Chuyên đề: Dãy số có chứa tham số

CHUYÊN ĐỀ: DÃY SỐ CÓ CHỨA THAM SỐ Đào Văn Lương – THPT chuyên Lào Cai.. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Dãy số là chuyên đề quan trọng trong chương trình toán THPT, các bài toán về dãy số thường xuyê

CHUYÊN ĐỀ: DÃY SỐ CÓ CHỨA THAM SỐ

Đào Văn Lương – THPT chuyên Lào Cai

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Dãy số là chuyên đề quan trọng trong chương trình toán THPT, các bài toán về dãy

số thường xuyên xuất hiện trong các đề thi chọn HSG các cấp, các bài toán về dãy số khá đa dạng, như các bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số, các bài toán về tính chất dãy như tính đơn điệu, bị chặn, tính tuần hoàn, các bài toán về xét tính hội tụ của dãy, dãy số nguyên, bất đẳng thức dãy, dãy số cũng là một công cụ hữu ích giúp ta có thể giải quyết được các bài toán về phương trình hàm, hay sử dụng trong các bài toán đếm tổ hợp thông qua các hệ thức truy hồi,v,v…, Trong các nội dung giảng dạy toán chương trình toán THPT

có rất nhiều nội dung có liên quan đến tham số, như lớp các phương trình, hệ phương trình

có chứa tham số, khi đó tính có nghiệm, hay vô nghiệm, số nghiệm của phương trình hoàn toàn phụ thuộc vào giá trị của tham số, hay các bất đẳng thức có chứa tham số, chúng ta gặp bài toán tìm tham số k lớn nhất hay nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức với những điều kiện cho trước nào đó? Do đó việc xem xét các bài toán về dãy số có chứa tham số được đặt ra Trong bài viết này chúng ta sẽ đi xem xét lớp dãy số mà trong cách xác định dãy hay trong

công thức của hệ thức truy hồi có chứa tham số, ta gọi là “Dãy số có chứa tham số” với

lớp các bài toán này có nhiều tính chất của dãy sẽ phụ thuộc vào giá trị tham số

II PHẦN NỘI DUNG

Trước hết chúng ta sẽ đi xem xét lớp dãy số được xác định bởi

Ví dụ 1: Cho dãy số thực  xn , n = 1,2,3,… xác định bởi: x1a và 3 2

1



5 9



Như vậy:

+ Nếu alog log e2 2 thì dãy không xác định

+ Nếu alog log e2 2 thì x1f (x )0 f (a)0x2 f (x )1 f (0)0,…, xn f (xn 1)f (0)0,

n lim x

   Dễ kiểm tra được:    1 2   0 (do   0)

+ Nếu alog log e2 2 thì x1f (x )0 f (a) 1 Vậy x2 f (x )1 f (1) 1 Do đó:

n lim x 1

 + Nếu alog log e2 2 thì dãy không xác định

Xét hàm số liên tục: 2

2 2

u2002  Lại chú ý nếu cos 2

u2002 

thì:

2 2

Bằng qui nạp ta chứng minh được un    0, n (1)

Thật vậy, (1) hiển nhiên đúng với n 0 

 thì f x ( ) liên tục trên [0;  ). Với mỗi giá trị của a  0,giả

sử dãy đã cho hội tụ tới x, chuyển qua giới hạn phương trình của dãy ta được:

2002 



 Dấu bằng chỉ xảy tại x  0,do đó f x ( ) giảm trên

[0;  ). Tiếp theo với mỗi giá trị của a  0, ta sẽ chứng minh lim 2n lim 2n1 1

Do đó dãy  u2k k0 tăng và dãy u2k1k0 giảm

Hơn nữa với mọi k  , ta có u2k   1 u2k1, nên suy ra dãy  u2k k0 hội tụ đến L1 [0;1]

Vậy các giá trị cần tìm của a là a   [0; ).

Ví dụ 5: Với mỗi cặp số thực (a,b), xét dãy số  xn , n  được xác định bởi: x0 a và

x  x bsinx với mọi n 

1 Cho b = 1 Chứng minh rằng với mọi số thực a, dãy  xn có giới hạn hữu hạn khi

n  Hãy tính giới hạn đó theo a

2 Chứng minh rằng với mỗi số thực b > 2 cho trước, tồn tại số thực a sao cho dãy  xn

tương ứng không có giới hạn hữu hạn khi n 

Giải

1 Trường hợp b = 1 ta có dãy số được xác đinh bởi x0 a và xn 1 xn sinxn, với mọi

n  Xét hàm số f (x)   x sin x, khi đó xn 1 f (x )n với mọi n  Đạo hàm

f '(x)   1 cos x  0 với mọi x và f '(x)        0 x 2k , k Do đó hàm số f(x) đồng biến trên

Nếu x0   a m , m thì x0 x1x2   xn    m , suy ra n

n lim x m a

    Nếu m    a (m 1)   với m  thì xét hai khả năng:

a) Với m chẵn, ta có x1x0sin x0 x0 Do m x0 a (m 1)  nên

m f (m ) f (x )x     f ( m ) (m 1) 

Ta chứng minh bằng quy nạp rằng: m xn xn 1 (m 1)  (4) với mọi n 

Thật vậy, với n = 0, theo chứng minh trên m x0 x1(m 1) , vậy mệnh đề đúng khi n =

m f (m ) f (x )x        f ( m ) m

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng x2k     và x2k 1     với mọi k  Thật vậy:

Ví dụ 6: Xét dãy số  un (n = 1,2,3,…) được xác định bởi: u1 a 0,

tổng quát của dãy số, khi đó bài toán đặt ra là xác định các giá trị có thể có của tham số thỏa mãn một số tính chất cho trước

Ví dụ 7: Xét dãy số thực  xn , n = 1,2,3,… xác định bởi x11 và

2 n

1y

Giải

Vì x11 > 0, 2

2 cos2  0,cos  0, 2 2cos  0, 2 cos2  0 nên từ hệ thức xác định dãy

số  xn suy ra xn 0 với mọi *

n  Với mỗi *

   và công bội q 1

3

 Do đó với *

  là dãy hội tụ nên:

Dãy  yn hội tụ  dãy số { 2

x x

x1 1; 1 3 5 với n 1 , 2 ,

Tìm số thực dương a sao cho dãy số  y n xác định bởi:

n

n n

x x x

a y

x

x 1  3  5  x n x n1 3x n 5 với n 1 , 2 ,

Đặt z n x1x2 x n với n 1 , 2 , thì ta có

2 1 2

n n

29 3

với n 1 , 2 ,

trong đó

29329

2913

2913







Do đó n n n

B A

a y

29 3

a

B a

29 3

2932

293

29329

9 38

limx n 4,

n  hay

3 4 3 4

4 khi

3 lim a

3 lim a

  là giá trị duy nhất để dãy  un hội tụ và giới hạn của nó khác 0

Bài toán mở rộng của ví dụ 10: Cho số thực dương a và số thực âm b Cho dãy số  an

n

x  na n   n

1/ Tìm a sao cho dãy số ( ) xn có giới hạn hữu hạn

2/ Tìm a sao cho dãy số ( ) xn là dãy số tăng (kể từ số hạng nào đó)

Giải

Ví dụ 12: Dãy số  un , n0,1, 2 được xác định bởi: u0 1, u1 1, un 1 kunun 1 với mọi

n = 1,2,3… Tìm tất cả các giá trị hữu tỉ của k để dãy (u )n là một dãy tuần hoàn

Giải

Trường hợp 1: k 2

Dùng bất đẳng thức un 1  k un  un 1 2 un un 1  un nếu un  un 1 0 Ta suy ra

u  u  u  u  Do đó dãy  un , n0,1, 2 không là dãy tuần hoàn

Trường hợp 2a: k 2, k là số hữu tỉ nhưng k không là số nguyên, tức là

Có 5 giá trị của k như vậy:

1) k = 2; un 1 2unun 1 với mọi n = 1,2,… tức là (u )n là cấp số cộng có công sai bằng

u u  2 Nói riêng ta có: u0 u1u2  Vậy dãy (u )n không tuần hoàn

2) k = 1, u2  2, u3  1, u4 1, u5 2, u6 1, u7  1 Dãy (u )n tuần hoàn với chu kì bằng

6

3) k = 0, (u )n tuần hoàn với chu kì bằng 4, có dạng: 1, - 1, - 1,1,1, - 1,…

4) k = - 1, (u )n tuần hoàn với chu kì bằng 3, có dạng: 1, - 1, 0,1, - 1,0,…

5) k = - 2, (u )n tuần hoàn với chu kì bằng 2, có dạng: 1, - 1,1, - 1,…

Vậy có 4 giá trị hữu tỉ của k là: -2, -1, 0, 1 để dãy số (u )n tuần hoàn

Ví dụ 13: Tìm số nguyên dương k sao cho dãy số sau gồm toàn số nguyên: a11,

Do  an là dãy tăng nên an 2 10an 1 an với a11,a2 9

Vậy dãy  an gồm toàn số nguyên khi và chỉ khi k = 24

Cho số thực a, cho dãy số  xn ,n  được xác định bởi: x0 a và xn 1 xn sin xn với mọi

n  Chứng minh rằng dãy  xn có giới hạn hữu hạn khi n  Hãy tính giới hạn đó theo a

Bài 5 (TH&TT-T8/309)

Dãy số thực  xn (n = 0,1,2,…) được xác định bởi x0 a và 2

x  2x 1 với mọi n = 0,1,2,… Tìm tất cả các giá trị của a để xn 0 với mọi n = 0,1,2,…

Bài 6 (PTNK 1998) Cho dãy số  

0

n

a xác định bởi công thức truy hồi: a0 = a, an+1 = an -2, với mọi n  N Xác định tất cả các giá a sao cho các số hạng của dãy số đôi một khác nhau

Bài 7 (Romania 2007) Cho a  (0, 1) và dãy số {xn} xác định bởi x0 = a, xn+1 = xn(1-xn ) với mọi n = 0, 1, 2, … Hãy tính lim n.

Bài 9 (TH&TT-T8/287) Giả sử phương trình 2

ax  bx   c 0 (a  0) có hai nghiệm phân biệt Xét dãy số  xn (n = 0,1,2,3,…) được xác định bởi số x0 cho trước và các điều kiện:

2) Chứng minh rằng dãy  xn có giới hạn hữu hạn khi n  Hãy tìm giới hạn đó

Bài 13 Cho a, b là hai số thực khác 0 Xét dãy số  un (n = 0,1,2,…) được xác định như sau: u0 0, u11 un 2 aun 1 bun với mọi n = 2,3,… Chứng minh rằng nếu có bốn số hạng liên tiếp của dãy là số nguyên thì mọi số hạng của dãy đều là số nguyên

Bài 14 Cho số thực ,a xét dãy số x n n 1được xác định bởi

Tìm tất cả các giá trị của ađể dãy số có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó?

Bài 15 Giả sử  F n n1, 2,  là dãy Fibonacci (F1F2 1;F n1F nF n1 với 2,3, 4,

n ) Chứng minh rằng nếu n 1

n

F a

x1  , 1 với mọi n  1 Hãy xác định tất cả các giá trị của a để dãy {xn} hội tụ

Bài 17 Cho trước số thực dương  và xét dãy số dương  x n thỏa mãn

Tìm giới hạn của dãy (nx n)khin  với là số thực cho trước

Bài 19: (IMO 1983 Long list) Cho dãy số (un), n  N, được xác định như sau

) 1 (

) 1 ( 2 )

1 2 (

Bài 21: Cho dãy số (xn) được xác định bởi 3 3

2 8 1, 1, 2, 3,

n

x  na n   n a là tham số thực

a Tìm a để dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn

b Tìm a sao cho dãy số (xn) là dãy số tăng (kể từ một số hạng nào đó)

III KẾT LUẬN

Trên đây chúng ta đã xét đến lớp bài toán dãy số có chứa tham số bằng việc xem xét

và trình bày 13 ví dụ và đề xuất 21 bài toán áp dụng, chúng ta thấy rằng các bài toán về dãy

số có chứa tham số cũng rất đa dạng, nhiều tính chất của dãy đã được đề cập trong bài viết, tuy nhiên do thời gian còn hạn chế nên đa số các ví dụ được nêu ra tập trung vào việc trình bày cho bài toán xét tính hội tụ của dãy số Chúng tôi hy vọng rằng bằng cách xét riêng lớp bài toán dãy số có chứa tham số, sẽ giúp cho người dạy và người học có một cách tiếp cận tốt đối với dạng bài này và chuyên đề nhỏ này có thể đóng góp một phần vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề về dãy số, tác giả rất mong nhận được các ý kiến đóng góp của các thầy chuyên gia, các thầy cô đồng nghiệp đề chuyên đề được hoàn thiện hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Văn Mậu - Chuyên đề chọn lọc Dãy số và áp dụng- NXBGD

[2] Nguyễn Tài Chung- Chuyên khảo dãy số - NXBĐHQGHN

[3] Tuyển tập đề thi chọn HSGQG Việt Nam– NXBGD

[4] Tạp trí toán học và tuổi trẻ

[5] Tài liệu từ Internet: www.matlinks.ro, diendantoanhoc.net, matscope.org