DSpace at VNU: Trò chơi tháp Hà Nội và một số vấn đề toán học liên quan

Trò chơi tháp Hà Nội số vấn đề toán học liên quan Mao Thị Thu Hiền Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Luận văn ThS Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp; Mã số 60 46 40 Người hướng dẫn: PGS TS Tạ Duy Phượng Năm bảo vệ: 2013 Abstract Trò chơi (Bài tốn) Tháp Hà Nội nhà toán học Edouard Lucas phát minh phổ biến rộng rãi Paris năm 1883, toán tiếng giới, nghiên cứu phát triển nhiều nhà toán học khoa học máy tính, chuyên gia giáo dục y học, đưa vào nhiều sách trò chơi tốn học giáo trình tin học ví dụ điển hình thuật giải đệ qui lập trình Trò chơi Tháp Hà Nội khơng thú vị chỗ mang tên Hà Nội, thủ Việt Nam Trò chơi Tháp Hà Nội hấp dẫn nhà nghiên cứu Toán học Tin học liên quan đến nhiều vấn đề Toán-Tin học giải thuật đệ qui, hệ đếm, tam giác Pascal, thảm Sierpinski, lý thuyết đồ thị chu trình Hamilton, ơtơmát hữu hạn, độ phức tạp tính toán, Bài toán Tháp Hà Nội gợi ý cho nhiều nghiên cứu toán học khoa học máy tính… Keywords Tốn học; Tốn sơ cấp; Trò chơi toán học; Bài toán Tháp Hà Nội ▼Ð ✣❺❯ ❚rá ❝❤ì✐ ✭❇➔✐ t♦→♥✮ ❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐ ✤÷đ❝ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ❊❞♦✉❛r❞ ▲✉❝❛s ♣❤→t ♠✐♥❤ ✈➔ ♣❤ê ❜✐➳♥ rë♥❣ r➣✐ ð P❛r✐s ♥➠♠ ✶✽✽✸✱ ❧➔ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ♥ê✐ t✐➳♥❣ t❤➳ ợ ữủ ự t tr ❜ð✐ r➜t ♥❤✐➲✉ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ✈➔ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♠→② t➼♥❤✱ ❝→❝ ❝❤✉②➯♥ ❣✐❛ ❣✐→♦ ❞ư❝ ✈➔ ② ❤å❝✱ ✤÷đ❝ ✤÷❛ ✈➔♦ ♥❤✐➲✉ s→❝❤ ✈➲ trá ❝❤ì✐ t♦→♥ ❤å❝ ✈➔ ❝→❝ ❣✐→♦ tr➻♥❤ t✐♥ ❤å❝ ♥❤÷ ♠ët ✈➼ ❞ư ✤✐➸♥ ❤➻♥❤ ✈➲ t❤✉➟t ❣✐↔✐ ✤➺ q✉✐ ✈➔ ❧➟♣ tr➻♥❤ ❝➠♥ ❜↔♥✳ ❚rá ❝❤ì✐ ❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐ ❦❤ỉ♥❣ ❝❤➾ t❤ó ✈à ð ❝❤é ♥â ♠❛♥❣ t➯♥ ❍➔ ◆ë✐✱ t❤õ ✤æ ❝õ❛ ❱✐➺t ◆❛♠ ♠➔ ❝á♥ ❤➜♣ ❞➝♥ ❝→❝ ♥❤➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜ð✐ ♥â ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♥❤✐➲✉ ✈➜♥ ✤➲ ❝õ❛ ❚♦→♥✲❚✐♥ ❤å❝ ♥❤÷ ❣✐↔✐ t❤✉➟t ✤➺ q✉✐✱ ❤➺ ✤➳♠✱ t❛♠ ❣✐→❝ Ps t rs ỵ tt ỗ t tr ❍❛♠✐❧t♦♥✱ ætæ♠→t ❤ú✉ ❤↕♥✱ ✤ë ♣❤ù❝ t↕♣ t➼♥❤ t♦→♥✱✳✳✳ ❇➔✐ t ủ ỵ ự ♠ỵ✐ tr♦♥❣ t♦→♥ ❤å❝ ✈➔ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♠→② t➼♥❤✳ ❈❤➾ t➼♥❤ r✐➯♥❣ sè ❜➔✐ ❜→♦ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐ tr♦♥❣ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❚♦→♥ ❤å❝ ✈➔ ❚✐♥ ❤å❝ ✤➣ ❝â ✤➳♥ ❤ì♥ ✹✺✵ ❜➔✐ ✈ỵ✐ ❦❤♦↔♥❣ ✷✺✵ ❜➔✐ ✈ỵ✐ ✤➛✉ ✤➲ ❝â ❝ư♠ tø ✧❚❤❡ ❚♦✇❡r ♦❢ ❍❛♥♦✐✧✱ ✤➠♥❣ tr➯♥ ❣➛♥ ✷✵✵ t↕♣ ❝❤➼ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✉② t➼♥ ✭①❡♠ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tr♦♥❣ ❬✻❪✮✳ ✣â ❧➔ ❝❤÷❛ ❦➸ ✤➳♥ ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ ✈✐➳t ✈➲ sû ❞ư♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❣✐→♦ ❞ö❝ ✈➔ ② ❤å❝ ❤♦➦❝ ♥❤ú♥❣ ❝✉è♥ s→❝❤ ✈➲ t✐♥ ❤å❝✱ tr♦♥❣ ✤â ❝â tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲ trá ❝❤ì✐ ❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐✳ ▼➦❝ ❞ò trá ❝❤ì✐ ❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐ ❝â ♠➦t tr➯♥ ❦❤→ ♥❤✐➲✉ tr❛♥❣ ❲❊❇ ✈➔ ❣✐→♦ tr➻♥❤ t✐♥ ❤å❝ t✐➳♥❣ t ữ số ữủ t t t ợ t ✈➲ trá ❝❤ì✐ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐ tr➯♥ ❝→❝ t↕♣ ❝❤➼ ❧➔ r➜t ➼t ✈➔ ❝á♥ r➜t ❧÷đ❝ ✭①❡♠ ❬✶❪✲❬✼❪✮ ✈➔ ❤➻♥❤ ♥❤÷ ❝❤÷❛ ❝â ❜➔✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t✐➳♥❣ ❱✐➺t ♥➔♦ ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐✳ ỵ õ ữủ ỹ ✈ỵ✐ ♠ư❝ ✤➼❝❤ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲ ❧à❝❤ sû ♣❤→t tr✐➸♥ trá ❝❤ì✐ ❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐ ❝ò♥❣ ♠ët sè ✈➜♥ ✤➲ t q ỗ P ✈➔ ❤❛✐ ❈❤÷ì♥❣ ♥ë✐ ❞✉♥❣✳ ❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ❧à❝❤ sû ♣❤→t tr✐➸♥ trá ❝❤ì✐ ❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❈→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐✳ ữỡ ợ t tờ q sỷ ♣❤→t tr✐➸♥ trá ❝❤ì✐ ❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐✳ ▲í✐ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐ ❝❤♦ ❜❛ ❝å❝ ❜➡♥❣ ❝→❝ ❝æ♥❣ ❝ư ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✭t❤✉➟t ❣✐↔✐ ✤➺ q✉✐✱ ❤➺ ✤➳♠ ❝ì số ỗ t ữủ tr tr ữỡ ❙❛✉ ❤ì♥ ✶✵✵ ♥➠♠✱ trá ❝❤ì✐ ❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐ ✤➣ ❝â ♥❤ú♥❣ ❝↔✐ ❜✐➯♥ ✈➔ tê♥❣ q✉→t ❤â❛ ✭trá ❝❤ì✐ ❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐ ✈ỵ✐ ♥❤✐➲✉ ❝å❝✱ trá ❝❤ì✐ ❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐ ✈ỵ✐ ❝→❝ ✤➽❛ ♠➔✉✱ trá ❝❤ì✐ ❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐ ợ ữợ trỏ ỡ ◆ë✐ s♦♥❣ s♦♥❣✱✳✳✳✮✳ ◆❤ú♥❣ ❝↔✐ ❜✐➯♥ ✈➔ tê♥❣ q✉→t ❤â❛ ♥➔② ❞➝♥ ✤➳♥ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ t♦→♥ ❤å❝ t❤ó ✈à✱ t tợ t ữ õ ụ sỡ ữủ ợ t ❝→❝ ♠ð rë♥❣ ✈➔ ❝↔✐ ❜✐➯♥ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐✳ ❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ ♥❤➜t tỵ✐ P●❙✳ ❚❙ ❚↕ ❉✉② Pữủ ữớ tr tử tự ữợ t➟♥ t➻♥❤ t→❝ ❣✐↔ ✤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✳ ❳✐♥ ✤÷đ❝ ❝→♠ ì♥ ❚❤➛② ✤➣ ❝✉♥❣ ❝➜♣ ♥❤✐➲✉ t➔✐ ỗ tớ sỷ t ố s→❝❤ ❝õ❛ ❚❤➛② ✈➲ trá ❝❤ì✐ ❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐✳ ❚→❝ ❣✐↔ ❝ơ♥❣ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ ❣✐→♦ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ ❈ì ✲ ❚✐♥✱ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝ ❚ü ♥❤✐➯♥ ✲ ✣❍◗● ❍➔ ◆ë✐ ❝ò♥❣ ❜↕♥ ❜➧ ✈➔ ♥❣÷í✐ t❤➙♥ ✤➣ ✤â♥❣ ❣â♣ þ ❦✐➳♥✱ ❣✐ó♣ ✤ï✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❍➔ ◆ë✐✱ ♥❣➔② ✷✺ t❤→♥❣ ✶✷ ♥➠♠ ✷✵✶✶ ❍å❝ ✈✐➯♥✿ ▼❛♦ ❚❤à ❚❤✉ ❍✐➲♥ ✻ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✶❪ P❤↕♠ ❚r➔ ❹♥✱ ❇➔✐ t♦→♥ ❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐✱ ❚↕♣ ❝❤➼ ❚♦→♥ ❤å❝ ✈➔ ❚✉ê✐ tr➫✱ sè ✷✽✵✱ t❤→♥❣ ✶✵✲✷✵✵✵✳ ❬✷❪ P❤↕♠ ❚r➔ ❹♥✱ ❇➔✐ t♦→♥ ❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐✲❈→✐ ♥❤➻♥ tø ỵ tt ự t t t ổ t✐♥ ❚♦→♥ ❤å❝✱ ❚➟♣ ✻✱ ❙è ✷✱ t❤→♥❣ ✽✲✷✵✵✷✱ tr❛♥❣ ✶✵✲✶✸✳ ❬✸❪ ❱ô ✣➻♥❤ ❍á❛✱ ❇➔✐ t♦→♥ ❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐✱ ❚↕♣ ❝❤➼ ❚♦→♥ ❚✉ê✐ t❤ì ✷✱ ❙è ✻✽✱ t❤→♥❣ ✶✵✲✷✵✵✽✳ ỗ Pữủ t t rtrt t♦→♥ ❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐ tê♥❣ q✉→t✱ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ❈❛♦ ❤å❝✱ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ✷✵✶✵✳ ❬✺❪ ❚↕ ❉✉② P❤÷đ♥❣✱ q✉→t✱ ❚rá ❝❤ì✐ ❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐✲▲à❝❤ sû ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ tê♥❣ ❚↕♣ ❝❤➼ ❚♦→♥ ❤å❝ ✈➔ ❚✉ê✐ tr➫✱ sè ✷✽✵✱ t❤→♥❣ ✶✲✷✵✶✵✳ ❬✻❪ ❚↕ ❉✉② P❤÷đ♥❣✱ ❚rá ❝❤ì✐ ❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐✿ ▲à❝❤ sû ✈➔ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ ✭❇↔♥ t❤↔♦✮✱ ✶✺✵ tr❛♥❣✱ ✷✵✶✵✳ ❚♦→♥✲❚✐♥ ❤å❝ ❧✐➯♥ q✉❛♥✱ ❬✼❪ ◆❣✉②➵♥ ❳✉➙♥ ❚➜♥✱ ❇➔✐ t♦→♥ ✏❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐✑✲♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ❤â❝ ❜ó❛ ❤ì♥ ♠ët tr➠♠ ♥➠♠ ♥❛②✱ ❚↕♣ ❝❤➼ ❚❤ỉ♥❣ t✐♥ ❚♦→♥ ❤å❝✱ ❚➟♣ ✻ ❙è ✶✱ t❤→♥❣ ✸✱ ✷✵✵✷✱ tr❛♥❣ ✷✲✹✳ ❬✽❪ ❊✳ ❆❧❧❛r❞✐❡ ❛♥❞ ❆✳ ❨✳ ❋r❛s❡r✱ ▲❛ ❚♦✉r ❞✬❍❛♥♦✐✱ Pr♦❝❡❡❞✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❊❞✐♥❜✉r❣❤ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❙♦❝✐❡t② ✷ ✭✶✽✽✹✮✱ ✺✵✲✺✸✳ ✼✷ ❬✾❪ ▼✳ ❆t❦✐♥s♦♥✱ ❚❤❡ ❝②❝❧✐❝ ❚♦✇❡rs ♦❢ ❍❛♥♦✐ ♣r♦❜❧❡♠✳ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ Pr♦❝❡ss✐♥❣ ▲❡tt❡rs✱ ❱♦❧✳ ✶✸✱ ◆♦ ✸ ✭✶✾✽✶✮✱ ✶✶✽✲✶✶✾✳ ▼❘✵✻✹✺✹✺✼ ✭✽✸❢✿✻✽✵✵✹✮ ✳ ❬✶✵❪ ❲✳ ❲✳ ❘♦✉s❡ ❇❛❧❧✱ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❘❡❝r❡❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❊ss❛②s✱ ▼❛❝♠✐❧✲ ❧❛♥ ❛♥❞ ❈♦✳✱ ▲♦♥❞♦♥✱ ❙✐①t❤ ❊❞✐t✐♦♥✱ ✶✾✶✹✳ ❬✶✶❪ ❍❡♥r② ❊r♥❡st ❉✉❞❡♥❡②✱ ♦✉s ♣r♦❜❧❡♠s✮✱ ❚❤❡ ❈❛♥t❡r❜✉r② P✉③③❧❡s ✭❛♥❞ ♦t❤❡r ❝✉r✐✲ ❚❤♦♠❛s ◆❡❧s♦♥ ❛♥❞ ❙♦♥s✱ ▲t❞✳✱ ▲♦♥❞♦♥✱ ✶✾✵✼❀ ◆❡✇ ❨♦r❦✱ ❊✳ P✳ ❉✉tt♦♥ ❛♥❞ ❈♦♠♣❛♥②✱ ✶✾✵✽✳ ❬✶✷❪ ❖tt♦ ❉✉♥❦❡❧✱ ❊❞✐t♦r✐❛❧ ♥♦t❡ ❝♦♥❝❡r♥✐♥❣ ❛❞✈❛♥❝❡❞ ♣r♦❜❧❡♠ ✸✾✶✽✱ ❆♠❡r✳ ▼❛t❤✳ ▼♦♥t❤❧② ✹✽ ✭✶✾✹✶✮✱ ✷✶✾ ❬✶✸❪ ▼✳ ❈✳ ❊r✱ ❚❤❡ ❈♦❧♦✉r ❚♦✇❡rs ♦❢ ❍❛♥♦✐✿ ❆ ●❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥✱ ❚❤❡ ❈♦♠♣✉t❡r ❏♦✉r♥❛❧✱ ❱♦❧✳ ✷✼ ✭✶✾✽✹✮✱ ◆♦✳ ✶✱ ✽✵✲✽✷✳ ❬✶✹❪ ❏✳ ❙✳ ❋r❛♠❡✱ ❙♦❧✉t✐♦♥ t♦ ❛❞✈❛♥❝❡❞ ♣r♦❜❧❡♠ ✸✾✶✽✳ ❆♠❡r✳ ▼❛t❤✳ ▼♦♥t❤❧② ✹✽ ✭✶✾✹✶✮✱ ✷✶✻✲✷✶✼✳ ❬✶✺❪ ❘♦♥❛❧ ▲✳ ●r❛❤❛♠✱ ❉♦♥❛❧ ❊✳ ❑♥✉t❤✱ ❛♥❞ ❖r❡♥ P❛t❛s❤♥✐❦✱ ❈♦♥❝r❡t❡ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝s✿ ❆ ❢♦✉♥❞❛t✐♦♥ ❢♦r ❝♦♠♣✉t❡r s❝✐❡♥❝❡s✳ ❆❞❞✐s♦♥✲❲❡s❧❡②✱ ❘❡❛❞✐♥❣✱ ▼❆✱ ✶✾✽✾✳ ❙❡❝♦♥❞ ❊❞✐t✐♦♥✱ ✶✾✾✹✳ ❬✶✻❪ ❆♥❞r❡❛s ▼✳ ❍✐♥③✱ ❚❤❡ ❚♦✇❡r ♦❢ ❍❛♥♦✐✳ ❊♥s❡✐❣♥✳ ▼❛t❤✳ ✭✷✮ ✸✺ ✭✶✾✽✾✮✱ ✷✽✾✲✸✷✶✳ ▼❘✶✵✸✾✾✹✾ ✭✾✶❦✿✵✺✵✶✺✮✳ ❬✶✼❪ ❆♥❞r❡❛s ▼✳ ❍✐♥③✱ P❛s❝❛❧✬s ❚r✐❛♥❣❧❡ ❛♥❞ t❤❡ ❚♦✇❡r ♦❢ ❍❛♥♦✐✱ ❆♠❡r✲ ✐❝❛♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ▼♦♥t❤❧②✱ ❱♦❧✳ ✾✾ ◆♦✳ ✻✱ ♣✳ ✺✸✽✲✺✹✹✱ ❏✉♥❡✲❏✉❧② ✶✾✾✷✳ ❬✶✽❪ ❊✳ ■✳ ■❣r❛t✐❡✈✱ ❚r♦♥❣ ✈÷ì♥❣ q✉è❝ s→♥❣ t↕♦ ❤❛② ❙è ❤å❝ ❝❤♦ ♠å✐ ♥❣÷í✐✱ ◗✉②➸♥ ✶✱ ❙✳✲P❡t❡r❜✉r❣✱ ✶✾✶✹ ✭❚→✐ ❜↔♥ ❧➛♥ t❤ù t÷✱ t✐➳♥❣ ◆❣❛✮✳ ❬✶✾❪ ❩♦❧t→♥ ❑→t❛✐✱ ▲❡❤❡❧ ■st✈→♥ ❑♦✈→❝s ❚♦✇❡r ♠✐♥❣ t❡❝❤♥✐q✉❡s ❜❧❡♥❞ ♦❢ ❍❛♥♦✐✲✇❤❡r❡ ♣r♦❣r❛♠✲ ❆❝t❛ ❯♥✐✈✳ ❙❛♣✐❡♥t✐❛❡✱ ■♥❢♦r♠❛t✐❝❛ ✶✱ ✶ ✭✷✵✵✾✮✱ ♣♣✳ ✽✾✲✶✵✽✳ ✼✸ ❬✷✵❪ ❙❛♥❞✐ ❑❧❛✈✞③❛r✱ ❯r♦✞s ▼✐❧✉t✐♥♦✈✐✁❝✱ ❛♥❞ ❈✐r✐❧ P❡tr✱ ❖♥ t❤❡ ❋r❛♠❡✲ ❙t❡✇❛rt ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r t❤❡ ♠✉❧t✐✲♣❡❣ ❚♦✇❡r ♦❢ ❍❛♥♦✐ ♣r♦❜❧❡♠✱ ❉✐s❝r❡t❡ ❆♣♣❧✳ ▼❛t❤✳ ✶✷✵ ✭✷✵✵✷✮✱ ♥♦✳ ✶✲✸✱ ✶✹✶✲✶✺✼✳ ▼❘✶✾✶✷✽✻✹ ✭✷✵✵✸❝✿✵✺✵✷✽✮✳ ❬✷✶❪ ➆❞♦✉❛r❞ ▲✉❝❛s✱ ◆♦✉✈❡❛✉① ❥❡✉① s❝✐❡♥t✐❢✐q✉❡s ❞❡ ▼✳ ➆❞♦✉❛r❞ ▲✉❝❛s✱ ▲❛ ◆❛t✉r❡✱ 17t h ②❡❛r✱ 2n d s❡♠❡st❡r ✭✶✽✽✾✮✱ ♥♦✳ ✽✺✺ ✭❖❝t♦❜❡r ✺✮✱ ✸✵✶✲✸✵✸✳✳ ❬✷✷❪ ➆❞♦✉❛r❞ ▲✉❝❛s✱ ▲✬❆r✐t❤♠➨✐q✉❡ ❘➨❝r➨❛t✐♦♥s ▼❛t❤❡♠❛t✐❝q✉❡s ✱ ❆♠✉s❛♥t❡✿ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❛✉① ●❛✉t❤✐❡r✲❱✐❧❧❛rs✱ P❛r✐s✱ ✶✽✾✺✱ ♣♣✳ ✶✼✾✲✶✽✸✳ ❬✷✸❪ ❍❡♥r✐ ❞❡ P❛r✈✐❧❧❡✱ ❘➨❝r➨❛t✐♦♥s ♠❛t❤➨♠❛t✐q✉❡s✿ ▲❛ t♦✉r ❞✬❍❛♥♦✐ ❡t ❧❛ q✉❡st✐♦♥ ❞✉ ❚♦♥❦✐♥✱ ▲❛ ◆❛t✉r❡✱ ✶✷t❤ ②❡❛r✱ ✶st s❡♠❡st❡r✱ ♥♦✳ ✺✻✺ ✭▼❛r❝❤ ✷✾✱ ✶✽✽✹✮✱ ✷✽✺✲✷✽✻✳ ❬✷✹❪ ❉❛✈✐❞ ●✳ P♦♦❧❡✱ ❚❤❡ ❝❛❧ ❦♥♦✇s ❍❛♥♦✐✮✱ ❬✷✺❪ ❆✳ ❙❛♣✐r✱ t♦✇❡rs ❛♥❞ tr✐❛♥❣❧❡s ♦❢ Pr♦❢❡ss♦r ❈❧❛✉s ✭P❛s✲ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ▼❛❣❛③✐♥❡✱ ✻✼ ✭✶✾✾✹✮✱ ✸✷✸✲✸✹✹✳ ❚❤❡ ❚♦✇❡rs ♦❢ ❍❛♥♦✐ ✇✐t❤ ❋♦r❜✐❞❞❡♥ ▼♦✈❡s✱ ❚❤❡ ❈♦♠✲ ♣✉t❡r ❏♦✉r♥❛❧✱ ✹✼ ✭✶✮ ✭✷✵✵✹✮✱ ✷✵✲✷✹✳ ❬✷✻❪ ❘✳ ❙✳ ❙❝♦r❡r✱ P✳ ▼✳ ●r✉♥❞②✱ ❛♥❞ ❈✳ ❆✱ ❇✳ ❙♠✐t❤✱ ❣❛♠❡s✱ ❙♦♠❡ ❇✐♥❛r② ▼❛t❤✳ ●❛③✳ ✷✽ ✭✶✾✹✹✮✱ ◆♦ ✷✽✵ ✭❏✉❧②✮✱ ✾✻✲✶✵✸✳ ❬✷✼❪ ❇✳ ▼✳ ❙t❡✇❛rt✱ ❆❞✈❛♥❝❡❞ ♣r♦❜❧❡♠ ✸✾✶✽✱ ❆♠❡r✳ ▼❛t❤✳ ▼♦♥t❤❧② ✹✻ ✭✶✾✸✾✮✱ ✸✻✸✳ ❬✷✽❪ ❇✳ ▼✳ ❙t❡✇❛rt✱ ❙♦❧✉t✐♦♥ t♦ ❛❞✈❛♥❝❡❞ ♣r♦❜❧❡♠ ✸✾✶✽ ❆♠❡r✳ ▼❛t❤✳ ▼♦♥t❤❧② ✹✽ ✭✶✾✹✶✮✱ ✷✶✼✲✷✶✾✳ ❬✷✾❪ P❛✉❧ ❑✳ ❙t♦❝❦♠❡②❡r✱ ♣✉③③❧❡✱ ❱❛r✐❛t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ ❢♦✉r✲♣♦st ❚♦✇❡r ♦❢ ❍❛♥♦✐ ❈♦♥❣r✳ ◆✉♠❡r✳ ✶✵✷ ✭✶✾✾✹✮✱ ✸✲✶✷✳ ✼✹ ❬✸✵❪ P❛✉❧ ❑✳ ❙t♦❝❦♠❡②❡r✱ ♣❤②✱ ❚❤❡ ❚♦✇❡r ♦❢ ❍❛♥♦✐✿ ❆ ❇✐❜❧✐♦❣r❛✲ ❤tt♣✿✴✴✇✳✇✳✇✳❝s✳✇♠✳❡❞✉✴ ♣❦st♦❝✴❤♣❛♣❡rs✳❤t♠❧✱ ❱❡rs✐♦♥ ✷✳✷✱ ✷✷✴✶✵✴✷✵✵✺✳ ❬✸✶❪ P✳❑✳ ❙t♦❝❦♠❡②❡r✱ ❋r❡❞ ▲✉♥♥♦♥✱ ❍❛♥♦✐✱ ◆❡✇ ❱❛r✐❛t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ ❚♦✇❡r ♦❢ ❚❤✐rt❡❡♥t❤ ■♥t❡r♥❛t✐♦♥❛❧ ❈♦♥❢❡r❡♥❝❡ ♦♥ ❋✐❜♦♥❛❝✐ ◆✉♠❜❡rs ❛♥❞ ❚❤❡✐r ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ❏✉❧② ✼✲✶✶✱ ✷✵✵✽✱ P❛tr❛s✱ ●r❡❡❝❡✳ ❬✸✷❪ ❨✉✲❑✉♦ ❲❛♥❣✱ ❆♥❛❧②s✐s ♦♥ ❛♥ ■t❡r❛t✐✈❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦❢ ✏❚❤❡ ❚♦✇❡r ♦❢ ❍❛♥♦✐ ♣r♦❜❧❡♠✑ ✇✐t❤ P❛r❛❧❧❡❧ ▼♦✈❡s✱ ▼✳ ❙❝✳ ❚❤❡s✐s✱ ■♥st✐t✉t❡ ♦❢ ❈♦♠♣✉t❡r ❙❝✐❡♥❝❡ ❛♥❞ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❊♥❣✐♥❡❡r✐♥❣✱ ❈❤✉♥❣ ❍♦❛ ❯♥✐✲ ✈❡rs✐t②✱ ✶✾✾✾✳ ❬✸✸❪ ❉❡r✐❝❦ ❲♦♦❞✱ ❚♦✇❡rs ♦❢ ❇r❛❤♠❛ ❛♥❞ ❍❛♥♦✐ ❘❡✈✐s✐t❡❞✱ ▼❛t❤✳ ✶✹✭✶✾✽✶✮✱ ◆♦ ✶✱ ✶✼✲✷✹✳ ▼❘ ✵✻✷✾✸✹✵ ✭✽✷✐✿✻✽✵✸✶✮✳ ✼✺ ❏✳ ❘❡❝r✳ ... t✐➳♥❣ ❱✐➺t ♥➔♦ ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ỵ õ ữủ ỹ ợ tr sû ♣❤→t tr✐➸♥ trá ❝❤ì✐ ❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐ ❝ò♥❣ ♠ët số t q ỗ P❤➛♥ ♠ð ✤➛✉ ✈➔ ❤❛✐ ❈❤÷ì♥❣ ♥ë✐ ❞✉♥❣✳ ❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ❧à❝❤ sû ♣❤→t tr✐➸♥ trá... ◆ë✐✳ ▲í✐ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐ ❝❤♦ ❜❛ ❝å❝ ❜➡♥❣ ❝→❝ ❝ỉ♥❣ ❝ư ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✭t❤✉➟t ❣✐↔✐ ✤➺ q✉✐✱ ỡ số ỗ t ữủ tr tr♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❙❛✉ ❤ì♥ ✶✵✵ ♥➠♠✱ trá ❝❤ì✐ ❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐ ✤➣ ❝â ♥❤ú♥❣ ❝↔✐ ❜✐➯♥ ✈➔ tê♥❣