de tuyen sinh vao lop 10 mon toan truong thpt chuyen le quy don

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 TRƯỜNG THPT CHUN LÊ Q ĐƠN Đề thức Mơn: TỐN(CHUN) Ngày thi: 05/06/2015 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1: (2 điểm) a) Cho số thực x > thỏa mãn điều kiện: x   14 x 1 Tính giá trị biểu thức A  x  B  x  x x b) Rút gọn biểu thức A   10    10  Bài 2: (2 điểm) a) Tìm số nguyên x, y, z thỏa mãn: x  5y  z  2(y  z)  4xy         b) Giải hệ phương trình: 1  2  y x 1  2  x y Bài 3: (2 điểm) 21n  tối giản với n nguyên dương 14n  b) Giải phương trình x  mx  n  , biết phương trình có hai nghiệm nguyên dương phân a) Chứng minh phân số biệt m, n hai số nguyên tố Bài 4: (3 điểm) Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) cắt I J (R’ > R) Kẻ tiếp tuyến chung hai đường tròn đó; chúng cắt A Gọi B C tiếp điểm hai tiếp tuyến với (O’; R’); D tiếp điểm tiếp tuyến AB với (O ; R) (điểm I điểm B nửa mặt phẳng bờ O’A) Đường thẳng AI cắt (O’; R’) M (điểm M khác điểm I ) a) Gọi K giao điểm đường thẳng IJ với BD Chứng minh KB = KI.KJ ; từ suy KB = KD b) AO’ cắt BC H Chứng minh điểm I, H, O’, M nằm đường tròn c) Chứng minh đường thẳng AM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp Δ IBD Bài 5: (1 điểm) Cho a, b, c > Chứng minh a3 a + ab + b + b3 b + bc + c + c3 c + ac + a  a+b+c GV: Võ.M.Trình – THCS Cát Minh – Phù Cát – Bình Định SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: (2 điểm) 1   16  x +  (do x > 0) x x 1      1   4.14   x +  x +  =  x +  +  x +   A  x +  52 x  x x  x   x   1      1   14.52   x   x     x     x    B  x   724 x x  x  x   x     a) Từ giả thiết suy ra:  x + X + X2  Y X ± Y= ± b) Ta chứng minh được: X  X2  Y , với X  0; Y  0; X  Y   64  40  8  64  40  A   40    40      2     64  40  8  64  40        2     24  8 2   12   2  10    10  Cách 2: Ta có A > A   10   (8  10  )(8  10  )   10     16  82  10   16  24     16  2   12     1  A   10 Bài 2: (2 điểm) a) BĐT  x + 5y + z + 2y  2z  4xy  1 Vì x, y, z nguyên nên: x + 5y + z + 2y  2z  4xy  2  x  4xy + 4y + y + 2y + + z  2z +  2   x  2y  +  y + 1 +  z  1  x  2y = x =       y + =   y = 1  z 1=  z =1   1 ;y  2 1 1 Từ hệ suy  2   2 y x x y b) Điều kiện: x  Nếu x  y  1   x y 2 1  2 y x (1) VT(1) > VP(1)     Nếu x  y  1   x y 2 1  2 y x VT(1) < VP(1) nên (1) xảy x = y vào hệ ta giải x = 1, y = Cách 2: Cộng vế với vế hai PT ta được: 1 1  2   2 4 x y x y Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có: x  2 Dấu “=” xảy Tương tự  x  x  y 1 2 2 1 1  12       x x 1     x 1 x x x  y 1 1 1  12       y y 1 1  2     y 1 y y y y Thử lại x = y = nghiệm hệ PT Bài 3: (2 điểm) a) Gọi d(d  1) ước chung lớn hai số  21n   14n  3 Dấu “=” xảy  21n   kd ; 14n   ld với k, l số nguyên dương  7n    k  l  d  21n   3(k  l)d   (21n  4)  (21n  3)  kd  3(k  l)d  (3l  2k)d Vì  3l  2k  d số nguyên dương  3l  2k  d  Vậy phân số 21n  tối giản 14n  b) Gọi x1,x nghiệm nguyên dương phương trình cho, giả sử  x1  x  Theo hệ thức Viet: x1 + x = m; x1.x = n Do n số nguyên tố nên x1  1; x  n Từ x1 + x = m   n = m  n; m hai số tự nhiên liên tiếp  n = 2; m = Khi phương trình x  3x   có hai nghiệm x1  1; x  Bài 4: (3 điểm) a) Chứng minh KB = KI.KJ ; từ suy KB = KD  Do AO AO’ hai tia phân giác BAC  A, O, O’ thẳng hàng Xét:  KBI Δ KJB B K D I A O H J C O' M  chung  (góc tạo tia tt dây góc nt chắn cung BI) ; BKI Có: J1  B KI KB   KB2  KI.KJ (1) KB KJ KI KD Tương tự:  KDI ∽  KJD    KD  KI.KJ (2) KD KJ Từ (1) (2)  KB  KD  Δ KBI ∽  KJB (g.g)  b) Chứng minh điểm I, H, O’, M nằm đường tròn B K D I A O Xét tam giác ABO’ vng B, có: AB2  AH.AO ' Xét  ABI  AMB có: H O' J (3) M  (góc tạo tia tt dây góc nt chắn cung BI); BAI  chung B 1 C AB AI   AB2  AM.AI (4) AM AB AH AM Từ (3),(4)  AI.AM  AH.AO'   AI AO'   ABI ∽  AMB (g.g)    AHI ∽  AMO' ( AH AM   ; MAO' : chung ) AI AO'   M   điểm I, H, M, O’ thuộc đường tròn H c) Chứng minh đường thẳng AM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp Δ IBD AO OD R OI OI     AO' O'B R' O'M O'I OI cắt O’I A, I, M thẳng hàng  OI // O’M Do: OD // O’B (cùng  AB)     DOI BO'M   DOI   sđ DI  BIM   BO'M   sđ BM  mà BDI 2 2   BIM   IM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp BID  BDI Hay AM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp BID Bài (1,0 điểm) Ta có:  a  b3 a + ab + b a3 + b3  c3 b + bc + c b3 + c3  a c2 + ac + c c3 = a  b +  b  c +  c  a  = b3 a3      a2  ab  b2 b2  bc  c2 c2  ac  a2 a2  ab  b2 b2  bc  c2 c2  ac  a2 Vì bất đẳng thức cho tương đương với: a + b3 c3 a + ab + b + b3 + c3 b + bc + c + c3 + a c + ac + a  a + b + c M Vì hay a  ab + b a + ab + b a  b3  a  ab + b 2   a  b   (đúng)   a  b   a  b a + ab + b   a  b  (1) đẳng thức xảy a = b a  ab  b b3  c3 c3  a Tương tự   b  c  (2)   c  a  (3) 2 3 b  bc  c c  ac  a a3 b3 c3 a+b+c Cộng (1), (2), (3) suy + +  a + ab + b b + bc + c c + ac + a Đẳng thức xảy a = b = c a3 Cách 2: a + ab + b + b3 b + bc + c + c3 c + ac + a  a+b+c (1) Ta có: a + b + c = 2a – b + 2b – c + 2c – a  a3 2a  b   b3 2b  c   c3 2c  a  BĐT (1)    +          (2) 2   b + bc + c   c + ca + a   a + ab + b Xét: 2 3 a3 2a  b 3a   2a  b   a + ab + b  a b  ab  a  b   a  b  a  b      0 a + ab + b 3  a + ab + b   a + ab + b   a + ab + b  b3 2b  c c3 2c  a ;    0 2 2 b + bc + c c + ca + a Vậy (2) đúng, đo (1) Đẳng thức xảy a = b = c Tương tự: GV: Võ.M.Trình – THCS Cát Minh – Phù Cát – Bình Định ... 8 2   12   2  10    10  Cách 2: Ta có A > A   10   (8  10  )(8  10  )   10     16  82  10   16  24     16  2   12     1  A   10 Bài 2: (2 điểm) a)...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: (2 điểm) 1   16  x +  (do x >