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♥➳✉ = 2 ✭✷✳✸✮ ❑❤✐ ✤â✱ ❞♦ ρ(a) = a2n−1 2n−1 + a2n−2 2n−2 + + a20 ✈➔ δ(a) = ρ(a−λ(a)) = (an−1 −a2n−1 )2 2n−1 +(an−2 −a2n−2 )2 2n−2 + +(a0 −a20 )2 ♥➯♥ t❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ▲✉❝❛s✱ sû ❞ö♥❣ ✭✷✳✷✮ ✈➔ ✭✷✳✸✮ t❛ ❝â ρ(a) δ(a) ≡ n−1 a2i i=0 −a2i (mod 2) ≡ (mod 2)✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ ϕ(a) = (ρ(a), δ(a)) ∈ V (Pn )✳ ✣➸ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ ϕ ❧➔ →♥❤ ①↕ ✶✲✶✱ t❛ ❧➜② a, b ∈ V (Hn ), a = b✳ ●✐↔ sû a = n−1 n−1 βi , b = i=0 bi βi ✳ i=0 ◆➳✉ ρ(a) = ρ(b) t❤➻ ϕ(a) = ϕ(b) ✈➔ t❛ ❝â ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ t❤✐➳t r➡♥❣ ρ(a) = ρ(b)✳ ❑❤✐ ➜② n−1 a2i 2i = n−1 b2i 2i i=0 i=0 ❤❛②✱ tr♦♥❣ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝ì sè ✷ ❝õ❛ ρ(a) ✈➔ ρ(b) t❛ ❝â (a2n−1 a2n−2 a20 ) = (b2n−1 b2n−2 b20 )✳ ❚ø ✤➙② s✉② r❛ a2i = b2i ✈ỵ✐ ♠å✐ ≤ i ≤ n − 1✳ ữ ợ ộ i = bi = 2bi tr♦♥❣ Z3 ✳ ❱➻ a = b tỗ t ởt số j s aj = bj ✳ ❉♦ ✤â✱ ✤ê✐ ❝❤é a ✈➔ b✱ ♥➳✉ ❝➛♥ t❤✐➳t✱ t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ t❤✐➳t r➡♥❣ aj = ✈➔ bj = 2✳ ❱➻ (λ(a))j = a2j = ✈➔ (λ(b))j = b2j = ♥➯♥ (a − λ(a))j = aj − a2j = 0✱ tr♦♥❣ ❦❤✐ ✤â (b − λ(b))j = bj − b2j = 1✳ ◆❤÷♥❣ ((a − λ(a))j )2 = ✈➔ ((b − λ(b))j )2 = t÷ì♥❣ ù♥❣ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ❝→❝ ❜✐t t❤ù j tr♦♥❣ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝ì sè ✷ ❝õ❛ δ(a) ✈➔ δ(b) ♥➯♥ δ(a) = δ(b)✳ ❱➟② ϕ(a) = ϕ(b) ❤❛② ϕ ❧➔ →♥❤ ①↕ ✶✲✶✳ ❉♦ |V (Pn )| = |V (Hn )| = 3n t❤❡♦ ♥❤➟♥ ①➨t ð tr➯♥ ♥➯♥ ϕ ❧➔ t♦➔♥ →♥❤✳ ◆❤÷♥❣ t❛ ❝ơ♥❣ ❝â t❤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ trü❝ t✐➳♣ ϕ ❧➔ t♦➔♥ →♥❤ ✈➔ ❞♦ ✤â t❛ ❧↕✐ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ♥❤÷ ♠ët ❤➺ q✉↔✳ ●✐↔ sû (r, k) ∈ Pn ✭♥❣❤➽❛ ❧➔ Crk ≡ (mod 2)✮ ✈➔ ❣✐↔ sû ✻✷ n−1 r= n−1 i ri , k= i=0 ki 2i i=0 ✈ỵ✐ ri , ki ∈ {0, 1} ✱ ≤ i ≤ n − ✈➔ t❤❡♦ ✣à♥❤ ỵ s Crk (mod 2) i ≤ n − 1✳ ❱ỵ✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❦❤ỉ♥❣ ➙♠ m ✈ỵ✐ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ (mt m1 m0 ) tr♦♥❣ ❝ì sè ✷ t❛ ①→❝ ✤à♥❤ t mi βi ✳ τ (m) = i=0 ✣➦t n−1 a = τ (r) + τ (k) = (ri + ki )βi i=0 tr♦♥❣ ✤â✱ ♥❤÷ t❤÷í♥❣ ❧➺✱ ♣❤➨♣ ❝ë♥❣ ✤÷đ❝ ❤✐➸✉ t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ❝ë♥❣ ❜✐t ♠♦❞✲ ✉❧♦ ✸✳ ❚❛ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣ ϕ(a) = (r, k)✳ ✣➛✉ t✐➯♥ t❛ ♥❤➟♥ t❤➜② r➡♥❣✱ t❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ▲✉❝❛s✱ ki = 0 ♥➳✉ ri = ✵ ❤♦➦❝ ✶ ♥➳✉ r = 1✳ i ❉♦ ✤â 0 ♥➳✉ ri = = (ri + ki ) = ✶ ❤♦➦❝ ✷ ♥➳✉ r = i ♥➯♥ 0 ♥➳✉ ri = = 1 ♥➳✉ r = i ❤❛② a2i = ri ✳ ❈❤ù♥❣ tä n−1 ρ(a) = ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ t❛ ♥❤➟♥ t❤➜② a2i 2i n−1 = i=0 n−1 λ(a) = a2i βi ri i = r ✳ i=0 n−1 = i=0 i=0 ❉♦ ✤â✱ sû ❞ö♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ a t❛ ❝â ✻✸ ri βi = τ (r)✳ ρ(a − λ(a)) = ρ(a − τ (r)) = ρ(τ (k)) = k ✳ ✣➥♥❣ t❤ù❝ ❝✉è✐ s✉② r❛ tø ♥❤➟♥ ①➨t r➡♥❣ →♥❤ ①↕ ❤ñ♣ ρ ◦ τ ❧➔ →♥❤ ①↕ ỗ t tr t {1, 2, , 2n 1} ❚ø ✤➙② t❛ ❝â ϕ(a) = (ρ(a), δ(a)) = (ρ(a), ρ(a − λ(a))) = (r, k)✳ ❈❤ù♥❣ tä ϕ ❧➔ t♦➔♥ →♥❤✳ ❈✉è✐ ❝ị♥❣✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝➛♥ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ϕ ❧➔ →♥❤ ①↕ ❜↔♦ t♦➔♥ t➼♥❤ ❧✐➲♥ ❦➲✳ ◆❣❤➽❛ ❧➔ a ❧✐➲♥ ❦➲ ✈ỵ✐ b tr♦♥❣ Hn ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ϕ(a) ❧✐➲♥ ❦➲ ✈ỵ✐ ϕ(b) tr♦♥❣ Pn ✳ ❚❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➡♥❣ q✉✐ ♥↕♣ t❤❡♦ n✳ ❱ỵ✐ n = ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ❧➔ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥✳ ●✐↔ t❤✐➳t r➡♥❣ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ n < m✳ ❚❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ n = m✳ ●✐↔ sû a ❧✐➲♥ ❦➲ ✈ỵ✐ b tr♦♥❣ Hm ✳ ◆➳✉ a ✈➔ b ♥➡♠ tr♦♥❣ ❝ò♥❣ ♠ët ❦❤è✐ t ú tr ỗ ♣❤ỉ✐ ❝õ❛ Hm−1 ✳ ❈ư t❤➸ ❤ì♥✱ t❛ ❝â T i (a) ❧✐➲♥ ❦➲ ✈ỵ✐ T i (b) ✈ỵ✐ i ∈ {0, 1, 2} ♥➔♦ ✤â✳ ❚❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t q✉✐ ♥↕♣✱ ϕ(T i (a)) ❧➔ ❧✐➲♥ ❦➲ ✈ỵ✐ ϕ(T i )(b)) tr♦♥❣ Pm−1 ✳ ❚❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✸✳✺✱ t❛ ❝â Ti (a) ợ Ti (a) ữ ❞♦ Tˆ ❧➔ →♥❤ ①↕ ❜↔♦ t♦➔♥ t➼♥❤ ❧✐➲♥ ❦➲✱ t❛ s✉② r❛ ϕ(a) ❧✐➲♥ ❦➲ ✈ỵ✐ ϕ(b) ✳ ◆➳✉ a ✈➔ b ♥➡♠ tr♦♥❣ ❤❛✐ ❦❤è✐ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ♥❤÷♥❣ ❝❤ó♥❣ ❧✐➲♥ ❦➲✱ t❤➻ ❝❤➾ ✶m−1, 2✶m−1)✱ (0✷m−1, 1✷m−1) ❝â t❤➸ ❝â ❜❛ ❦❤↔ ♥➠♥❣ s❛✉ ✤➙②✿ (a, b) ❧➔ (0 ✵m−1, 2✵m−1)✳ ◆❤÷♥❣ t❛ ❞➵ ❞➔♥❣ t➼♥❤ trü❝ t✐➳♣ ✤÷đ❝ r➡♥❣ {ϕ(a), ϕ(b)} ❤♦➦❝ (1 t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔ {(2m−1 − 1, 0), (2m−1 , 0)}, {(2m−1 − 1, 2m−1 − 1), (2m−1 , 2m−1 )} ❤♦➦❝ {(2m−1 − 1, 2m−1 − 1), (2m − 1, 2m−1 )}✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ ró r (a) ợ (b) tr trữớ ❤đ♣✳ ❇➙② ❣✐í t❛ ❣✐↔ sû r➡♥❣ a ✈➔ b ❦❤ỉ♥❣ ❧✐➲♥ ❦➲✳ ◆➳✉ ❝❤ó♥❣ ♥➡♠ tr➯♥ ❝ị♥❣ ♠ët ❦❤è✐ t❤➻✱ t❤❡♦ q✉✐ ♥↕♣✱ t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ ð tr➯♥✱ ϕ(a) ❦❤ỉ♥❣ ❧✐➲♥ ❦➲ ✈ỵ✐ ϕ(b)✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ ♥➳✉ a ✈➔ b ♥➡♠ tr➯♥ ❝→❝ ❦❤è✐ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❝õ❛ Hm t❤➻ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✸✱ ϕ(a) ✈➔ ϕ(b) ♥➡♠ tr➯♥ ❝→❝ ❦❤è✐ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❝õ❛ Pm ✳❱➻ ϕ ❧➔ →♥❤ ①↕ ✶✲✶ ♥➯♥ {ϕ(a), ϕ(b)} ❦❤æ♥❣ t❤➸ ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ❜❛ tữỡ ự ợ ố ố ✤â ϕ(a) ✈➔ ϕ(b) ❝ơ♥❣ ❦❤ỉ♥❣ t❤➸ ❧✐➲♥ ❦➲ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔②✳ ✻✹ ✣à♥❤ ❧➼ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❤♦➔♥ t♦➔♥✳ ❚÷ì♥❣ ù♥❣ ▲✉❝❛s ❝❤♦ ♣❤➨♣ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â ❝→❝ tổ t q ỳ Hn Pn ữợ ✤➙② ❧➔ ❝→❝ ❤➺ q✉↔ trü❝ t✐➳♣ tø ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✣à♥❤ ❧➼ tr➯♥✳ ❍➺ q✉↔ ✷✳✸✳✶✳ ❱ỵ✐ ♠å✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ n✱ |V (Pn)| = 3n✳ ❍➺ q✉↔ ✷✳✸✳✷✳ ❙è ❝➜✉ ❤➻♥❤ ❤ñ♣ ❧➺ tr♦♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐ ✈ỵ✐ 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− r2 ) + (k2 − 2n−1 )) + 2n−1 + = 3.2n−1 − − r1 − r2 + k1 + k2 ◆❤➟♥ ①➨t r➡♥❣ ð ✤➙② t❛ ✤➣ t➼♥❤ sè ❝→❝ ✤➾♥❤ ♥➡♠ ♥❣❛♥❣ ✈➔ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ♠é✐ ✤➾♥❤ ❤❛✐ ❧➛♥ ✭①❡♠ ❍➻♥❤ ✷✳✾✮✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ t❛ t❤➜② r➡♥❣ d2 ≤ d1 ⇔ r1 + 2r2 ≥ 2k1 + k2 + 3.2n−1 − 1✳ ❙û ❞ö♥❣ t➼♥❤ ✤è✐ ①ù♥❣ ❤♦➦❝ t➼♥❤ trü❝ t✐➳♣✱ t❛ ❝ô♥❣ ❝â t❤➸ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❦➳t q✉↔ t÷ì♥❣ tü ❝❤♦ a1 ✈➔ a2 tr♦♥❣ ❬✵❪ ✈➔ ❬✷❪ ❤♦➦❝ tr♦♥❣ ❬✶❪ ✈➔ ❬✷❪✳ ❚❤➼ ❞ư ✸✳ ❚➻♠ d(011, 102) tr♦♥❣ H3✳ ❚÷ì♥❣ ù♥❣ ▲✉❝❛s ❝❤♦ ϕ(011) = (3, 0) ✈➔ ϕ(102) = (7, 5)✳ ❚ø ✤➙②✱ t❛ t➼♥❤ ✤÷đ❝ d1 (011, 102) = − = ✈➔ d2 (011, 102) = 11 − − + + = 6✳ ❱➟② d(011, 102) = ✈➔ ✤÷í♥❣ ♥❣➢♥ ♥❤➜t ✤✐ q✉❛ t➜t ❝↔ ❜❛ ❦❤è✐ ❝õ❛ H3 ✭①❡♠ ❍➻♥❤ ✷✳✾✮✳ ữ ỗ t tọ r rt ỳ ❤✐➺✉ tr♦♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤æ♥❣ ❝❤➾ ❜➔✐ t♦→♥ ❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐ ❝ê ✤✐➸♥✱ ♠➔ ❝á♥ tr♦♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✻✾ ❍➻♥❤ ✷✳✾✿ ✣÷í♥❣ ✤✐ ♥❣➢♥ ♥❤➜t ❣✐ú❛ ❤❛✐ ✤➾♥❤ ❜➜t ❦ý ❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐ s✉② rë♥❣ ✈➔ ❝↔✐ ❜✐➯♥✳ ❘➜t ♥❤✐➲✉ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ sû ❞ư♥❣ ❝ỉ♥❣ ❝ư ♥➔② tr♦♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜➔✐ t♦→♥ ❚❤→♣ ❍➔ ◆ë✐ tê♥❣ q✉→t✳ ✼✵ ❑➳t ▲✉➟♥ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ tr➻♥❤ ❜➔② ❦❤→ ❝❤✐ t✐➳t ❧à❝❤ sû ♣❤→t tr✐➸♥ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ 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