Đề KS học sinh giỏi lần Môn Toán Năm Học 2011-2012 Thời gian làm bài: 150 phút Bài (4 điểm): a)Cho a; b; c số dơng thoả mãn: a + b + c + Tính Q = a(4 − b)(4 − c) + b(4 − c)(4 − a) + c(4 − a)(4 − b) - b) Giải phơng trình abc = abc x + x + 10 + x + x + = 3( x + 1) Bµi (4 ®iĨm): a) Cho ba sè a, b, c d¬ng tháa m·n 1 + + >2 a +1 b +1 c +1 b) Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc: y x −1 + x y M= xy Bài (4 điểm): 2 a) Chøng minh nÕu x − yz = y − xz víi x ( − yz ) y ( − xz ) x ≠ y, yz ≠ 1, xz ≠ 1, x ≠ 0, y ≠ 0,z ≠ 1 th× x + y + z = + + x y z Chøng minh : abc < b) Giải 2 phơng trình: 1 1 x + ÷ + x + ÷ − x + ÷ x + ÷ = ( x + ) x x x x Bài (2 điểm): Đội A đội B thi đấu cờ với Mỗi đấu thủ đội A phải đấu ván cờ với đấu thủ ®éi B BiÕt r»ng tỉng sè v¸n cê ®· ®Êu bình phơng số đấu thủ đội A cộng với hai lần số đấu thủ đội B Hỏi đội có đấu thủ biết số đấu thủ đội A không ngời? Bài (6 điểm): Cho hình vuông ABCD cạnh a điểm N cạnh AB Gọi E giao điểm CN DA Kẻ tia Cx vuông góc với CE cắt AB F, M trung điểm đoạn thẳng EF Chứng minh rằng: a) CE = CF · · b) ACE = BCM c) Khi điểm N di chuyển cạnh AB ( N không trùng với A B) M chuyển động đờng thẳng cố định 2 Đặt BN = x a) Tính diện tích tứ giác ACFE theo a x b) Xác định vị trí điểm N cạnh AB cho diện tích tứ giác ACFE gấp lần diện tích hình vuông ABCD Đáp án Biểu điểm Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Môn Toán Năm Học 2011-2012 Bài (4 điểm) XÐt a(4 − b)(4 − c) = a (16 − 4b − 4c + bc) Tõ gi¶ thiÕt a + b + c + Do ®ã a(4 − b)(4 − c) = abc = =>16- 4b - 4c = 4a + abc a (16 − 4b − 4c + bc) a(4a + abc+ bc) = a(4a + abc+ bc) = (2a + abc )2 = 2a + = T¬ng tù b(4 − a)(4 − c) = 2b + abc ; c(4 − a)(4 − b) = 2c + VËy Q = 2(a + b + c - abc abc ) = Bài 2: (4 điểm) 1 + + > ⇒ − (ab + ac + bc) > 2abc a) Tõ a +1 b +1 c +1 ®iĨm) Do a, b, c dơng, áp dụng BĐT Cô-si ta có: ab + ac + bc ≥ 3 a b 2c ®iÓm) ⇒ − 3 a b 2c > 2abc ⇔ 2abc + 3 a b 2c < Đặt abc (0,5 (0,25 (*) a b 2c = t > ⇒ abc = t = t t (*) ⇔ 2t t + 3t − < ⇔ ( t + 1) (2 t − 1) < ⇔ t − < (do ( t + 1) > 0, ∀t > 0) 1 ⇔ t < ⇒ abc < (0,75 ®iĨm) b) Víi ®iỊu kiƯn x ≥ 1, y ≥ ta cã: M= y−4 x −1 + x y (0,25 điểm) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm x - 1, ta cã: x − = 1( x − 1) ≤ 1+ x −1 x x −1 = ⇒ (v× x ≥ ) ≤ 2 x (0,25 ®iĨm) Chøng minh t¬ng tù ta cã: y−4 1 4+ y−4 y ≤ y−4 = ( y − 4) ≤ × = ⇒ (v× y ≥ ) y 2 (0,25 ®iĨm) ⇒ M = x −1 + y − ≤ + = x y 4 (0,25 ®iÓm) ⇔ x = 2, y = VËy Max M = (0,5 điểm) Bài (4 điểm) a) Víi x ≠ y, yz ≠ 1, xz ≠ 1, x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ Tõ gt ta cã: x − yz y − xz = x ( − yz ) y ( − xz ) ⇔ ( x − yz ) ( y − xyz ) = ( y − xz ) ( x − xyz ) ⇔ x y − x yz − y z + xy 2z − xy + xy3z + x 2z − x yz = ®iĨm) ⇔ ( x y − xy ) − ( x yz − xy3z ) + ( x 2z − y 2z ) − ( x yz − xy 2z ) = (0,25 ⇔ xy ( x − y ) − xyz ( x − y ) + z ( x − y ) − xyz ( x − y ) = ⇔ ( x − y ) xy − xyz ( x + y ) + z ( x + y ) − xyz = ⇔ xy − xyz ( x + y ) + z ( x + y ) − xyz = (v× x ≠ y ⇒ x − y ≠ ) ⇔ xy + xz + yz = xyz ( x + y ) + xyz (0,75 ®iĨm) xy + xz + yz xyz ( x + y ) + xyz (v× xyz ≠ ) ⇔ = xyz xyz (0,25 ®iĨm) 1 ⇔ + + = x+ y+z x y z (0,25 ®iĨm) 2 1 1 b) x + ÷ + x + ÷ − x + ÷ x + ÷ = ( x + ) (2) x x x x Điều kiện xác ®Þnh: (0,25 ®iĨm) 2 1 1 (2) ⇔ x + ÷ + x + ÷ x + ÷− x + ÷ = ( x + ) x x x x ®iÓm) x≠0 (0,25 1 1 2 ⇔ x + ÷ − x + ÷ = ( x + ) ⇔ ( x + ) = 16 x x x = (loại) x = (TMĐK) (0,75 điểm) Vậy phơng trình cho có nghiệm x = (0,25 điểm) Bài (2 ®iĨm) Gäi sè ®Êu thđ cđa ®éi A đội B lần lợt x y (x, y ∈ Z+ ; x ≥ 5) (0,5 ®iĨm) Tỉng số ván cờ đấu xy (ván cờ) Theo đề ta có phơng trình: xy = x2 + 2y (0,75 ®iĨm) x2 x2 − + 4 ⇔ y(x-2) = x ⇔ y = (0,75 = = x+2+ x2 x2 x2 điểm) (x 2) mà x – > (do x > 5) nªn x = Để x, y nguyên dơng th× M ⇒x = 4 =6+2+ = (TMĐK) Khi y = x + + (0,75 6−2 x−2 ®iĨm) VËy ®éi A cã ngêi, ®éi B cã ngêi (0,25 ®iĨm) Bµi (6 điểm) Vẽ hình đến phần (0,5 điểm) 1.a) VEDC = VFBC (g.c.g) ⇒ CE = CF (1 ®iĨm) b) VECF cân C CM phân gi¸c C · · · ⇒ ECM = 45o ⇒ ECB + BCM = 45o · · · Mµ ACB = 45o ⇒ ACE + ECB = 45o · · ⇒ ACE = BCM (1 ®iĨm) EF EF ∆CEF vuông C có CM trung tuyến CM = ⇒ AM = CM ⇒ M thuéc ®êng trung trực đoạn thẳng AC hay M thuộc BD cố định điểm) 2.a) Có BN = x AN = a x điểm) c) AEF vuông A cã AM lµ trung tuyÕn ⇒ AM = (1 (0,25 SACFE = SACE + SCEF = 1 ×CD ×AE + ìCE 2 (0,25 điểm) Xét ADC có AE//BC AE AN BC.AN a(a − x) ⇒ = ⇒ AE = = (Hệ định lí Ta-lét) BC BN BN x (0,25 ®iĨm) a(a − x) a4 o 2 2 µ ∆EDC cã D = 90 ⇒ CE = CD + DE = a + a + (0,25 = a + ÷ x x2 ®iĨm) a (a − x) a a a (x + a) ⇒ SACFE = (0,5 + + 2= 2x 2x 2x ®iĨm) a (x + a) b) SACFE = 3.SABCD ⇔ = 3a ⇔ 6x − ax − a = 2x ⇔ (2x − a)(3x + a) = (0,25 ®iĨm) a Do x > 0; a > ⇒ 3x + a > ⇒ 2x − a = ⇔ x = N trung điểm cạnh AB (0,5 ®iĨm) VËy ®Ĩ ◊ACFE cã diƯn tÝch gÊp lÇn diện tích hình vuông ABCD điểm N trung ®iĨm c¹nh AB (0,25 ®iĨm) ... giỏi cấp huyện Môn Toán Năm Học 201 1-2 012 Bài (4 điểm) Xét a(4 b)(4 c) = a (16 − 4b − 4c + bc) Tõ gi¶ thiÕt a + b + c + Do ®ã a(4 − b)(4 − c) = abc = =>1 6- 4b - 4c = 4a + abc a (16 − 4b − 4c +... a)(4 − b) = 2c + VËy Q = 2(a + b + c - abc abc ) = Bài 2: (4 điểm) 1 + + > ⇒ − (ab + ac + bc) > 2abc a) Tõ a +1 b +1 c +1 điểm) Do a, b, c dơng, áp dụng BĐT Cô-si ta cã: ab + ac + bc ≥ 3 a b 2c... Víi ®iỊu kiÖn x ≥ 1, y ≥ ta cã: M= y4 x + x y (0,25 điểm) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm vµ x - 1, ta cã: x − = 1( x − 1) ≤ 1+ x −1 x x −1 = ⇒ (v× x ≥ ) ≤ 2 x (0,25 điểm) Chứng