SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH THPT LÊ QUÝ ĐÔN &&& - ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2017 - 2018 Mơn thi : Tốn - Thời gian làm 180 phút (Đề thi gồm 01 trang) Bài 1.(5 điểm) 2x 1 có đồ thị (H) M điểm (H) cho xM > 1, tiếp tuyến (H) 2x M cắt tiệm cận đứng tiệm cận ngang A B Xác định toạ độ điểm M cho SOIB 8SOIA ( O gốc toạ độ, I giao hai tiệm cận) Cho hàm số y Bài 2.(6 điểm) 1) Giải hệ phương trình 4 9.3x2 2y x2 2y 72y x2 x 2x 2y 2x 2) Giải bất phương trình: x x x( x x 4) 3) Cho ba số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= 24 13a + 12 ab + 16 bc - a+b+c Bài 3.(6 điểm) 1) Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu vng góc B lên AC; M, N trung 9 2 điểm AH, BH Trên cạnh CD lấy điểm K cho MNCK hình bình hành Biết M ; , 5 5 K(9; 2) đỉnh B,C nằm đường thẳng d1 : x y 0, d : x y Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật ABCD biết hồnh độ điểm C lớn 2) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng C, BC = 3a, AC = 4a, cạnh 22 BB’ = a Hình chiếu vng góc B’ (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng BB’ AC’ 600 , SA = 3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 1, góc BAD = SB = SD = Gọi M, N hai điểm thuộc cạnh AB AD cho mp(SMN) vng góc với (ABCD) Đặt AM = x, AN = y, tìm x, y để diện tích tồn phần tứ diện SAMN nhỏ Bài 4.(2 điểm) A B C Cho tam giác ABC có góc thoả mãn 2sinA + 3sinB + 4sinC = 5cos 3cos cos 2 Chứng minh tam giác ABC tam giác Bài 5.(1 điểm) Trong mặt phẳng có n điểm, có k điểm thẳng hàng, số lại khơng có điểm thẳng hàng Biết từ n điểm tạo 36 đường thẳng phân biệt tạo 110 tam giác khác Hãy tìm n, k -Hết -Lưu ý: Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: …………………………………… Số báo danh:……………… ………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH &&& THPT Lê Quý Đôn Bài (5 đ) Cho hàm số y HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2017 - 2018 Môn thi : Tốn ( Gồm trang) 2x 1 có đồ thị (H) M điểm (H) cho xM > 1, tiếp tuyến 2x (H) M cắt tiệm cận đứng tiệm cận ngang A B Xác định toạ độ điểm M cho S OIB 8S OIA ( O gốc toạ độ, I giao hai tiệm cận) 2x 1 M x0 ; , x0 thuộc (H), Tiếp tuyến (H) M có phương trình x0 2x 1 2 (d ) : y ( x x0 ) x0 x0 2 1.0 x (d) cắt tiệm cận đứng A 1; , (d) cắt tiệm cận ngang B(2x0 – 1; 1) x0 IA = , IB = 2( x0 1) x0 1.0 S OIB 8S OIA 2( x0 1) x 1(ktm) x0 1 x0 x0 3(tm) 1.0 1.0 5 Vậy M 3; 4 Bài (2đ) 1.0 Giải hệ phương trình 4 9.3x2 2y x2 2y 72y x2 2 x 2x 2y 2x Đk: y –x (*) Đặt t = x2 – 2y Pt(1) trở thành : 3t 0.5 f(t 2) f(2t) t 2t t t –t 3t 32t 2t 7t 0.5 Từ 2y = x 43 nghịch biến R Với f(x) = x x Thay 2y = x2 – vào pt(2) ta Đặt x 2x x 2x (3) x 2x a phương trình (3) trở thành a a (2 2) (4) x (tm *) y 1 Gii pt (4) c a tìm đợc x (tm *) y Bài 0.5 0.5 (2đ) Giải bất phương trình: x x x( x x 4) (x R) 0.5 1 x HD: ĐK: x(x2 + 2x − 4) ≥ x 1 0.5 Khi (*) x( x x 4) x x x( x x 4) ( x x 4) 3x (**) 0.5 TH 1: x 1 , Chia hai vế cho x > 0, ta có: (**) Đặt t 1 x2 x x2 x 3 x x x2 x , t , ta có bpt: t 4t t x 1 17 65 x2 2x x x x 3 2 x x x 0.5 TH 2: 1 x , x x , (**) thỏa 1 17 65 ; 2 Vậy tập nghiệm bpt (*) S 1 5;0 Bài (2đ) Cho ba số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 24 P= 13a + 12 ab + 16 bc a+b+c Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có a 4b b 4c 13a 12 ab 16 bc 13a a.4b b.4c 13a 16(a b c) 2 0.5 13a 12 ab 16 bc 16(a b c) Dấu “ = ” xảy a 4b 16c Suy P 2a b c abc Đặt t a b c, t Khi ta có: P Xét hàm số f t 2t f ' t BBT t 0.5 2t t khoảng (0; ) , ta có f ' t 2t t 2t 2t t 2t t ; lim f (t) ; lim f (t) x 0 x 0.5 16 a b c ;b ;c a Vậy ta có P , đẳng thức xảy 21 21 21 a 4b 16c Vậy giá trị nhỏ P Bài (2đ) 0.5 16 a, b, c , , 21 21 21 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu vng góc B lên AC; M, N trung 9 2 điểm AH, BH Trên cạnh CD lấy điểm K cho MNCK hình bình hành Biết M ; , 5 5 K(9; 2) đỉnh B,C nằm đường thẳng d1 : x y 0, d : x y Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật ABCD biết hoành độ điểm C lớn A B N M H D MN đường trung bình tam giác HAB MN / / AB, MN bình hành MN / / CK, MN CK C K AB Do MNCK hình 0.5 AB suy K trung điểm CD Ta có MN BC , BH MC nên N trực tâm tam giác BCM CN BM , mà MK // CN BM MK Viết phương trình BM qua M và vng góc với MK, suy toạ độ 0.5 B BM d1 B (1; 4) a C d C (a; a 5) BC.CK Do xC nên C(9; 4) a K trung điểm CD suy D(9;0) AB DC A(1;0) Vậy A(1; 0), B(1; 4), C(9; 4), D(9; 0) 0.5 0.5 (2 đ) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông C, BC = 3a, AC = 4a, cạnh BB’ = 22 a Hình chiếu vng góc B’ (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng BB’ AC’ A' B' C' B A G M I C H BB’// (ACC’) suy d(BB’, AC’) = d(BB’, (ACC’)) = d(B, (ACC’) 0.5 Gọi H hình chiếu vng góc C’ (ABC) Gọi I giao điểm GH AC 0.5 Chứng minh C ' I AC v C'I = C ' H HI 2a S C ' AC C ' I.AC 2a 2 0.5 VC'.ABC 4a VC '.ABC VB.ACC ' S ACC ' d(B,(ACC ')) 3V 3 a Kết luận d(BB’, AC’) = a (đvd) d(B,(ACC ')) C '.ABC S ACC ' 2 (2 đ) 0.5 600 , Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 1, góc BAD SA = SB = SD = Gọi M, N hai điểm thuộc cạnh AB AD cho mp(SMN) vng góc với (ABCD) Đặt AM = x, AN = y, tìm x, y để diện tích tồn phần tứ diện SAMN nhỏ 0.5 S D C N O H A B M Chứng tỏ M,H,N thẳng hàng theo thứ tự S AMN S AMH S ANH S AMN 1 AM AH sin 300 AN AH sin 300 ( x y) 2 0.5 AM AN sin 600 xy Từ (5) (6) ta có x + y = 3xy (5) (6) (0 x, y 1) (7) MN AM AN AM AN cos600 x y xy ( x y ) xy (3 xy ) xy 0.5 MN (3xy ) xy Gọi Stp diện tích tồn phần tứ diện SAMN Ta có Stp = SAMN + SSAN + SSAM + SSMN 1 1 AM AN sin 600 AN AS.sin600 AM AS sin 600 SH MN 2 2 3 3xy (3 xy 1) x y y.1 x.1 2 2 2 3 6 xy x y 3xy(3xy 1) 3xy 3xy(3xy 1) 6 Từ (7) ta có xy x y xy xy S 4 MinS Bài (2 đ) 0.5 xy 4 x y Cho tam giác ABC có góc thoả mãn 2sinA + 3sinB + 4sinC = 5cos Chứng minh tam giác ABC tam giác A B C 3cos cos 2 0.5 AB AB C Ta cã : sinA +sin B = sin cos cos 2 C (sin A + sinB ) cos 2 dÊu ( = ) x¶y vμ chØ chØ A = B (1) 0.5 A (sin B + sinC ) cos 2 B (sin C + sinA ) cos 2 T−¬ng tù : (2) (3) Tõ (1), (2), (3), suy : 2sinA + 3sin B + sin C 5cos A B C +3cos +cos 2 0.5 0.5 Đẳng thức xảy v tam giác ABC Bi (1 đ) Trong mặt phẳng có n điểm, có k điểm thẳng hàng, số lại khơng có điểm thẳng hàng Biết từ n điểm tạo 36 đường thẳng phân biệt tạo 110 tam giác khác Hãy tìm n, k + Số đường thẳng phân biệt có Cn2 Ck2 + Số tam giác phân biệt có C n C k Theo ta có: Cn2 Ck2 36 ( n k )(n k 1) 70 (1) n( n 1) k ( k 1) 70 3 3 ( 2) Cn Ck3 110 Cn Ck 110 Cn Ck 110 Từ (2) ta có Cn 110 n 10 mà k≥3 suy n+k-1≥12 Do (1) tương đương với trường hợp sau n k 14 n 10 1) thỏa mãn (2) n k k n k 35 n 19 không thỏa mãn (2) 2) n k k 17 n k 70 n 36 3) không thỏa mãn (2) n k k 35 Vậy n=10, k=5 0.25 0.25 0.25 0.25 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH &&& THPT Lê Quý Đôn Bài (5 đ) Cho hàm số y HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2017 - 2018 Mơn thi : Tốn ( Gồm trang) 2x 1... 2x 2y 2x Đk: y –x (*) Đặt t = x2 – 2y Pt(1) trở thành : 3t 0.5 f(t 2) f(2t) t 2t t t –t 3t 32t 2t 7t 0.5 Từ 2y = x – 43 nghÞch biÕn trªn... biểu thức: 24 P= 13a + 12 ab + 16 bc a+b+c Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có a 4b b 4c 13a 12 ab 16 bc 13a a.4b b.4c 13a 16(a b c) 2 0.5 13a 12 ab 16 bc 16(a