[toanmath.com] Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi chọn HSG Quốc gia 2018 sở GD và ĐT Quảng Ngãi (Ngày 1)

[toanmath.com] Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi chọn HSG Quốc gia 2018 sở GD và ĐT Quảng Ngãi (Ngày 1) tài liệu, giá...

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN THAM DỰ KỲ THI CHỌN HSG QUỐC GIA NĂM 2018 Ngày thi: 26/10/2017 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Bài (5 điểm) a) Cho q số thực thuộc khoảng (0;1) dãy un   un 1 un n1 thỏa mãn điều  q un 1  un , n  Chứng minh dãy un  có giới hạn hữu hạn b) Cho dãy vn n1 xác định  v1  1  dãy vn  có giới hạn hữu hạn tính lim kiện , n  Chứng minh  Bài (5 điểm) Tìm số nguyên dương n nhỏ để 5n+1 chia hết cho 72018 Bài (5 điểm) Có thứ tự  a, b, c  ; với a, b, c số nguyên dương thỏa mãn điều kiện  a, b, c   23.35.57 ? (Kí hiệu  a, b, c  bội chung nhỏ ba số nguyên dương a, b, c ) Bài (5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có B, C cố định, A thay đổi Phía ngồi tam giác ABC dựng tam giác ABD, ACE vng cân A hình vng BCFG Dựng tam giác XAB vuông cân X (X khác phía với D đường thẳng AB), tam giác YAC vng cân Y (Y khác phía với E đường thẳng AC) a) Chứng minh điểm D, Y, F thẳng hàng b) Các đường thẳng DY, EX cắt P Chứng minh đường thẳng AP qua điểm cố định A thay đổi ……………………………………….HẾT……………………………………  Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay  Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN THAM DỰ KỲ THI CHỌN HSG QUỐC GIA NĂM 2018 Ngày thi: 26/10/2018 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 180 phút HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Nội dung Điểm Bài (5 điểm) a) Cho q số thực thuộc khoảng (0;1) dãy un n1 thỏa mãn điều kiện un   un1  q un1  un , n  Chứng minh dãy un  có giới hạn hữu hạn b) Cho dãy vn n1 xác định  v1  1  , n  Chứng  minh dãy vn  có giới hạn hữu hạn tính lim a Ta có un  k  un  un k  un k 1  un k 1  un k    un1  un  q  un k  un  k 1  un k 1  un  k 2   un1  un   q k  q k 1   q  un 1  un  điểm   q k  q k 1   q  q n u2  u1   q n1 1  q k  1 q u2  u1 điểm n 1 q u2  u1 1 q Vì lim q n  nên   0, N   cho un  k  un   , n  N , k  Do đó, theo tiêu chuẩn Cauchy dãy un  có giới hạn hữu hạn điểm Ta có vn  dãy số dương b   1   1   3    1   1    vn1    điểm Theo câu a), dãy vn  hội tụ tính lim  điểm Bài (5 điểm) Tìm số nguyên dương n nhỏ để 5n+1 chia hết cho 72018 Nhận xét n>3, 53≡-1 (mod 7) ord7(5)=6 điểm Nên 5n+1 chia hết cho 72018 suy 5n=53.5n-3≡-1.5n-3≡-1(mod 7) hay 5n-3≡1 (mod 7) suy 6|n-3 hay n=6k+3 điểm Ta tìm k 72018| 56k+3+1 hay v7( (53)2k+1+1) 2018 Theo định lý LTE ta có v7( (53)2k+1+1)=v7(53+1)+v7(2k+1)=1+v7(2k+1) điểm Hay v7(2k+1) 2017 suy 2k+1=7m.t với m,t số nguyên dương m 2017 t số lẻ điểm Khi n=3.7m.t nên số nguyên dương n nhỏ n=3.72017 điểm Bài (5 điểm) Có thứ tự  a, b, c  , với a, b, c số nguyên dương thỏa mãn điều kiện  a, b, c   23.35.57 ? (kí hiệu  a, b, c  bội chung nhỏ ba số nguyên dương a, b, c ) Đặt a  2a13a2 5a3 , b  2b13b 25b3 , c  2c13c 25c3  a1 , b1 , c1  3,  a2 , b2 , c2  5,  a3 , b3 , c3  điểm Ta có  a, b, c   233557 max a1 , b1 , c1  3, max a2 , b2 , c2   5, max a3 , b3 , c3  Ta đếm tất có thứ tự gồm số nguyên không âm  a1 , b1 , c1  cho max a1 , b1 , c1  Đặt: điểm A   a1 , b1 , c1        | a1  3,  b1 , c1  3 B   a1 , b1 , c1        | b1  3,  a1 , c1  3 C   a1 , b1 , c1        | c1  3,  a1 , b1  3 Khi đó, A  B  C tập hợp tất có thứ tự gồm số nguyên không âm  a1 , b1 , c1  cho max a1 , b1 , c1  Ta có A  B  C  16, A  B  B  C  C  A  4, A  B  C  Do A  B  C   A  B  C    A  B  B  C  C  A   A  B  C  37 điểm Vậy số tất có thứ tự gồm số nguyên không âm  a1 , b1 , c1  cho max a1 , b1 , c1  37 Tương tự: Số tất có thứ tự gồm số ngun khơng âm  a2 , b2 , c2  cho điểm max a2 , b2 , c2   91 Số tất có thứ tự gồm số nguyên không âm  a3 , b3 , c3  cho max a3 , b3 , c3   169 Theo quy tắc nhân số tất số nguyên dương  a, b, c  thỏa mãn toán 37x91x169 = 569023 Bài (5 điểm) Cho tam giác ABC có B, C cố định, A thay đổi Phía ngồi tam giác ABC dựng tam giác ABD ACE tam giác vng cân A hình vng BCFG Dựng tam giác XAB vuông cân X (X khác phía với D đường thẳng AB), tam giác YAC vng cân Y (Y khác phía với E đường thẳng AC) a Chứng minh điểm D, Y, F thẳng hàng b Các đường thẳng DY, EX cắt P Chứng minh đường thẳng AP qua điểm cố định A thay đổi điểm a F B Y D A C o điểm o Phép quay QC90 : F  B phép quay QA90 : B  D o o Do QA90 QC90 : F  D o o Gọi Y’ tâm phép quay QA90 QC90 Theo tính chất tích phép quay, ta có  AC , AY '  45o  CY ', CA  45o Suy tam giác Y’AC cân Y’ Suy Y '  Y o Do QY180 : F  D Nên D, Y, F thẳng hàng Hơn nữa, Y trung điểm DF điểm b E D A X B N M Y C P F G T Tương tự câu a, chứng minh X trung điểm EG Gọi M  AG  DF , N  AF  EG điểm Vì  BAG  BDF nên BAG  BDF Do đó, tứ giác BDAM nội tiếp Suy BM  DF Tương tự, CN  EG Do đó, điểm B, C, F, G, M, N nằm đường tròn ngoại tiếp hình điểm vuông BCFG Gọi T giao điểm tiếp tuyến F tiếp tuyến G đường tròn ngoại tiếp hình vng BCFG Áp dụng định lý Pascal cho điểm B, C, F, G, M, N ta A, P, T thẳng hàng Vậy đường thẳng AP qua điểm T cố định điểm ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN THAM DỰ KỲ THI CHỌN HSG QUỐC GIA NĂM 2018 Ngày thi: 26/10 /2018 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 180 phút HƯỚNG... n=6k+3 điểm Ta tìm k 72018| 56k+3+1 hay v7( (53)2k+1 +1) 2018 Theo định lý LTE ta có v7( (53)2k+1 +1)= v7(53 +1)+ v7(2k +1)= 1+v7(2k +1) điểm Hay v7(2k +1) 2017 suy 2k+1=7m.t với m,t số nguyên dương m 2017... chia hết cho 72018 Nhận xét n>3, 53≡-1 (mod 7) ord7(5)=6 điểm Nên 5n+1 chia hết cho 72018 suy 5n=53.5n-3≡-1.5n-3≡-1(mod 7) hay 5n-3≡1 (mod 7) suy 6|n-3 hay n=6k+3 điểm Ta tìm k 72018| 56k+3+1