Đang tải... (xem toàn văn)
Mời các bạn tham khảo tuyển tập bộ đề thi học sinh giỏi lớp Toán 9 của các huyện, tỉnh, thành phố những năm, gần đây. Bộ đề có bao gồm đáp án giải rất chi tiết kèm thang điểm. Các em hãy làm và cùng chấm xem mình được bao nhiêu đểm nhé. Hy vọng các em thấy bộ đề thi này có ích, và sẽ ngày càng chăm học hơn.
Pschool - tiến niềm vui học tập! SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG www.pschool.vn KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng tính thời gian giao đề) Bài (2,0 điểm) a 1 a a 1 a2 a a a 1 với a > 0, a Cho biểu thức: M a a a a a a a) Chứng minh M nhận giá trị nguyên? b) Với giá trị a biểu thức N M Bài (2,0 điểm) a) Cho hàm số bậc nhất: y 0,5x , y x y mx có đồ thị đường thẳng (d1), (d2) (m) Với giá trị tham số m đường thẳng (m) cắt hai đường thẳng (d1) (d 2) hai điểm A B cho điểm A có hồnh độ âm điểm B có hồnh độ dương? b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M N hai điểm phân biệt, di động trục hoành trục tung cho đường thẳng MN qua điểm cố định I(1 ; 2) Tìm hệ thức liên hệ hoành độ M tung độ N; từ đó, suy giá trị nhỏ biểu thức Q 1 OM ON Bài (2,0 điểm) 17x 2y 2011 xy a) Giải hệ phương trình: x 2y 3xy b) Tìm tất giá trị x, y, z cho: x y z z x (y 3) Bài (3,0 điểm) Cho đường tròn (C) với tâm O đường kính AB cố định Gọi M điểm di động (C) cho M không trùng với điểm A B Lấy C điểm đối xứng O qua A Đường thẳng vng góc với AB C cắt đường thẳng AM N Đường thẳng BN cắt đường tròn (C ) điểm thứ hai E Các đường thẳng BM CN cắt F a) Chứng minh điểm A, E, F thẳng hàng b) Chứng minh tích AMAN khơng đổi c) Chứng minh A trọng tâm tam giác BNF NF ngắn Bài (1,0 điểm) Tìm ba chữ số tận tích mười hai số nguyên dương -HẾT Họ tên thí sinh: Chữ ký giám thị 1: www.facebook.com/pschoolcenter/ Số báo danh: Chữ ký giám thị 2: 024 22 664 999 – 0981 255 000 Pschool - tiến niềm vui học tập! SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG www.pschool.vn KÌ THI CHỌN SINH HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2010-2011 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN ĐIỂ M ĐỀ -ĐÁP ÁN BÀI-Ý a a a 1 a a a a 1 với a > 0, a a a a a a a a) Chứng minh M b) Với giá trị a biểu thức N nhận giá trị nguyên M Cho biểu thức: M Bài Do a > 0, a nên: a a ( a 1)(a a 1) a a a a a ( a 1) a 2,00 0,25 1.a (1,25đ ) a a a a (a 1)(a 1) a (a 1) (a 1)(a a 1) a a a a a a (1 a) a (1 a) a a 1 2 M a Do a 0; a nên: ( a 1) a a a 24 a Ta có N N nhận giá trị nguyên M a a a ( a 2) Mà N = a 1 a a hay a (phù hợp) Bài Vậy, N nguyên a (2 3) a) Cho hàm số bậc nhất: y 0,5x , y x y mx có đồ thị đường thẳng (d 1), (d 2) (m) Với giá trị tham số m đường thẳng (m) cắt hai đường thẳng (d1) (d2) hai điểm A B cho điểm A có hồnh độ âm điểm B có hồnh độ dương? b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M N hai điểm phân biệt, di động trục hoành trục tung cho đường thẳng MN qua điểm cố định I(1 ; 2) Tìm hệ thức liên hệ hoành độ M tung độ 1 OM ON Điều kiện để (m) đồ thị hàm số bậc m N; từ đó, suy giá trị nhỏ biểu thức Q Phương trình hồnh độ giao điểm (d1) (m) là: 2.a 0,5x mx (m 0,5)x (0,75đ Điều kiên để phương trình có nghiệm âm m 0,5 hay m 0,5 ) Phương trình hồnh độ giao điểm (d2) (m) là: x mx (m 1)x www.facebook.com/pschoolcenter/ 0,25 0,25 M 1.b (0,75đ ) 0,25 024 22 664 999 – 0981 255 000 0,25 0,25 0,25 0,25 2,00 0,25 0,25 Pschool - tiến niềm vui học tập! www.pschool.vn Điều kiên để phương trình có nghiệm dương m hay m 1 Vậy điều kiện cần tìm là: 1 m 0,5; m Đặt m = xM n = yN mn m (*) Nên đường thẳng qua ba điểm M, I, N có dạng: y = ax+b 0,25 0,25 0 am b a b hệ thức liên hệ m n 2m n mn n b Chia hai vế cho mn ta được: (**) m n 0,25 2.b (1,25đ 2 4 1 ) 5 m n mn n m n m n m 0,25 1 Q ; dấu “=” xảy ; kết hợp (**): m = 5, n = 2,5 m n m n (thỏa (*)) 0,25 Vậy giá trị nhỏ Q 0,25 17x 2y 2011 xy x y 3xy a) Giải hệ phương trình: Bài b) Tìm tất giá trị x, y, z cho: 3.a (1,25đ ) (1) x yz zx (y 3) (2) 17 1007 x y x 2011 y 490 (phù hợp) Nếu xy (1) 1 490 y y x x 1007 17 1004 y x 2011 y xy (loại) Nếu xy (1) 1 1031 y x 18 x Nếu xy (1) x y (nhận) 0,50 0,25 0,25 KL: Hệ có nghiệm (0; 0) ; 490 1007 Điều kiện x ≥ 0; y z ≥ 0; z x ≥ y ≥ z ≥ x ≥ (2) x y z z x x y z z x 3.b (0,75đ ) 2,0 đ 0,25 0,25 ( x 1) ( y z 1) ( z x 1) 0,25 x 1 x y z y (thỏa điều kiện) z z x 0,25 www.facebook.com/pschoolcenter/ 024 22 664 999 – 0981 255 000 Pschool - tiến niềm vui học tập! www.pschool.vn Cho đường tròn (C ) với tâm O đường kính AB cố định Gọi M điểm di động F (C ) cho M không trùng với điểm A B Lấy C điểm đối xứng O qua A Đường thẳng vng góc với AB C cắt đường thẳng AM N Đường thẳng BN cắt đường tròn (C ) điểm thứ C Bài hai E Các đường thẳng BM CN cắt F a) Chứng minh điểm A, E, F thẳng hàng b) Chứng minh tích AMAN khơng đổi c) Chứng minh A trọng tâm N tam giác BNF NF ngắn MN BF BC NF A trực tâm tam giác BNF 4.a (1,00đ FA NB ) Lại có AE NB Nên A, E, F thẳng hàng M A B O E (C ) 3,0 đ 0,25 0,25 0,25 CAN MAB , nên hai tam giác ACN AMB đồng dạng 4.b AN AC (0,75đ Suy ra: AB AM ) Hay AM AN AB AC 2R không đổi (với R bán kính đường tròn (C )) Ta có BA BC nên A tâm tam giác BNF C trung điểm NF (3) 0,25 0,25 0,25 Mặt khác: 4.c (1,25đ ) CAN CFM , nên hai tam giác CNA CBF đồng dạng CN AC CN CF BC AC 3R BC CF Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: NF CN CF CN CF 2R 0,25 0,25 Nên: NF ngắn CN =CF C trung điểm NF (4) (3) (4) cho ta: A tâm tam giác BNF NF ngắn Bài Tìm ba chữ số tận tích mười hai số nguyên dương Đặt: S = 123456789101112 S 3467891112 số nguyên hai chữ số tận S 00 100 0,25 0,25 0,25 0,25 0,75 0,50 Mặt khác, suốt trình nhân liên tiếp thừa số vế phải (1), (1,00đ S để ý đến chữ số tận cùng, ta thấy có chữ số tận (vì 34=12; ) 100 26=12; 27=14; 48=32; 29=18; 811=88; 812=96) Vậy ba chữ số tận S 600 0,25 0,25 - Hết www.facebook.com/pschoolcenter/ 024 22 664 999 – 0981 255 000 Pschool - tiến niềm vui học tập! PHÒNG GD-ĐT CẨM THỦY www.pschool.vn KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỐN năm học : 2011 - 2012 Mơn : TỐN (Thời gian làm bài: 150 phút: Vòng 2) Bài ( 3,0 điểm) 2ab Xét biểu thức P = b 1 Chứng minh P xác định Rút gọn P Khi a b thay đổi, tìm giá trị nhỏ P Bài (3,0 điểm) Tìm x; y; z thoả mãn hệ sau: x 3x y y 3y 2z z 3z 3x Cho số dương: a; b x = ax ax a x a x 3b Bài ( 3,0 điểm) 3 3 ;b= 2 Chứng minh với n ≥ 1, ta có Sn + = (a + b)( an + + b n + 1) – ab(an + b n) Chứng minh với n thoả mãn điều kiện đề bài, Sn số nguyên Với số nguyên dương n ≤ 2008, đặt Sn = a n +bn , với a = n n Tìm tất số n để Sn – Chứng minh S n – = số phương Bài (5,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB điểm E nằm điểm A điểm B cho AE < BE Vẽ đường tròn (O1) đường kính AE đường tròn (O2) đường kính BE Vẽ tiếp tuyến chung ngồi MN hai đường tròn trên, với M tiếp điểm thuộc (O1) N tiếp điểm thuộc (O2) Gọi F giao điểm đường thẳng AM BN Chứng minh đường thẳng EF vng góc với đường thẳng AB Với AB = 18 cm AE = cm, vẽ đường tròn (O) đường kính AB Đường thẳng MN cắt đường tròn (O) C D, cho điểm C thuộc cung nhỏ AD Tính độ dài đoạn thẳng CD Bài 5: (4đ): Cho ABC, đường thẳng d cắt AB AC trung tuyến AM E, F,N a) Chứng minh : AB AC AM AE AF AN b) Giả sử đường thẳng d // BC Trên tia đối tia FB lấy điểm K, đường thẳng KN cắt AB P đường thẳng KM cắt AC Q.Chứng minh PQ//BC Bài 6: (2 điểm) Cho < a, b,c a + x > a (b 1) 0 Xét a – x = (2) b 1 Ta có a + x > a – x ≥ a x a x (3) Từ (1); (2); (3) P xác định Rút gọn: a 2ab a (b 1) Ta có: a + x = a a x (b 1) 2 b 1 b 1 b 1 a 2ab a ( b 1) a - x =a a x b 1 b 1 b 1 b 1 a a (b 1) b 1 b 1 b 1 b 1 b 1 P= 3b b b 3b a a (b 1) b 1 1 b 1 b Nếu < b < P = b 3b 3b 3b Nếu b P = b 3b 3b (1.0 điểm) Xét trường hợp: 4 Nếu < b < 1, a dương tuỳ ý P = P 3b b 2b Nếu b , a dương tuỳ ý P = b 3b 3b b , dấu xảy b = Ta có: 3b 2b , dấu xảy b = Mặt khác: 3 2 Vậy P , dấu xảy b = 3 KL: Giá trị nhỏ P = Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu (3,0 điểm) Tóm tắt lời giải www.facebook.com/pschoolcenter/ Điểm 024 22 664 999 – 0981 255 000 Pschool - tiến niềm vui học tập! www.pschool.vn Biến đổi tương đương hệ ta có (x 2)(x 1) y (y 2)(y 1) 2(2 z ) (z 2)(z 1) 3(2 x) 1,00 Nhân vế phương trình với ta được: (x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)2(y+1)2(z+1)2= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2) (x - 2)(y - 2) (z - 2) (x 1) (y 1) (z 1) = (x - 2)(y - 2) (z - 2) = x = y = z = Với x = y = z = thay vào hệ ta có x = y = z = Vậy với x = y = z = thoả mãn hệ cho 0,50 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 Câu (3,0 điểm) Tóm tắt lời giải (1,0 điểm) Với n ≥ Sn + = a n+2 + b n+2 (1) n+ n+ n n n+2 n+2 +b ) – ab(a +b ) = a + b (2) Mặt khác: (a + b)( a Từ (1); (2) ta có điều phải chứng minh (1.0 điểm) Ta có: S1 = 3; S2 = Do a + b =3; ab =1 nên theo ta có: với n ≥ Sn+2 = 3Sn+1 - Sn Do S1, S2 Z nên S3 Z; S2, S3 Z nên S4 Z Tiếp tục trình ta S5; S6; ; S2008 Z (1.0 điểm) n Điểm 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 n Ta có Sn – = 2 2 2 0,25 n n n = n n đpcm = 2 1 1 ; b1 = Đặt a1 = a1 + b = ; a1b1 = 2 Xét Un= a1n b1n 0,25 Với n ≥ Un+2 = (a1 + b 1)(a 1n+1 - b 1n + 1) – a 1b1(a1n - b1n) Un+2 = Un Ta có U1 = Z; U2 = Z; U3 = Z; U4 = Z; Tiếp tục trình ta Un nguyên n lẻ Vậy S n – số phương n = 2k+1 với k Z k 1003 Un+1 – 0,25 0,25 www.facebook.com/pschoolcenter/ 024 22 664 999 – 0981 255 000 Pschool - tiến niềm vui học tập! www.pschool.vn Câu (5,0 điểm) Tóm tắt lời giải Điểm F D N I C S M A O1 E O B O2 (2,5 điểm) O1M; O2N MN O1M/ / O2N Do O1; E; O2 thẳng hàng nên MO1E = NO2B Các tam giác O1ME; O2NB cân O1 O2 nên ta có: MEO1= NBO2 (1) Mặt khác ta có: AME = 900 MAE + MEO1= 900 (2) MAE + NBO2 = 900 AFB = 900 Tứ giác FMEN có góc vng Tứ giác FMEN hình chữ nhật NME = FEM (3) Do MN MO1 MNE + EMO1 = 90 (4) Do tam giác O1ME cân O1 MEO1 = EMO1 (5) Từ (3); (4); (5) ta có: FEM + MEO1= 900 hay FEO1 = 900 (đpcm) (2,5 điểm) Ta có EB = 12 cm O1M = cm < O2N = cm MN cắt AB S với A nằm S B Gọi I trung điểm CD CD OI OI// O1M //O2N O1M SO1 O N SO SO2 = 2SO1 SO1+O1O2 = 2SO1 SO1= O1O2 Do O1O2 = + = cm SO1= O1O2 = cm SO =SO1 + O1O = 15cm Mặt khác: OI SO OI = cm O1M SO1 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 Xét tam giác COI vuông I ta có: CI2 + OI2= CO2 CI2 + 25 = CO2 Ta có: CO = cm CI2 + 25 = 81 CI = 56 CD = 14 cm www.facebook.com/pschoolcenter/ 0,25 0.25 0,25 0,25 0,50 024 22 664 999 – 0981 255 000 Pschool - tiến niềm vui học tập! www.pschool.vn Câu (2,0 điểm) Tóm tắt lời giải Điểm a) A ( I , S AM ) Kẻ BI , CS // EF AB AI AC AS , Ta có: AE AN AF AN AB AC AI AS () AE AF AN AN E E N I 1,0 BIM CSM (cgc) B IM MS Vậy: AI AS AI AI IM MS AM Ta có: M C S Thay vào (*) ta (đpcm) 0,5 0,5 Khi d // BC EF // BC N trung điểm EF +Từ F kẻ đường thẳng song song với AB cắt KP L Ta có: NFP NFL (cgc) EP LF EP LF KF (1) PB PB KB Do : 0,5 A K 0,5 L +Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt KM H Ta có BMH CMQ(cgc) E N F Q P BH QC B FQ FQ KF (2) Do đó: QC BH KB FP FQ PQ // BC Từ (1) va (2) PB QC M C 0,5 (đpcm) 0,5 Bài 6: điểm) Do a FDC HNC Suy FDC đồng dạng HNC (g – g) 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ => NHC DFC 90O hay MN AD c) Do MENF hình chữ nhật, nên MFE FEN Trong đường tròn (O) có: FEN EAB sđ EB => MFE EAB Suy MEF đồng dạng MDA (g – g) => 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ ME MF , hay ME.MA = MF.MD MD MA www.facebook.com/pschoolcenter/ 0,5 đ 13 024 22 664 999 – 0981 255 000 Pschool - tiến niềm vui học tập! www.pschool.vn ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Thời gian: 150 phút( không kể thời gian giao đề) Câu1: ( 5đ) Cho biÓu thøc M = x 9 x 1 x3 x5 x 6 x x a Tìm điều kiện x để M có nghĩa rút gọn M b Tìm x để M = c Tìm x Z ®Ó M Z Câu: 2(2đ) Cho 4a2+b2=5ab với 2a>b>0 Tính giá trị biểu thức: P ab 4a b 2 Câu 3(4đ) a Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 3x x x 2x a b c ab bc ca b Chứng minh với số thực a,b,c ta có Câu: (4đ) a Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3+y3+z3-3xyz b Giải phương trình : x4+2x3-4x2-5x-6=0 Câu: (5đ) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC 1) Tứ giác BEDF hình sao? 2) Gọi CH CK đường cao tam giác ACB tam giác ACD.Chứng minh a Tam giác CHK tam giác ABC đồng dạng b AB.AH+AD.AK=AC2 -Hết www.facebook.com/pschoolcenter/ 14 024 22 664 999 – 0981 255 000 Pschool - tiến niềm vui học tập! www.pschool.vn ĐÁP ÁN Câu: 1(5đ) a) ĐK x 0; x 4; x Rút gọn M = x 9 Biến đổi ta có kết quả: = = M5 b) x 1 x 3 Do M z nên x x x 1 x 2 x 3 x 2 x x 2 x 2 x 3 x 1 x 1 x 3 x 2 x 1 x 3 5 1đ 1đ x 3 1 x 3 x 3 x ước 0,5đ x nhận giá trị: -4;-2;-1;1;2;4 x 1;4;16;25;49 x x 1;16;25;49 0,5đ 0,5đ Câu: (2đ) Phân tích 4a2+b 2=5ab thành (a-b)(4a-b)=0 a=b 4a=b Lập luận a=b (nhận) 4a=b (loại) Tính P 0,5đ 0,5đ x 3 x 2 x x 16(TM ) c) M = 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ ab a2 2 4a b 3a 0,5đ 2x x x 4x ( x 2) 2 x 2x ( x 1) 1,5đ Câu: (4đ) a Viết A Lập luận A = x-2= => x= 0,5đ a2 b2 c2 abbc ca b biến đổi 2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca a 2-2ab+b2+b2-2bc +c2 +c2 -2ca+a2 ≥0 (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 ≥ Lập luận => khẳng định Câu: (4đ) a x3+y3+z3-3xyz = x3+3x2y+3xy2+y3+z3-3x 2y-3xy2 -3xyz = (x+y)3+z3 –3xyz(x+y+z) = (x+y+z)(x 2+2xy+y2+z 2-xz-yz)-3xy(x+y+z) =(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx) www.facebook.com/pschoolcenter/ 15 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 024 22 664 999 – 0981 255 000 Pschool - tiến niềm vui học tập! www.pschool.vn b Giải phương trình : x4+2x3-4x2-5x-6=0 x4-2x3+4x3-8x2+4x2-8x + 3x-6=0 x3(x-2)+4x2(x-2)+4x(x-2)+3(x-2)=0 (x-2)(x3+4x2+4x+3)=0 (x-2)(x3+3x2+x2+3x+x+3) =0 (x-2)[x2(x+3)+x(x+3)+(x+3)]=0 (x-2)(x+3)(x 2+x+1) =0 Câu: (5đ) 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ H C B F E A K D 0,5đ Chỉ Tam giác ABE = Tam giác CDF =>BE=DF BE//DF vng góc với AC => BEDF hình bình hành 2.a Chỉ góc CBH = góc CDK => tam giác CHB đồng dạng với Tam giác CDK (g,g) 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ CH CK CB CD 0,25đ Chỉ CB//AD,CK vng góc CB=> CK vng góc CB Chỉ góc ABC = góc HCK ( bù với BAD) Chỉ CH CK CH CK hay AB=CD CB CD CB AB 0,25đ 0,25đ 0,25đ Chỉ tam giác CHK đồng dạng tam giác BCA (c-g-c) b tam giác AFD = tam giác CEB => AF=CE tam giác AFD đồng dạng với tam giác AKC => AD.AK=AF.AC => AD.AK=CE.AC (1) Chỉ tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACH => AB.AH=AE.AC (2) Công theo vế (1) (2) ta AD.AK+ AB.AH =CE.AC+ AE.AC =(CE+AE)AC=AC2 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa www.facebook.com/pschoolcenter/ 16 024 22 664 999 – 0981 255 000 Pschool - tiến niềm vui học tập! PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KIM THÀNH www.pschool.vn ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012 – 2013 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Bài 1: (4,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức A = x 9 x x 1 x5 x 6 x 2 3 x b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = Hãy tính giá trị biểu thức: A = x (1 y )(1 z ) (1 z )(1 x ) (1 x )(1 y ) y z (1 x ) (1 y ) (1 z ) Bài 2: (3,0 điểm) a) Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012 Tính f(a) a = 16 16 b) Tìm số tự nhiên n cho n + 17 số phương? Bài 3: (4,0 điểm) Giải phương trình sau: a) x x b) x x 2 x Bài 4: (3,0 điểm) a) Tìm x; y thỏa mãn: x y y x xy b) Cho a; b; c số thuộc đoạn 1; thỏa mãn: a2 + b2 + c = chứng minh rằng: a+b+c Bài 5: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn; đường cao AK; BD; CE cắt H KC AC CB BA2 a) Chứng minh: KB CB BA2 AC b) Giả sử: HK = AK Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3 c) Giả sử SABC = 120 cm2 BÂC = 600 Hãy tính diện tích tam giác ADE? www.facebook.com/pschoolcenter/ 17 024 22 664 999 – 0981 255 000 Pschool - tiến niềm vui học tập! TRƯỜNG THCS THƯỢNG VŨ Tổ KHTN www.pschool.vn HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG HUYỆN KIM THÀNH NĂM HỌC 2012 – 2013 Mơn: Tốn Thời gian: 120’ Câu 1: (4 điểm) x 9 x x 1 x5 x 6 x 2 3 x a/ Rút gọn biểu thức A = ĐKXĐ: x 4; x A= = x 9 x 2 x x 1 x 3 x 3 x 2 x 3 x 2 x 1 x 3 x x 2x x x 2 x 3 x x 2 x 2 x 3 x 1 x 3 b/ Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = Hãy tính: A = x (1 y )(1 z ) (1 z )(1 x ) (1 x2 )(1 y ) y z (1 x ) (1 y ) (1 z ) Gợi ý: xy + yz + xz = + x2 = xy + yz + xz + x2 = y(x + z) + x(x + z) = (x + z)(x + y) Tương tự: + y2 = …; + z2 = … Câu 2: (3 điểm) a/ Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012 Tính f(a) a = 16 16 b/ Tìm số tự nhiên n cho n + 17 số phương? Giải a/Từ a= 16 16 a 32 3 16 16 16 16 32 12a nên a + 12a = 32 Vậy f(a) = b/ Giả sử: n2 + 17 = k2 (k k n n 8 k n 17 ) k > n (k – n)(k + n) = 17 Vậy với n = thỏa mãn yêu cầu toán Câu 3: (4 điểm) Giải phương trình sau: a/ x x b/ x x 2 x www.facebook.com/pschoolcenter/ 18 024 22 664 999 – 0981 255 000 Pschool - tiến niềm vui học tập! www.pschool.vn Giải a/ ĐK: 4 x Bình phương vế: x x (1 x)(4 x) (1 x)(4 x) x (thỏa mãn) x x x( x 3) x 3 Vậy phương trình có nghiệm: x = 0; x = -3 b/ x x 2 x ĐKXĐ: x 3 x2 2x 2x 2 x x 1 x 2x 1 x 1 phương trình có nghiệm x x = -1 Câu 4: (3 điểm) a/ Tìm x; y thỏa mãn: x y y x xy b/ Cho a; b; c số thuộc đoạn 1; thỏa mãn: a2 + b2 + c = chứng minh rằng: a+b+c Giải a/ x y y x xy x.2 y y.2 x xy Xét VP = x.2 y y.2 x theo BĐT cosi: y4 4 y4 y 4 x4 x ;2 x VP xy = VT 2 2 x Dấu = xảy khi: x y 8 y b/ Do a; b; c thuộc đoạn 1; nên a + 0; a – nên (a + 1)(a – 2) Hay: a2 – a – a2 a + Tương tự: b2 b + 2; c c + Ta có: a2 + b2 + c2 a + b + c + theo đầu bài: a2 + b2 + c2 = nên: a + b + c Câu 5: (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn; đường cao AK; BD; CE cắt H a/ Chứng minh: KC AC CB BA2 KB CB BA2 AC b/ Giả sử: HK = AK Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3 www.facebook.com/pschoolcenter/ 19 024 22 664 999 – 0981 255 000 Pschool - tiến niềm vui học tập! www.pschool.vn c/ Giả sử SABC = 120 cm2 BÂC = 600 Hãy tính diện tích tam giác ADE? Giải a/ Sử dụng định lý pytago: 2 2 A 2 AC CB BA AK KC ( BK CK ) AB 2 CB BA AC ( BK CK ) BA2 ( AK KC ) = 2CK BK CK 2CK (CK BK ) CK BK BK CK BK ( BK CK ) BK D E H AK AK b/ Ta có: tanB = ; tanC = BK CK Nên: tanBtanC = AK (1) BK CK B C Mặt khác ta có: B HKC mà: tanHKC = Nên tanB = K KC KH KC KB KB.KC tương tự tanC = (2) tan B tan C KH KH KH Từ (1)(2) tan B tan C Theo gt: HK = AK KH AK tan B.tan C 3 S AB c/ Ta chứng minh được: ABC ADE đồng dạng vậy: ABC (3) S ADE AD Mà BÂC = 600 nên ABD 300 AB = 2AD(4) Từ (3)(4) ta có: S ABC S ADE 30(cm ) S ADE www.facebook.com/pschoolcenter/ 20 024 22 664 999 – 0981 255 000 Pschool - tiến niềm vui học tập! SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA www.pschool.vn KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TOÁN Lớp thcs Thời gian làm 150 phút không kể thời gian phát đề Ngày thi: 23 tháng năm 2012 Câu I (4đ) x 1 x x 1 1 : x 1 10 x x x 1 1 x 1 Cho biểu thức P = 1) Rút gọn P 2) Tính giá trị P x = 3 2 3 2 4 32 3 2 Câu II (4đ) Trong hệ toạ độ, cho đường thẳng d: y = x – parabol (P): y = - x Gọi A B giao điểm d (P) 1) Tính độ dài AB 2) Tìm m để đường thẳng d’: y =- x = m cắt (P) hai điểm C D cho CD = AB Câu III (4đ) x2 x2 y 1) Giải hệ phương trình y y x 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình 2x6 + y2 –2 x 3y = 320 Câu IV (6đ) Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC Gọi M trung điểm BC; H trực tâm; AD, BE, CF đường cao tam giác ABC Kí hiệu (C1) (C2) đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF DKE, với K giao điểm EF BC Chứng minh rằng: 1) ME tiếp tuyến chung (C1) (C2) 2) KH AM Câu V (2đ) Với x; y; z Tìm tất nghiệm phương trình: x y z y zx z xy x yz x y z www.facebook.com/pschoolcenter/ 21 024 22 664 999 – 0981 255 000 Pschool - tiến niềm vui học tập! SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA www.pschool.vn KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2011-2012 Đáp án Mơn : TỐN Ngày thi :23/03/2012 Câu 1:ĐK x 10 1) P x 1 x 1 : 10 x x 1 x 1 P 3( x 1 3) x 1 x 1 10 x x 1 P x 1( x 10)( x 1 2) 3( x 2) 2(10 x)( x 1 4) 2( x 5) b) x 3 2 3 2 (3 2) (3 2) 2 2 3 2 3 2 => x= ( 1) x>1 Vậy P=0 Câu II: 1) Hồnh độ giao điểm nghiệm phương trình x2+x-2=0 => x=1 x=2 Vậy A(1,-1) B(-2;-4) A(-2;-4) vàB(1;-1) 2)Để (d’) cắt (P) điểm phân biệt phương trình x 2-x+m=0 (1) có hai nghiệm phân biệt m Ta có khoảng cách AB2 =18 để CD = AB (x1-x 2)2+(y1-y2)2=18 (x1-x 2)2=9 (x1+x2)2-4x 1x 2=9 1-4m-9=0=> m=-2(TM) Vậy C(-1,-3) D(2;0) D(-1;-3) C(2;0 Câu III 1,ĐK x 0, y Đặt x=ky ( k 0) ( k k ) y x2 x2 y ( 1) y (1) k y y x Nếu k=-1 hệ phương trình (1) vơ nghiệm nên hệ phương trình cho vơ nghiệm Nếu k -1 từ (1) => (k k )k 4 k 1 www.facebook.com/pschoolcenter/ 22 024 22 664 999 – 0981 255 000 Pschool - tiến niềm vui học tập! www.pschool.vn => k=2 k = -2 3 Nếu k=2 => ( x, y ) ( ; ) Nếu k = -2 => (x;y)=(-2;1) 2, Từ 2x6 + y – x3y = 320 (x 3-y)2 +(x 3)2=320 => (x 3)2 320 mà x nguyên nên x Nếu x=1 x=-1 y khơng ngun (loại) Nếu x=2=> y=-2 y=6 Nếu x=-2 => y=-6 y=2 Vậy phương trình cho có cặp nghiệm (x;y) là(2;-2);(2;6);(-2;-6);(-2;2) F 900 nên tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm Câu IV: 1) Ta có E (C1) trung điểm AH sd EH (1) EAH (2) ( phụ với góc ACD) mà EAH CBE CBE (3)( đương trung tuyến ứng với cạng huyền) MEB sd EH Từ (1), (2) (3) ta có MEH => ME tiếp tuyến đường tròn tâm (C1) A F E N B K C D M C 2, gọi giao điểm AM với KH N trước tiên chứng minh điểm A,E,H,N,F thuộc đường tròn Ta thấy AF E ACB; AN E AFE ANE ACB => nghĩa C,M,N, F thuộc đường tròn chứng minh A,E,N, B nội tiếp 900 KNM www.facebook.com/pschoolcenter/ 23 024 22 664 999 – 0981 255 000 Pschool - tiến niềm vui học tập! www.pschool.vn KH AM Câu V:: vai trò x,y,z nên x y z y z z zy y z y z 1 Nếu x= => ( )( ) yz 1 z y z zy y z ( y 1)( y 1 z ) z 1 (1 z )( y z ) (1 yz )( y z ) y z Ta có VT mà VP < nên trường hợp khơng có nghiệm Nếu x khác mà x y z z 11 x zx x z >0 x z zx x zx z với x; z Dấu “=” xảy khi: x=z=1 + Ta có: zx x z y zx x y z x x y zx x y z y y + Tương tự: z xy x y z z z x yz x y z x y z x yz VT (1) y zx z xy x yz x y z + Mặt khác, vì: x; y; z x y z 3 VP Dấu “=” xảy : x=y=z=1 (2) x yz + Từ (1) (2) VT VP khi: VT VP Khí x=y=z=1 * Vậy phương trình có nghiệm nhất: x; y; z 1; 1; 1 www.facebook.com/pschoolcenter/ 24 024 22 664 999 – 0981 255 000 ... 024 22 664 99 9 – 098 1 255 000 Pschool - tiến niềm vui học tập! SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA www.pschool.vn KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2011-2012 Đáp án Môn : TOÁN Ngày thi... 024 22 664 99 9 – 098 1 255 000 Pschool - tiến niềm vui học tập! SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA www.pschool.vn KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN Lớp thcs... 024 22 664 99 9 – 098 1 255 000 Pschool - tiến niềm vui học tập! www.pschool.vn ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Thời gian: 150 phút( không kể thời gian giao đề) Câu1: ( 5đ) Cho biÓu thøc M = x 9 x 1 x3