Bài tập cơ lí thuyết

chuyên đề cơ lí thuyết ngành xây dựng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT KHOA: Xây dựng và cơ học ứng dụng BỘ MƠN: Cơ

Số ĐVHT: 4

Trình độ đào tạo : Đại học

Chương 5(ĐLH): CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN ĐỘNG LỰC HỌC

1 Các nội dung kiến thức tối thiểu mà sinh viên nắm vững sau khi học xong chương 5 a – Nội dung

Bài tĩan chuyển động tương đối của điểm

2 Các mục tiêu đánh giá và dạng câu hỏi gợi ý chương 5

Stt Mục tiêu KTra Nội dung Dạng câu hỏi gợi ý

ĐLH

- Phương trình vi phân ĐLH trong chuyển động tương đối

- F mW

- mWrFeqtFcqtF

động của điểm bằng định luật cơ bản ĐLH 4 Phân tích

6 So sánh, đánh giá

3 Ngân hàng câu hỏi và đáp án chi tiết chương 5

1 Bài 1 Người công nhân kéo vật nặng A có trọng lượng P trượt trên mặt phẳng ngang không nhẵn bằng lực G  const.

tạo góc  với phương nằm ngang Hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt ngang là f Ban đầu vật có vận tốc v0

Thiết lập phương trình chuyển động của vật A và trị số G của lực để vật chuyển động đều

Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN

Đáp án bài 1

 Phương trình chuyển động A Áp dụng công thức: mW F

P   

 Chiếu phương trình xuống các trục tọa độ:

0 = -P + N + G sin  N = P – G sin Với điều kiện đầu t = 0, x0 = 0, x 0 v0

Giải hệ phương trình trên ta tìm được phương trình chuyển động của vật A

 Giá trị vật G, để vật chuyển động đều x = 0 

Bài2 Một vật được ném thẳng đứng với vận tốc v0

Tìm độ cao mà vật đạt được và thời gian lên đến điểm đó 2

Đáp án bài 2

 Thời gian vât chuyển động Áp dụng công thức: mW F

= v

Bài 3 Một chất điểm có khối lượng 1 kg chuyển động trong mặt phẳng nằm ngang từ gốc toạ độ với vận tốc hướng theo trục x , trị số v0 = 1 m/s và chịu tác dụng của lực hướng theo trục y trị số F = 100 cos (5t )

Tìm quỹ đạo của chất điểm 3

Đáp án bài 3

Quỹ đạo của chất điểm

Áp dụng công thức: mW F

 Chiếu lên hệ trục tọa độ







Lúc t = 0 thì xo = 0 , xovo do đó: C1 = 0 và C2 = vo

0 = 0 , yo0 do đó: C3 = 0 và C4 = 4 Vậy có các phương trình chuyển động

x = 10 t

y = 4 ( 1 - cos 5t ) Quỹ đạo của điểm : y = 4 ( 1 - cos x

2 )

4 Bài 4 Một chiếc thuyền có khối lượng m chuyển động với vận tốc v0 Có thể xem vận tốc nhỏ, lực cản của nước tỉ lệ bậc nhất theo qui luật R=v Hỏi sau thời gian bao lâu thì vận tốc giảm đi một nửa và quãng đường mà thuyền di chuyển được trong khoảng thời gian đó.Hãy tìm quãng đường thuyền đi được cho đến khi dừng hẳn

X Y

Z

M V

Vo

Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN

Đáp án bài 4

 Thời gian

Phương trình vi phân cho chuyển động thẳng: F mw

 mdv

dt =Fkx = -R = -v  dv

v = - dtm

5 Bài 5 Chất điểm M có khối lượng m treo bằng sợi dây có chiều dài l Ban đầu chất điểm ở vị trí thấp nhất và được truyền vận tốc V0 theo phương ngang.Xác định :

1 Ở vị trí nào dây trùng lại và chất điểm như chuyển động tự do ?

2 Vận tốc ban đầu nhỏ nhất bằng bao nhiêu để chất điểm có thể chuyển động cả đường tròn ?

V

Đáp án bài 5

Ở vị trí dây trùng lại

Áp dụng công thức: F mW

 = - g

l sin  dgsin dl

      (3) Lấy tích phân 2 vế (3) 

vl -g Thế vào (2’) 2g

l ( cos+

l -g)=-cos  cos =

6

Đáp án bài 6

Áp dụng công thức: mW F 

 QF



Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN

 CxCxdxxCxCxBx

Khi dừng lại tại gốc tọa độ thì x = 0 và 0

x nên 0

1 a Ca 

221 Ca 

aCC 

7 Bài 7 Chất điểm M có khối lượng m chuyển động trong mặt phẳng nằm ngang XOY dưới tác dụng của lực luôn hướng về điểm O cố định F k2mr

 , trong đó r

là bán kính véctơ, k2 là hằng số tỉ lệ

Tìm phương trình chuyển động và quỉ đạo của điểm M

Biết rằng ở thời điểm t = 0 thì : x0 = a , y0 = 0 ,xo = 0 , yo= V0

Đáp án

bài 7 Áp dụng công thức : F mW F P

y = - C3ksinkt + C4 kcoskt

Dựa vào điều kiện đầu để xác định các hệ số C1, C2 , C3 C4 Tại thời điểm ban đầu, t = 0:

x = x0 = a  C1 = a y = y0 = 0  C3 = 0

A

x = a costkt

ktkVy 0 sin

 Quỉ đạo của chất điểm , ta có

8 Bài 8 Để chon các hạt người ta cho hạt đi qua sàn dao động ngang có nhiều lỗ Vận tốc ngang của hạt khi bắt đầu chuyển động qua lỗ là vo Hạt có dạng hình cầu bán kính R Bỏ qua ma sát không khí Xác định độ dài bé nhất b của lỗ để hạt có thể rơi qua lỗ được

Đáp án bài 8

gt2 và y = vo t  Quĩ đao điểmy(x) =vo

2

Điều kiện để hạt rơi xuống lỗ: x=R và y = b – R Hay : b – R = vo

 b = R + vo b

X

Y

Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN

Bài 9 Nữa đường tròn AB có bán kính R, quay đều quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc ω Chiếc nhẫn M trượt không có ma sát dọc theo vòng Tại thời điểm đầu, nhẫn M có vị trí cao nhất A, sau đó hơi lệch khỏi trục và bắt đầu trượt

Tìm vận tốc tương đối của nhẫn phụ thuộc vào góc  ở tâm đường tròn 9

Đáp án bài 9

Vận tốc tương đối của nhẫn phụ thuộc vào góc  ở tâm đường tròn

Áp dụng công thức chuyển động tương đối

mgsin Feqt coss



hay:  sin2sincosR

Để tìm  theo , ta dùng phép biến đổi:

   sind2sincosd.R

gd 

Tích phân phương trình trên với điều kiện đầu t = 0, 0 = 0, 0 0, ta có

Vận tốc tương đối của chất điểm M :Vr =

Bài 10

Quả cầu nhỏ M có trọng lượng P = 2N được đặt trên mặt nghiêng nhẵn của khối lăng trụ tam giác A Lăng trụ có thể trượt trên mặt phẳng ngang Mặt nghiêng của lăng trụ tạo với mặt phẳng ngang góc

 Lăng trụ A phải trượt trên mặt phẳng ngang với gia tốc là bao nhiêu để quả cầu đứng yên trên nó vàtìm phản lực do lăng trụ A tác dụng vào quả cầu

10

Đáp án bài 10

Gia tốc A để quả cầu đứng yên trên nó và phản lực lăng trụ A tác dụng vào quả cầu y

We =W



Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN

Điều kiện cân bằng trong chuyển động tương đối: 0

    FNFeqt0



TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT KHOA: Xây dựng và cơ học ứng dụng BỘ MÔN: Cơ

2 Các mục tiêu đánh giá và dạng câu hỏi gợi ý chương 6

Stt Mục tiêu KTra Nội dung Dạng câu hỏi gợi ý

lượng

- Định lý chuyển động khối tâm

- Định lý biến thiên momen động lượng - Định lý biến thiên động

- 0 mo(Fke)

)(- T = 



Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN

3 Vận dụng - Thuần thục các định lý để giải bài tĩan trong kỹ thuật

4 Phân tích

6 So sánh, đánh giá

So sánh các định lý khi dùng để giải các bài tĩan động lực học

3 Ngân hàng câu hỏi và đáp án chi tiết chương 6

TT Lọai Nội dung

Bài 1 Thuyền và người đang chuyển động với vận tốc V0 Bỏ qua sức cản của nước , Hãy xác định dịch chuyển S của thuyền nếu người đi trên thuyền với vận tốc tương đối không đổi u về phía mũi thuyền Trọng lượng của người là P của thuyền là G Với giá trị nào của u thì thuyền không dịch chuyển

1

Đáp án bài 1

Áp dụng định lý biến thiên động lượng :

Chiếu lên chiều chuyển động ta có: Sx 0Q0x Q1x

2 Bài2

Cho cơ hệ gồm vật nặng A trọng lượng P đặt trên mặt phẳng nghiêng của lăng trụ B có trọng lượng Q Góc nghiêng của mặt lăng trụ với mặt ngang là  Lăng trụ đặt trên mặt phẳng ngang nhẳn như hình vẽ, ban đầu vật nặng đặt nằm yên trên lăng trụ, còn lăng trụ trượt sang phải với vận tốc V0 Sau đó cho vật A trượt xuống mặt phẳng nghiêng lăng trụ với vận tốc tương đối u Xác định vận tốc của lăng trụ

A B



Đáp án bài 2

Xác định vận tốc của vật

Áp dụng định lý biến thiên động lượng : 2 1 ekQ Q S

Chiếu lên phương x: Q2x – Q1x = 

 Động lượng sau : Q2x = mAvAx + mBvBx trong đó: vAvevr

3 Bài 3 Vòi phun nước của 1 xe cứu hỏa có tiết diện F = 16 2

cm Nước phun ra với tốc độ là 8

m/s Xác định áp lực nước lên 1 vách thẳng đứng theo phương ngang khi ta đặt chếch 1 góc bằng 0

 so với phương nằm ngang ?



Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN

Đáp án bài 3

Xét khối lượng nước từ miệng vòi phun tới mặt vách ( phần abcd ) Sau khoảng thời gian t lượng nước tuôn thêm vào khối đó bằng phần aa’ còn lượng nước ra khỏi khối đó bằng phần cc’ và dd’ Như vậy biến thiên động lượng của khối nước bằng ::

QQ 

m1 cos300

và do

Bài 4 Bánh xe đồng chất có trọng lượng P, lăn có trượt trên đường thẳng nằm ngang dưới tác

dụng của lực ngang G const

tại tâm bánh xe Hệ số ma sát trượt giữa bánh xe và mặt đường là f Tại thời điểm ban đầu bánh xe đứng yên Tìm chuyển động khối tâm C của bánh xe

4

Đáp án bài 4

Tìm chuyển động khối tâm C của bánh xe Aùp dụng công thức : MWc F

    Chiếu phương trình xuống các trục tọa độ

c c’

d’ d’ b’

vm

Phương trình chuyển động của khối tâm C : 

Bài 5 Hai vật A, B có trọng lượng tương ứng bằng P1 và P2 được nối với nhau bằng lò xo thẳng đứng và đặt trên mặt phẳng ngang cố định Với vật A dao động theo phương thẳng đứng quanh tâm O theo quy luật zA = asinkt với a, k = const >0 Bỏ qua trọng lượng của lò xo Tìm áp lực của vật B lên mặt ngang Tần số k phải thỏa mãn điều kiện gì để vật B không bị nẩy lên khỏi mặt ngang

5

Đáp án bài 5

 Tìm áp lực của vật B lên mặt ngang Aùp dụng công thức : MWc F

     Chiếu lên trục OZ : MzC P1P2 N

xác định tọa độ khối tâm của hệ

aPPPg k hay g

6 Bài 6 Vật A có khối lượng m1 và được nâng lên nhờ hệ thống ròng rọc như hình vẽ Xác địmh phản lực của ròng rọc I , nếu vật B có khối lưộng m2 hạ xuống với vận tốc W Bỏ qua ma sát và khối lượng của ròng rọc

B

Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN

Đáp án bài 6

Áp dụng định lý chuyển động khối tâm: MWC FMWc P1P2NChiếu lên trục y ta có:

 12

My  m mgN (*)

Trong đó : Myc m y1 1m y2 2 1 22

Wmy m Wm

7 Bài 7 Động cơ điện trọng lượng P đặt tự do trên sàn nhẵn nằm ngang Người ta gắn một

đầu của thanh đồng chất dài 2 l và nặng p vào trục của động cơ dưới một góc vuông,

còn đầu kia gắn vào tải trọng Q, vận tốc gốc của trục bằng  Hãy xác định :

1) Phương trình chuyển động ngang của động cơ

2) Lực cắt ngang lớn nhất R tác dụng lên các bulông nếu ta gắn vỏ động cơ vào nền

bằng các bulông

Đáp án bài 7

1) Chuyển động ngang của động cơ

Aùp dụng công thức : MWc F

PNp Q

     Chiếu lên trục x: M xc = 0  xc = const

x y

O

R

x y

O

R

Lúc đầu hệ đứng yên  xc = 0  xC = const

Lúc đầu OA = Oy Nên: x 0

2 )(

sin t

2) Lực tác dụng lên bulông hướng theo trục x Rx= MWCX =mxx k =

+

+

+

+

= -

l sin t -2gQ

2 l 2

 sin t =

tính đối với trục quay là 

8

Đáp án bài 8

Aùp dụng định lý momen động lượng của hệ đối với trục Z ta được :

Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN

Trong đó:

- Lz = Jz  + 1

V r

V Rg

Qg 

Tìm vận tốc góc của đĩa tại thời điểm bất kỳ, sau khi viên bi rời khỏi tâm của nó và tại thời điểm khi viên bi chạy đến mép của đĩa Bỏ qua ma sát tại ổ quay

9

Đáp án bài 9

 Tìm vận tốc góc của đĩa tại thời điểm bất kỳ

Aùp dụng định lý momen động lượng của hệ đối với trục Z ta được : ( ) ( ) ( ) ( ) 0

Vậy momen động lượng bảo tòan đối với trục Z  LZ = const Trong đó:

LZ0 = LZ1  2 02 22

Tìm vận tốc góc của đĩa tại thời điểm khi viên bi chạy đến mép của đĩa Tại thời điểm đó :

t 1  vận tốc góc của đĩa :

Bài 10

Cơ cấu hạn chế tốc độ gồm : tấm hình chữ nhật có chiều rộng 2b và chiều cao 2a quay không ma sát quanh trục thẳng đứng nhờ dây quấn quanh hình trụ bán kính r.Đầu dây còn lại treo vật nặng B có khối lượng m Mỗi diện tích dS của tấm chịu tác dụng của lực cản vuông góc với nó là dR=kvds ,(k là hệ số cản nhớt của môi trường, v là vận tốc của mỗi phần tử tương ứng ) Xác định khối lượng m để vận tốc góc giới hạn của tấm là

 bỏ qua khối lượng ròng rọc và hìmh trụ

10

Đáp án bài 10

Gọi  góc quay của tấm hình chữ nhật quanh trục Oy Mỗi phần tử của tấm hình chữ nhật chịu lực cản là:

dR=kvds= kx dxdy (Vì vx , ds=dxdy) Mômen cản của mồi phần tử tấm hình chữ nhật

m 2a

b

o

A

Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN

Áp dụng định lý : m  Fdt

2 

Bài 11

Khuôn vuông ABCD được chế tạo bằng các thanh đồng chất , có thể quay quanh với trục nằm ngang đi qua điểm A Tại thời điểm ban đầu khung lệch khỏi vị trí cân bằng góc  và thả ra không vận tốc đầu Xác định qui luật chuyển động của khung nếu 0

đường chéo d=0.96 11

Đáp án bài11

Áp dụng định lý : m  Fdt

31

Với l=0.69m thế số vào và rút gọn:  2

 0cos 3, 5t

12 Bài 12

Thanh đồng chất có chiều dài 2l nằm trên mặt phẳng nằm ngang quay tự do với vận tốc góc  quanh trục thẳng đứng đi qua trọng tâm của nó Tìm thời gian quay của nó 0

đến lúc dừng lại, nếu coi áp lực của mặt phẳng lên nó là đều Hệ số ma sát của thanh và mặt phẵng là như nhau

Đáp án bài12

Gọi  là góc quay của thanh

Áp dụng định lý : z  

dt   (*) Trong đó:  Lz =1 2

  (**) Lấy tích phân (**) ta được : 1

Tại t=0, 0c1= 0 0

Tại thời điểm thanh dừng lại   0

z

Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN

13 Bài 13

Trên con lăn trụ bán kính R trọng lượng P có cuốn 1 sợi dây vắt qua vòng rọc O và một đầu dây treo vật D trọng lượng Q – Ban đầu hệ đứng yên

Hãy xác định vận tốc v0 của tâm C con lăn sau khi đi được một quãng đường bằng s Tìm gia tốc Wc của tâm con lăn - Hệ số ma sát lăn của con lăn bằng k, bán kính quán tính của con lăn đối với trục bằng  Khối lượng của dây và của ròng rọc O bé không đáng kể

Đáp án bài13

Áp dụng công thức :    ike

0 

T và Aki  0 1 ek

T A (*)  Động năng của hệ : T = Tcl + TD

Trong đó : TD = 12

vv 

 T =

 Vận tốc tâm con lăn :

 Gia tốc tâm con lăn :

14 Bài 14

Vật A có khối lượng m1 đặt trên mặt phẳng ngang nhẵn, gắn bản lề tại O với thanh thẳng đồng chất OB có khối lượng m2 và chiều dài l Hệ bắt đầu chuyển động từ trạng

thái tĩnh, khi đó thanh OB nằm ngang Bỏ qua ma sát tại bản lề O Tìm vận tốc của vật A tại thời điểm khi thanh OB ở vị trí thẳng đứng

A

Q C

O

B

Đáp án bài14

Tìm vận tốc của vật A tại thời điểm khi thanh OB ở vị trí thẳng đứng Áp dụng công thức : T1T0 Ake Aki

Lúc đầu hệ đứng yên: T0 0 và Aki  0 1 ek

T A (*) 

Trong đó: vcvrve=

 – vA , 

v , ve = vA, 2

lmJC  ,

Thay các giá trị vào (*): 

 12 12

15 Bài 15

Đoạn dây xích AB có chiều dài l, có hai phần ba xích nằm dọc theo đường dốc chính của mặt phẳng, nghiêng góc  với phương nằm ngang, phần còn lại của xích được buông thõng theo phương thẳng đứng Dưới tác dụng của trọng lực, dây xích bắt đầu chuyển dọc theo mặt phẳng nghiêng xuống phía dưới từ trạng thái tĩnh Cho biết hệ số ma sát giữa xích với mặt nghiêng là f

Tìm vận tốc của xích tại thời điểm khi đầu B của xích chuyển động đến điểm O, xích

bắt đầu nằm hoàn toàn trên mặt nghiêng l

Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN

Đáp án bài15

Tìm vận tốc của xích tại thời điểm khi đầu B của xích chuyển động đến điểm O

Áp dụng định lý biến thiên động năng dạng vi phân : dT dA (*)

Tại vị trí bất kỳ của hệ được xác định bởi tọa độ OA = x, đoạn OA có trọng lượng P1 =

và đoạn OB có trọng lượng P2 = 

lxlP 

Lực ma sát tác dụng vào đoạn xích OA có giá trị bằng:

Cơ hệ chuyển một đoạn vô cùng bé dx

dA 1 sin  max  2

5sin cos 1

 v= lg5sin cos  1

31

16 Bài 16

Cho tấm tròn A có bán kính nằm trong mặt phẳng ngang và quay quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc 0 Trên mép bàn có người B đứng im đối với bàn

Tìm công do người B sinh ra để có thể chạy vào đến tâm O cùa bàn Biết momen quán tính của bàn đối với trục quay là J Người B được xem như là chất điểm có khối lượng m Bỏ qua ma sát tại trục quay của bàn

Đáp án bài16

Tìm công do người B sinh ra để có thể chạy vào đến tâm O của bàn

Aùp dụng định lý biến thiên động năng dạng hữu hạn :T1T0 A (*)  Tại vị trí ban đầu, động năng của hệ là:

T  (**) Để tìm 1:  e 0

 

Thay kết quả này vào (**), ta được:

022

Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN

Thay các kết quả vào (*) và (**) ta được tổng công :

17 Bài 17

Một vật A có trọng lượng P đựơc kéo lên từ trạng thái đứng yên nhờ tời B là đĩa tròn đồng chất có bán kính R, trọng lượng Q và chịu tác dụng ngẫu lực có mômen M không đổi,

1 Tìm vận tốc vật A khi nó được kéo lên một đoạn bằng h 2 Tìm gia tốc vật A

Đáp án

bài17 1 Vận tốc vật A khi nó được kéo lên một đoạn bằng h Áp dụng công thức : T1T0 Ake Aki

Lúc đầu hệ đứng yên: T0 0 và Aki  0 1 ek

T A (*)  Biểu thức động năng của hệ : T1 = TA + TB

Trong đó : TA = 2

; TB = 1 2

2Jo ; Jo = 2

;

 T1 =

gQP 

 Biểu thức công: 

= A M()A P( )MPh

h

2 Gia tốc vật A

Đạo hàm hai vế biểu thức vận tốc : 2

18 Bài

18

Con lăn A lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng một góc  với phương ngang làm cho vật C trọng lượng P được nâng lên nhờ ròng rọc B Con lăn A và ròng rọc B là hai đĩa tròn đồng chất cùng trọng lượng Q và bán kính R

Xác định gia tốc của vật C

PO

B

A M

Đáp án bài18

Xác định gia tốc của vật C

Áp dụng công thức : T1T0 Ake Aki Lúc đầu hệ đứng yên: T0 0 và Aki  0

; TB = 2

J , TC = 2

,

 T1 = (2 )2

  Biểu thức cộng :  e

A = ( Q sin  - P) h Thay vào (*) đạo hàm hai vế:  w = g

19 Bài

19 Vât A và B có trọng lượng là P1 và P2 còn ròng rọc C được xem như một đĩa đồng chất trọng lượng Q Xác định gia tốc của vật A khi rơi xuống, cho biết hệ số ma sát giữa vật B và mặt ngang là f, ma sát ổ trục ròng rọc bỏ qua

Đáp án bài19

Aùp dụng định lý biến thiên động năng:

Q



B

A C

P2

P1

Q

Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN

T  , Aki  0 1 ek

; TC = 1 2

2 2 A

g ù , TB = 1 22

Công của các lực : A = P1h fP2h

20 Bài 20

Trục đồng chất khối lượng m lăn không trượt trên mặt trụ từ vị trí được xác định bởi  0

Xác định áp lực pháp tuyến của trụ tròn lên mặt trụ cố định như hàm của góc  nếu 0

ban đầu hệ đứng yên Bỏ qua ma sát lăn

Đáp án

bài20 Áp dụng định lý chuyển động khối tâm:

MW F P N

Chiếu (*) lên phương pháp tuyến:

Thanh đồng chất AB dài a đặt trong một mặt phẳng thẳng đứng hợp với phương ngang

B

A C

P2

P1

Q Fms

N