Chuong 1 - Tom tat ly thuyet

Ch ng – Tóm t t lý thuy t 2015 (Dành cho ng i h c hành – hi u bi t – nh r i) * ThS Ph m Trí Cao CHƯƠNG I) QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ 1) Biến cố A gọi kéo theo (con / suy ra) biến cố B A xảy dẫn đến B xảy (khi thực phép thử) Ký hiệu: A  B hay A  B Lưu ý: Nếu A  B A.B = A Nếu A  B A+B = B VD: A.(A+B) = A 2) Hai biến cố A, B gọi (tương đương) A  B B  A Ký hiệu: A = B hay A  B VD 1: Xét gia đình có A = biến cố gia đình có trai B = biến cố gia đình có nhiều gái VD 2: Trường đại học AYE dạy ngoại ngữ AV PV Gặp ngẫu nhiên sinh viên trường A = biến cố sinh viên giỏi AV B = biến cố sinh viên giỏi PV C = biến cố sinh viên giỏi ngoại ngữ C = A.B Ch ng – Tóm t t lý thuy t 2015 (Dành cho ng i h c hành – hi u bi t – nh r i) * ThS Ph m Trí Cao 3) Tổng (hợp) biến cố A, B xảy có biến cố thành phần xảy Ký hiệu: A+B hay AB Tính giao hoán: A+B = B+A L u ý: AB  AB  AB  A B ; AB  AB  AB  A B VD: A = biến cố người A thi đậu B = biến cố người B thi đậu A+B : có người thi đậu A B : có người thi rớt 4) Tích (giao) biến cố A, B xảy biến cố thành phần xảy Ký hiệu: A.B hay AB Tính giao hoán: A.B = B.A VD: A = biến cố người A thi đậu B = biến cố người B thi đậu A.B : người thi đậu AB : người thi rớt : người có kết thi A.B+ AB 5) Hai biến cố A, B gọi xung khắc A, B không đồng thời xảy thực phép thử Ký hiệu: A.B =  Ch ng – Tóm t t lý thuy t 2015 (Dành cho ng i h c hành – hi u bi t – nh r i) * ThS Ph m Trí Cao Lưu ý: A, B không xảy VD: 1) Lấy sản phẩm từ hộp có sản phẩm tốt, sản phẩm xấu A1 biến cố sản phẩm lấy lần thứ tốt A2 biến cố sản phẩm lấy lần thứ hai tốt A1, A2 không xung khắc 2) Lấy sản phẩm từ hộp có sản phẩm tốt, sản phẩm xấu A1 biến cố có sản phẩm tốt A2 biến cố có sản phẩm tốt A1, A2 xung khắc 6) Nhóm biến cố A1,…, An gọi xung khắc đôi lấy biến cố nhóm tạo thành đôi đôi xung khắc VD 1: M t gia đình có A= bc gia đình có gái B= bc gia đình có trai C= bc gia đình có trai VD 2: H p có bi T bi X L y ng u nhiên t h p bi A= bc l y đ c bi X B= bc l y đ c bi T C= bc l y đ c bi T Ch ng – Tóm t t lý thuy t 2015 (Dành cho ng i h c hành – hi u bi t – nh r i) * ThS Ph m Trí Cao 7) Hai biến cố A, B gọi đối lập A, B xung khắc tổng biến cố biến cố chắn  Ký hiệu: A hay A* đối lập biến cố A Lưu ý: Bắt buộc biến cố A B phải xảy thực phép thử VD: H p có bi T bi X L y ng u nhiên bi t h p A= bc l y đ c nh t bi T B= bc l y đ c nh t bi X 8) Nhóm biến c A1,…, An gọi đầy đủ (và xung khắc đôi) A1,…, An nhóm xung khắc đôi tổng chúng  Lưu ý: A A nhóm đầy đủ VD: Một gia đình có TT, TG, GT, GG nhóm đầy đủ 0T, 1T, 2T nhóm đầy đủ 9) Hai biến cố A, B gọi độc lập A, B không ảnh hưởng đến khả thực phép thử Tức là: A có xảy hay không xảy không ảnh hưởng đến khả xảy B B có xảy hay không xảy không ảnh hưởng đến khả xảy A Ch ng – Tóm t t lý thuy t 2015 (Dành cho ng i h c hành – hi u bi t – nh r i) * ThS Ph m Trí Cao Các điều sau tương đương với A, B độc lập: P(A/B) = P(A) P(B/A) = P(B) P(A.B) = P(A).P(B) P(A/B) = P(A/ B ) Lưu ý: A, B độc lập đối lập độc lập VD 1: Lấy bi từ hộp có bi T bi X A= bc lần lấy bi T B= bc lần lấy bi X VD 2: Lấy có hoàn lại bi từ hộp có bi T bi X A= bc lần lấy bi T B= bc lần lấy bi T 10) Nhóm bi n c A1,…, An gọi độc lập (toàn phần/toàn thể) lấy biến cố nhóm độc lập với tích biến cố lại VD: A, B, C độc lập  A, B độc lập A, C độc lập B, C độc lập A, BC độc lập B, AC độc lập C, AB độc lập Lưu ý: Nhóm A1,…, An độc lập đối lập độc lập Ch ng – Tóm t t lý thuy t 2015 (Dành cho ng i h c hành – hi u bi t – nh r i) * ThS Ph m Trí Cao 11) Các tính chất c a bi n c A A A A   ; A A   A   A ; A.   A    ; A.  A A+B = B+A ; A.B = B.A A+A = A ; A.A = A A.B+A.C = A.(B+C) (A+B).(A+C) = A+B.C Luaät De Morgan: A B  AB ; AB  A B A B  C  AB C ; AB C  A B  C Lưu ý 1: Luật De Morgan giúp chuyển dấu + thành dấu , ngược lại Lưu ý 2: Để diễn tả quan hệ biến cố ta dùng dấu: cộng (+), nhân (.), dấu đối lập ( A) VD: Hai người thi cuối kỳ môn XSTK A = biến cố người A thi đậu B = biến cố người B thi đậu AB  AB : có người thi đậu AB  AB : người có kết thi Ch ng – Tóm t t lý thuy t 2015 (Dành cho ng i h c hành – hi u bi t – nh r i) * ThS Ph m Trí Cao II) CÁC CÔNG THỨC XÁC SUẤT 0) Tính xác suất theo định nghóa cổ điển P(A) = s bi n c s c p thu n l i cho A / s bi n c s c p x y Lưu ý 1: Các biến cố sơ cấp phải đ ng kh n ng xảy VD: Xét gia đình có TT, TG, GT, GG biến cố sơ cấp đồng khả xảy 0T, 1T, 2T không biến cố sơ cấp đồng khả xảy Lưu ý 2: Ta có cách lấy phần tử xác suất C1: Lấy ngẫu nhiên bi (phân phối Siêu bội) Lấy lần đủ bi xem màu C2: Lấy bi Lần lấy bi xem màu bỏ luôn, lần lấy tiếp bi xem màu C3: Lấy có hoàn lại bi (phân phối Nhị thức) Lần lấy bi từ hộp xem màu, hoàn lại bi vào hộp, lần lấy tiếp bi xem màu A biến cố ngẫu nhiên P ( A)C1  P ( A)C  P ( A)C Neáu lấy phần tử tập nhiều phần tử (n P({A+B}/C) = P(A/C)+P(B/C) c) P ( A)   P ( A) d) P ( A/ B)   P ( A/ B) 2) Công thức xác suất có điều kiện P ( A/ B)  P ( AB) P (B) Trong thực tế ta giới hạn không gian mẫu theo điều kiện B cách dễ dàng không cần dùng công thức Dạng câu hỏi công thức xác suất có điều kiện: Nếu (biết) kiện B xảy rồi, tính xác suất kiện A xảy VD: Tung xúc xắc Không gian maãu  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = bc xúc xắc xuất mặt có số nút lẻ B = bc xúc xắc xuất mặt có số nút lớn B = {5,6} nên P(A/B) = ½ VD: Hộp có bi T bi X Lấy ngẫu nhiên bi từ hộp T Lấy tiếp bi Tính xác suất lần lấy T X Sau lần lấy hộp T X Xác suất lần lấy T vaø X laø C (2,5).C (1,6) C (3,11) Quan trọng ghi kết nào?! Ch ng – Tóm t t lý thuy t 2015 (Dành cho ng i h c hành – hi u bi t – nh r i) * ThS Ph m Trí Cao 3) Công thức nhân P(A.B) = P(A/B).P(B) = P(B/A).P(A) A, B độc lập  P(A.B) = P(A).P(B)  P(A/B) = P(A)  P(B/A) = P(B)  P(A/B) = P(A/ B ) Quan trọng là: Xác định A, B có độc lập không Chọn cách ghi công thức cho dễ tính xác suất 4) Công thức xác suất đầy đủ A, B, C tạo thành nhóm / hệ biến cố đầy đủ P(F) = P(F/A).P(A)+P(F/B).P(B)+P(F/C).P(C) Lưu ý: Thường vẽ sơ đồ cho dễ hình dung cách tính Quan trọng xác định nhóm biến cố đầy đủ cho dễ tính xác suất 5) Công thức Bayes A, B, C tạo thành nhóm biến cố đầy đủ P ( A/ F )  P ( AF ) P ( F / A).P ( A)  P(F ) P(F ) Công thức Bayes trường hợp đặc biệt công thức xác suất có điều kiện Lưu ý: F  AB C  AB C  AB C P ( A/ F )  P ( AF ) P ( AB C )  P (F) P(F ) Gợi ý để dùng công thức Bayes? Ch ng – Tóm t t lý thuy t 2015 (Dành cho ng i h c hành – hi u bi t – nh r i) * ThS Ph m Trí Cao 6) Các công thức xác suất mở rộng 6) P ( A/ B)  P ( AB) P ( B)  P ( AB)    P ( A/ B) P ( B) P ( B) P ( B / A)  P ( AB) P ( A)  P ( AB)    P ( B / A) P ( A) P ( A) P ( A/ B)  P ( AB) P ( A)  P ( AB)   P ( B) P ( B) P ( A/ B)  P ( AB ) P ( A B)  P ( A B)    P ( B) P ( B) P ( B) 7) P ( AB )  P ( A)  P ( AB) P ( AB )  P ( B)  P ( AB) P ( AB  AB )  P ( A)  P ( B)  2P ( AB) P ( A B)  P ( AB)   P ( AB) P ( AB )  P ( A B)   P ( A B) P ( A AB )  P ( A)  P ( AB )  P ( A)  P ( B)  P ( AB)  P ( A B) P ( A B)  P ( A)  P ( B)  P ( AB)  P ( A)   P ( B)  {P(A)  P(AB)}   P ( B)  P ( AB) P ( AB  AB )  P ( AB)  P ( AB )  P ( AB)  P ( A B)  P ( AB)   P ( A  B) 8) A, B, C xung khắc đôi: P ( AB C )  P ( A B  C )   P ( A B  C )   {P(A)  P( B)  P(C)} A, B, C độc lập toàn thể: P ( A) P( B) P(C)  P ( AB C)  P ( A B  C )   P ( A B  C ) 10 Ch ng – Tóm t t lý thuy t 2015 (Dành cho ng i h c hành – hi u bi t – nh r i) * ThS Ph m Trí Cao 7) Công thức cho dạng toán lấy nhiều lần có tính chất A1, A2 nhóm đầy đủ a) P ( B)  P (B/ A1) P(A1)  P (B/ A2 ) P(A2 ) b) P ( F / B)   P ( FB) P ( FB.) P ( FB.{A1  A2 }) P ( FBA1 )  P ( FBA2 )    P ( B) P ( B) P ( B) P (B) P ( F / BA ) P( BA )  P ( F / BA ) P ( BA ) 1 2 P (B) P ( F / BA ) P( B / A ) P( A )  P ( F / BA ) P ( B / A ) P( A ) 1 2  P (B) Hoaëc P ( F / BA ) P( BA )  P ( F / BA ) P ( BA ) 1 2 P ( F / B)  P (B) P ( F / BA ) P( A1 / B) P(B)  P ( F / BA ) P (A / B) P(B)  P (B)  P ( F / BA1 ) P( A1 / B)  P ( F / BA2 ) P (A / B) VD 1: Có hộp loại 1, hộp loại 2, hộp loại Hộp loại có bi T bi X, hộp loại có bi T bi X, hộp loại có bi T bi X Chọn ngẫu nhiên hộp (trong 12 hộp) từ hộp lấy ngẫu nhiên bi bi T Cũng từ hộp chọn lấy ngẫu nhiên tiếp bi Tính xác suất bi lấy lần bi T? 11 Ch ng – Tóm t t lý thuy t 2015 (Dành cho ng i h c hành – hi u bi t – nh r i) * ThS Ph m Trí Cao HD: Vẽ sơ đồ liên hệ xác suất tính lần lần 2: * Ai = bc lấy hộp loại i, i = 1, 2, P(A1)= 3/12 ; P(A2)= 5/12 ; P(A3)= 4/12 * B = bc lần lấy bi T P(B) = P(B/A1).P(A1)+ … +P(B/A3).P(A3) * F = bc lần lấy bi T P ( F / B)  P ( F / BA ) P( B / A ) P( A )   P ( F / BA ) P ( B / A ) P( A ) 1 3 P (B) VD 2: Một kiện hàng có 10 sản phẩm có sản phẩm loại I sản phẩm loại II Nhân viên bán hàng chọn ngẫu nhiên từ kiện sản phẩm để trưng bày a) Khách hàng thứ chọn ngẫu nhiên sản phẩm số sả n phẩm lại kiện để mua Tìm xác suất để khách hàng mua sản phẩm loại I? 12 Ch ng – Tóm t t lý thuy t 2015 (Dành cho ng i h c hành – hi u bi t – nh r i) * ThS Ph m Trí Cao b) Khách hàng thứ hai chọn ngẫu nhiên sản phẩm số sản phẩm lại kiện để mua Tính xác suất để khách hàng thứ hai mua sản phẩm loại I khách hàng thứ mua sản phẩm loại I? HD: a) G i Ai bi n c nhân viên bán hàng lấy i s n ph m lo i I để trưng bày, i = 0, 1, B bi n c khách hàng th nh t mua ñ c s n ph m lo i I P(B) = 1/3 b) F bi n c khách hàng th hai mua đ c s n ph m lo i I P(F/B) = 1/2 https://sites.google.com/a/ueh.edu.vn/phamtricao/ https://sites.google.com/site/phamtricao/ 13 ... 11 Ch ng – Tóm t t lý thuy t 2 015 (Dành cho ng i h c hành – hi u bi t – nh r i) * ThS Ph m Trí Cao HD: Vẽ sơ đồ liên hệ xác suất tính lần lần 2: * Ai = bc lấy hộp loại i, i = 1, 2, P(A1)= 3 /12 ... (B/ A1) P(A1)  P (B/ A2 ) P(A2 ) b) P ( F / B)   P ( FB) P ( FB.) P ( FB.{A1  A2 }) P ( FBA1 )  P ( FBA2 )    P ( B) P ( B) P ( B) P (B) P ( F / BA ) P( BA )  P ( F / BA ) P ( BA ) 1 2... ) P( A ) 1 2  P (B) Hoaëc P ( F / BA ) P( BA )  P ( F / BA ) P ( BA ) 1 2 P ( F / B)  P (B) P ( F / BA ) P( A1 / B) P(B)  P ( F / BA ) P (A / B) P(B)  P (B)  P ( F / BA1 ) P( A1 / B) 