(Toan C1) Chuong 4 (SV)

(Toan C1) Chuong 4 (SV) tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực kinh...

10/25/2015 Chương 4: Hàm nhiều biến §1 Hàm đa biến GV Phan Trung Hiếu §1 Hàm đa biến §2 Giới hạn liên tục §3 Đạo hàm riêng vi phân tồn phần §4 Cực trị hàm hai biến §5 Tích phân bội hình chữ nhật LOG O kinh tế §6 Ứng dụng I Định nghĩa: Định nghĩa 1.1 Một hàm n biến quy tắc đặt tương ứng n số thực (x1, x2,…, xn) với số thực nhất, ký hiệu u  f ( x1 , x2 , , xn ) Hay nói cách khác, ánh xạ f : D  n   ( x1 , x2 , , x n )  u  f ( x1 , x2 , , xn ) Tập hợp D gọi miền xác định hàm số f, nghĩa tập điểm ( x1 , x2 , , x n ) cho biểu thức f ( x1 , x2 , , x n ) có nghĩa Miền giá trị f tập giá trị mà f nhận Trường hợp n = 2, ta có hàm hai biến, thường ký hiệu z  f ( x, y) Trường hợp n = 3, ta có hàm ba biến, thường ký hiệu u  f ( x, y, z) gọi hàm n biến xác định D Ví dụ 1.1 Tìm miền xác định hàm số sau D tập hợp điểm nằm hay nằm đường tròn tâm (0,0) bán kính a) f ( x , y )  x  y  sin( xy ) b) f ( x , y )   x2  y2 Giải a) Miền xác định: D  2 b) f xác định   x  y   x  y  Miền xác định: D  ( x , y )   | x  y    Ví dụ 1.2 Cho hàm f ( x, y)  x  y  Tính f(1,1), f(0,-2) Giải f (1,1)  f (0, 2)  10/25/2015 II Đồ thị hàm hai biến: Đồ thị hàm số biến f(x,y) xác định D tập hợp tất điểm ( x , y , z )   3sao cho z  f (x, y) ( x, y )  D Ví dụ 2.1 Đồ thị số hàm hai biến III Một số hàm hai biến số kinh tế: 3.1 Hàm sản xuất: hàm mô tả mối quan hệ phụ thuộc sản lượng vào vốn lao động Q  f ( K , L ) K: vốn; L: lao động 3.2 Hàm tổng chi phí: C  wk K  wL L  C0 wK : giá thuê đơn vị vốn; wL : giá thuê đơn vị lao động; C0 : chi phí cố định 3.3 Hàm tổng doanh thu: R  P.Q  P f ( K , L ) P giá thị trường đơn vị sản phẩm I Giới hạn hàm hai biến: Định nghĩa 1.1: Cho hàm số z  f (x, y)xác định D  2 Ta nói hàm z  f (x, y) có giới hạn L (x,y) tiến ( x0 , y0 ) §2 Giới hạn liên tục   0,   : ( x , y )  D ,  ( x , y )  ( x , y )    f ( x , y )  L   Ký hiệu lim ( x , y )( x ,y0 ) f ( x, y)  L Chú ý 1.2: ( x, y )  ( x0 , y0 ) khoảng cách từ điểm (x,y) đến điểm ( x0 , y0 ) Chú ý 1.2: Giới hạn hàm hai biến có tính chất tương tự giới hạn hàm biến kỹ thuật tính tốn nói chung phức tạp không giới thiệu 10 II Tính liên tục hàm hai biến: 2.1 Liên tục điểm: Hàm số z = f(x,y) liên tục điểm ( x0 , y0 )  D lim ( x ,y )( x0 ,y0 ) f ( x , y )  f ( x , y0 ) 2.2 Liên tục miền: Hàm số z = f(x,y) liên tục miền D liên tục điểm thuộc D 11 12 10/25/2015 I Đạo hàm riêng cấp một: §3 Đạo hàm riêng vi phân toàn phần Xét hàm hai biến z = f(x,y) xác định miền D Khi đó, f có hai đạo hàm riêng cấp f zx  fx  : đạo hàm riêng theo biến x hàm số f x (lấy đạo hàm theo biến x xem y số) z y  fy  f : đạo hàm riêng theo biến y hàm số f y (lấy đạo hàm theo biến y xem x số) 13 Ví dụ 1.1: Tìm đạo hàm riêng cấp hàm số sau a ) f ( x, y )  x y  x y  y Giải 2 f x  x y  x y f y  x y  x  y 14 b) f ( x, y )  xy  ye x 3 y Giải f x  y  y (2 x  y )x e2 x 3 y  y  y.e x 3 y f y  xy  ( y )y e2 x 3 y  y.( e x 3 y )y  xy  e x  y  ye x 3 y 15 Ví dụ 1.2: Cho f ( x, y )  x y  x  y  Tìm f x(1;0) f y(1; 2) Giải f x   f x(1;0)  f y   f y(1;2)  17 16 II Đạo hàm riêng cấp hai: Giả sử hàm hai biến z = f(x,y) có đạo hàm riêng cấp Khi đó, đạo hàm riêng cấp hai hàm số f xx  2 f  ( f x)x x f yy  2 f  ( f y)y y f xy  2 f  ( f x)y y x f yx  2 f  ( f y )x xy 18 10/25/2015 Ví dụ 2.1: Cho f ( x, y)  x y  y x Tính đạo hàm riêng cấp hai số f Giải f x  f y  f xx   f x x f yy   f y  y   f xy  ( f x)y f yx  ( f y )x   19 Chú ý 2.1: Các đạo hàm f xy , f yx gọi đạo hàm riêng hỗn hợp cấp hai hàm hai biến f(x,y) Các đạo hàm khác thứ tự lấy đạo hàm riêng theo biến x, y nói chung chúng khác Tuy nhiên, chúng theo định lý sau Định lý thay đổi thứ tự lấy đạo hàm (Định lý Schwarz): Nếu z = f(x,y) có đạo hàm riêng cấp hai liên tục f xy  f yx 20 III Vi phân toàn phần hàm hai biến: Vi phân toàn phân (vi phân cấp 1) hàm biến z = f(x,y) df  f xdx  f ydy 2 Ví dụ 3.1: Cho f ( x, y )  x  xy  y Tính df, df(0,1) Giải §4 Cực trị hàm hai biến f x  f y  df  df (0,1)  21 I Định nghĩa: Cho hàm số z = f(x,y) xác định miền D   điểm ( x , y0 )  D Khi đó: 22 Chú ý rằng, cực đại địa phương chưa cực đại toàn cục Cực tiểu địa phương chưa cực tiểu toàn cục f gọi đạt cực đại địa phương (cực đại) ( x0 , y0 ) tồn lân cận   D ( x0 , y0 ) cho f ( x , y)  f ( x , y0 ), ( x , y)  f gọi đạt cực tiểu địa phương (cực tiểu) tại( x0 , y0 ) tồn lân cận   D ( x0 , y0 ) cho f ( x , y)  f ( x , y0 ), ( x , y)  Cực đại địa phương hay cực tiểu địa phương gọi chung cực trị địa phương 23 24 10/25/2015 II Điều kiện cần: Cho hàm số z = f(x,y) xác định miền D   f có đạo hàm riêng cấp Nếu hàm số f đạt cực trị địa phương ( x , y0 )  D  f x( x0 , y0 )  (*)   f y( x0 , y0 )  Những điểm ( x0 , y0 ) thỏa (*) gọi điểm dừng III Điều kiện đủ: Giả sử hàm số z = f(x,y) có đạo hàm riêng cấp hai liên tục lân cận điểm dừng ( x , y0 ) Đặt fxx fxy ( x, y)   f xx f yy  fyx f xy fyx fyy   ( x0 , y0 )  i) Nếu  f đạt cực tiểu ( x , y0 )  f xx ( x0 , y0 )   ii) Nếu  ( x0 , y0 )   f xx ( x0 , y0 )  f đạt cực đại ( x , y0 ) 25 26 iii) Nếu ( x0 , y0 )  f khơng đạt cực trị ( x , y0 ) iv) Nếu ( x0 , y0 )  ta khơng có kết luận tổng quát IV Cách tìm cực trị hàm hai biến: Bước (Tìm điểm dừng): Tính f x, f y  f x  Xét hệ  Giải hệ ta điểm dừng   f y   xk , yk  Bước (Tìm  ): Tính f xx , fyy , f xy , f yx Tính (x , y)  f xx f xy f yx f yy  f xx f yy  f yx f xy  ( xk , yk ) 27 Ví dụ 3.1: Tìm cực trị hàm số Bước (Kết luận):    x k , yk    f đạt cực tiểu  x k , yk    f xx  xk , yk      x k , yk    f đạt cực đại  xk , yk    f xx  x k , yk     xk , yk  28   f không đạt cực trị  xk , yk  f ( x, y )  x 3 xy  3y  15x  Giải Miền xác định: D  2 f x  f y   fx      fy            x   y  x   y  Ta điểm dừng: 29 30 10/25/2015 Tại (-1;-2): f xx   ( 1, 2)  f yy  f xy     ( x , y )  fxx fxy fyx fyy Tại ( 5,0) :   ( 5,0)  Tại (-1;2): 6 12  144  12  f không đạt cực trị (-1;2)  ( 1,2)  0 56  260,49  fxx ( 5,0)    f đạt cực tiểu ( 5,0) 31 32 Tại ( 5,0) : IV Cực trị có điều kiện:  (  5,0)   fxx ( 5,0)   Xét tốn tìm cực trị hàm z = f(x,y), với điều kiện g ( x , y )  (*) Cách (Phương pháp khử biến số): Bước 1: Từ điều kiện (*), suy y = h(x) x = h(y) Bước 2: Thế biểu thức bước vào z = f(x,y) ta hàm biến Sau đó, tìm cực trị hàm biến 33 Ví dụ 4.1: Tìm cực trị hàm số f ( x , y)  xy với điều kiện x  y  Giải Miền xác định: D  2 34 BBT: x   F’ x  y   y   x,   CĐ Thế vào hàm f(x,y), ta F F ( x )  x (1  x )  x  x F ( x )   x F ( x )    x  x 35 1  y  1  2 1 1  f đạt cực đại  ,  2 2  F đạt cực đại x  36 10/25/2015 Cách (Phương pháp nhân tử Lagrange): Bước 1: Lập hàm Lagrange Bước (Tìm  ): L ( x , y,  )  f ( x , y )   g( x , y ) Lxx Lxy gx  ( x , y,  )  Lyx Lyy gy gx gy Bước (Tìm điểm dừng): Tính L  , L  Bước (Kết luận):  Lx  Xét hệ  Giải hệ ta điểm dừng  Ly    xk , yk  ứng với k  g( x, y )  ( xk , yk , k )   f đạt cực tiểu thỏa điều kiện  x k , yk   ( xk , yk , k )   f đạt cực đại thỏa điều kiện  xk , yk   ( x k , yk , k )  : khơng có kết luận tổng qt x y 37 38 Ví dụ 4.2: Tìm cực trị hàm số f ( x , y )   x  y với điều kiện x  y  Giải Miền xác định: D  2 x  y2   x  y   Đặt g( x, y)  x  y  L  f   g   x  3y   ( x  y  1) Lx  4  2 x L y  3  2 y  Lx  4  2 x        2 y   Ly     g( x , y )   x  y      5 x   x             4    y   y   x   x  2 2 5     4  25 3       4   y  y      39  Lxx  Lxy    Lyx  Lyy gx g y Tại   , x  , y  5  8/5 f 40 gx 2 gy  2x 0 2x 2 y 2y Tại   f 8/5 /  20  6/5 5 4 3 ,x  ,y  5 5 8 /  5 6 /  20  8 / 6 / đạt cực đại thỏa điều kiện  4 , 3   5  đạt cực tiểu thỏa điều kiện  ,   5 41 42 10/25/2015 I Tích phân bội hai:  f ( x, y)dxdy  §5 Tích phân bội hình chữ nhật  :miền lấy tích phân, bị chặn  Tính chất: 1)   f  g  dxdy   f dxdy   g dxdy    2)   f dxdy    f dxdy   43 44 II Tích phân lặp: Ví dụ 2.1 Tính   ( x  y) dxdy b d  a c d b  c a b d  f ( x , y)dydx     f ( x , y)dy  dx   ac  d b   f ( x , y)dxdy     f ( x , y)dx  dy   c a  Giải  x2   xy  dy  ( x  y ) dxdy   2 1 2  x 1  25      10 y   y  dy 2  2 Chú ý:  Trong tính trước  f ( x , y )dy : tích phân theo y, xem x    x 5  32 f ( x , y )dx: tích phân theo x, xem y 45 III Tích phân bội hình chữ nhật: 46 Ví dụ 3.1 Tính  (2 x  y )dxdy với  hình chữ nhật  Tính tích phân chữ nhật:  [2,3]  [0,2] f ( x , y)dxdy miền hình Giải    ( x , y) : a  x  b, c  y  d   ( x , y ) : 2  x  3,  y  2 Cách (y trong, x ngồi): Cách tính: b d d b      f ( x , y )dxdy  a  c f ( x , y )dy  dx  c  a f ( x , y )dx  dy 47 2   (2 x  y)dxdy     (2x  y)dy  dx  2 0  y 2  y2     xy   dx  (4 x  2)dx  20 2 2  2 y0  48 10/25/2015 Chú ý 3.1: Cách (x trong, y ngoài):  d  b h ( x ) g ( y ) dxdy  h ( x ) dx g( y)dy          a  c   (2 x  y)dxdy   Ví dụ 3.2 Tính   xy dxdy , với  hình x2  chữ nhật giới hạn x  0, x  1, y  3, y  Giải 49 50   ( x , y) :  x  1,   y  3 I    xy dxdy  x2 1 3  1 x dx    y dx        x    3   I1 I y3 I   y dx  3 3  (33  (3)3 )  18 §6 Ứng dụng kinh tế x I1   dx  ln2 (Đổi biến) x  Vậy: I  9ln 51 I Cực trị toàn cục hàm hai biến: Giả sử hàm số z = f(x,y) có đạo hàm riêng cấp hai liên tục lân cận điểm dừng ( x , y0 ) Đặt   ( x0 , y0 )  i) Nếu  , ( x , y )  D  fxx ( x , y0 )  f đạt cực tiểu tồn cục (GTNN) ( x , y0 )   ( x0 , y0 )  ii) Nếu  , ( x , y)  D  fxx ( x , y0 )  52 II Tìm mức sản lượng để tối đa hóa lợi nhuận: Một doanh nghiệp tiến hành sản xuất loại sản phẩm điều kiện cạnh tranh hoàn hảo (là điều kiện nhà sản xuất phải bán sản phẩm với giá thị trường định) Cho biết giá bán loại sản phẩm thị trường P1, P2 hàm tổng chi phí xét đơn vị thời gian C  C  Q1 , Q2  Hãy tìm mức sản lượng loại sản phẩm đơn vị thời gian để doanh nghiêp đạt lợi nhuận lớn (tối đa) f đạt cực đại toàn cục (GTLN) ( x , y0 ) 53 54 10/25/2015 Cách giải: Doanh thu doanh nghiệp là: R  PQ 1  P2Q Lợi nhuận doanh nghiệp là:   R  C  P1Q1  P2Q2  C(Q1 ,Q2 ) Tìm Q1 Q2 để  đạt giá trị lớn Ví dụ 2.1: Giả sử doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm điều kiện cạnh tranh hoàn hảo Giá bán hai loại sản phẩm thị trường P1  60, P2  75 Được biết tổng chi phí để sản xuất hai loại sản phẩm phụ thuộc vào mức sản lượng Q1, Q2 loại sản phẩm cho biểu thức C  C Q1 ,Q2   Q12  Q1Q2  Q22 Hãy tìm mức sản lượng sản phẩm để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn III Phân phối sản phẩm để tối đa hóa lợi nhuận: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm tiêu thụ sản phẩm hai thị trường khác với giá khác Cho biết hàm tổng chi phí đơn vị thời gian C  C (Q ) , Q  Q1  Q2 , hàm cầu theo giá loại sản phẩm thị trường thứ thị trường thứ hai Q1  D1  P1  Q2  D2  P2  Hãy tìm mức sản lượng cung cấp cho thị trường để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn (tối đa) 55 Cách giải: Q1  D1  P1  Q2  D2  P2  Xét hệ   P  P Q  Biến đổi đưa  1  P2  P2  Q2  Doanh thu doanh nghiệp là: R  PQ 1  P2Q Lợi nhuận doanh nghiệp là:   R  C  P1Q1  P2Q  C(Q1,Q ) Tìm Q1 Q2 để  đạt giá trị lớn 57 IV Lựa chọn đầu vào để tối đa hóa lợi nhuận: Một doanh nghiệp cạnh tranh sản xuất loại sản phẩm với hàm sản xuất Q = Q(K,L), K: lượng vốn, L: lượng lao động sử dụng để sản xuất Cho biết giá sản phẩm thị trường P, giá vay đơn vị vốn wK, giá thuê đơn vị lao động wL chi phí cố định khác C0 Trong đơn vị thời gian, xác định yếu tố đầu vào (K,L) để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn (tối đa) 59 56 Ví dụ 3.1: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm tiêu thụ sản phẩm hai thị trường khác với giá khác Cho biết hàm tổng chi phí đơn vị thời gian C  20  15Q  Q hàm cầu theo giá loại sản phẩm thị trường thứ thị trường thứ hai 325  P1 425  P2 , Q2  Hãy tìm mức sản lượng cung cấp cho thị trường để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn Q1  58 Cách giải: Tổng chi phí là: C = wK.K + wL.L + C0 Doanh thu doanh nghiệp là: R = P Q(K,L) Lợi nhuận doanh nghiệp là:   R  C  P.Q(K, L)  (w K K  w L L  C0 ) Tìm K L để  đạt giá trị lớn Ví dụ 4.1: Một doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất Q = K1/3.Q1/3 (K>0, L>0) Doanh nghiệp phải vay vốn K để sản xuất với lãi suất wK = 0,02, tiền thuê nhân công wL = Giả sử giá thị trường sản phẩm P = Hỏi doanh nghiệp cần lượng vốn vay K lượng nhân công cần thuê L để lợi nhuận lớn nhất? 60 10 10/25/2015 V Tối đa hóa lợi ích người tiêu dùng: Một người tiêu dùng định sử dụng hết số tiền M để mua sắm hai loại hàng hóa X Y Cho biết giá hai loại hàng P1 , P2 hàm lợi ích hai loại hàng người tiêu dùng U = U(x,y), với x biến số lượng hàng hóa X y biến số lượng hàng hóa Y Hãy xác định khối lượng loại hàng hóa mà người tiêu dùng nên mua cho giá trị sử dụng lớn (tối đa) Cách giải: Tìm giá trị lớn hàm lợi ích với điều kiện Ví dụ 5.1: Xét hai loại hàng hóa X, Y thị trường với giá đơn vị hàng hóa X, Y 5USD 20USD Giả sử hàm lợi ích cho U = (x+3)y với x biến số lượng hàng hóa X y biến số lượng hàng hóa Y Hãy xác định khối lượng loại hàng hóa mà người tiêu dùng nên mua cho giá trị sử dụng lớn điều kiện ngân sách dành cho tiêu dùng 185USD U  U ( x, y), x  0, y  P1 x  P2 y  M 61 VI Cực tiểu hóa chi phí sản lượng cố định: Một doanh nghiệp cạnh tranh sản xuất loại sản phẩm với hàm sản xuất Q = Q(K,L) Cho biết giá vay đơn vị vốn wK, giá thuê đơn vị lao động wL chi phí cố định khác C0 Giả sử, doanh nghiệp lập kế hoạch sản xuất lượng sản phẩm cố định Q0 Hãy xác định yếu tố đầu vào (K,L) để doanh nghiệp sản xuất Q0 sản phẩm với tổng chi phí bé (tối thiểu) Cách giải: Tìm giá trị nhỏ hàm tổng chi phí 62 Ví dụ 6.1: Một doanh nghiệp cạnh tranh túy có hàm sản xuất Q = K(L+5) Biết giá vay đơn vị vốn wK = 5USD, giá thuê công nhân wL = 10USD Giả sử doanh nghiệp nhận đơn đặt hàng sản xuất Q=5000 sản phẩm Hãy xác định lượng vốn lượng nhân công để doanh nghiệp sản xuất 5000 sản phẩm với tổng chi phí bé C  wK K  wL L  C0 , K  0, L  với điều kiện Q(K,L)= Q0 63 64 11 Bài tập-Toán cao cấp C1 (Chương 3) BÀI TẬP CHƯƠNG Bài 1: Tính đạo hàm riêng cấp vi phân toàn phần cấp hàm số sau ĐS: 2 a) f ( x , y)  x  y  3xy  5x  y  df  (2 x  3y  5)dx  (2 y  3x  4)dy  x  df  (2 xy  y )dx   x   dy  y   b) f ( x, y)  x y  x y c) z  e x  y2 dz  (2 xe x y )dx  (2 ye x  y2 )dy  x2  2x2 dz   x ln( x  y)  dy  dx  x  2y  x  2y  dz  (cos( x  y)  sin( x  y ))dx  (cos( x  y )  sin( x  y ))dy d) z  x ln( x  y) e) z  sin( x  y)  cos( x  y) Bài 2: a) Tính đạo hàm riêng cấp hàm số f ( x , y )  arctan x điểm (1;2) y ĐS: 2/5; -1/5 b) Cho z  x Tính dz(1; 2) ĐS: dx  dx 25 25 x y Bài 3: a) Cho hàm số u  x  y Tính A  2ux (2,1)  u y (2,1) ĐS: b) Cho hàm số z  y ln(1  x  y ) Tính B = 2z 2z (2,1)  (2,1) ĐS: 1/3 x x y Bài 4: a) Cho hàm số z  xy  y ln x Chứng minh xzx  yzy  y(1  ln x ) b) Chứng tỏ hàm z  z z x x2 x 1  y2     thỏa mãn hệ thức x 2y x y x y y y c) Cho hàm số z  xy  xe x Chứng minh x.z x  y.z y  xy  z x x   uyy  u uxy y  2z  z e) Hàm hai biến z  ln( x  y ) có thỏa mãn hệ thức   không? x y Bài 5: Tìm cực trị hàm số sau a) f ( x , y)   x  y  x  y  d) Cho hàm số u  ye y Chứng minh y 2uxx  b) f ( x , y)  x  3y  y  12 y CĐ (1,2) không đạt cực trị (0,0), CT (0,1); (0,-2) d) f ( x , y)  x  y với điều kiện 3x  y  25 c) f ( x , y)  ( x  y )  ( x  y )  xy  ĐS: CĐ (0,0),(1,-1),(-1,1), CT ( 3,  3) CT (3,4) e) f ( x , y)   x  y với điều kiện x  y  CĐ (1/2,1/2) f) f ( x , y )  8x  15y  28 với điều kiện x  3y  107 12 GV Phan Trung Hiếu CĐ (4,5), CT (-4,-5) Bài tập-Toán cao cấp C1 (Chương 3) Bài 6: Tính tích phân sau a)  x ydxdy ,  hình chữ nhật giới hạn x  2, x  4, y  1, y  ĐS: 224  b)  (6 x y    5y )dxdy ,   ( x , y)  2 |  x  3,  y  21/2  c)  (x  y) dxdy ,   [3,4]  [1,2] ln(25 / 24)  d)  xye x2 y (e  3) dxdy ,   [0,1]  [0,2]  e)  e x  sin y cos ydxdy ,  hình chữ nhật  x   ,  y   f) x   xydxdy ,   [0,1]  [0,1]  (e  1)(e  1) ln   Bài 7: Một doanh nghiệp sản xuất hai lọai sản phẩm với hàm tổng chi phí đơn vị thời gian C  C  Q1 , Q2   2Q12  2Q1Q2  Q22 , Q1 Q2 sản lượng sản phẩm thứ thứ hai Cho biết giá bán hai sản phẩm P1  6, P2  Hãy tìm mức sản lượng để doanh nghiệp có lợi nhuận lớn sản xuất ĐS: Q1  , Q2  , max   Bài 8: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm với hàm tổng chi phí đơn vị thời gian C  Q12  2Q1Q2  Q22 Cho biết hàm cầu theo giá hai loại sản phẩm Q1  40  P1  P2 sản phẩm thứ Q2  20  P1  P2 sản phẩm thứ hai Hãy tìm mức sản lượng loại sản phẩm để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn ĐS: Q1  , Q2  10 , max   550 Bài 9: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm tiêu thụ sản phẩm hai thị trường khác với giá khác Cho biết hàm tổng chi phí đơn vị thời gian C  Q  30Q  20 , Q  Q1  Q2 với Q1 lượng hàng cung cấp cho thị trường thứ Q2 lượng hàng cung cấp cho thị trường thứ hai Giả sử hàm cầu loại sản phẩm thị trường thứ Q1  310  P1 thị trường thứ hai Q2  235  0,5P2 Hãy tìm mức sản lượng cung cấp cho thị trường để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn ĐS: Q1  40 , Q2  60 Bài 10: Một doanh nghiệp cạnh tranh túy có hàm sản xuất Q  K ( L  10) Biết giá vay đơn vị vốn wK  10USD , giá thuê đơn vị nhân công wL  40USD Giả sử doanh nghiệp nhận đơn đặt hàng sản xuất Q=10000 sản phẩm Hãy xác định lượng vốn lượng nhân công để doanh nghiệp sản xuất 10000 sản phẩm với tổng chi phí bé ĐS: K  200 , L  40 Bài 11: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm với hàm tổng chi phí đơn vị thời gian C  320Q1  480Q2  300 Cho biết hàm cầu theo giá hai loại sản phẩm Q1  800  P1  P2 sản phẩm thứ Q2  960  P1  P2 sản phẩm thứ hai a) Hãy tìm mức sản lượng loại sản phẩm để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn ĐS: Q1  320 , Q2  400 b) Hãy tìm mức sản lượng loại sản phẩm để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa với điều kiện tổng chi phí đơn vị thời gian doanh nghiệp 166700 13 GV Phan Trung Hiếu ...  4  2 x        2 y   Ly     g( x , y )   x  y      5 x   x             4    y   y   x   x  2 2 5     4  25 3       4 ... nhật giới hạn x  2, x  4, y  1, y  ĐS: 2 24  b)  (6 x y    5y )dxdy ,   ( x , y)  2 |  x  3,  y  21/2  c)  (x  y) dxdy ,   [3 ,4]  [1,2] ln(25 / 24)  d)  xye x2 y (e...  , y  5  8/5 f 40 gx 2 gy  2x 0 2x 2 y 2y Tại   f 8/5 /  20  6/5 5 4 3 ,x  ,y  5 5 8 /  5 6 /  20  8 / 6 / đạt cực đại thỏa điều kiện  4 , 3   5  đạt