.net TH1: R + r > II ' TH2: R + r = II ' Ngoài Tiếp xúc TH3: R + r < II ' Cắt hai ñiểm TH4: R − r = II ' Tiếp xúc CHÚ Ý: Còn trường hợp đựng Nhưng trường hợp khai thác nên thầy khơng đề cập Bài tập áp dụng Ví dụ 1(D – 2009 – NC): Cho đường tròn (C ) : ( x − 1) + y = Gọi I tâm (C) Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm M thuộc 3 3 3 3  M  ; −  ) 2 2     (C) cho ∠IOM = 300 (ðs: M  ;  Ví dụ 2(D – 2003): Cho đường tròn (C) : (x – 1)2 + (y – 2)2 = ñường thẳng d : x – y – = 0.Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d Tìm tọa độ giao điểm (C) (C’) (ðs: ( x − 3) + y = A(1;0), B (3; 2) ) Ví dụ (D – 2006): Cho đường tròn (C ) : x + y − x − y + = ñường thẳng d: x – y + = Tìm tọa độ điểm M nằm d cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đơi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc ngồi với đường tròn (C) (ðs: M (1; 4) M (−2;1) ) Ví dụ 4: Cho đường tròn (C1 ) : x + y − x + y − = cắt ñường tròn (C2 ) : ( x + 6) + ( y − 1) = 50 hai điểm M, N biết M có hồnh độ dương Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M cắt (C1 ), (C2 ) ñiểm thứ hai A, B cho M trung ñiểm AB (ðs: 5x – 7y + = 0) Ví dụ 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I(6; 6) ngoại tiếp đường tròn tâm K(4; 5), biêt đỉnh A(2; 3) Viết phương trình cạnh BC (ðs: 3x + 4y – 42 = 0) Ví dụ 6: Cho đường tròn (C) : x + y = ðường tròn ( C’) tâm I(2;2) cắt (C) ñiểm A,B cho AB = ( ðs: x + y + = x + y − = ) Viết phương trình đường thẳng AB Dạng 4: Các tốn Elip Loại 1: Viết phương trình Elip xác định yếu tố Elip Cách giải chung: +) Giả sử phương trình tắc elip có dạng: x2 y + = (E) a b2 Bài tập áp dụng Ví dụ 1: Lập phương trình tắc elip (E) biết: 1) Có độ dài hai trục 6, 2) Có đỉnh (5; 0) tiêu cự 3) Có đỉnh (0; 3) ñi qua ñiểm M(4; 1) 34 http://boxtailieu.net     3 2   − 2;      5 5) Có tiêu điểm F2 (2; 0) qua ñiểm  2;   3 4) ði qua hai điểm  1; 6) Có tiêu điểm F2 (5; 0) khoảng cách hai ñỉnh 7) Tiêu cự khoảng cách từ ñỉnh trục nhỏ ñến tiêu ñiểm x2 y + =1 x2 y2 6) + =1 181 81 4 ( ðs: 1) 2) x2 y + =1 25 16 x2 y2 x2 y2 x2 y + =1 4) + =1 5) + =1 18 9 x2 y x2 y2 x2 y2 7) + = + = + =1 ) 25 21 49 45 3) Ví dụ 2(A – 2008): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình tắc elip (E) biết (E) có tâm sai hình chữ nhật sở (E) có chu vi 20 (ðs: x2 y2 + = 1) Ví dụ 3(B – 2012 – NC): Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD đường tròn tiếp xúc với cạnh hình thoi có phương trình x + y = Viết phương trình tắc elip (E) qua đỉnh A, B, C, D hình thoi Biết A thuộc Ox (ðs: x2 y + = 1) 20 Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) có độ dài trục lớn ,các ñỉnh nằm trục nhỏ tiêu ñiểm (E) nằm ñường tròn Lập phương trình tắc (E) Ví dụ 4: Cho elip (E) có độ dài trục lớn 6, tâm sai phần hai khoảng cách từ điểm M (E) đến tiêu điểm F1 (có hồnh ñộ âm) 1) Tìm khoảng cách từ M đến tiêu điểm F2 2) Viết phương trình tắc elip (E) tìm tọa độ điểm M Loại 2: Tìm điểm thuộc Elip  x0 = ? ⇒M  y0 = ? +) Từ (1) (2) ⇒  c   MF1 = a + a x0 CHÚ Ý : Nếu M ( x0 ; y0 ) ∈ ( E ) ta khai thác thêm kiện:   MF = a − c x  a Bài tập áp dụng Ví dụ 1: Cho elip (E): x2 y2 + =1 1) Tìm tọa độ giao điểm (E) đường thẳng y = x − 2)Tìm (E) điểm M cho góc ∠F1MF2 = 900 3) Tìm (E) điểm N cho F1 N − F2 N =  7 3 5 3 5 ; −  2) M ( 3;1), M ( 3; −1), M (− 3;1), M (− 3; −1) 3) N  ;  N  ; −  5   2  2 1) A( 3;1), B   35 http://boxtailieu.net Ví dụ 2: Cho (E): x2 y + = có tiêu điểm F1 , F2 a b2   23  23  M  ; ; −  )  3 27  3 27     1) Cho a = 2, b = Tìm điểm M cho F1M = F2 M (ðs: M  2) Chứng minh với ñiểm M ta ln có: F1M F2 M + OM = a + b Ví dụ 3(D – 2005): Cho điểm C(2;0) elíp (E): x2 y2 + = Tìm toạ độ điểm A, B thuộc (E), biết hai ñiểm A, B ñối xứng với qua trục hoành tam giác ABC tam giác ñều 2 3 2 3 2 3 2 3 A  ; − , B ; )  7  , B  ; −  7   7       (ðs: A  ; Ví dụ (A – 2011 – NC) : Cho elip (E) : x2 y2 + = Tìm điểm A B thuộc (E), có hồnh độ dương cho tam giác OAB cân O có diện tích lớn    (ðs: A  2;  2  2 2  2  , B  2; −  or A  2; −  , B  2; )        Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) : x + 25 y = 225 Tìm tọa độ điểm M thuộc (E) cho tam giác M F1 F2 vuông M Ví dụ 6: Cho elip (E) : x + y = 45 có tiêu ñiểm F1 , F2 M ñiểm (E) biểu thức f = F1 M + F2 M + 1 + F1M F2 M 1) Chứng minh chu vi tam giác F1MF2 khơng đổi Tìm M để diện tích tam giác F1 MF2 2) Tìm M cho giá trị f lớn Ví dụ 7: Cho điểm M di động elip: x + 16 y = 144 H, K hình chiếu M lên hai trục tọa độ Tìm M để diện tích OHMK lớn Loại 3: Sự tương giao ñường thẳng Elip Cách giải chung : Sự tương giao ñường thẳng ∆ : Ax + By + C = (E): x2 y + =1 a b2  Ax + By + C =  (I) phương pháp y2 + =  b2 a +) Giải hệ  x ( ðiều kiện ñể ∆ tiếp tuyến (E) : A2 a + B 2b = C (ñược sinh từ (II) )) Bài tập áp dụng Ví dụ 1: Cho elip (E): x + y = 36 ñiểm M(1; 1) Lập phương trình đường thẳng qua M cắt (E) hai ñiểm M , M cho MM = MM (ðs: 4x + 9y – 13 = 0) Ví dụ 2:Cho hai điểm A (− 3; 0) , B ( 3; 0) ñường thẳng d: x − 2( − 1) y + = Tìm d điểm M có hồnh độ âm cho chu vi tam giác MAB +    (ðs: M  −1; 3 )  36 http://boxtailieu.net Ví dụ (D – 2002): Cho elip (E) có phương trình x2 y + = Xét ñiểm M chuyển ñộng tia Ox ñiểm N 16 chuyển ñộng tia Oy cho ñường thẳng MN ln tiếp xúc với (E) Xác định tọa ñộ ñiểm M, N ñể ñoạn MN có (ðs: M (2 7;0), N (0; 21) GTNN MN 7) độ dài nhỏ Tính giá trị nhỏ ñó x y2 + = Gọi F1 F2 tiêu ñiểm (E) ( F1 có hồnh độ âm); M giao điểm có tung độ dương đương thẳng AF1 với (E); N ñiểm ñối xứng F2 qua M Viết Ví dụ (B – 2010 – NC): Cho điểm A(2; ) (E): phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2 Ví dụ 5: Cho Elip (E) :  3 (ðs: ( x − 1) +  y −  = )    x2 y2 + = Viết phương trình tiếp tuyến d (E) biết d cắt trục tọa ñộ Ox,Oy 64 A,B cho AO = 2BO CHÚ Ý: Khi tốn đường tròn Elip có yếu tố min, max hay sử dụng bất ñẳng thức Cauchy Bunhiacopxki (2011A – NC, 2002D…) Cảm ơn em bạn ñã ñọc liệu ! Mọi ý kiến đóng góp em bạn gửi qua E- mail: giaidaptoancap3@yahoo.com ñịa : số – Ngõ 880 – Bạch ðằng – Hai Bà Trưng – Hà Nội ðiện thoại : 043.9871450 Dð: 0947141139 Lời giải tập em tham khảo web: http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 37 http://boxtailieu.net