BỘ TÀI NGUYÊN VÀ MÔI TRƢỜNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÀI NGUN VÀ MƠI TRƢỜNG HÀ NỘI ===========o0o============= GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT SAI SỐ Người biên soạn: Ninh Thị Kim Anh Trần Thị Thu Trang Hà Nội, 2011 LỜI NÓI ĐẦU Hiện nhu cầu học tập sinh viên trường đại học, cao đẳng ngày tăng cao số lượng lẫn chất lượng Đi kèm với việc lên giảng đường sinh viên có ham muốn nghiên cứu khoa học, tìm tòi kiến thức tạp chí, internet, sách báo chuyên ngành Dựa mục đích phục vụ cho cơng tác giảng dạy học tập giảng viên, sinh viên hệ cao đẳng ngành địa trường Đại học Tài nguyên môi trường Hà nội, tập hợp tài liệu liên quan, kiến thức thân, đồng nghiệp để biên soạn giáo trình “Lý thuyết sai số” Giáo trình viết cho sinh viên ngành địa với khối lượng 75 tiết giảng dạy, trình bày chương Nội dung kiến thức trình bày phù hợp với trình độ đối tượng sử dụng Trong có ví dụ để minh họa cho lý thuyết giúp người học nắm bắt nội dung học cách cụ thể để củng cố kiến thức cuối chương có câu hỏi, tập để thực hành Giáo trình phân cơng biên soạn sau: - Thạc sỹ Ninh Thị Kim Anh biên soạn chương 1,2,3 - Thạc sỹ Trần Thị Thu Trang biên soạn chương 4,5 Trong trình biên soạn, tác giả cố gắng lựa chọn kiến thức ngắn gọn, đọng, phù hợp với trình độ người học song kinh nghiệm thân hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp tổ môn TĐCS, khoa có góp ý sâu sắc tạo điều kiện để hồn thành giáo trình Để lần mắt sau, giáo trình hồn thiện mong nhận ý kiến quý báu độc giả anh chị em đồng nghiệp Chúng xin chân thành cảm ơn Tập thể tác giả MỤC LỤC Lời nói đầu Mục lục Chƣơng 1: LÝ THUYẾT SAI SỐ 1.1 Phép đo, sai số đo phân loại sai số đo 1.2 Sai số thô 5 1.3 Sai số hệ thống 1.4 Sai số ngẫu nhiên 1.5 Các tiêu chuẩn đánh giá độ xác 10 1.6 Trọng số, sai số trung phương trọng số đơn vị 15 1.7 Sai số trung phương trọng số hàm trị đo 1.8 Một số ví dụ xác định trọng số Chƣơng 2: NGUYÊN LÝ SỐ BÌNH PHƢƠNG NHỎ NHẤT 17 23 2.1 Lưới khống chế trắc địa 2.2 Nguyên lý số bình phương nhỏ Chương 3: BÌNH SAI DÃY TRỊ ĐO CỦA CÙNG MỘT ĐẠI LƯỢNG 3.1 Bình sai dãy trị đo khơng độ xác 30 30 34 36 36 3.2 Bình sai dãy trị đo độ xác 40 Chƣơng 4: BÌNH SAI ĐIỀU KIỆN 4.1 Hệ phương trình điều kiện số hiệu chỉnh 46 46 4.2 Các dạng phương trình điều kiện số hiệu chỉnh 48 4.3 Lập giải hệ phương trình chuẩn 4.4 Đánh giá độ xác 4.5 Các bước thực tốn bình sai điều kiện Chƣơng 5: BÌNH SAI GIÁN TIẾP 63 72 77 5.1 Hệ phương trình số hiệu chỉnh 5.2 Các dạng phương trình số hiệu chỉnh 5.3 Lập giải hệ phương trình chuẩn 5.4 Đánh giá độ xác 5.5 Các bước thực tốn bình sai gián tiếp 5.6 Ứng dụng công nghệ tin học vào bình sai lưới trắc địa 91 91 92 98 106 115 122 Tài liệu tham khảo 142 11/11/2008 1 LÝ THUYẾT SAI SỐ Nguyễn Quang Minh CÁC PHÉP ðO Phép ño ñược thực hiện trong trắc ñịa ñể nhằm xác ñịnh vị trí của các ñịa vật, các ñối tượng trên mặt ñất. Kết quả các phép ño là trị ño Các trị ño có thể bao gồm: - Trị ño góc - Trị ño cạnh - Trị ño phương vị - Trị ño chênh cao - Trị ño là vector cạnh - Trị ño là toạ ñộ ñiểm 11/11/2008 2 ðo góc ðo cạnh 11/11/2008 3 ðo cạnh ðo cạnh 11/11/2008 4 ðo cạnh ðo chênh cao 11/11/2008 5 ðo chênh cao ðo chênh cao 11/11/2008 6 ðo phương vị ðo vector cạnh 11/11/2008 7 Sai số ño Kết quả ño phụ thuộc vào ñiều kiện ño: Thời tiết, nhiệt ñộ, áp suất, gió Máy móc dụng cụ Trị ño có thể bao gồm: Trị ño trực tiếp: Xác ñịnh trực tiếp từ kết quả ño Trị ño gián tiếp: Xác ñịnh từ các trị ño trực tiếp Tất cả các trị ño ñều chứa sai số nên kết quả ño sẽ không phải là trị thực Sai số ño Ký hiệu trị ño là: Ký hiệu trị thực là: X ðại lượng ñặc trưng cho sai số của trị ño sẽ là: Trong ñó - Sai số ngẫu nhiên - Sai số hệ thống - Sai lầm i L i L XL ii −=∆ iiii TS ++=∆ ε i ε i S i T 11/11/2008 8 Sai số thô - Sai lầm Do sự nhầm lẫn, thiếu thận trọng của người ño: 517 m 571 m?? i T Phương pháp phát hiện sai số thô Phương pháp ñộ lệch cực ñại Tên trị ño Trị ño 1 122.575 2 122.585 3 122.590 4 122.561 5 122.580 6 122.550 7 122.571 8 122.599 9 122.542 11/11/2008 9 Phương pháp phát hiện sai số thô Phương pháp ñộ lệch cực ñại: Trị ño chứa sai số thô sẽ là trị ño lớn nhất hoặc nhỏ nhất: 8: 122.599 9: 122.542 ðộ lệch cực ñại: R = 122.599 - 122.542 So sánh ñộ lệch R với Không có sai số thô Chứa sai số thô max R max RR < max RR > Phương pháp phát hiện sai số thô Phương pháp kiểm tra hiệu chênh: Tính hiệu chênh giữa trị cực ñại và trung bình cộng không tính ñến trị cực ñại Tính hiệu chênh giữa trị cực tiểu và trung bình cộng không tính ñến trị tiểu Tính ñại lượng: 1max1 xL −= δ min22 Lx −= δ = − = − = δ δ δ δ δ δ 2min2 11max Lx xL T P 11/11/2008 10 Phương pháp phát hiện sai số thô So sánh giá trị: với giá trị Tính hiệu chênh giữa trị cực ñại và trung bình cộng không tính ñến trị cực ñại Tính hiệu chênh giữa trị cực tiểu và trung bình cộng không tính ñến trị tiểu Tính ñại lượng: 1max1 xL −= δ min12 Lx −= δ = − = − = δ δ δ δ δ δ 2min2 11max Lx xL T P P T α ),1( −np t SAI SỐ NGẪU NHIÊN Sai số ngẫu nhiên là sai số mà quy luật biến ñổi về giá trị và dấu là hoàn toàn ngẫu nhiên Sai số ngẫu nhiên có giá trị nhỏ, do ñã loại bỏ các sai số thô, sai lầm Khảo sát tần xuất (hay xác suất) xuất hiện của sai số ngẫu nhiên Không thể tìm ñược giá trị thực của sai số ngẫu nhiên 11/11/2008 1 Nguyễn Quang Minh Sai số giới hạn: Giá trị giới hạn mà các sai số ngoài giá trị này sẽ không ñược coi là sai số ngẫu nhiên và có thể loại bỏ 11/11/2008 2 Sai số trung phương tương ñối ◦ Cạnh có chiều dài 20 m, sai số trung phương m = 2cm ◦ Cạnh có chiều dài 2000 m, sai số trung phương m = 2cm => 2 cạnh ño có ñộ chính xác như nhau?? ñưa ra ñại lượng: 21 mm = TL m L 1 = 200000 1 2000 02.01 1000 1 20 02.01 2 1 == == T T Sai số trung phương của hàm các trị ño ◦ Cạnh có chiều dài 20 m, sai số trung phương m = 2cm ◦ Cạnh có chiều dài 2000 m, sai số trung phương m = 2cm => 2 cạnh ño có ñộ chính xác như nhau?? ñưa ra ñại lượng: 21 mm = TL m L 1 = 200000 1 2000 02.01 1000 1 20 02.01 2 1 == == T T 11/11/2008 3 Sai số trung phương của các trị ño ñộc lập xác ñịnh bằng công thức: Nếu các ñại lượng ñược xác ñịnh từ các ñại lượng khác thì sai số trung phương xác ñịnh như thể nào? [ ] [ ] [ ] 1 n khi 0 − === ∞⇒⇒= −= n vv n m n XL x ii εε δ ε ε ε 11/11/2008 4 α S YA XA α cosSXX AC += A CXC CBA qpqCpBA εεε +=⇒+= Biết mB, mC, tính mA? [ ] ( ) [ ] n qp n m CBAA A 2 εεεε + == [ ] n qqpp m CCCBBB A εεεεεε 22 2 ++ = 11/11/2008 5 n qp n qp n qqpp m n CC n BB n CC n BB n CC n CB n BB A ∑∑∑∑ ∑∑∑ + = + = ++ = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11 2 2 εεεεεεεε εεεεεε 2222 1 2 1 2 1 2 1 2 cB mqmp n q n p n qp m n CC n BB n CC n BB A +=+= + = ∑∑ ∑∑ εεεε εεεε 11/11/2008 6 ( ) m xxxfF , .,, 21 = Biết mX1, mx2,…, mxm tính mF? Áp dụng khai triển Taylor, giữ ñến số hạng bậc nhất m x m xxF x F x F x F εεεε ∂ ∂ ++ ∂ ∂ + ∂ ∂ = . 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 . 2 1 i m xxx x m im F m x F m x f m x f m x f m ∑ ∂ ∂ = ∂ ∂ ++ ∂ ∂ + ∂ ∂ = α S YA XA ? 5 ,"5 ,200 ,45 cos 0 = ±=±=== += C X S AC m mmmmmS SXX α α α 11/11/2008 7 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 sincos cos α αα α mSmm SXX S AC C X += += 220220 0 )"5()45sin*200()5()45(cos 5 ,"5 ,200 ,45 += ±=±=== mmm mmmmmS C X S α α α S YA XA ? 5 ,"5 ,200 ,45 sin 0 = ±=±=== += C Y S AC m mmmmmSi SYY α α α i– số thứ tự trong danh sách lớp 11/11/2008 8 Nếu 2 cạnh ño cùng ñộ 11/11/2008 1 Lý thuyết sai số Nguyễn Quang Minh Trọng số • ðôi khi các ñại lượng ño ñược xác ñịnh không cùng ñộ chính xác • Ví dụ: – S1 = 200.123 m có m = ±10mm – S1 = 200.129 m có m = ±15mm Tính giá trị của S như thế nào? 11/11/2008 2 Trọng số Nhóm 1 Tr ị đo Nhóm 2 Tr ị đo 1 125.767 1 125.764 2 125.759 2 125.773 3 125.762 3 125.761 4 125.769 Trung bình 125.7626667 125.76675 K ế t qu ả trung bình hai nhóm đo 125.764708 K ế t qu ả trung bình đúng 125.765 a 2 21 nhómnhóm tb SS S + = a 7 24232221131211 SSSSSSS S tb ++++++ = Trọng số • Sử dụng ñại lượng gọi là trọng số: • ðặt trọng số là: P 21 2211 2 1 4 3 PP SPSP S P P tb + + =⇒ = = 11/11/2008 3 Trọng số • Thông thường, trọng số có thể tính bằng công thức: • C là hằng số tùy chọn • m là sai số trung phương • Trọng số thể hiện sự tương quan về mặt ñộ chính xác của các ñại lượng ño 2 i i m C P = 2 2 i j j i m m P P = Trọng số • Khi trọng số bằng 1, sai số trung phương có giá trị là ñược gọi là sai số trung phương trọng số ñơn vị • Nếu biết o m⇒ i o io P m mm 2 2 =⇒ 11/11/2008 4 Trọng số • Trọng số trong ño cao hình học là: • Trọng số của trị trung bình cộng: i o i L L P = nP = Trị trung bình cộng • Các trị ño cùng ñộ chính xác: • Các trị ño không cùng ñộ chính xác: [ ] ; n L x= [ ] [ ] P PL x= 11/11/2008 5 Ví dụ Tên Giá trị ño Sai số trung phương (mm) Trọng số 1 123.456 5 4/25 2 123.465 4 1/4 3 123.446 3 4/9 4 123.459 5 4/25 5 123.448 6 1/9 6 123.452 5 4/25 7 123.461 6 1/9 8 123.457 4 1/4 Tr ị trung bình b ằ ng = 123.45452 Sai số hệ thống • Là các sai số mà quy luật biến ñổi mang tính chất hệ thống: – Quy luật biến ñổi về giá trị – Quy luật biến ñổi về dấu • Ví dụ: Sai số do ño thước thép khi nhiệt ñộ tăng, giảm • Sai số hệ thống có thể có giá trị cố ñịnh, có thể có giá trị thay ñổi 11/11/2008 6 Phát hiện sai số hệ thống, quy tắc ABBE ( ) ( ) n A B n m n SS A B LLB XLA S ji jj n i ii n i i iii 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 ≤− ≤=− −= −= +=∆ ∆ ≠ = + = ∑ ∑ ∑ ε Sai số ngẫu nhiên Sai số hệ thống Tỷ lệ giữa sai số hệ thống và sai số chung Tiểu chuẩn ABBE Tiểu chuẩn Kemix Các phương pháp làm giảm sai số hệ thống • ðiều chỉnh vào trị ño – Ví dụ: Tính ñược các giá trị ảnh hưởng của nhiệt ñộ ñến chiều dài và hiệu chỉnh vào kết quả ño • Dùng quy trình ño thích hợp ñể loại bỏ – Ví dụ: Chỉ ño ở một nhiệt ñộ ñúng với nhiệt ñộ kiểm nghiệm 11/11/2008 7 ðánh giá ñộ chính xác dãy trị ño kép • Trong thực tế ño ñạc thường sử dụng các trị ño kép – Chênh cao ño ñi và ño về – Khoảng cách ño ñi và ño về – Trị ño kép là trung bình của ño ñi và ño về A B ðánh giá ñộ chính xác dãy trị ño kép • Trị ño kép bao gồm: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] n dd mmm m n dd nnnnn dLL LL L L L L L L L LL L iiiii iiii n n n 2 ][ 22 .; ; ''' 2 ""''"'""'' '""' ""'' " ' " 1 ' 1 1 === ==+=−+⇒ =−=−⇒ +=+ εεεεεεεεεε εε εε 11/11/2008 8 Nguyên tắc ñồng ảnh hưởng α S YA XA ( ) ( ) 2 2 2 2 2 sincos cos α αα α mSmm SXX S AC C X += += Nguyên tắc ñồng ảnh hưởng • Trong nhiều trường hợp, các giá trị sai số là một giá trị cho trước theo yêu cầu kỹ thuật. • Cần xác ñịnh các giá trị ñể sai số ñạt yêu cầu kỹ thuật ñặt ra. Từ ñó xác ñịnh các thiết bị ño, phương pháp ño ñảm bảo ñộ chính xác. C X m S mm , α C X m 11/11/2008 9 Nguyên tắc ñồng ảnh hưởng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 2/ ; cos 2/ 2/sincos sincos αα αα αα α α α S m m m m mmSm mSmm C X C X C X C X S S S == == += Nguyên tắc ñồng ảnh hưởng ( ) m xxxfF , .,, 21 = Biết mF tính mX1, mx2,…, mxm ? Áp dụng khai triển Taylor, giữ ñến số hạng bậc nhất m 11/11/2008 1 LÝ THUYẾT SAI SỐ Nguyễn Quang Minh CÁC PHÉP ðO Phép ño ñược thực hiện trong trắc ñịa ñể nhằm xác ñịnh vị trí của các ñịa vật, các ñối tượng trên mặt ñất. Kết quả các phép ño là trị ño Các trị ño có thể bao gồm: - Trị ño góc - Trị ño cạnh - Trị ño phương vị - Trị ño chênh cao - Trị ño là vector cạnh - Trị ño là toạ ñộ ñiểm 11/11/2008 2 ðo góc ðo cạnh 11/11/2008 3 ðo cạnh ðo cạnh 11/11/2008 4 ðo cạnh ðo chênh cao 11/11/2008 5 ðo chênh cao ðo chênh cao 11/11/2008 6 ðo phương vị ðo vector cạnh 11/11/2008 7 Sai số ño Kết quả ño phụ thuộc vào ñiều kiện ño: Thời tiết, nhiệt ñộ, áp suất, gió Máy móc dụng cụ Trị ño có thể bao gồm: Trị ño trực tiếp: Xác ñịnh trực tiếp từ kết quả ño Trị ño gián tiếp: Xác ñịnh từ các trị ño trực tiếp Tất cả các trị ño ñều chứa sai số nên kết quả ño sẽ không phải là trị thực Sai số ño Ký hiệu trị ño là: Ký hiệu trị thực là: X ðại lượng ñặc trưng cho sai số của trị ño sẽ là: Trong ñó - Sai số ngẫu nhiên - Sai số hệ thống - Sai lầm i L i L XL ii − = ∆ iiii TS + + = ∆ ε i ε i S i T 11/11/2008 8 Sai số thô - Sai lầm Do sự nhầm lẫn, thiếu thận trọng của người ño: 517 m 571 m?? i T Phương pháp phát hiện sai số thô Phương pháp ñộ lệch cực ñại Tên trị ño Trị ño 1 122.575 2 122.585 3 122.590 4 122.561 5 122.580 6 122.550 7 122.571 8 122.599 9 122.542 11/11/2008 9 Phương pháp phát hiện sai số thô Phương pháp ñộ lệch cực ñại: Trị ño chứa sai số thô sẽ là trị ño lớn nhất hoặc nhỏ nhất: 8: 122.599 9: 122.542 ðộ lệch cực ñại: R = 122.599 - 122.542 So sánh ñộ lệch R với Không có sai số thô Chứa sai số thô max R max RR < max RR > Phương pháp phát hiện sai số thô Phương pháp kiểm tra hiệu chênh: Tính hiệu chênh giữa trị cực ñại và trung bình cộng không tính ñến trị cực ñại Tính hiệu chênh giữa trị cực tiểu và trung bình cộng không tính ñến trị tiểu Tính ñại lượng: 1max1 xL −= δ min22 Lx −= δ = − = − = δ δ δ δ δ δ 2min2 11max Lx xL T P 11/11/2008 10 Phương pháp phát hiện sai số thô So sánh giá trị: với giá trị Tính hiệu chênh giữa trị cực ñại và trung bình cộng không tính ñến trị cực ñại Tính hiệu chênh giữa trị cực tiểu và trung bình cộng không tính ñến trị tiểu Tính ñại lượng: 1max1 xL −= δ min12 Lx −= δ = − = − = δ δ δ δ δ δ 2min2 11max Lx xL T P P T α ),1( −np t SAI SỐ NGẪU NHIÊN Sai số ngẫu nhiên là sai số mà quy luật biến ñổi về giá trị và dấu là hoàn toàn ngẫu nhiên Sai số ngẫu nhiên có giá trị nhỏ, do ñã loại bỏ các sai số thô, sai lầm Khảo sát tần xuất (hay xác suất) xuất hiện của sai số ngẫu nhiên Không thể tìm ñược giá trị thực của sai số ngẫu nhiên [...]... tt Sai s S tt Sai s 1 5 6 3 2 -7 7 -5 3 6 8 -6 4 8 9 7 5 -4 10 -3 Các ti u chu n ñ c trưng cho ñ chính xác Sai s xác suât: Là sai s mà xác su t xu t hi n c a các sai s có giá tr tuy t ñ i l n hơn nó và nh hơn nó là b ng nhau: S tt Sai s S tt Sai s 1 5 6 3 2 7 7 5 3 6 8 6 4 8 9 7 5 4 10 3 17 11/11/2008 Các ti u chu n ñ c trưng cho ñ chính xác Sai s xác suât: Là sai s mà xác su t xu t hi n c a các sai. .. tt Sai s S tt Sai s 1 3 6 6 2 3 7 6 3 4 8 7 4 5 9 7 5 5 10 8 Sai s xác su t = (5+6)/2=5.5 Các ti u chu n ñ c trưng cho ñ chính xác Sai s xác suât: Là sai s mà xác su t xu t hi n c a các sai s có giá tr tuy t ñ i l n hơn nó và nh hơn nó là b ng nhau: S tt Sai s S tt 6 ... Chƣơng 1: LÝ THUYẾT SAI SỐ 1.1 Phép đo, sai số đo phân loại sai số đo 1.2 Sai số thô 5 1.3 Sai số hệ thống 1.4 Sai số ngẫu nhiên ... Chương 3: BÌNH SAI DÃY TRỊ ĐO CỦA CÙNG MỘT ĐẠI LƯỢNG 3.1 Bình sai dãy trị đo khơng độ xác 30 30 34 36 36 3.2 Bình sai dãy trị đo độ xác 40 Chƣơng 4: BÌNH SAI ĐIỀU KIỆN ... 1.5 Các tiêu chuẩn đánh giá độ xác 10 1.6 Trọng số, sai số trung phương trọng số đơn vị 15 1.7 Sai số trung phương trọng số hàm trị đo 1.8 Một số ví dụ xác định trọng