Ước lượng tỷ lệ sinh viên Đại học Thương mại sử dụng xe bus đến trường

Thảo luận Xác suất thống kê tốn – Nhóm LỜI NÓI ĐẦU Lớp 1670AMAT0111 Trong đời sống thực tế có nhiều biến cố xảy ra, ng ười khơng thể lường trước hết Vì thường có nh ững giả thuyết ước lượng hay kiểm định mang tính định tính kết sai trường hợp xảy biến cố Chính lý đó, việc nghiên cứu ước lượng tham số đại lượng ngẫu nhiên kiểm định giả thuyết thống kê cần thiết Lý thuyết ước lượng, lý thuy ết kiểm định giả thuy ết thống kê phận quan trọng thống kê tốn Nó ph ương tiện giúp ta giải tốn nhìn từ góc độ khác liên quan đến dấu hiệu cần nghiên cứu tổng thể • Để ước lượng tỷ lệ đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN) X, người ta giả sử cần nghiên cứu đám đơng kích thước N có M phần tử • mang dấu hiệu A Khi P(A) = p = tỉ lệ phần tử mang dấu hiệu đám đơng Vì khơng điều tra đám đơng nên thường chưa biết p • Từ đám đơng lấy mẫu kích thước n, điều tra mẫu thấy có nA phần tử mang dấu hiệu A Khi tần suất xuất dấu hiệu A • mẫu f = Ta ước lượng p thông qua f Khi n lớn ta có: (trong q = – p) f N(p; ) → U = ≃ N(0;1) Với vấn đề đề thảo luận, “Ước lượng tỷ lệ sinh viên Đại học Thương mại sử dụng xe bus đến trường”, nhóm chúng tơi xác định dùng phương pháp ước lượng p p chưa biết, n lớn • Kiểm định giả thuyết kỳ vọng toán ĐLNN, thông thường ta thường giả sử dấu hiệu X cần nghiên cứu đám đơng có E(X) = μ, Var(X) = σ2 với μ chưa biết Từ sở người Page of 13 Thảo luận Xác suất thống kê tốn – Nhóm Lớp 1670AMAT0111 ta tìm μ = μ0, nghi ngờ điều Với mức ý nghĩa α • • • cho trước ta cần kiểm định giả thuyết : μ = μ0 Để kiểm định giả thuyết nêu trên, từ đám đơng ta lấy m ẫu có kích thước n: W = (X1, X2,….Xn) Từ mẫu ta tính = S’2 = - )2 Lấy mẫu cụ thể w = (x1, x2,… xn) từ mẫu ta tính với để bác bỏ hay không bác bỏ , chấp nhận hay không chấp nhận Đó phương pháp chung giải vấn đề nhóm chúng tơi: “Kiểm định giả thuyết chiều cao trung bình sinh viên nam Thương mại cao chiều cao trung bình nam niên Việt Nam” Cụ thể nhóm áp dụng lý thuyết kiểm định trường hợp ĐLNN X chưa biết quy luật phân phối kích thước mẫu n>30 Bài thảo luận xây dựng dựa sở của: “Giáo trình Lý thuyết xác suất thống kê toán Trường Đại học Thương mại ” kiến thức tiếp thu từ giảng giáo viên trường Đại học Thương Mại Do thời gian, khả điều kiện có hạn, thảo luận nhóm chúng tơi khơng thể tránh khỏi khiếm khuyết Chúng mong nhận cảm thơng, chia sẻ góp ý t phía gi ảng viên bạn sinh viên để hoàn chỉnh ! Tập thể nhóm 1! Phần I: Cơ sở lý thuyết Ước lượng tỷ lệ: Để ước lượng tỷ lệ đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN) X, người ta giả sử cần nghiên cứu đám đông kích th ước N có M phần t mang dấu hiệu A Khi P(A) = p = tỉ lệ phần tử mang dấu hiệu đám đơng Vì khơng điều tra đám đơng nên th ường ch ưa bi ết p Page of 13 Thảo luận Xác suất thống kê tốn – Nhóm Lớp 1670AMAT0111 Từ đám đơng lấy mẫu kích thước n, điều tra m ẫu th có nA phần tử mang dấu hiệu A Khi tần suất xuất dấu hiệu A mẫu f = Ta ước lượng p thông qua f Khi n lớn ta có: (trong q = – p) f N(p; ) → U = ≃ N(0;1) 1.1 Khoảng tin cậy đối xứng (lấy = = /2) + Với độ tin cậy - cho trước ta tìm phân vị chuẩn , cho: P( < ) ≈ Thay biểu thức U vào ta có: Biến đổi tương đương ta được: P(< ) ≈ P(f – Trong sai số ước lượng + Khi p chưa biết, n lớn để tính sai số ta thay p xấp xỉ ước l ượng hiệu f : p – f Khi Độ tin cậy ước lượng – Khoảng tin cậy đối xứng p là: Độ dài khoảng tin cậy Ví dụ: Điều tra ngẫu nhiên 100 sinh viên trường đại h ọc thấy có 13 sinh viên có hồn cảnh khó khăn kinh tế V ới độ tin c ậy 90% ước lượng số sinh viên có hồn cảnh khó khăn kinh tế tồn trường Biết tồn trường có tất 10000 sinh viên Giải: Gọi f tỉ lệ sinh viên có hồn cảnh khó khăn kinh tế m ẫu p tỉ lệ sinh viên có hồn cảnh khó khăn kinh tế đám đơng Vì n=100 lớn nên f có phân phối xấp xỉ chuẩn: Xác định cho: Page of 13 Thảo luận Xác suất thống kê tốn – Nhóm Lớp 1670AMAT0111 Trong đó: Vì p chưa biết, n lớn nên ta lấy p q Ta có = 1,64  1,64 = 0,055 Vậy khoảng tin cậy p là: Ta có: 0,075 < p α = – γ = 0,01 => = = 2,33 Từ tính ε = 2,33 = 0,077 Vậy khoảng tin cậy phải p là: (0,325 – 0,077; 1) = (0,248; 1) Kết luận: Với độ tin cậy 99% nói tỷ lệ tối thiểu người học TTNN số sinh viên năm cuối 0,248 1.3 Khoảng tin cậy trái ((α1 = α, α2 = 0) + Với độ tin cậy - cho trước ta tìm phân vị chuẩn cho: P(U > - ) ≈ Thay biểu thức U vào ta có: P(f - p < - ) Biến đổi tương đương ta được: P(p Trong sai số ước lượng + Khi p chưa biết, n lớn để tính sai số ta thay p xấp xỉ ước l ượng hiệu f : p – f Khi Độ tin cậy ước lượng – Page of 13 Thảo luận Xác suất thống kê toán – Nhóm Lớp 1670AMAT0111 Khoảng tin cậy trái p là: (0 ; f + ε) Như khoảng tin cậy trái dùng để ước lượng giá trị tối đa p Ví dụ: Điều tra 50 sở giết mổ gia súc tư nhân Hà Nội thấy có 22 sở khơng đạt tiêu chuẩn vệ sinh Với độ tin cậy 0,99 ước l ượng tỷ lệ tối đa sở giết mổ gia súc tư nhân không đạt tiêu chuẩn v ệ sinh Hà Nội Giải: Gọi p tỷ lệ sở không đạt tiêu chuẩn đám đông f tỷ lệ sở không đạt tiêu chuẩn m ẫu Vì n=50 lớn nên f có phân phối xấp xỉ chuẩn: Với γ = 0,99 xác định phân vị chuẩn cho: P(U > ) ≈ - α  P(p < f + ε) ≈ – α với ε = Vì p chưa biết, n lớn nên ta lấy p – f => Ta có: n = 50; f = = 0,44 γ = 0,99 => α = – γ = 0,01 => = = 2,33 Từ tính ε = 2,33 = 0,164 Vậy khoảng tin cậy phải p là: (0; 0,44 + 0,164) = (0; 0,604) Kết luận: Với độ tin cậy 99% nói tỷ lệ tối đa c s giết mổ gia súc không đạt tiêu chuẩn vệ sinh 0,604 Kiểm định giả thuyết thống kê kỳ vọng toán đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN): Giả sử dấu hiệu X cần nghiên cứu đám đông có E(X) = μ, Var(X) = σ2 với μ chưa biết Từ sở người ta tìm μ = μ0, nghi ngờ điều Với mức ý nghĩa α cho trước ta cần kiểm định giả thuyết : μ = μ0 Page of 13 Thảo luận Xác suất thống kê tốn – Nhóm Lớp 1670AMAT0111 Để kiểm định giả thuyết nêu trên, từ đám đơng ta lấy m ẫu có kích thước n: W = (X1, X2,….Xn) Từ mẫu ta tính = S’2 = - ) Ta xét trường hợp sau: 2.1 ĐLNN X có phân phối chuẩn với σ2 biết: μ = μ0 μ ≠ μ0 μ > μ0 μ < μ0 P(G ϵ /) = α P(|U| > uα/2) = α P(U > uα) = α P(U < -uα) = α Miền bác bỏ Wα Wα = {utn: |utn| > uα/2} Wα = {utn: utn > uα} Wα = {utn: utn< -uα} Ví dụ: Một máy tự động đóng gói đường với trọng lượng quy định 500 gam/gói Giả sử trọng lượng gói đường máy đóng ĐLNN phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn σ = gam Lấy ngẫu nhiên 16 gói máy đóng tính trọng lượng trung bình gói 497 gam Với mức ý nghĩa α = 5% cho biết kết luận ý kiến cho máy có cố làm thay đổi trọng lượng trung bình gói đường so với trọng lượng quy định Giải: Gọi X trọng lượng gói đường máy đóng trọng lượng trung bình gói đường mẫu µ trọng lượng trung bình gói đường đám đơng Vì X có phân phối chuẩn nên ~ N(µ; ) Với mức ý nghĩa α = 0,05 cần kiểm định (µ0 = 500) XDTCKĐ: U = Giả sử H0 U ~ N(0; 1) Ta tìm uα/2 cho P(|U| > uα/2) = α Vì α bé, theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ: Wα = {utn: |utn| > uα/2} utn = Ta có uα/2 = u0,025 = 1,96 utn = = -2,4 => utn ϵ Wα => Bác bỏ H0 Page of 13 Thảo luận Xác suất thống kê tốn – Nhóm Lớp 1670AMAT0111 Kết luận: Với mức ý nghĩa 5% nói máy có cố làm thay đổi trọng lượng trung bình gói đường so với trọng lượng quy định 2.2 ĐLNN X chưa biết quy luật phân phối, n>30: + Do X chưa biết quy luật phân phối n>30 nên ta có: N(µ; ) + XDTCKĐ: U = + Nếu U ≈ N(0; 1) + Phần lại tiến hành trường hợp 2.1 ta lấy 2.3 ĐLNN X có phân phối chuẩn với σ2 chưa biết: Do X có phân phối chuẩn với σ2 chưa biết nên: XDTCKĐ: T = Nếu H0 T ~ T(n -1) Ví dụ: Theo dõi 25 chuyến vận chuyển xe vận tải từ địa điểm A đến địa điểm B thấy thời gian vận chuyển trung bình chuyến 19,3 phút phương sai mẫu điều chỉnh 0,25 (phút)2 Giả sử thời gian vận chuyển xe ĐLNN phân phối chuẩn Với mức ý nghĩa 5% nói thời gian vận chuyển trung bình chuyến xe 20 phút hay khơng? Giải: Gọi X thời gian vận chuyển chuyến xe thời gian vận chuyển trung bình mẫu µ thời gian vận chuyển trung bình đám đông Với mức ý nghĩa α = 0,05 cần kiểm định (µ0 = 20) XDTCKĐ: T = Nếu H0 T ~ T(n – 1) Ta tìm cho P(T < -) = α Page of 13 Thảo luận Xác suất thống kê tốn – Nhóm Lớp 1670AMAT0111 Vì α bé, theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ: Wα = {ttn: ttn < - } ttn = Ta có = = 1,711 ttn = = -7 => ttn ϵ Wα => Bác bỏ H0 Kết luận: Với mức ý nghĩa 5% nói thời gian vận chuy ển trung bình xe 20 phút Phần II: Bài tập thảo luận cụ thể 1) Ước lượng tỷ lệ sinh viên Đại học Thương mại xe bus đến trường: - Đề bài: Tiến hành khảo sát 200 SV trường ĐHTM thấy có 68 SV đến trường xe bus Với độ tin cậy 95%, ước l ượng s ố SV ĐHTM sử dụng xe bus đến trường Biết tổng số SV trường 22000 Page of 13 Thảo luận Xác suất thống kê tốn – Nhóm Lớp 1670AMAT0111 - Tóm tắt: n = 200; f = = 0,34 γ = 0,95 N = 22000 Ước lượng M??? Giải: Gọi f tỉ lệ sinh viên ĐHTM sử dụng xe buýt đến trường m ẫu p tỉ lệ sinh viên ĐHTM sử dụng xe buýt đ ến tr ường đám đơng + Vì n lớn nên ta có: + Với γ = 0,95 xác định phân vị chuẩn u α/2 cho: P( < ) ≈  P(f – với  P(N(f – ε) < M < N(f + ε) ) ≈ – α với + Vì p chưa biết, n lớn nên ta lấy p ≈ f q ≈ – f => ε = uα/2 + Ta có n = 200; f = = 0,34 γ = 0,95 => α = – γ = 0,05 => u α/2 = u0,025 = 1,96 ε = 1,96 + Vậy khoảng tin cậy N là: () = (6028; 8932) Kết luận: Với độ tin cậy 95% ta nói số sinh viên ĐHTM s dụng xe bus đến trường nằm khoảng từ 6028 đến 8932 sinh viên 2) Kiểm định giả thuyết kỳ vọng toán ĐLNN - Đề bài: Chiều cao nam SV ĐHTM ĐLNN Điều tra 150 SV nam trường ĐHTM kết quả: Chiều cao (cm) Số sinh viên 150 - 160 15 160 – 170 82 170 – 180 46 180 - 190 Với mức ý nghĩa 5%, nói chiều cao trung bình nam SV ĐHTM cao chiều cao trung bình nam niên VN khơng? Page 10 of 13 Thảo luận Xác suất thống kê tốn – Nhóm Lớp 1670AMAT0111 Biết chiều cao trung bình nam niên VN 164.4 cm Tóm tắt: X – chiều cao nam sinh viên ĐHTM n = 150 α = 0,05 Kiểm định toán Giải: Gọi chiều cao nam sinh viên ĐHTM chiều cao trung bình nam đám đơng chiều cao trung bình nam mẫu Ta lập bảng phân phối thực nghiệm: 155 15 165 82 175 46 185 Từ bảng tính được: = x = x (15.155 + 82.165 + 46.175 + 7.185) = 168 = x = x 7550 = 50,67 + Với ta kiểm định tốn (= 164,4) + Vì chưa biết quy luật , n>30 nên coi ≃ N(, ta lấy XDTCKĐ: U = Giả sử suy U ≃ N(0;1) + Với α cho trước ta xác định phân vị chuẩn cho: P (U > ) = α + Vì α nhỏ nên theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có: = { : > } với = Page 11 of 13 Thảo luận Xác suất thống kê tốn – Nhóm Lớp 1670AMAT0111 + Ta có: n = 150: = 168 α = 0,05 => = 1,65 = = 6,19 > hay ϵ , ta có đủ sở bác bỏ Kết luận: Với mức ý nghĩa 5%, nói chiều cao trung bình nam sinh viên ĐHTM cao chiều cao trung bình nam niên Việt Nam KẾT LUẬN Thống kê tốn nói chung hay tốn ước lượng ki ểm đ ịnh nói riêng có ứng dụng rộng rãi thực tế đời sống Nó khơng giúp giải tốn thực tế chúng tơi vừa làm mà giải tốn nghiên cứu khoa học Các phương pháp ước lượng kiểm định có ứng dụng l ớn thực tế nhiều lĩnh vực nghiên cứu không th ể có số xác, cụ thể việc nghiên cứu đám đông lớn tốn nhiều chi phí Các phương pháp giúp đánh giá đ ược tham s ố trường học vấn đề xã hội kinh tế nh ư: + Xã hội: ước lượng tổn thất nhiệm vụ thiên tai, ước lượng chiều cao trung bình người Việt Nam, trọng lượng trung bình trẻ sơ sinh, tỷ lệ đói nghèo để từ đánh giá chất lượng đời sống nhân dân + Kinh tế (bao gồm kinh tế vĩ mô kinh tế vi mô): tỷ lệ th ất nghiệp người lao động, tỷ lệ xuất nhập hàng hóa qua năm, t ỷ lệ GDP bình quân Page 12 of 13 Thảo luận Xác suất thống kê tốn – Nhóm Lớp 1670AMAT0111 Tóm lại, sau thời gian làm việc tích cực nhóm thu nhập số liệu phương pháp thống kê toán học giảng dạy giáo viên mơn, nhóm hồn thành th ảo luận c với kết sau: - Ước lượng khoảng tin cậy “ước lượng tỷ lệ sinh viên Đ ại học Thương mại xe bus đến trường” kết nằm khoảng từ 6028 đến 8932 - Kiểm định giả thuyết kỳ vọng toán rút kết luận chiều cao trung bình nam sinh viên ĐHTM cao chiều cao trung bình nam niên Việt Nam Page 13 of 13 ... bình xe 20 phút Phần II: Bài tập thảo luận cụ thể 1) Ước lượng tỷ lệ sinh viên Đại học Thương mại xe bus đến trường: - Đề bài: Tiến hành khảo sát 200 SV trường ĐHTM thấy có 68 SV đến trường xe bus. .. toán học giảng dạy giáo viên mơn, nhóm hồn thành th ảo luận c với kết sau: - Ước lượng khoảng tin cậy ước lượng tỷ lệ sinh viên Đ ại học Thương mại xe bus đến trường kết nằm khoảng từ 6028 đến. .. tắt: n = 200; f = = 0,34 γ = 0,95 N = 22000 Ước lượng M??? Giải: Gọi f tỉ lệ sinh viên ĐHTM sử dụng xe buýt đến trường m ẫu p tỉ lệ sinh viên ĐHTM sử dụng xe buýt đ ến tr ường đám đơng + Vì n lớn