Bộ chuyên đề đột phá lấy điểm 8,9,10 môn Toán ôn thi THPTQG từ lớp 10, 11, 12 (Có lời giải) Phần 2 Hình học

Bộ chuyên đề đột phá lấy điểm 8,9,10 môn Toán ôn thi THPTQG từ lớp 10, 11, 12 (Có lời giải) Phần 2 Hình học Bộ chuyên đề đột phá lấy điểm 8,9,10 môn Toán ôn thi THPTQG từ lớp 10, 11, 12 (Có lời giải) Phần 2 Hình học Bộ chuyên đề đột phá lấy điểm 8,9,10 môn Toán ôn thi THPTQG từ lớp 10, 11, 12 (Có lời giải) Phần 2 Hình học Bộ chuyên đề đột phá lấy điểm 8,9,10 môn Toán ôn thi THPTQG từ lớp 10, 11, 12 (Có lời giải) Phần 2 Hình học Bộ chuyên đề đột phá lấy điểm 8,9,10 môn Toán ôn thi THPTQG từ lớp 10, 11, 12 (Có lời giải) Phần 2 Hình học

CHƯƠNG 1 VECTƠ, TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

CHUYÊN ĐỀ 1: VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN CỦA VECTƠ PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Định nghĩa véc tơ

Vectơ là đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào là điểm

đầu, điểm nào là điểm cuối

Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B ta kí hiệu: AB

Vectơ còn được kí hiệu là: a, b, x, y,    

Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối Kí hiệu là 0

2 Hai vec tơ cùng phương, cùng hướng, hai vec tơ bằng nhau.

Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ gọi là giá của vectơ

Độ dài đoạn thẳng AB gọi là độ dài vectơ AB, kí hiệu Ta có

AB

AB AB Hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau gọi là vectơ cùng phương

Hai vectơ cùng hướng Hai vectơ ngược hướng Hai vectơ bằng nhau

Hai vectơ cùng phương nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài

Chú ý: Vectơ – không cùng hướng với mọi vectơ

3 Các quy tắc về vec tơ

Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kỳ A, B, C ta có AB AC CB   

Quy tắc hình bình hành: Cho ABCD là hình bình hành khi đó ta có: AC AB AD   

Quy tắc trung điểm: Cho I là trung điểm AB, M là điểm bất kì: 2MI MA MB   

Quy tắc trọng tâm: G là trọng tâm tam giác ABC: GA GB GC 0     

(M là điểm bất kỳ)3MG MA MB MC     

Quy tắc tam giác đối với hiệu hai vectơ: với ba điểm bất kì A, B, C ta có: AB CB CA   

Vec tơ đối của vectơ kí hiệu là a Đặc biệt

Ví dụ 1: Cho 7 điểm không thẳng hàng, có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm

đầu và điểm cuối là các điểm trên?

Hướng dẫnLấy 2 điểm bất kì trong 7 điểm ta được một đoạn thẳng, do đó có C27 21 đoạn thẳng

a

B

Mỗi một đoạn thẳng tạo thành 2 vectơ, ví dụ đoạn thẳng AB sẽ tạo ra hai vectơ AB và

BA



Vậy số vectơ được tạo ra là 2C27 42

→ Chọn B

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA Khẳng định

nào sau đây là sai?

Câu 1 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Số các vectơ khác vectơ không, cùng phương với có điểm đầu

và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là:

Câu 2 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC Hỏi cặp vectơ nào

sau đây cùng hướng?

Câu 3 Hai vectơ gọi là bằng nhau khi và chỉ khi:

A Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau.

B Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành.

C Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều.

D Chúng cùng hướng và và độ dài của chúng bằng nhau.

A M là trung điểm của BC B M là trung điểm của AB.

C M là trung điểm của AC D ABMC là hình bình hành.

Hướng dẫn

MA MB MC 0      MA MB MC    BA MC 

Vì M là trung điểm của BC nên theo quy tắc trung tuyến ta có:

IB IC 2IM   

Mặt khác I là trung điểm AM nên IA IM 0   

Suy ra IB IC 2IA 2IM 2IA 2 IM IA        0

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC 300 và BC a 5 Tính độ dài của vectơ AB AC 

Hướng dẫnGọi D là điểm sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành

Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có AB AC AD   

Vì tam giác ABC vuông ở A nên tứ giác ABDC là hình chữ nhật suy ra

Quỹ tích vectơ: Để tìm tập hợp điểm M thỏa mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đó đưa

về các tập hợp điểm cơ bản đã biết

Nếu phương trình có dạng MA  MB , trong đó A, B cố định thì tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Nếu phương trình có dạng MA a  , trong đó A cố định, a là độ dài đã biết thì tập hợp điểm M là đường tròn có tâm A, bán kính a

Tập hợp những điểm cách đều 2 đường thẳng cắt nhau là đường phân giác của góc được tạo bởi hai đường thẳng đó.

Vì M là trung điểm của BC nên AB AC 2AM    (1)

Mặt khác I là trung điểm của AM nên 2AI AM  (2)

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD trên cạnh AB, CD lấy lần lượt các điểm M, N sao cho 3AM 2AB  và

Tính vectơ theo hai vectơ

A Trung trực của đoạn thẳng AB B Trung trực của đoạn thẳng AD.

C Đường tròn tâm I, bán kính AC D Đường tròn tâm I, bán kính

2

AB BC2



Hướng dẫnGọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD Khi đó theo công thức đường trung tuyến ta có:

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

Ta có 2MA 3MB 4MC 2 MI IA 3 MI IB 4 MI IC              

Chọn điểm I sao cho 2IA 3IB 4IC 0     3 IA IB IC IC IA 0         

Mà G là trọng tâm của tam giác ABCIA IB IC 3IG     

Khi đó 9IG IC IA 0      9IG AI IC 0      9IG CA 

B Đường tròn đường kính AB.

C Đường trung trực của đoạn thẳng AB.

D Đường trung trực của đoạn thẳng IA.

Câu 2 (ID:8211) Cho ba điểm phân biệt a, b, c Khi đó:

A Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là AB và cùng phương

Câu 7 (ID:13288) Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác ABC

Khẳng định nào sau đây đúng?

A Đường trung trực của đoạn thẳng BC B Đường tròn đường kính BC.

C Đường tròn tâm G, bán kính a D Đường trung trực của đoạn thẳng AG

3

Câu 9 (ID:13472) Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB Tìm tập hợp các

điểm M thỏa mãn đẳng thức 2MA MB    MA 2MB 

A Đường trung trực của đoạn thẳng AB B Đường tròn đường kính AB.

C Đường trung trực của đoạn thẳng IA D Đường tròn tâm A, bán kính AB.

Đáp án:

1 – C 2 – A 3 – A 4 – D 5 – D 6 – B 7 – B 8 – A 9 – A

CHƯƠNG 1 VECTƠ, TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Trục và độ dài đại số trên trục

• Định nghĩa: Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị e

• Điểm O gọi là gốc tọa độ

• Hướng của vectơ đơn vị là hướng của trục

• Ta kí hiệu trục đó là O; e

• Cho M là một điểm tùy ý trên trục O; e Khi đó có duy nhất một số k sao cho OM ke  Ta gọi số k

đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho

• Cho hai điểm A và B trên trục O; e Khi đó có duy nhất số a sao cho AB ae  Ta gọi số a là độ dài đại số của vectơ AB đối với trục đã cho và kí hiệu

a AB

2 Hệ trục tọa độ

Hệ gồm hai trục tọa độ Ox, Oy vuông góc với nhau

Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là , O là gốc i

j

tọa độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung

3 Tọa độ của vectơ

u  x; y u x; y  u xi yj  

x gọi là hoành độ của vectơ u

y gọi là tung độ của vectơ u

u kv

• Tích vô hướng: u.v    u v cos u, v  

13

Hướng dẫn

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ u  1; 2 , v 1; 3  Góc giữa hai vectơ là:

Vectơ cùng phương với vectơ a b a kb 

n5

Câu 1 (ID: 9106) Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

A Hai vectơ a 6;3 và b 2;1 ngược hướng với nhau

B Hai vectơ a  5;0 và b   4;0 cùng hướng với nhau

C Vectơ c 7;3 là vectơ đối của vectơ d 7;3 

D Hai vectơ a 6;3 và b 2; 2 cùng phương với nhau

Câu 2 (ID:9204) Trong mặt phẳng Oxy, cho ba vectơ a 0;1 , b  1; 2 , c    3; 2 Tọa độ của vectơ u 3a 2b 4c     là:

A M 4;0  B M 5;3  C M 0; 4  D M 0; 4  

Hướng dẫnGọi tọa độ điểm M là M x ; y M M

Vì tam giác MAB cân tại M nên ta có:

MA MB   1 1 y   9 3 y 4y 16 0   y 4

Vậy M 0; 4 

Câu 3 (ID:9192) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A 1;0 , B 1;0    Tìm tọa độ điểm N để tam giác ABN vuông cân tại A.

12

A  0; 2 B  1;3 C  2;3 D  0;3

Hướng dẫnGiả sử A x; y 

Vì tam giác CAB vuông cân tại C

IA a 1 b 3 , IB a 4 b 1 , IC a 2 b 3

Câu 2 (ID:8702) Tích vô hướng của hai vectơ a, b a, b 0     là số dương khi:

A và cùng chiều.a b B và cùng phương C D

Câu 9 (ID:9235) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho ba điểm A 1; 2 , B 0; 4 , C 3; 2       Tìm tọa độ điểm

D sao cho ABCD là hình bình hành

2

a 32



Câu 11 (ID:8937) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A 2; 1 , B 3; 4 , M m;0       Giá trị của

m để MA2MB2 đạt giá trị

CHƯƠNG 1 : VECTƠ, TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTD VÀ ÚNG DỤNG

CHUYÊN ĐỀ 3: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

sin A sinBsin C

3 Độ dài trung tuyến

Cho tam giác ABC với m , m , ma b c lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta có :

4 Diện tích tam giác

Với tam giác ABC ta kí hiệu h ,h ,ha b c là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB;

R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; p a b c là nửa chu vi tam giác; S

A 5 B 6 C 3 D 4.

2Hướng dẫn

Áp dụng công thức hàm số sin ra có:

1sin A 2sin A 2.sin150 2.sin30 2.

vỡ Dựa vào các tài liệu đã có, người ta đo được kích thước của tam giác ABC trên đĩa là AB = 4,3cm,

BC = 3,7cm, AC = 7,5cm Các nhà khảo cổ muốn tạo lại 1 chiếc đĩa có kích thước như vậy Hãy giúp nhà khảo cổ tìm bán kính chiếc đĩa?

,7.3,4.2

7,35,73,4

.2cos

2 2 2 2

2 2

AB AC AB

BAC

Như vậy, sinBAC  1(cosBAC )2 0,323

47,11323,0

7,3sin

2

 

tìm được đáp án là 5,735(cm)

Để tìm các yếu tố còn lại ta sử dụng định lí côsin và định lí sin; định lí tổng ba góc trong một tam giác bằng 1800 và trong một tam giác đối diện với góc lớn hơn thì có cạnh lớn hơn và ngược lại đối diện với cạnh lớn hơn thì có góc lớn hơn

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có cạnh a2 3,b2,C 300 Tính cạnh c, góc A

A 4 và 1200 B 2 và 1100 C 2 và 1200 D 4 và 1100

Hướng dẫnTheo định lí côsin ta có: c2 a2b22ab cosC 12 4 2.2 3.2.cos30   0 4

Vậy c = 2 và tam giác ABC cân tại A có b = c = 2

,53

87sin.32sin

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có BC a,CA b,AB c   thỏa mãn hệ thức c b 1. Hãy tính số

.sin

.sin

0 0

3

34.94sinsin

sin.sin

AD DBA

AD

D

AB

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC thoả mãn sinC 2sinBcosA. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?

A ABC cân B ABC đều C ABC vuông D ABC tù.

Ví dụ 4: Tam giác ABC có a + b2 2c2 36r2 thì có tính chất gì?

A Tam giác cân tại B B Tam giác cân tại A.

C Tam giác đều D Tam giác vuông tại A.

4 a b c a c b

A Tam giác vuông tại B B Tam giác cân tại A.

C Tam giác đều D Tam giác vuông tại A.

Câu 2 (ID:14475) Cho tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn: b b 2 a2 c a2c 2 Tính số đo góc A

A 4 B C 1 D

abc

Câu 7 (ID:14433) Tam giác ABC có diện tích S Nếu tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh CA lên

3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì khi đó diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng:

A Tam giác ABC là tam giác nhọn B AB 1800.

C Tam giác ABC vuông tại A D A 600

Câu 11 (ID:14469) Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300 m đồng thời thẳng hàng với chân A của

tháp hải đăng ở trên bờ biển Từ P và Q, người ta nhìn chiều cao AB của tháp dưới góc 150và 750 Tính chiều cao AB của tháp hải đăng?

Câu 12 (ID:14468) Từ vị trí A người ta quan sát một cây cao (Hình vẽ) Biết

Tính 0

45,

20,

Câu 14 (ID:14460) Cho ABC có BC 5,AC 6,AB 3.   Trên các đoạn AB, BC lần lượt lấy các điểm

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Vectơ chỉ phương

Vectơ u 0  được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng nếu giá của nó song song hoặc

trùng với .

Nhận xét:

 Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương

 Nếu là vectơ chỉ phương của thì u cũng là vectơ chỉ phương của

 ku k 0  



2 Phương trình tham số của đường thẳng

Cho đường thẳng đi qua  M x ; y0 0 0 và u  a; b là vectơ chỉ phương Khi đó phương trình tham số của đường thẳng có dạng:

, .0

3 Phương trình chính tắc của đường thẳng

Cho đường thẳng đi qua  M x ; y0 0 0 và u  a; b (với , ) là vectơ chỉ phương Khi đó

a 0 b 0phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:

4 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ n 0  gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của nếu giá của nó vuông góc với

Nhận xét:

 Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến

 Nếu là vectơ pháp tuyến của thì n cũng là vectơ pháp tuyến của

5 Phương trình tổng quát của đường thẳng

Cho đường thẳng đi qua  M x ; y0 0 0 và có vectơ pháp tuyến n  a; b Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng: a x x  0 b y y 00

Chú ý:

Nếu đường thẳng : ax by c 0   thì n  a; b là vectơ pháp tuyến của



6 Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát

song song hoặc trùng với trục Ox

song song hoặc trùng với trục Oy

đi qua gốc tọa độ

Phương trình đoạn chắn: đi qua hai điểm  A a;0 ,B 0; b  :x y 1 với

a b

    ab 0 

7 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1: a x b y c1  1  1 0 và 2: a x b y c2  2  2 0

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng 1 và 2 ta xét số nghiệm của hệ phương trình

Nếu hệ (I) vô nghiệm, hai đường thẳng song song

Nếu hệ (I) vô số nghiệm, hai đường thẳng trùng nhau

Nếu hệ (I) có một nghiệm duy nhất, hai đường thẳng cắt nhau Nghiệm của hệ chính là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng

8 Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng 1 và 2 có vectơ pháp tuyến n1 a ; b1 1 và :

9 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ một điểm M x ; y 0 0 đến đường thẳng : ax by c 0   cho bởi công thức:

 Đường thẳng qua điểm M x ; y 0 0 có hệ số góc k có phương trình là: y k x x   0y0

 Viết phương trình đường trung trực của đoạn AB biết A x ; y 1 1,B x ; y 2 2

Đường trung trực của đoạn AB đi qua trung điểm x1 x2 y1 y2 của AB và nhận

 Viết phương trình đường phân giác trong, phân giác ngoài của tam giác

Cho 2 đường thẳng cắt nhau:  d : A x B y C1 1  1  10;  d : A x B y C2 2  2  2 0

Phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng đó là:

 Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương

 Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì vectơ chỉ phương của đường thẳng này là vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại

 Cho   : Ax By C 0   và A x ; y 1 1,B x ; y 2 2

A và B nằm về cùng một phía đối với khi  Ax1By1C Ax 2By2C0

A và B nằm khác phía đối với khi  Ax1By1C Ax 2By2C0

đi qua và có vectơ chỉ phương nên phương trình tham số có dạng:

Chọn C



Ví dụ 3: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua 2 điểm A 3; 1   và B 1;5 

A 3x y 6 0   B 3x y 8 0   C  x 3y 6 0  D 3x y 10 0  

Hướng dẫnĐường thẳng đi qua 2 điểm nhận vectơ AB 2;6  là vectơ chỉ phương suy ra đường thẳng có vectơ pháp tuyến là n    6; 2 2 3;1

Vậy phương trình đường thẳng là: 3x y 8 0  

Đường trung trực của AB là đường thẳng đi qua trung điểm của AB và vuông góc với AB

Ta có I 4;6  là trung điểm của AB

suy ra vectơ chỉ phương của đường thẳng là



Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB : x y 1 0   ; AC : 7x y 2 0   ;

Viết phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC

Suy ra B, C nằm khác phía so với và cùng phía so với d1 d2

Vậy phương trình đường phân giác trong góc A là:  d : 2x 6y 7 01   

Gọi α là góc giữa đường thẳng d và trục Ox

Do tam giác OAB vuông tại O nên ta có: tan BAO OB 1

Đường thẳng d có hệ số góc bằng 1 và đi qua nên có phương trình là:

Do M 1; 5   nằm trên d nên  1 2 5  2b 0 2b 11

Thay vào (2) ta được phương trình đường thẳng d là: x 2y 11 0  

Trường hợp 2: Nếu a 2b ta có (1) bx 2by 2b  2   0 x 2y 2b 0  (3)

Do M 1; 5   nằm trên đường thẳng d nên  1 2 5  2b 0 2b 9

Thay vào (3) ta được phương trình đường thẳng d là: x 2y 9 0  

Ví dụ 1: Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng: 1: x 3 4t và

A Song song nhau B Trùng nhau

C Vuông góc nhau D Cắt nhau nhưng không vuông góc

A Cắt nhau nhưng không vuông góc B Vuông góc nhau.

C Song song với nhau D Trùng nhau

Đáp án

Dạng 3: Góc và khoảng cách

1 Phương pháp giải

 Xác định hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng (d)

Cách 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với (d).

Tọa độ điểm H là giao điểm của đường thẳng (d) và đường thẳng 

1 – D 2 – B 3 – B 4 – C

 Xác định điểm M1 đối xứng với điểm M qua (d).

Bước 1: Xác định hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng (d)

Bước 2: Gọi M1 là điểm đối xứng với M qua d thì H là trung điểm của MM1, ta được: 1

 Viết phương trình hình chiếu đối xứng của đường thẳng

Cho đường thẳng và d1 d2 Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với qua d1 d2

Bước 1: Xác định giao điểm I của hai đường thẳng và d1 d2

Bước 2: Lấy điểm M d 1 Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua d2

Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua IM

Chú ý:

Nếu //d1 d2 ta làm như sau:

Bước 1: Lấy điểm M, Nd1 sau đó xác định hình chiếu của điểm M, N qua d2 là M,N

Bước 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M , N 

105Hướng dẫn

Khoảng cách từ điểm M 1; 1   đến đường thẳng : 3x 4y 17 0   là:



Ví dụ 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song : 6x 8y 101 0   và d : 3x 4y 0  là:

A 10,1 B 1,01 C 101 D 101

Hướng dẫn