Chinh phục kì thi THPT QG Hình học không gian cổ điển và phương pháp tọa độ không gian (VIỆT NAKATA PUBLISH) p2

Chinh phục kì thi THPT QG Hình học không gian cổ điển và phương pháp tọa độ không gian (VIỆT NAKATA PUBLISH) p2 Chinh phục kì thi THPT QG Hình học không gian cổ điển và phương pháp tọa độ không gian (VIỆT NAKATA PUBLISH) p2 Chinh phục kì thi THPT QG Hình học không gian cổ điển và phương pháp tọa độ không gian (VIỆT NAKATA PUBLISH) p2 Chinh phục kì thi THPT QG Hình học không gian cổ điển và phương pháp tọa độ không gian (VIỆT NAKATA PUBLISH) p2 Chinh phục kì thi THPT QG Hình học không gian cổ điển và phương pháp tọa độ không gian (VIỆT NAKATA PUBLISH) p2

Trang 1

\asachminhthang.vn:

Câu 9.Trong không gian với hé toa d6 Oxyz, cho hình bình hành ABCD Biết A(2;1;-3), B(0;-2;5) và C(1;1;3) Diện tích hình bình hành ABCD là

A 287 (đodt) — B.VJ349(dodt) C.VJ87(đud) Dz 49 (toat)

Cau 10 Trong khéng gian voi hé toa do Oxyz, cho tir dién ABCD biét A(2;-1;1),

B(5;5;4), C(3;2;-1), D(4;1;3) Thé tich tứ điện ABCD là

A 2(dott) B 3(dvtt) C 6(dott) D 5(dott)

Câu 11.Trong không gian với hệ tọa độ Ox/z, cho tứ dign ABCD voi A(6;—2;3),

B(0;1;6), C(2;0;—1), D(4;1;0) Độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD là

36 12 6 4

A.— B — €C.— D.-=

X77 N77 N71 N77

Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxz, cho hình hộp ABCD.A'EC'D', biết A(2;-2;2), B(12;1), A(L11 = „ D(0;1;2) Thể tích của hình hộp ABCD.A'E'C/' là

A 8(dott) B

Nl

w (dott) C 2(dott) D 4(dott) DAP AN CAU HOI TRAC NGHIEM

Dap an C D B B A ic

Đáp án D ic B B A iS

HUONG DAN GIAI CAU HOI TRAC NGHIEM

Câu 1 Ta c6: | a,b} =|a) |o|sin(@,6)=3.10sin 30" = 15> Chon đáp án C

Cau 2 Ta c6: [1,6 ]=(-m-2;-m;m+1) [aa] = (m2) +m (may =v =1 hn? 6m 45-14 23H ¥6m-9 062) = = Chọn đáp án D Câu 3 Ta có: AB =(-2;6;-2) và AC =(x-2;y+4;1) i =| AB,AC ]=(2y+14;-2x+6;-6x-2y+4)

Trang 2

nhasachminhthang.vn 2y+14=0 E8

Ba điểm A,B,C thẳng hàng œ| 4B, AC |=0<+42x+6=0 g hang, 4) ”, tae —6x—2y+4=0

=> Chọn đáp án B

Câu 4 Ta có: 4B =(=5;2;0) và AD=(-10;4;0)

=LAB,AD |=(0;0;0) => ba điểm A,B,D thẳng hàng = Chọn đáp án B Câu 5 Ta có: AB=(-2;2;-3) và AC =(1;4;-1)

=[4B,A€ |=(10;-5;~10)=> Chọn đáp án A

Câu 6 Ta cé: AB=(1;-2;-1) va AC =(-1;0;-3)

=[AB,A€ ]= (6;4-2)= Suục =2 | 28, A€ |= 2 V6? +4 + (-2)° = V4 (deat)

= Chọn đáp án C

Câu 7 Ta e6: AB=(-1;1;1); AC =(0;0;-5) va BC =(1;-1;-6) => BC = V38 => AB, AC |=(-5;-5;0)

Ì má Suục =2| AB,AC |=2|(-5Ÿ +(-SŸ + = SP (to odt)

Sra 52 _ 5V19 Độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC la: h, = BC ives FTE

=> Chon dap an D

Câu 8 Ta có: AB=(1;2;3); AC=(5;4;1) và AD=(6;6;4)

xinh [= lea) | \[4c, AD |= (10;-14; 6) KH 9S = HE [25,Ac]|: Al AC, AD } | = 2-10} +14? +(-6) tý 10? +(—14) +62 =283 (đo4t) => Chọn đáp án C Câu 9 Ta có: AB=(-2;-3;8); AC =(-1;0;6) =| AB, AC |=(~18;4;-3)

Khi đó: S,„„- =2|25,Ac] =2(-I8Ỷ +42 4(-3)" - 29 (doar)

Vậy Sanco = 2S sane = V349 (dodt) => Chon dap an B

Trang 3

nhasachminhthang.vn

Câu 10 AB =(3;6;3); AC =(1;3;-2); AD=(2;2;2)

Ta có: | AB, AC |=(~21;9;3) =| AB, AC |.AD =-21.2+9.2+2.3 =-18

Vay Vasco = 2[48,4¢] 5 | = ni =3(đoH)= Chọn đáp án B

Câu 11

AB=(-6;3;3); AC=(~4;2;~4); AD=(-2;3;~3); BC = (2;~1;~7); BD =(4;0;~6)

Ta có:

+_ [2B,AC]=(-18;-36;0)=| AB,AC ]AD=-72

= Vase = 2[48,4c] }-40|=— = bế, =12 (dott)

+ [BC,BD]=(6;-16:4) = Syrcp “AV [BC, BD 2w ~16)` +42 = v77 (đodt)

Vậy đường cao AH của tứ điện ABCD có độ dài 1a SV sco o5

Sysco N77 V77 :

= Chọn đáp án A

Câu 12 Ta có: AB=(-1;4;~1); AD=(-2;3;0); AA' =(-1;3;~1)

Khi đó: | AB, AD |=(32;5)=>| AB, AD].AA' =3.(—1)+2.8+5.(—1)=~2

VẬY Vuwep xem: as AA = |-2|=2(dott) => Chọn đáp án C

: 6 (HINHPHỤCKỲTHITHPT Trảcnghiệm Mơn Tốn HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CO DIEN VA PHUONG PHAP TOA BO TRONG KHONG GIAN

Trang 4

nhasachminhthang.vn

Mat phang (P) di qua diém M,(xy; Yo; 29) va nhdin vecto ñi=(A;B;C) (A” +? +C? >0)

làm 0ectơ pháp tuyến có dạng:

A(x—x,)+ B(y—wạ)+€(z—zạ)=0

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

Ax+By+Cz+D=0), (4 +B?+C? >0)

Phương trình đoạn chắn: Nếu (P) cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz Tần lượt tại

A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a,b,c#0 thì ta có phương trình đoạn chắn

của mặt phẳng (P) là: Pin!

DẠNG 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG KHI BIẾT VECTƠ PHÁP:

TUYẾN

1, Phương pháp

+ Mặt phẳng (a) song song với ( 8) cm (z) có một vectơ pháp tuyến là (a) = Mp) „ tới ïi„) là vecto phap tuyén của (2)

Mặt phẳng (a) vng góc với đường thẳng đ=> (z) có một vectơ pháp tuyến là i = Hy, 061 ii, là 0ectơ pháp tuyén cua (A)

Mat phang (a) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB= (z) có một vectơ pháp tuyến là Nia) = AB

Lưu ý: Vec tơ chỉ phương của đường thẳng: ii, hỗ b;c)ờ 2 dạng phương trình

Sau:

x=x,+at

Phương trình tham số của đường thẳng A la: |;y=y,+bt (teR)

z=Z,+ct

t la tham số

Phương trình chính tắc của đường thằng A (uới a,b,e #0) là:

T0 V00 CC a b c

Phần 5:PHƯƠNG PHAP TOA BO TRONG KHONG GIAN

Trang 5

\hasachminhthang.vn

Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1;3-2) va mat

phẳng (P):x~2y~2z+5=0 Phương trình của mặt phẳng (Q) đi qua A va song song với (P)là

A.(Q):x-3y+2z-3=0, B.(Q):x-3y+2z+14=0

C.(O):-x+2y+2z~3=0 D.(Q):x-2y+2z+11=0

Lời giải:

+ Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến ïi„ =(1;~2;~2)

+ Vì mặt phẳng (O) song song mặt phẳng (P) nên mặt phẳng (Q) nhận

ïi, =(1;~2;~2) làm vectơ pháp tuyến

+ Mặt phẳng (Q) đi qua A(-1;3-2) có phương trình là:

(x+1)~2(y—3)~2(z+2)=0<x~2y~2z+3=0 = Chọn đáp án C

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz„ cho điểm A(-2;3; 1) và đường, x-3_w-2_ se

thẳng d: qi Phương trình của mặt phẳng (P ) qua A và vng góc với d là

Ai(P):-22=y 422430 B.(P):2x+y+2z-1=0

C.(P):-2x+3y+z-5=0 D.(P):2x+y-22+3=0

Lời giải:

+ Đường thẳng đ có vectơ chỉ phương ïi =(2;1;-2)

+ Vi mat phang (P) vng góc với đường thẳng đ nên mặt phẳng (P) nhận i= (2; iy -2) làm vectơ pháp tuyến

+ Mặt phẳng (P) đi qua A(-2;3;1) và nhận #=(2;1;-2)làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 2(x+2)+(y~3)~2(z~1)=0<>2x+~2z+3=0

= Chọn đáp án D

Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz„ cho điểm A(-4; DJ) ý B(2; Bil),

Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng, AB la

A.6x+4y-2z—1=0 B.3x+2y-z—1=0 li C.3x+2y+z-5=0 D.2x+y-2z+3=0

Trang 6

Thhasachminhthang.vn

+ Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng ABđi qua qua trung điểm 1 của đoạn thẳng ABvà vng góc với AB

+ Trung điểm 1(-1;3; 2), AB =(6;4;-2)

+ Mat phẳng trung trực qua I(-1;3;2) và nhận AB=(6;4;-2) lam vectơ pháp

tuyến

Thương trình mặt phẳng cần tìm là: 3x+2/~z—~1=0 = Chọn đáp án B 3 Câu hỏi trắc nghiệm rèn luyện

Câu 1.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M @ 0; -1) va mat

phang (P):x+y-2z=0 Phương trình của mặt phẳng, (Q) qua M va song song với mặt phẳng, (P) là

A.(Q):x+y-2z-3=0 B.(Q):x-y-2z-5=0

C.(Q):x+y+2z-1=0 D.(Q):x+y-22-5=0

Câu 2.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(2 -1;0) va mat

phẳng (P):x-2y-3z +10=0 Phuong trình của mặt phẳng (Q) di qua A va song song với mặt phẳng, (P) là

A.(Q):x-2y+3z+4=0 B.(Q):-x+2y+3z+4=0

C.(Q):x-2y—32+4=0 D.(Q):x+2y-3z=0

Câu 3 Trong không gian với hệ trục tọa dé Oxyz, cho điểm A(2;-1;1) và đường

thẳng — -3 Phương trình của mặt phẳng (P) đi qua A và vuông,

góc với đường thẳng d 1a

A.(P):x—3y+2z~7 =0 B.(P):x—3y+2z+7 =0

C.(P):x-3y-2z-3=0 D.(P):x+3/~2z+3=0

Câu 4.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;-1;0) và đường

thang d: a =e eau Phương trình của mặt phẳng (P) đi qua A và vng góc với đường thẳng đ là

A.(P):2x+y~3z+1=0 B.(P):2xz+y~3z—1=0

C.(P):2x+y+3z-1=0 D.(P):-2x-y+3z-1=0

Phần 5:PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Trang 7

Câu 5 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;3;-1),

B (-1; 1) ah Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là

A.x+y-2z=0 B.x+y-—2z-6=0

| C.x+y+2z=0 D.x+y+2z-4=0

| Câu 6.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(; -5;2),

| B(3; a -2) Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thang AB là

| A.x+2y-2z+4=0 B.x+2y-2z—4=0

C.x+2y+2z+4=0 D.xz+2y+2z—8=0

ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Đáp án D B A B A A

HUONG DAN GIAI CAU HOI TRAC NGHIEM

Câu 1 Mặt phẳng (Q) qua M(3;0;-1) và có 1 vect phap tuyén 1a jij, =(1;1;-2),

có phương trình: (Q): 1(x~3)+1(y~0)~2(z+1)=0 x+~2z~5=0

=> Chon dap án D

Câu 2 Mặt phẳng (Q) qua M(2;-1;0) va cé 1 vecto phap tuyén la 7,» =(1;-2;-3),

c6 phuong trinh: (Q) :1(x-2)-2(y+1)-3(z—0) =0 <= x-2y-3z-4=0 = Chọn đáp án B

Câu 3 Mặt phẳng (P) qua A(2;-1;1) và có 1 vectơ pháp tuyến là ¡„ =(1;-3;2), có

phương trình: (P): 1{x—2)~3(y+1)+2(z—1)=0 x~3/+2z~7 =0 => Chon dap an A

Câu 4 Mặt phẳng (P) qua A(1;-1;0) va cé 1 vecto phap tuyến là ï„ =(2;1;~3), có

phương trình: (P): 2(x~1)+1((y+1)~3(z~0)=0 2x+y~3z~1=0

= Chọn đáp án B

Câu 5 Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB qua trung điểm I(0;2;1) và có 1

vectơ pháp tuyến là AB= (-2; cai 4) „ có phương trình:

[260| (fINHPHỤCKỲ THITHPT Trắcnghiệm Mơn Toán HINH HOC KHONG GIAN CO BIEN VA PHUONG PHAP TOA BO TRONG KHONG GIAN

Trang 8

~2(x~0)~2(y-2)+4(z~1)=0x+w~2z=0 => Chọn đáp án A

Câu 6 Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB qua trung điểm I(2;~3;0) và có 1

vectơ pháp tuyến là AB= (2; 4;-4), có phương trình:

2(x-2)+4(y+3)~4(z~0)=0<>x+2y~2z+4=0 = Chọn đáp an A

DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG DỰA VÀO TÍNH CHẤT CỦA

|_ TÍCH CĨ HƯỚNG

1 Phương pháp

| Ứng dụng tính chất tích có hướng của hai vectơ: li a: Ẻ i

[ñ, 3] Lo

+2 điểm A, B nằm trong một mặt phẳng (P) > ABL ñp) + Mặt phẳng (P) vng góc với mặt phẳng (Q) = fi,g) -L 7.)

+ Mặt phẳng (P) chứa hoặc song song với đường thẳng đ=> iy yt ii, A Cac bai toán thường gặp:

+ Mặt phẳng (a) di qua 3 diém A, B,C=>(ø) có một vectơ pháp tuyến là Tụ =| AB, AC |,

+ Mặt phẳng (a) qua M, N va vuông góc với (8) = (z) có một vectơ pháp tuyến là Hig = [ MN, ) ?6% Tip) 1a vector pháp tuyến của (2)

+ Mặt phẳng (a) chứa đường thang d và vng góc với (2)=(a) có một vectơ pháp tuyến là fia) = [ñu,ñ„y | 09% ñ, là ueclơ chỉ phương của đường thang

4 oà ïi„\ là oectơ pháp tuyến của (2)

+ Mặt phẳng (a) song song với đường thẳng đ và vng góc với (A) = (z) có một vectơ pháp tuyến là i.) = [A 264 ii, la vecto chi phuong cia duong thẳng d va Hip) la vecto phap tuyén cua (2)

+ Mặt phẳng (2) vng góc với (2) và (z)= (a) có một vectơ pháp tuyến là i.) =|, Hi, | sói Hip), lần lượt là vecto pháp tuyến của (2) va (7)

Trang 9

nhasachminhthang.vn

+ Mặt phẳng (z) chứa hai đường thang cat nhau d,, d, =>(a) có một vectơ pháp tuyến là ï„; =[ñ„„ñ, |, 061 i, ,ii,, Tain lugt la vecto chi phwong ctia dirong

thing d,, d,.-

+ Mat phang (a) chứa đường thẳng d, va song song véi dudng thang d, =(qa) có một vectơ pháp tuyến 1a ii,) =[ñ,„„ữu, |, 06 ii,, i, Tan legt la vecto chi phương của đường thẳng d,,d,

+ Mặt phẳng (a) chứa điểm M và đường thẳng đ=>(øz) có một vectơ pháp

tuyến là fil.) =[ñ,, MA], v6i ii, 1a vecto chi phương của đường thing d va Aed

2 Vidu minh hoa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục toa dé Oxyz, cho các điểm A(-1;1;1),

B(3;0;2) và C(1;0;1) Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C là

A.(P):x~2y~2z+5=0 B,(P):x+2y+2z-3=0 C.(P):x-2y+2z+1=0 Đ.(P):x+2y~2z+1=0 lời giải: Ta có: n =[AB,A€ |=(1;2;~2) AC =(2;-1;0)

Mặt phẳng (ABC) qua A(-1;1;1) và nhận [ 4B, AC ] = (1;2;-2) làm vectơ pháp

tuyến có phương trình là: (x+1)+2(y~1)~2(z~1)=0<>x+2y~2z+1=0 =>Chọn đáp án D

Vi dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz„ cho các điểm A(-1;-1;-2), B(0;1;1) và mặt phẳng (P):x+y+z-1=0 Phuong trinh mat phang (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P)là A.(O):-x+2y~z+1=0 B.(Q):x+2y+z+5=0 C.(Q):x-2y-z-3=0 D.(Q):x-2y+z+1=0 Lời giải: AB=(1;2;3 Ta có: 4 Tip) = 1;1;1) =[ 4B, „ |=(-12:~1) 262

Trang 10

nhasachminhthang.\

Phương trình mặt phẳng (O) đi qua A và nhận [ AB, fi |= (-1:2:-1) lam vecto

pháp tuyến là: -(x+1)+2(y+1)-(z+2)=0<>x—2y+z+1=0

=>Chọn đáp án D

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxwz, cho đường, thang

ier Yes

él 3 =1 và mặt phẳng, (P):x+2y~2z+10=0 Phương trình mặt phẳng

d

(Q) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P) la

A.(Q):4x-y-z-14=0 B.(Q):4x-y-14=0 C.(Q):4x-y+z-14=0 D.(Q):4x-y+z+14=0 Lời giải: - J#„=(1;3;-1) tai hà Ta có: lý =(x2,-2) Lm | =(-%1; -1)

Mặt phẳng (Q) đi qua A(2;~4;2) va nhan [i,j |=(-4;1;-1) lam vée tơ pháp tuyến

= Phương trình mặt phẳng (Q) la: 4x—y+z-14=0 => Chon dap an C

Vi dy 4:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxz, cho điểm A(1;1;1) va mat phẳng

(P):2x-y+3z-1=0 Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, vng góc với mặt phẳng (P) va song song voi Oy la

A.(Q):3x-2z2-y=0 B (O):-3x+2z+1=0

C.(Q):-3x—2z+5 =0 D.(Q):3x-22+y-2=0

Lời giải:

Ta có mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến Ia: 7i,,) =(2;-1;3)

Trục Oycó vecto chỉ phương là: j = (0;1;0) = | ñ„y,j |=(-3;0;2)-

Mặt phẳng (O) đi qua A(1;1;1) và nhận [ xu; j |= (-3;0;2) làm vectơ pháp tuyến

Phương trình mặt phẳng (Q)là:~3x+2z+1=0

Trang 11

nhasachminhthang.vn

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxz, cho hai đường thẳng d iC lees eben) pee BU ice one Phương trình mặt phẳng (P) chứa hai

1n 85 s06 đường thang d,,d, 1a A.(P):3x+2y~z~7 =0 B.(P):3x~2/~z~1=0 C.(P):-3x+2y+z-1=0 D.(P):-3x-2y+2z+7 =0 Tời giải: 4, =(151;1) oe Ta có: \r spy ee Cee),

d, di qua diém M(1;2;0) ma d, c(P)nén M thudc (P)

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;2;0) có Fiip) =(1,,4, |=(-3/21) la: -3(x-1)+2(y—2)+z=0 <> -3x+2y+z-1=0 = Chọn đáp án C

Vi du 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

EO WE

d,: TA: và đường thẳng d, ee Phuong trinh mat phẳng (P) chứa đ, và song song với đ, là

A.(P):4x—5y~6z+41=0 B.(P):7x++3z~26=0

C.(P):x+2y-z-10=0 D.(P):4x+5~6z~9 =0

Lời giải:

Đường thẳng 4, đi qua M, (8;5;8) và có một vectơ chỉ phương ii, =(1;2;-1) Đường thẳng đ, đi qua M, (3;1;1) và có một vectơ chỉ phương ñ„ =(7;2;3)

Ta có | đ„ ,i„ |=(8;~10;-12)

Vì mặt phẳng (P) chứa đ, nên M, thuộc mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) nhận

[#, ,7,, ]=(8;-10;-12) làm véc tơ pháp tuyến

Phương trình mặt phẳng (P) là: 4x~5y~6z+41=0 = Chọn đáp án A

Ví dụ 7: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tọa độ điểm M(-1; 1,0) va đường thắng, AJ- Sen, Phương trình mặt phẳng (P) chứa M và đường thẳng

Alà

264 CHINH PHUC KY THITHPT Trdcnghiém Mơn Tốn HÌNH HỌC KHƠNG GIAN (Ổ ĐIỂN VÀ PHƯƠNG PHÁP T0A ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Trang 12

Loi giải:

Đường thẳng A đi qua A(0;3;1) và có một véc tơ chỉ phương ii =(1;2;-1) Vecto MA =(1;2;1) Ta có [đ,MA ]=(-4;2;0)

Vì mặt phẳng (P) chứa A và đi qua M nên mặt phẳng (P) nhận [ñ.MA]=(-%2z0)

làm vectơ pháp tuyến

Phương trình mặt phẳng (P) là: 2x—u+3=0 =Chọn đáp án D

3 Câu hỏi trắc nghiệm rèn luyện

Câu 1.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz„ cho điểm A(-1; 2; -1), B(2;1;-1), Ì ị

C(3;0;1) Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A,B,C là i

A.(P):x+3y-z-6=0 B.(P):x-3y+z+8=0 =

C.(P):x-3y-z+6=0 D.(P):x+3y+z—-4=0 Hết

Câu 2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz„ cho ba điểm A(-1;1;2), B(0;1;1),

C(1;0;4) Mặt phẳng (ABC) nhận vectơ nào dưới đây làm vectơ pháp tuyến?

A.ñ=(4-1) B.ñ=(U-%1) C.ñ=( 141 D.ñ=(2;8;2)

Câu 3.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x+y-2z+1=0 và hai điểm A(1;-2;3),B(3;2;~1) Phương trình mặt phẳng

(Q) qua A,B và vng góc với mặt phẳng (P) là

A.(Q):2x+y-z+3=0 B.(Q):2x-2y+3z-15=0

C.(Q):2x+2y+3z~7 =0 D.(Q):x+2y~2z+9 =0

Câu 4.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;0;1), B(2;1;2)

và mặt phẳng (Q) cé phuong trinh x +2y+3z-16 =0 Phương trình mặt phang (P) đi qua A,B và vng góc với mặt phẳng (Q) sé di qua điểm nào dưới đây?

A.M(-1;-2;-1) B.N(1;2;1) C.P(-1;2;1) D.Q(-1;2;-1)

Trang 13

Câu 5.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-2;2;0),

B(-1;1;-1) và mặt phẳng (P) có phương trình là: 2x+2y~z+2=0 Phương trình

mặt phẳng (Q) chứa AB, vng góc với (P) có phương trình

A.(Q):3x—y+4z+8 =0 B.(Q):3x+y+4z+2=0

C.(Q):3x-y—4z+3=0 D.(Q):3x+~4z+4=0

Câu 6 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxz, cho mặt phẳng (P): x + +z=3=0

và đường thẳng ng Phương trình mặt phẳng (O)chứa đường

thẳng d va vuông góc với mặt phẳng (P) là

A.(Q):x+y-z=0 B.(Q):-x+y+z=0

C.(Q):y-z-2=0 D.(Q):y-z=0

Cau 7.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

— và mặt phẳng (P):x+w~z+5=0 Mặt phẳng (Q) chita d va

1 _

vng góc với mặt phẳng (P) đi qua điểm nào dưới đây?

A.A(1;2;2) B B(0;-3;-1) C.C(1;-2;2) D.D(1;2;-3) Câu 8.Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox/z, cho mặt phẳng

(P):3x~4y+z~7=0 và đường thẳng — Mặt phẳng (O) chứa

đường thẳng đ đồng thời vng góc với mặt phẳng (P) vng góc với đường thẳng nào dưới đây?

x=9F [x=1+t x=l+t x=t

Ä 4 :12=1 B4:40-2 G4:0 2'1! Di,:ÿ=-2

z=2-t z=3+3t z=3-3t z=3—3t

Câu 9.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz„ cho hai dudng thang d,, d, Tan

x=-2+s x=-2+t

lượt có phương trình là: ‡/=-1—s và 4/=-2-! Phương trình mặt phẳng (P)

z=2s z=3+2t

chứa hai đường thẳng đ,„ d, 1a

A.(P):x+y-z+1=0 B.(P):x—y—z~3=0

C.(P):x-y-z+3=0 D.(P):x-y+z+3=0

CHINH PHUCKYTHITHPT Trdicnghiém Mén Todn HINH HOC KHONG GIAN CỔ ĐIỂN VÀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Trang 14

\chminhthang.vn

Câu 10 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

x=3t x=l+k

d,:\y=1-2t,d,:;y=—k Mặt phẳng (P) chứa hai đường, thang d,, đ, nhận vectơ

z=3+t z=4+k

nào dưới đây làm vectơ pháp tuyến?

A Tp =(1; -2;1) B.fi„ =(-1; cô; -1) C.fi„ =(L-2;~1) D Fi) =(1;2;-1)

Câu 11 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau:

nà _z+1 XU V4 Zz st pe Gh Pe a et song song d, 1a A.(P):4x-7y—6z-14=0 = Phương trình mặt phẳng (P) chứa d, va B.(P):~4x+7y+6z~14=0 C.(P):4x~7y+6z~2=0 D.(P):4x+7y~6z~14=0

Câu 12 Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox/z, phương trình mặt phẳng (P)

x=1+2t

chứa đường thẳng A:4/=-f _ và đi qua M(2;-1;0) la z=3-2t

A.(P):x+3y~z+1=0 B.(P):x+4y-z+2=0

C.(P):x+4y+z+2=0 D.(P):x+3y+z+1=0

ĐÁP ÁN CAU HOI TRAC NGHIEM

Phần 5:PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Trang 15

nhasachminhthang.vn

HƯỚNG DẪN GIẢI CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Ta có: AB =(3;-1;0), A€ =(4;-2;2) £

| _ Mặt phẳng (ABC) qua A(-1; 2;-1) và có l1 vecơ pháp tuyến là =ñ= [25,Ac] =(-2;~6;~2), có phương trình:

| (ABC):-2(x+1)-6(y—2)-2(z+1)=0 > x+3y+z-4=0

=> Chon dap an D

| Câu 2 Ta có: AB =(1;0;-1), AC =(2;~1;2)

Mặt phẳng (ABC) có 1 vecto pháp tuyến la = ñ,„„.) =| 4B, AC |= (—1;~4;~1)

Ta thấy: ï=~2„„„, nên 7 =(2;8;2) là 1 vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)

Câu 3 Ta có: AB =(2;4;~4), ñ„ =(2;1;~2)

Mặt phẳng (Q) qua A(1;-2;3) và có 1 veeơ pháp tuyến là

To) = [^5, ii | = (-4;-4;-6), có phương trình:

(G): -4(x—1)-4(y+2)—6(z—3)=0<>2x+2y+3z~7 =0

Câu 4.Ta có: AB=(1;11), fig =(1:2;3) -

Mặt phẳng (P) qua A(1;0;1) và có 1 vectơ pháp tuyến là ñ) =[AB, Fig) | =(1;-2;1),

có phương trình:

(P): 1(x-1)-2(y-0)+1(z-1)=0 > x-2y+z-2=0

Lần lượt thay tọa độ các điểm M,N, P, Q ta thay toa độ điểm M thỏa mãn phương trình mặt phẳng (P)

=> Chon dap an A

Câu 5.Ta có: AB =(1;~1;~1), đgy =(2/2/-1)

Mặt phẳng (Q) qua A(-2;2;0) và có một vecơ pháp tuyến là fig) = [ AB, Fi | =(3;~1;4), có phương trình:

(G): 3(x+2)~1(y-2)+4(z~0)=03x-y+4z+8=0 = Chọn đáp án A

L

[268 CHINH PHUCKY THITHPT Trắc nghiệm Mơn Tốn HÌNH HỌC KHƠNG GIAN (Ổ ĐIỂN VÀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Trang 16

'nhasachminhthang.vn Câu 6 Chọn A(0;1;~1) cd

Đường thẳng đ có 1 vectơ chỉ phương là ñ„ =(~1;1;1) Mặt phẳng (P) có 1 vectơ pháp tuyến là 7/„ = (1;1;1)

Mặt phẳng (Q) qua A(0;1;-1) và có 1 vecto pháp tuyến là tay [đzZø |] =(0;2;~2), có phương trình:

(Q):0(x-0)+2(y—1)—2(z+1)=0 = y—z-2=0

=> Chọn đáp án C

Cau 7 Chon A(2;-1;-3) ed

Đường thẳng 4 có 1 vectơ chỉ phương là 7, =(1;-2;2) Mặt phẳng (P) có 1 vectơ pháp tuyến là Hip) =(11;-1)

Mặt phẳng (O) qua A(2;~1;~3) và có 1 vectơ pháp tuyến là ñ, =| ,,ït) |=(0:3;3)

„ có phương trình: {

(Q):0(x-2)+3(y+1)+3(z+3)=0 > y+z+4=0 =

Lần lượt thay tọa độ các điểm A, B, C, D ta thấy tọa độ điểm B thỏa mãn phương

trình mặt phẳng (O) = Chọn đáp án B

Câu 8 Đường thẳng đ có 1 vectơ chỉ phuong 1a i, =(3;2;1)

Mặt phẳng (P) có 1 vectơ pháp tuyến là ji, =(3;~4;1)

Mặt phẳng (Q) có 1 vectơ pháp tuyến là fig) = [z„5ø] =(6;0;~18) Kiểm tra thấy fi.) =3i, = d, (Q)

Cau 9 Chon A(-2;1;0)ed, Kiém tra thấy d, va d, cắt nhau Đường thẳng đ, có 1 vectơ chỉ phương là ñ, =(2;~1;3) Đường thẳng đ, có 1 vectơ chỉ phương 1a ii, =(1;~1;2)

Mặt phẳng (P) qua A(-2;1;0) và có 1 vecơ pháp tuyến là ñự„ =[ñi,ñ; ]=(~1~1), có phương trình:

(P):1(x+2)-1(y-1)-1(z-0)=0 <> x-y-z+3=0

Trang 17

Câu 10 Đường thẳng đ, có 1 vectơ chỉ phương là ii, =(3;-2;1) Đường thẳng đ, có 1 vecto chỉ phương là ii, =(1;-1;1)

Mặt phẳng (P) chứa d, va đ, có 1 vectơ pháp tuyến là ñ„ =[ñi„ñ, |=(~1;~2;~1)

Cau 11, Chon A(2;0;-1)ed,

Đường thang d, co 1 vecto chi phuong la i, =(1;-2;3)

Đường thang d, c6 1 vecto chi phuong la i, =(2;2;-1)

Mat phẳng (P) qua A(2;0; -1) và cd 1 vecơ pháp tuyến là Ty =[1y,đ, ]=(—4;7;6), có phương trình:

(P):-4(x-2)+7(y~0)+6(z+1)=0>~4x+7y+6z+14=0 = Chọn đáp án A

Cau 12 Chon A(1;0;3)¢A => AM =(1;-1;-3)

Đường thẳng A có 1 vectơ chỉ phương là 7 =(2;-1; -2)

Mặt phẳng (P) qua A(1;0;3) và có 1 vectơ pháp tuyến là

Fit) = [AM,z] =(-1; ~4;1), có phương trình:

(P):~1(x-1)~4(y~0)+1(z~3)=0~x~4y+z~2=0 = Chọn đáp án B

Trang 18

nhasachminhthang.vn'

VẤN ĐỀ4 VIET PHUONG TRINH DUONG THANG

Cho đường thẳng A đi qua điểm M(x,,yạ,z¿) ồ có một oectơ chỉ phương là 1ï = (a,b,e)

voi a +b? +c? >0

x=x, +at

+ Phuong trinh tham số của đường thẳng A la: |} y = y + bt ( € R)

z=z,+ct

t là tham số

+ Phương trình chính tắc của đường thang A (v6i a,b,c #0) la:

to YS Yo s0

a b c

/IẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG KHI BIẾT VECTƠ CHỈ

PHƯƠNG

1 Phương pháp

+ Nếu đường thẳng đ đi qua hai điểm A, B thì đ có một vectơ chỉ phương là ii= AB

+ Néu dwong thang d1(P) thi đ có một vectơ chỉ phương là ứ=ïi,, øới ñ, là

một VTPT của mặt phẳng 2):

+ Nếu đường thẳng đ//A thì d va A có cùng vectơ chỉ phương, tức là đ có một vectơ chỉ phương là ï„ = ïi,

2 Ví dụminh họa

Vi du 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình tham số đường thang d di qua gốc tọa độ O và có vectơ chỉ phương ii = (1; 3) 2) có phương trình là

x=0 x=l

A.d:4y=3t (Le) B.d:}y=3 (teR)

z=2t z=2

ap x=-t

C.d:}y=3t (teR) D.d:)y=-2t (teR)

z=2t z=-3t

Trang 19

nhasachminhthang.vn

Lời giải:

Đường thẳng đ đi qua O và nhận vectơ ï¡ a(t 3; 2) lam vecto chi phuong

x=t

Phuong trinh tham sé duong thang 4:)y=3t (te R)= Chon dap án C

z=2t

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa dé Oxyz, cho điểm A(0;~1;-2) và

: B(1;1;1) Phương trình chính tac cua duong thang d diqua A va B là

AC 1 1 1 Big 1 2: ee 3)

Ca ta ¥tt_ 242 D6 na

l2 3 1 2) 3)

Đường thẳng 4 đi qua A có phương trình là: ai lời giải:

Đường thang d đi qua A,B sẽ nhận AB =(1;2;3) làm vectơ chỉ phương

we yt 242 oh 3

> Chọn đáp án D

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxz„ cho điểm M (2; -3;5) va duong

x=1+2t

thangd:) y=3-t (teR) Duong thang A diqua M va song song véi 4 có phương z=4+t trình chính tắc là X2 VưÓ 2-0 px *†+2 W-3 z+5 Ad: ay D.d: a 1 3 4 i 3 4 Cig 282 ¥=3 245 Dị 2 0 2o 2 al a 2 L 1

Đường thẳng đ có một vectơ chỉ phương tị “(2= L1)

Đường thẳng A // dnên nhận vectơ ii; = (2 -1;1) lam vectơ chỉ phương

hae eye seo

Sola; ST: SƯ,

= Đường thẳng A đi qua M có phương trình là: q 7

= Chon dap an D

272 CHINH PHUC KY THITHPT Trdcnghiém Mén Todin HINH HOC KHONG GIAN CO BIEN VA PHUONG PHAP TOA DO TRONG KHONG GIAN

Trang 20

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến ii p) = (2-1; 2)

Đường thẳng đ vng góc (P) nên nhận Ftp) = (2;-1;2) làm vectơ chỉ phương = Đường thẳng đ đi qua A có phương trình chính tắc là: —.=

= Chon dap an A

Câu 1.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d di qua

M(2;0;~1) và có vectơ chỉ phuong ii=(4;~6;2) Phuong trinh tham số của đường

thẳng đlà

x=-2+2t x=2+2t

A.d:sy=-3t (teR) B.d:;y=-3t (teR)

z=l+t z=-l+t

x=4+2t x=-2+4t

C.d:)y=-6-3¢ (teR) D.d:jy=-6t (FeR)

z=2+t z=1+2t

Câu 2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox/z„ phương trình tham số của đường

thẳng đ đi qua điểm A(1;2;3) và vng góc với mặt phẳng (a):4x+3y-7z+1=0

là

x=1+4t x=-1+8t

A.d:4y=2+ät (teR) B.d:\y=-2+6t (teR)

z=3-7t z=-3-14t

x=1+3t x=4+t

C.4:4u=2-4t (LeR) D.d:\y=3+2t (teR)

z=3-7t z=-7+3t

Trang 21

nhasachminhthang.vn

Câu 3 Trong không gian với hệ truc toa dd Oxyz, phuong trình chính tắc của đường

thẳng d đi qua điểm M(2;0;~1) có vectơ chỉ phương ï =(4;=6;2) là

A.d:X72-.V _z11 B.a:212_ VU 221

2 =o THẾ: 4 -6 2

lu 92 U 7L, D.4:2-4-W+6_Z-2

2 -3 ol 2 -3 1

Câu 4.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng A qua

A(1;0;-1) va c6 vecto chi phuong i =(-2;4;6) Phương trình tham số của đường

thẳng A là

x=-1-2t x=-2+t x=l+t x=1-t

A.d:\y=4t B.d:‡=4 ì C.4:‡/=-2L D.d:‡u=2t

z=1+6t z=6-t z=-1-3t z=1+3t

Câu 5 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình chính tắc đường,

thẳng qua A(1;2;~1) và vng góc với mặt phẳng (P): x+2y~3z+1=0 là

lAd:f=L 1_-2 -Zz11 B.a.Ÿt1_y‡2_z-1,

con 3 el 1 2 =3

ie eee ee Da es

a Bs 3 1 2 -3

Câu 6.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;2)va

B(2;~1;0) Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A,B là

deel 1_z-2 B.4.Zt1_y+1_z+2

iy a si” , SN HUẾ

lu m2 QUY óc D.Z 22 2n,

3 =2) 2 1 <2 -2

Câu 7 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A( 4; -1) va mat phang

(P):x+2y~2z+5=0 Phương trình chính tắc của đường thẳng đ đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) là

Add: S1, 0-4 z7 BC DU

1 4 _7 1 2 -2

Ca:Ÿ-1_v-4_z17 D etd _yt4 2-7

aL 2 _7 1 2 -2

Câu 8.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;-1;3),

B(-3;0;—4) Phuong trình chính tắc của đường thẳng d đi qua hai điểm A và B là

Ñ an tieci a} B.d:2t3 cS Ya -xy14

411.7 1 =f 3

Trang 22

Câu 9.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;-3),

B(3; ~1;1) Phương trình chính tắc của đường thẳng đ đi qua hai điểm A,B là

B.Q:Ÿ5 3_y+1_z-1 1

a 2=

,z‡t1_+2_ : D.a:r1 =] ng 2 -t3

2 Vie oe

Câu 10 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;1) va mat phang (P) có phương trình 1a 2x-y+2z+7=0 Phuong trình chính tắc của đường,

thẳng đ đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) là

x-2_y-1 1_z-1 ein: x+2 _111_ z+1 S298 Ty 27: A.d:—— C.d:—— x=2+2t Đường thẳng đ:4=-3!_ = Chọn đáp án B z=-l+t

Câu 2 Đường thẳng đ qua A(1;2;3) và có 1 vectơ chỉ phương là ii.) = (4;3;-7), có x=1+4t

phương trình: 4/=2+3t=> Chọn đáp án A

z=3-7I

Trang 23

Cầu 3 Chọn 1 vectơ chỉ phương của đ là ii, =.ñ =(2;-3;1)

Dus tường thắng, LS an $ c2 0U 2E | ae Chon dap an A vane

Câu 4 Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d 1a ii, = -sñ = (1;-2; -3)

x=1+t

Duong thang d:}y=-2t = Chon dap an

z=-1-3t

Câu 5 Đường thẳng đ qua A(1;2;-1) và có 1 vectơ chỉ phương là Tip) = (12:-3),

có phương trình: TH B(2;4;~4) ed= d có dạng:

eet Viet 1Ã n0

1 2 3

Câu 6 Ta có: AB =(1-2; -2) là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng AB

= loại ngay đáp án A, C

Thay tọa độ điểm A vào phương trình đáp án D thấy thỏa mãn = Chọn đáp án D

Câu 7 Đường thẳng đ qua A(1;4;-7) và có 1 vectơ chỉ phương là Hip) = (1;2;-2) z có phương trình: “A = St = ra => Chon dap an B

Câu 8 Đường thẳng AB qua A(1;-1;3) và có 1 vectơ chỉ phương là

i, = -AB =(4;-1,7), có phương trình: = = we = = Chon đáp án C

Câu 9 Đường thẳng AB qua A( 2;-3) và có 1 vectơ chỉ phương là AB =(2;-3; 4), 1/02/1212

có phương trình: eo ae Chọn đáp án D

Câu 10 Đường thẳng đ qua A(2;1;1) và có 1 vectơ chỉ phương là 7i, =(2;~1;2), có phương trình: S = = = oe => Chon đáp an A

}| CHINH PHUCKYTHITHPT Trdnghiém Mén Tốn HÌNHHỌCKHƠNG GIAN CỔĐIỂN VÀ PHƯƠNG PHÁP T0A ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Trang 24

ANG 2: VIET ONG TRINH DUONG DUA VAO TiNH CHAT

CỦA TÍCH CĨ HƯỚNG

1 Phương pháp

dla

+ Nếu làn thì đ có một vectơ chỉ phương là # =[ ñ¡,ii, |, oới ñ,„ii, - lần lượt

+

la vecto chi phương của A, oàA,

dla

+ Nếu {i 11 (P) thi d có một vectơ chỉ phương là ï=[ñ,„ñ, |, v6i il, la mot vecto chi phirong ctia A vat fi, la mét vecto php tuyén cita mặt phẳng (P)

| sun |AaeA 3 _ Si (cà Si At

+ Néu ac(P) thì đ có một vectơ chỉ phương là d= [Bertie |y v6i ii, la mot

vecto chi phirong ctia A va fi, là một 0ectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)

2 Vidu minh hoa

Lời giải:

Ta có: trơi =|B,đ, |=(7;2;4)

Đường thẳng đ đi qua A(1;-1;1) và nhận vectơ [ AB,ñ, |=(7;2;4)lam vecto chi

phương

Phương trình chính tắc của đường thẳng ¿ là: sitet

=> Chon dap an A

Phần 5: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Trang 25

nhasachminhthang.vn

Vi dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxz, cho đường thang, x _y-1_2z+2 ates ee phẳng (P):2x+y+2z-5=0 và điểm A(1;1;-2) Phương

trình chính tắc của đường thẳng A đi qua 4, song song với mặt phẳng (P) và

vng góc với ae thang d 1a

en ak 1 -z12, B.A:ZC1_#-1_Z+2

nại 1 2 il 2 2

GA tet vel ete DA:Zr1_#-1_z12

1 eo a2 2 De Lời giải:

2;2)

=(1

Ta có: b ip (2: L 2) =| tip) |=(22;-3)

Duong thang A qua A( a; -2) va nhan ae =( -8) làm vectơ chỉ phương,

Phương trình chính tắc đường thẳng ¿ là: iS = ut 2 cả, = Chọn đáp án D

Ví dụ 3:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

A: mee valk và mặt phẳng (P):z+2y~3z+4=0 Phương trình chính tắc đường thẳng đ nằm trong (P) sao cho đ cắt và vng góc với đường thẳng A là

ig hang Bộ cac, i 1 1 i Ca 299 01 2 1 Dị; vale 1 2 ` 1 2 ar Tời giải:

Gọi I là giao điểm giữa đường thang A va mặt phẳng (P)

Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ phương trình:

XP Ya? oz x=-3

1 I5 i11)

x+2y-3z+4=0 z=1

Vì đường thẳng đ nằm trong (P) cắt A nên I ed

=[ñg,ñ, |=(b-2;~1)

Trang 26

Đường thẳng đ qua Ï và nhận [ñ, aa | =(1;-2;~1) làm vectơ chỉ phương

x+3 ek ie z-1

Phương trình đường thẳng đ là: T—” 2 eae Chọn đáp án D

Câu 1.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz„ cho hai đường, thang d,,d, Tan

x=-2+t

lượt có phương trình là: z- m—:ễ va jy=-2-# (t<!R) Phương trình chính F z=3+2t

tắc của đường thẳng Ađi qua M(-8;4;-9) đồng thời vng góc với hai đường thang d,,d, 1a

x+8 _ cứ! 7+0

Rubee ni

xi8 _ Fah so Tie

Câu 2.Trong không gian với hệ truc toa dd Oxyz, cho mat phang A.A: ———

Che

,x1 1 _113_ z-3 ar 9, 1

của đường thang A di qua A(0;-1;4) vuông góc với đ và nằm trong mặt phẳng (P) (R): 2x+y~2z+9=0 và đường thẳng Phương trình tham số

là x=5t x=2t A.A:\y=-1+t B.A:4/=f z=4+5t z=4-2t [x=t [x=-t C.A:y=-l D.A:4/=-1+2t z=4+t z=4+t

ˆ_ Câu 3.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz„ cho đường thẳng đ và mặt phẳng

(P) có phương trình lần lượt là: đ: ——= (P):2x+y+z+1=0 Phuong

trinh tham sé ctia dudng thang d’ qua A(-3; 4;1) nam trén (P) va vng góc với đường thang d là

x=-3+2t x=-3+2t

A.đ:4=4-t - B.đ:4/=4+t

z=1+t z=1+t

Trang 27

1] d nam trong (Q) đồng thời cắt và vng góc với đường thẳng 4B là

x=-3+2t x=-3+t

| C.đ:4y=4+t D.đ:4u=4

| z=1-4t z=1-2t

Cau4.Trong không gian véi hé truc toa dd Oxyz, cho mat phang

(P):2x+y-2z+1=0 va diém A(1;2;-3) và đường thẳng đ;Z =ÿ#-~Z11, | Ji 0 c2

Phương trình chính tắc của đường thẳng A qua A và vuông góc với đ song song

với mặt phẳng (P) là f

a ee ay BỊA C1 22, 20g |

2z 1 -2 1 2 =

5 Ail Suze DỊA UV So,

st 2 2 3 2 2 3

Câu 5 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz„ cho hai điểm A(1;0;1), B(2;1;2)

| và mặt phẳng (Q) có phương trình là x+ 2+ 3z~16 =0 Phương trình đường thẳng

iy x-1_yt+2_z-1 Basse eee)

1 -2 ñ= ID bị Ca:š72-9-1_z-2 Di S9 z2 1) = a 1 2 1 Đáp án A ic D D D is

HUONG DAN GIAI CAU ®

Câu 1 Đường thẳng d, có 1 vectơ chỉ phương là ứ, =(2;~1;3)

Đường thẳng đ, có 1 vectơ chỉ phương là ii, =(b-L 2) Đường thẳng A qua M (-8;4;-9) và có 1 vectơ chỉ phương là

ñ=[ñi,ñ, ]=(I~1;~1), có phương tình: Š TẾ -¥—* 2°92 _, Chon dap dn A

Câu 2 Đường thẳng đ có 1 vectơ chỉ phương là ï„ =(—1;2;1)

Mặt phẳng (P) có 1 vectơ pháp tuyến là Hip) =(2;1;-2)

Trang 28

hminhthang›vn

Đường thẳng A qua A(0;-1; 4) và có 1 vectơ chỉ phương là

i i x=t

= Har fi) | = =5(-5) 0;-5) = (1;0;1), có phương trình: $/=-1_

z=4+t

=

Câu 3 Đường thẳng đ có 1 vectơ chỉ phương là #1, =(2;-1;1)

Mặt phẳng (P) có 1 vectơ pháp tuyến là Tip) = (271/1):

Đường thẳng 4“ qua A(-3;4;1) và có 1 vectơ chỉ phương là

x=-3+t

=-5 [tip | “ ~2(-2/0;4) =(1;0;-2), có phương trình: {y=4

z=1-2t

=

=> Chon dap an D

Câu 4 Đường thẳng đ có 1 vectơ chỉ phương là 7„ =(1;2;~2)

Mặt phẳng (P) có 1 vectơ pháp tuyến là ip) = (2;1;-2)

Duong thang A qua A(1;2;-3) và có 1 vectơ chỉ phương là

gol _y-2_243

te [iste | =(-2;-2;-3), c6 phuong trinh: mm = Chọn đáp án D

x=1+t

Câu 5 Duong thang AB:}y=f = ABa¬(Q)=M(3;2;3)

z=1+t

Mặt phẳng (Q) có 1 vectơ pháp tuyến là 7) =(1;2;3)

Đường thẳng đ qua M(3;2;3) và có 1 vectơ chỉ phương là ï¡ = [ 4B, fig, | =(1;-2;1),

có phương trình: = = a = = = Chọn đáp án D

Phần 5: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN |

Trang 29

nhasachminhthang.vn

DẠNG 3: VIẾT PHUONG TRINH DUONG THANG DUA VAO TINH CHAT

CỦA TÍCH VƠ HƯỚNG

1 Phương pháp

+ Bài tốn 1; Viết phương trình đường thẳng A đi qua A, cắt ồ ong góc uới đường

thẳng d

Cách 1: d

* Viết phương trình tham số của đường thẳng đ (nếu chưa có)

{B}=And

* Tim diém B sao cho: )—— 2 ABäi, =0

* Viết phương trình đường thẳng A

đi qua hai điểm A,B

Cách 2:

*_ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vng góc với d

* Tìm {B}=(P)ad

*_ Viết phương trình đường thẳng A đi qua hai điểm A,B

+ Bài toán 2; Viết phương trình đường thẳng A đi qua A, ong góc uới đường thẳng

4, oà cắt đường thẳng d,

Cách 1:

* Viết phương trình tham số của đường thẳng đ, (nếu chưa có)

Jf8)=Ans *_ Tìm điểm B sao cho: $_—

AB, =0 -

+ Viết phương trình đường thẳng A

đi qua hai điểm A,B

Cách 2:

*_ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vng góc với d,

* Tìm {B}=(P)n4,

+ Viết phương trình đường thẳng A đi qua hai diém A,B

+ Bai tốn 3: Viết phương trình đường thang A di qua A, cat dwong thing d va song

song v6i mat phang (P)

Nó

Trang 30

nhasachminhthang

{B}=And

* Tim diém B sao cho: }—— 5

AB.n,„ =0 (P)

* Viét phwong trinh dudng thang A

di qua hai diém A,B

2 Vidu minh hoa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa dé Oxyz, cho dudng thang dt canh ne va diém A(1;-1;-3) Phương trình chính tắc của đường, thẳng A đi qua A, vng góc và cắt đường thẳng đ là

A.A:Z-L_Vt1L ats : B.A:——=—=—— 2 1 =o) i 1 Ge even ee D7 z S1 1 AL 4 Ái lời giải: x=1+2t

Gọi H là giao điểm giữa đường thẳng đ:4=f và đường thẳng A

z=-2-3t

Hed= H(1+2t;t;~2~3t)= AH =(2t;t+1;~8t+1)

Vì đường thẳng đ vng góc với đường thang A nén AH.ii, = 0

<=> 2t.2+(t+1)+(-3t+1).(-3) =0

Đường thẳng A đi qua A( -1;-3) và nhận 7 aH =(1;4; 2) lam vecto chi phuong

2

Phương trình chính tắc của đường thẳng A là: ot = a ee

= Chon dép dn D

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A( 2;-3) va hai

x=2

đường thắng diệt = HỆ sễ, d,:4y=2+t (E<lR) Phương trình chính tắc của

z=5t

Trang 31

nhasachminhthang.vn

đường thẳng A đi qua A, vng góc với d, và cắt đ, là

S2) z2

A.A:——=——= CA x-1_y+1_2+2 1 lái =2 Ũ D.A x-1_y-2_ 243 B.A:——=—= 1 1 -_

1 2 -3 1 ES Hie

Tời giải:

Gọi B là giao điểm giữa A với d,

=Bed,> B(2;2+t;5t) => AB=(1;t;5t+3)

Do A Ld, => ABu,, =0.<>=—1=> AB=(1;-1;-2)

Đường thẳng A đi qua A và nhận AB =(1;~1;-2) làm vectơ chỉ phương

Phương trình chính tắc của đường thẳng Alà: *= a vẻ =f 3

=>Chọn đáp án D

Vi dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

diễ =1 Ễ= và mặt phẳng (P):2x-y-2z+1=0 Phương trình chính tắc

đường thẳng A đi qua A(3;-1; 2); cắt đường thẳng đ và song song với mặt phẳng

(P) là

Nees Senet 1 BA TU 22,

a 1 1

ca Bed Yel 22, D.A:Z=3-V+1_z=2

m 6 -11 2 a 5

Lời giải

[x=1+2t

Gọi B là giao điểm giữa A với ni

z=3t

= Bed= B(1+2t;2~t;3t)=» AB =(~2+2t;3—t;~2+3t)

Vì A song song với mặt phẳng (P) nên: AB L Hip) > ABii p“Ú

Đường thang A đi qua A(3;~1;2) và nhận AB= (-8;6;~11) làm vectơ chỉ phương

Phương trình chính tắc của đường thẳng Alà:Š=3~ +1 _Z=2, -8 6 =1

> Chọn đáp án C

Trang 32

nhasachminhth

Câu 1 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz„ cho điểm M (2 1,0) và đường

thẳng a = we = = Duong thang d di qua diém M, cắt và vuông góc với A

có vectơ chỉ phương ¡, là vectơ nào dưới đây?

A.ñ,=(2;-1;-1) B.ii, =(2;1;-1) C.ii, = (1;-4;2) D.đ, =(1;-4;-2)

Câu2.Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

SỐ D5 ở

"xa mặt phẳng (a):x+y-z+3=0 và điểm A(1;2;-1) Phương trình chính tắc của đường thẳng A qua 4 cắt đ và song song với mặt phẳng (2) có

phương trình là

A.A:Z71_9-2_Z1+1 B.A:Z-L_#-=2 z+1

=1 == A 1 = =1

CÁC C02 ets DA ea) Bye el

1 2 1 iu 5 1

Câu 3.Trong không gian với hệ trục tọa độ (Ox/z, cho mặt phẳng

e2 ,E+1, #1

—2 2

tắc của đường thang A di qua A(-1;0;1)song song với mặt phẳng (P) và cắt đường

(P):3x—2y—3z—7=0 và đường thang d: Phương trình chính

thẳng đlà

A.A:Z11 z-1 pacity,

=15) 3° =17 15 3 =17

iyeugeiealy 15 3ˆ 17 ; ĐA =1D 3ˆ i2

Câu 4 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxz„, cho hai đường, thẳng lần lượt có

x=t

phương trình là a5 2-1 6-£t va d,:4y=-t (teR) Dudng thing Adi

» z=2

qua điểm A (0; 1;1) „ vng góc với đ, và cắt đ, có phương trình chính tắc là

Phần 5: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Trang 33

Câu 5.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

x=1-t

4, "—= dy :}y=1+2t (teR) va diém A(1;2;3) Duong thang A di

5 z=-l+t

qua 4, vng góc với đ, và cắt đ, có phương trình là

ING 1 Ẩ#-2_z-3 B.LA:ZT1~Ắ-2_Z-3

aL xã = 1 3 5

GA:XCL_#=2 z-3, DA S5“

1 3 ¬ it -3 ¬

Câu 6 Trong không gian với hệ toạ độ Ox/z„ cho đường thẳng đ: a = ad = a

và mặt phẳng (P):x-y-z=0 Duong thang A qua A(-1;-3;8) song song voi mat

phẳng (P) và cắt đường thẳng đ Một vectơ chỉ phương của A là

A.ii, =(1;-1;-1) B fi, =(2;-5;-3) ii, =(2;1;3) D ii, =(4;10;-6)

Câu 7 Trong không ale với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và đường

x

Z`-~#- xỉ Phương trình tham số của đường thẳng diquaA, vng

Đóc với ae thang d và cắt trục Ox là

thẳng d:

x=1+2t x=1+2t x=1+2t x=1-2t

A.A:yy=2+t B.A: y=2-2t C.A:4=2+2t D.A:4=2+2t

z=3-?2t z=3-3t z=3+3t z=3-3t

Câu 8 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;1;0), B(1;2;2),

C(1;1;0) và mặt phẳng (P):x+w+z~20 =0 Tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB

sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) là

A.D(,22) — 5 dị: 3, 1) c.D|Š: s1} D.D(2;1;0)

Cau 9 Trong khéng gian voi hé truc toa dé Oxyz, cho diém A( 2;-1) va mat phang

(P):2x-y-z+3=0 Phương trình đường thẳng d di qua diém A, cắt trục Ox và

song song với mặt phẳng (P) là

Trang 34

Câu 10.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

Ni ` Ỷ cl | W=3 Z #0 U_zt0

P):x-2y+2z-1=0 đ thắng 4, poeta Tee ey :——=“=—

(P):x-20+2z và các đường, ig 4, 5 = 5 ee aga ee

Gọi điểm M thuộc d,, N thudc d, sao cho MN song song véi (P) va khoảng cách

từ đường thẳng MN đến mặt phẳng (P) một khoảng bằng 2 Tọa độ điểm M và

điểm N nào dưới đây thỏa mãn?

A.M(3;0;2) và N(5;0;~5) 5 M(I;3;0) và N(5;0;~5) C M(-1;-4;0) va N(1;3;0) D M(3;0;2)va N(1;3;0)

ĐÁP ÁN CAU HOI TRAC NGHIEM

HUONG DẪN GIẢI CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Ỉ Câu 1 Gọi H là giao điểm giữa đường thẳng đ và đường thẳng A:4/=~1+f

z=-t

+ HeA=>H(1+2t;~1+t;-t)= MH =(2t~1;t~2;~Ê)

+ Vì đường thẳng đ vng góc với đường thẳng A nên MH Lï,

=— 2

— (1.4 2) es ; iboats

=> Mii=(3;-£,-2)-24, =3MH =(1;~4;~2) là một vectơ chỉ phương của đường,

thang d=> Chợn đáp án D

| x=3+t

Câu 2 Gọi B là giao điểm giữa đường thẳng A và dung thang d:}y =3+3t

° z=2t

+ Bed=>B(3+#;3+3t;2t)=> AB=(#+2;3¢+1;2t+1)

Phần 5: PHUONG PHAP TOA BO TRONG KHONG GIAN

Trang 35

+ Vì đường thẳng A song song với mặt phẳng (z) nén AB L Na) = (1;1;-1)

=> AB= (1; -2;-1) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A

Vậy phương trình đường thẳng A là: at = re - zt => Chọn đáp án B

Bình luận: Với bài tốn nàu, sau khi tìm ra được mọi 0eclơ chỉ phương của A là

AB =(1;-2;-1), ta cé thé’so sinh v6i 4 đáp an va chon luén dugc dap dn B ma khong nhat thiết phải thực hiện tiếp viéc viét phuong trinh cua A

Câu 3 Ngoài cách giải như câu 2, ta có thể giải nhanh bài toán này như sau:

+_ Dựa vào tọa độ điểm A(-10;1) cA= loại B, D

+ Dé đường thẳng A song song với mặt phẳng (P) thi a, 1 ip) =(3;-2;-3)

Với đáp án A, ta c6 ii, =(-15;3;-17) = ii, Fi») =-15.3+3.(-2)—17.(-3) =0

>i, Li, => Chon dap an A

Với đáp án B, ta có ï, =(15;3;17)=> đ„đi,„ = 15.3 + 3.(~2)+17.(~3) = ~12 z0

=H, 2e Tip) = loại C

x=t

Câu 4 Gọi B là giao điểm giữa đường thẳng A và đường thang d, :} y=—t

z=2

+ Bed, => B(t;-t;2)=> AB=(t;-t-1;1)

+ Viduong thang A song song với đường, thẳng d, nén AB Li, = (-2; 2; 1)

=AB= (-2-24) > i= 4AB = (-1; -3;4) là một vectơ chỉ phương của đường

lê A ` n Ặ 5 % y=1_ 2-1 a

thang A Vay phương trình đường thắng A là: E1) Sa = Chọn đáp án C Câu 5 Ngoài cách giải như câu 4, ta có thể giải nhanh bài toán này như sau:

Để đường thẳng A song song với đường thẳng đ, thì 7„ Li, =(2;-1; 1) Ta sẽ thử lần lượt với 4 đáp án:

+ Với đáp án A, ta có: ï, =(~1;~3;~5)

Trang 36

achminhthang.Vn' =ñ,„ =~1⁄2~3.(~1)—5.1=-4#0=>ñ, # ñ„ = loại A + Với đáp án B, ta có: ti, =(1;3;5) =1, =1⁄2+3(-1)+5.1=4#0=>đ, # ïi, => loại B + Với đáp ánC, ta có: ti, =(d; 3) -5)

= ii, ii, =1.2+3.(-1)-5.1=-6 4011, Lil, = loaiC | + Với đáp án D, ta có: đ, =(1;-3;~5)

| | > ii, ii, =1⁄2~3.(~1)—5.1=0=>ñ, Lữ, => Chọn đáp án D

|

Câu 6 Ngoài cách giải như câu 2, ta có thể giải nhanh bài toán này như sau:

hi ‘| Để đường thẳng đ song song với mặt phẳng (P) thì đ, 1 đ,) =(1-1; ¬1) | | Ta sé thir Min lwot voi 4 dap dn:

+ V6i dap an A, ta cé: ii, =(1;-1;-1) |

ie = th, Fp) =1.1-1.(-1)-1.(-1)=340>i, X ñ => loại A ` ed

i + V6i dap án B, ta có: ti = (2 ee, :

h => i, Fp =2.1-5.(-1)-3.(-1)=104 0 => ii, # ñụy = loại B + Với đáp ánC, ta có: ii, lon

= ii, Fp) =2.141.(-1)+3.(-1)=-2 40H, L ñụy) => loại C

+ Với đáp án D, ta có: ii =(4;10;-6)

= il, Jip =4.14+10.(-1)-6.(-1)=0=> ii, Lj, => Chọn đáp án D Câu 7 Gọi B là giao điểm giữa đường thẳng A và truc Ox

= Be Ox= B(t;0;0)=» AB=(t~1;~2;~3) Vì A.Lđ nên AB Lữ, =(2;1;-2)

= AB =(-2;-2;-3) = ii, =—AB=(2;2;3) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng

: x=142t

A Vay phương trình đường thẳng A là: A:4=2+2t= Chọn đáp án C

z=3+3t

kề

Trang 37

'nhasachminhthang.vn

x=2-t

Câu 8 Phương trình đường thẳng AB là: ‡/=1+t

z=2t Vì De AB= D(2-t,1+t;2t)=»›CD=(1~t;t;2t) Vì CD/J (P) nên CD 1ñ) =(1;1;1) = CD.i,, =0 ©(1~)1+E1+211=0@t==2 2 Vậy (3571) = Chọn đáp án C

Câu 9 Gọi M là giao điểm giữa đường thẳng đ và trục Ox

=MeOx>M(t;0;0)= AM =(t-1;~2;1)

Vi d// (P) nén ii, Li, =(2;~1;~1) es đ„fđj„ =0

= Ani -(-$;-21) =a, 204 = (14-2) là một vectơ chỉ phương của đường

BAY y=? 21 Chon dap an

1 4 —2

Binh luận: Ta có thể giải nhanh bài toán trên bằng cách sau: thẳng đ Vậy phương trình đường thẳng đ là:

Bốn đáp án đều giống nhau 0ề tọa độ vecto chỉ phương nên ta chỉ cần kiểm tra vé vin dé đường thẳng d đi qua điểm A

Thử trực tiếp tọa độ điểm A vaio bốn đáp án ta được phương trình ở đáp án B thỏa mãn >

Chọn đáp án B [x=1+2t Cau 10 Vi Med, | ie Ế z=2t x=5+6k Vì Ned:4y=4k =N(5+6k;4k;-5—5k) z=-5-5k Ta cé: MN =(6k-2t+4;4k+3t-3;-5k-2t—5) + MN // (P)= MN Li, =(1;-2;2) = MN.A,, =0 ) <= (6k-2t+4).1+(4k-+3t-3).(-2)+(—5k-2t-5).2=0 > -12k-12t=0 <> 6k +6t=0 <> k=-t (1)

Trang 38

+ MN //(P)=>d(MN,(P))=4(N,(P)) TƯ ert 1+ (-2)" +2 (5+ 6k)-2.4k+2.(-5-5k)—I| I? 4-(-2) +2 2 = = ©|2k+1|=1© rl ° eet 2k+1=-1 | k=-1 =2<|12k-6|=6 Với k=0=>t=0=> M(1;3;0);N(5;0;~5)=> Chọn đáp án B

Trang 39

nhasachminhthang.vn

1 Định nghĩa

Mặt cầu là tập hợp những điểm M cách một điểm I cố định một khoảng không

đổi

+ Điểm I cố định được gọi là tâm mặt cầu

+ Khoảng cách không đổi R được gọi là bán kính của mặt cầu Kí hiệu: S(1,R) Khi đó: S(1,R)={M|IM = RÌ

2 Phương trình mặt cầu

Cho mặt cầu (5) có tâm I(ø,b,c) và bán kính R

Khi đó (S) có phương trình chính tắc là: (x~a)` +(y~b}`+(z—e}` = R?|

Phương tình tổng quát của mặt cầu là:

ï x? +y? +2? ~2ax—2by—2cz+d=0| (DK :a°+b* +c? —d>0)

4 Khi đó, mặt cầu (S) có tâm I(a,b,c) va ban kinh R= a? +b? +c? -d 3 Vi tri trong déi gitra mét diém voi mét mat cau

Cho mat cau (S ) có tâm I, bán kính R và điểm A

4 Vị trí tương đối giữa đường thẳng với mặt cầu

Cho mặt cầu S(I;R) và đường thẳng A Gọi H là hình chiếu của I én A

d(LA)>R d(LA)=R d(LA)<R

A tiếp xúc với mặt cầu Fe ee lo

F An ke an „| A cắt mặt cầu tại hai điểm

A không cắt mặt cầu A: Tiếp tuyến của (s ) va Phân Diệp

H: tiếp điểm

A

# A

0 1H

5s

Trang 40

5 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Lưu ý: Trong trường hợp A cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được

d(LA)=1H

tính như sau: oe

R=VIH? + AH? =,|IH? (2) Cho mat cau $(I;R) va mat phang (P)

Goi H là hình chiếu vng góc của ï lên (P) =đ=1H =4(1,(P))

d>R aor d<R Mặt phẳng tiếp xúc mat : : bi D 4 ae e seas Mặt phẳng cắt mặt cầu tế si z cau 7

Mat cau va mat phang "NT theo thiết diện là đường

(f) mắt phẳng BẾP c› | vay võ tha P- Và Hán KĂNN

diện Sông cu va Độ [ Re — TH?

H: tiép điểm khơng có điểm chung

Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) di qua tam I thì mặt phẳng, (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP DẠNG 1: XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU 1 Phương pháp

+ Nếu phương trình mặt cầu (S) cho dưới dạng chính tắc:

(x-a)" +(y~b}` +(z—e} =R?

thì mặt cầu (S) có tâm I(a,b,c) và bán kính R

+ Nếu phương trình mặt cầu (S) cho dưới dạng fổng quái:

x+y? +2? —2ax—2by—2cz+d=0 (DK :a +0 +c°=d>0)

thì:

* Tọa độ tâm I(a,b,c) : Tinh a, b,c bang cách lấy hệ số của +, 1/, z chia cho =2

Định dạng
Số trang	107
Dung lượng	21,03 MB